第十一章 三角形 期末复习考点梳理 -2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十一章 三角形—八年级上册数学人教版（2012）期末复习考点梳理 第一步：单元学习目标 1.与三角形有关的线段 （1）理解三角形及其内角、高、中线、角平分线等概念，了解三角形的分类，会画任意三角形的高、中线、角平分线. （2）理解三角形三边之间的关系并会证明，能利用该关系判断已知线段能否组成三角形. 2.与三角形有关的角 （1）会运用平行线的性质与平角的定义证明三角形三个内角和等于180°. （2）掌握“直角三角形的两个锐角互余”“有两个角互余的三角形是直角三角形”. （3）理解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质，并会运用三角形内角和定理及其外角性质进行相关计算和证明. 3.多边形及其内角和 掌握多边形的内角和与外角和公式，能灵活运用多边形的内角和与外角和公式解决有关问题. 第二步：思维导图回顾知识 第三步：单元重难知识易混易错 【知识梳理】 三角形的分类及有关性质 分类 按角分： 按边分： 性质 三边关系：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 角的关系： （1）内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. （2）内外角关系： a.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 如图， b.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 如图， C.直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 三角形具有稳定性 与三角形有关的重要线段 名称 图形 性质 重要结论 中线 三角形的三条中线的交点在三角形的内部，这个点称为重心.中线将三角形分成两个面积相等的三角形 高 ，即 锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部； 直角三角形的三条高的交点是直角的顶点； 钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部，这个点称为垂心 角平分线 三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，这个点称为内心 多边形及其相关概念 1多边形有几条边就是几边形，且顶点个数、内角个数均与边数相同，外角个数是边数的2倍. 2从边形的一个顶点可以引出条对角线，引出的对角线将边形分成个三角形，边形有个顶点，共有条对角线. 【易错点津】 （1）三角形没有对角线. （2）正多边形必须满足定义中的两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等.二者不可缺一.如果一个多边形的各个角都相等或每条边都相等，那么这个多边形不一定是正多边形，如长方形. 多边形的内角和 内容 推理过程 应用 方法 图形 边形内角和等于 . 方法1：如图所示，从边形的一个顶点引出条对角线，这条对角线把边形分成个三角形，每个三角形的内角和是，所以变形的内角和是. （1）已知边数，求内角和. （2）已知内角和，求边数. （3）已知正边形每个内角的度数.求边数和内角和. 方法2：如图所示，在边形内任取一点P，连接，把边形分成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得边形的内角和是. 方法3：如图所示，在边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去在点P处的一个平角，即. 【拓展延伸】 利用多边形的内角和公式求边数（此类题都隐含着边数为正整数这个条件），相当于解一元一次方程. 【规律方法】 （1）多边形内角和公式的推理过程是将多边形的内角进行分割，然后把它们放到三角形中，随着点P的位置不同所得三角形个数也不同，但以上几种证明方法都是把多边形的问题转化为三角形的问题进行解决. （2）任意多边形的内角和是的整数倍，且多边形每增加一条边，它的内角和就增加，正边形每个内角的度数是. 多边形的外角和 内容 推导过程 应用 多边形的外角和等于 多边的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以边形的内角和加上外角和为，外角和等于 （1）已知外角度数求正多边形的边数. （2）已知正多边形的边数求外角度数. 【拓展延伸】 （1）多边形的外角和恒等于，与边数多少无关. （2）正边形的每个内角都相等，则每个外角也相等，其外角和为，所以正变形的每个外角度数都为. （3）正多边形的内角相等，隐含着外角也相等这一条件，利用这种隐含关系求正多边形的边数比直接利用内角和求边数要简单. （4）添加：根据多边形外角和是可推得多边形的外角中最多有三个钝角，与之对应，多边形的内角中最多有三个锐角. 【常考题型】 1.如图,,都是的中线,连接,已知的面积是,则的面积是( ) A. B. C. D. 2.如图是一款手推车的平面示意图,其中,,,则的大小是( ) A. B. C. D. 3.如果多边形的内角和是2160º,那么这个多边形的边数是______. 4.等腰三角形的两边长分别为7cm,15cm,其周长为______cm. 5.如图是某一水塘边的警示牌,牌面是五边形,其中,,则这个五边形的内角的度数为______°. 6.在中,,H是的垂心,且H不与B、C重合,则的大小等于______. 7.如图,点E、F分别在的两条边上,点P在的内部,连接、,求证：. 第四步：单元核心素养对接中考 【核心素养】 （1）几何直观与空间观念：通过观察三角形的形状、结构，以及三角形在不同位置和条件下的变化，如三角形的高、中线、角平分线的位置关系等，培养学生的几何直观和空间观念. （2）逻辑推理：在探究三角形的内角和定理、外角性质，以及多边形内角和公式的过程中，需要学生进行推理和证明，培养逻辑推理能力. （3）模型思想与应用意识：运用三角形的知识解决实际生活中的问题，如建筑结构中的三角形稳定性问题、测量问题等，建立数学模型，提高学生的应用意识和解决实际问题的能力. 【对接中考】 1．[2024年河北中考真题]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的( ) A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 2．[2024年陕西中考真题]如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3．[2024年江苏淮安中考真题]用一根小木棒与两根长度分别为、的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是( ) A. B. C. D. 4．[2024年天津中考真题]如图，中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点P；画射线，与相交于点D，则的大小为( ) A. B. C. D. 5．[2024年湖南长沙中考真题]如图，在中，，，.则的度数为( ) A. B. C. D. 6．[2024年山西中考真题]一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与料面垂直，摩擦力的方向与斜面平行.若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为( ) A. B. C. D. 7．[2024年河北中考真题]直线l与正六边形的边，分别相交于点M，N，如图所示，则( ) A. B. C. D. 8．[2024年青海中考真题]正十边形一个外角的度数是________. 9．[2024年广东东莞中考真题]如图,中,,,则的度数为________ 10．[2024年山东威海中考真题]如图，在正六边形中，，，垂足为点I.若，则________. 答案以及解析 【常考题型】 1.答案：D 解析：∵是的中线, ∴, ∵是的中线, ∴为的中线, 即, 故选：D. 2.答案：A 解析：如图的顶点用F表示,的顶点用E表示, ∵, ∴, ∵, ∴, ∵是的外角, ∴. 故选择A. 3.答案：14 解析：设这个多边形的边数是n, 则, 解得：. 则这个多边形的边数是14. 故答案为：14. 4.答案：37 解析：由题意知,应分两种情况： ①当腰长为7cm时,三角形三边长为7,7,15, ∵, ∴不能构成三角形； ②当腰长为15cm时,三角形三边长为7,15,15, 周长, 故答案为37. 5.答案：116 解析：五边形内角和为：, ∴, ∵,, ∴, 故答案为：116. 6.答案：或 解析：①如图1,当锐角三角形时, ,H是的垂心, , , ； ②如图,当钝角三角形时, ,H是的垂心, , , . 故答案为：或. 7.答案：证明见解析 解析：证明：在四边形中,, , ,, , . 【对接中考】 1．答案：B 解析：由作图可得：，线段一定是的高线；故选B. 2．答案：C 解析：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形. 故选：C. 3．答案：B 解析：设第三根木棒长为,由三角形三边关系定理得, 所以x的取值范围是,观察选项,只有选项B符合题意. 故选:B. 4．答案：B 解析：,, , 由作图知，AP平分, , , , 故选:B. 5．答案：C 解析：在中，，， , ， . 故选：C. 6．答案：C 解析：如图，易得，，，. 7．答案：B 解析：正六边形每个内角为：，而六边形的内角和也为，， ，， ，故选：B. 8．答案：36° 解析：正十边形一个外角的度数是: , 故答案为36°. 9．答案： 解析：,, , , 故答案为:. 10．答案： 解析：六边形是正六边形, , , , , , , , , 故答案为:. 学科网（北京）股份有限公司 $$