精品解析：重庆一中2024-2025学年九年级上学期周末消化作业数学试卷

重庆一中初2025届24-25学年度上期周末消化作业 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是， 故选：． 2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（） A. 蒸馏烧瓶 B. 烧杯 C. 圆底烧瓶 D. 分液漏斗 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定a、b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案． 【详解】解：A、∵抛物线的开口向上， ∴，故此选项符合题意； B、∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∵， ∴，故此选项不符合题意； C、∵抛物线与x轴的两个交点， ∴，故此选项不符合题意； D、∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 将沿方向平移至，点，，的对应点分别是，，，使得，则与的周长之比为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据平移的性质得到，从而可得到，利用相似三角形周长于相似比可得答案． 【详解】解：将沿方向平移至， ， ， 的周长的周长， ， 的周长的周长， 故选：C． 5. 中国选手郑钦文顺利入围年年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 设一共有x名选手参加组内循环赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意可列方程为：， 故选：D． 6. 估计的值应在（） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴估计的值在9和10之间， 故选：D． 7. 南南用相同的小圆圈按照一定的规律摆成了“中”字，第①个图形中有10个小圆圈，第②个图形中有16个小圆圈，第③个图形中有22个小圆圈，…，按照此规律排列下去，则第⑧个图形中小圆圈的个数是（ ） A. 42 B. 52 C. 46 D. 58 【答案】B 【解析】 【分析】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律，难度不大．仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解． 【详解】第①个图形中一共有个小圆圈， 第②个图形中一共有个小圆圈， 第③个图形中一共有个小圆圈， …， ∴第个图形中一共有个小圆圈， ∴第⑧个图形中小圆圈的个数是， 故选：． 8. 如图，是的直径，、、为的弦，，，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，连接，由圆周角定理得到由勾股定理求出求出，即可得到的值，解题的关键是由圆周角定理得到掌握锐角的正弦定义． 【详解】解：如图，连接， ∵是圆的直径， ， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，是对角线的中点，为正方形内的一点，连接，，使得，延长与的角平分线交于点．若，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先证明∴，得到，从而得，继而，然后利用直角 三角形的性质，得出，从而有，然后由三角形外角的性质可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形 ∴，， ∵ ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是对角线的中点， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 10. 给定三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差（相同的两个代数式只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的操作称为“绝佳操作”．例如：对于，，作“绝佳操作”，得到．下列说法： ①对2，，5作“绝佳操作”的结果是18； ②对，，作“绝佳操作”的结果一共有8种； ③对，，作“绝佳操作”的结果为28，则的值为或； 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义和绝对值化简，解一元二次方程，理解万岁新定义是解题的关键，注意分类讨论． 利用绝对值的性质进行逐个计算判断即可． 【详解】解：① ，故①正确； ②当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则 当时，则 当时，则 ∴对，，作“绝佳操作”的结果一共有6种，故②错误； ③当时，则， 化简得：，解得：或（舍去）； 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）或； 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）； 当时，则， 化简得：， ∵ ∴无解； 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）， 当时，则， 化简得：，解得：（舍去）， 综上，的值为或，故③错误； ∴只有①正确，共1个， 故选：B． 二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查实数混合运算，零指数幂，负整理指数幂，原式利用零指数幂，负整数指数幂运算法则计算即可求出值，解题的关键是掌握分负整数指数幂、零指数幂的规定． 【详解】解： ． 故答案为： 12. 正八边形的一个外角的度数是_____． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟记任何一个多边形的外角和都是是解题的关键．利用多边形的外角和等于即可得出答案． 【详解】解：任何一个多边形的外角和都是， 正八边形的每个外角的度数是：． 故答案为：． 13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：用、、、分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊， 画树状图如图， 共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：． 14. 若二次函数过点，则代数式________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的性质．掌握“点在抛物线上，则点的坐标满足函数解析式”是解本题的关键． 由于抛物线经过点，则，把整理后整体代入即可． 【详解】∵二次函数过点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 15. 如图，已知半径为4的扇形AOB的圆心角为120°，C、D分别为半径OB、OA的中点，M为AB上一点，连接MC、MD，满足MC=MD，则图中阴影部分的面积为______（结果保留π）． 【答案】## 【解析】 【分析】利用SSS证明△OMC≌△OMD，求得∠COM=∠DOM=60°，证得∠OCM=∠ODM=90°，再求得OD、DM的长，根据即可求解． 【详解】解：∵C、D分别为半径OB、OA的中点， ∴OC=OD=OB， ∵MC=MD，MO=MO， ∴△OMC≌△OMD(SSS)， ∴∠COM=∠DOM=∠AOB=60°， 连接MA，则△OMA为等边三角形， 又∵D为半径OA的中点， ∴MD⊥OA， ∵半径为4， ∴OD=2，MD=2， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键． 16. 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，掌握相应的计算方法是关键． 先解不等式组，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有非负整数解，确定出的值，即可解答． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：； ， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为非负整数，且 ∴且的偶数， 又∵ ∴，0 ∴符合条件的整数的值之和为． 故答案为：2． 17. 如图，在中，，以为直径的交于点，点是的中点，连接、，交于点，，，则_______，的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，根据直径性质平角性质，得，根据直角三角形斜边中线性质得，根据，，得，证明，得，得，根据三角形中位线性质得，，得，得． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴, ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵O是中点， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆与相似三角形综合．熟练掌握圆周角定理推论，直角三角形斜边中线性质，勾股定理，三角形中位线性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键． 18. 一个四位数各数位上的数字均不为，若将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数，则称为的“翻折数”，规定．例如：的“翻折数”为，，则________；若（，为整数，，），的“翻折数”能被整除，则的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程的解，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键．据代入求解即可；首先表示出和的“翻折数”，然后求出的取值范围，进而分类讨论求得，的值，然后代入求解即可． 【详解】根据题意可得， ； ∵（，为整数，）， ∴的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴的“翻折数”为 ， ∵，， ∴， ∵的“翻折数”能被整除， ∴能被整除， ∵，都是整数， ∴是整数， ∴，，，，，，， ∴当时，，无整数解， 当时，（舍去）或， 当时，，无整数解， 当时，，无整数解， 当时，（舍去）或， 当时，，无整数解， 当时，，无整数解， ∴当时，， 当时，， ∴的最大值为 故答案为：，． 三、解答知：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算和分式的混合运算．解题的关键是掌握整式和分式混合运算顺序和运算法则． （1）利用完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴ ① ，在与中， ∴．∴ ② ．又∵，∴， ∴，又∵，∴，∴ ③ ．又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，智慧小组发现任取，的上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是 ④ ． 【答案】（1） 如图所示，点Q，点P为所求， （2）；；；进一步思考：四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可； （2）先证明，得到．从而证得，即可得到．又由正方形的性质得，即可得出结论； 进一步思考：证明，得到，再证明，又由正方形的性质得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，，． 又∵，分别为，的中点， ∴，， ∴， 在与中， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考：如图， ∵四边形是正方形， ∴，，． 在与中， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图—作垂线，平行四边形的判定．熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键． 21. 如图，是的直径，点C在上，平分交于点D，过点D作垂直，交的延长线于点E． （1）求证：直线为的切线； （2）连接，若的半径为5，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接交于H， ， ， 平分交于点， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可证，进而得证； （2）由垂径定理可得， ，由中位线的性质可得，由勾股定理可求，则，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于H，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，中位线的性质，解题的关键是综合运用以上知识求解，有交点，连半径，证垂直即可证明切线． 22. 重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕． （1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分别为多少元？ （2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了元，“开心果半角”单价降低了元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求的值． 【答案】（1）“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元 （2）2 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键． （1）设“流沙羊角”的单价为x元，“开心果羊角”的单价为y元，根据购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，列出方程组，求解即可． （2）根据销量等于销售额除以销售单价，以“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设“流沙羊角”的单价为x元，“开心果羊角”的单价为y元，根据题意，得 ， 解得：， 答：“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元． 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴的值为2． 23. 如图1．在菱形中，，，动点从点出发，沿着的路线运动，到达点停止，过点作交菱形的另一边于点．设动点行驶的路程为，点、的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）函数与函数只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 画出函数图象如下： 当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减小；的最大值为； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质． （1）分两种情况：当时，当时，分别用相似三角形的性质求解即可； （2）先画出函数图象，再由函数图象即可得解 （3）求出当直线经过，，时的的值，结合图象即可得解． 【小问1详解】 解：当时，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时，如图，，， ， 同理可得：， ∴， ∴； 综上所述， 【小问2详解】 解：当时，；当时，；当时，， 观察图象可得，当时，随着增大而增大；当时，随着增大而减小；的最大值为； 【小问3详解】 解：如图： ， 当直线经过时，， 解得：； 当直线经过时，， 解得：； 当直线经过时，， 解得：； 观察图象可得，函数与函数只有一个交点，或， ∴的取值范围为或． 24. 如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，） （1）求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）； （2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？ 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的 知识求解是解题的关键． （1）过点P作于A，于B，先解，求得，再证明，从而得出，然后解，即可求解． （2）求出派送员所需总时间，再与比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点P作于A，于B，如图， 根据题意，得，，，， 在中，∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 答：驿站，驿站之间的距离约为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴派送员能在内到达驿站． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，两点，且点A在轴上，直线与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是直线上方抛物线上一点，过作轴交直线于点，求的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为4， （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先由一次函数解析式求出点，再把代入，求出a值即可； （2）延长交y轴于D，证明，得，即，求得，再设，则，则，，所以，利用二次函数最值即可求解． （3）根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为，再分两种情况：当点M在直线上方时，当点M在直线下方时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：对于直线， 令，则，解得：， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴抛物线的表达式． 【小问2详解】 解：延长交y轴于D， 对于直线， 令，则， ∴， ∵ ∴ ∵轴，即， ∴ ∴，即， ∴， 设，则， ∴， ∴ ∵ ∴当时， 的最大值为4； ∴． 【小问3详解】 解：联立，， 解得：，， ∴， 由（2）知，在的最大值的条件下，抛物线的顶点为点，对称为直线， 当时，则， ∴， 则，， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上， ∴点Q平移后与点A重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位， ∴抛物线顶点平移后到点，点平移后到点，即与重合， ∴，抛物线平移后的解析式为， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点M在直线上方时， ∵， ∴， ∴点M与点重合， ∴， 当点M在直线下方时，设， 过点作，交于，交轴于，则，， 则， ∴，则， ∵， ∴， ∴，则， ∴，整理得：， 即：，解得：（舍去）， 此时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要去向不明了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线的平移，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键． 26. 在中，，为线段上一点，连接． （1）如图1，若，，过作于，交于，，求线段的长； （2）如图2，过点作交延长线于点，以为斜边在的右侧作等腰直角三角形，过点作，交的延长线于点，．猜想线段，，的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，过作于，作的角平分线交于，取的中点，连接．点为直线上的动点，连接，将沿着所在直线翻折至所在平面得到，连接，取中点，连接．将绕着点顺时针旋转至直线上方处，使得．当取得最小值时，连接，，，当以为腰的等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得，，得，根据线段垂直平分线性质，得，得，即得； （2）过点C作于I，得，根据等腰直角中，，，得点G、C、F、B在以BC为直径的圆上，得，结合，得，得， 得，证明，得，根据，，即得； （3）证明当与C重合时，点P与点N重合，取得最小值，当时，设中点为T，连接，由对称性知，点R在的平分线上，得，由，得，根据，得是等边三角形，得，，得；②延长交于L，过B作，交延长线于S，连接，则，，得，得B在过C、D、S三点的圆上，得，得是等边三角形，当D与点B重合时，T与Q重合，点R在上，根据，，得,得，得，设的边长为2，则，，根据，N是中点，得，得，即得 【小问1详解】 解：，。 ． ． ， ． ． 又， ． ． ． ． ． 【小问2详解】 解：过点C作于I， ∵， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． ∴点G、C、F、B在以为直径的圆上． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等边三角形． ∵， ∴． ∵N是中点， ∴． 由折叠知， ∵P是的中点， ∴当与C重合时，点P与点N重合，取得最小值，是． ①当时，设中点为T，连接． ∵平分，点P在上， ∴由对称性知，点R在的平分线上． ∴垂直平分． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ②过B作，交延长线于S，连接， 则． ∴． ∴B在过C、D、S三点的圆上． ∴． ∴． ∴是等边三角形． 当D与点B重合时，T与Q重合，点R在上， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 即． 延长交于L， 则， ∴． ∴． 设的边长为2， 则． ∴． ∵，N是中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 故的值为：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形综合．熟练掌握等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，等边三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形，圆周角定理，锐角三角函数定义，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2025届24-25学年度上期周末消化作业 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（） A. 蒸馏烧瓶 B. 烧杯 C. 圆底烧瓶 D. 分液漏斗 3. 二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将沿方向平移至，点，，的对应点分别是，，，使得，则与的周长之比为（    ） A. B. C. D. 5. 中国选手郑钦文顺利入围年年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 7. 南南用相同的小圆圈按照一定的规律摆成了“中”字，第①个图形中有10个小圆圈，第②个图形中有16个小圆圈，第③个图形中有22个小圆圈，…，按照此规律排列下去，则第⑧个图形中小圆圈的个数是（ ） A. 42 B. 52 C. 46 D. 58 8. 如图，是的直径，、、为的弦，，，则（） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，是对角线的中点，为正方形内的一点，连接，，使得，延长与的角平分线交于点．若，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 给定三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差（相同的两个代数式只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的操作称为“绝佳操作”．例如：对于，，作“绝佳操作”，得到．下列说法： ①对2，，5作“绝佳操作”的结果是18； ②对，，作“绝佳操作”的结果一共有8种； ③对，，作“绝佳操作”的结果为28，则的值为或； 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：_________． 12. 正八边形的一个外角的度数是_____． 13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________． 14. 若二次函数过点，则代数式________． 15. 如图，已知半径为4的扇形AOB的圆心角为120°，C、D分别为半径OB、OA的中点，M为AB上一点，连接MC、MD，满足MC=MD，则图中阴影部分的面积为______（结果保留π）． 16. 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为________． 17. 如图，在中，，以为直径的交于点，点是的中点，连接、，交于点，，，则_______，的值是________． 18. 一个四位数各数位上的数字均不为，若将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数，则称为的“翻折数”，规定．例如：的“翻折数”为，，则________；若（，为整数，，），的“翻折数”能被整除，则的最大值为________． 三、解答知：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简： （1） （2） 20. 在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形，分别取，的中点，，连接，交于点，过作的垂线，交于点，交于点．则四边形是平行四边形． （1）用尺规完成以下基本作图：过作的垂线，交于点，交于点（只保留作图痕迹）． （2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程． 证明：∵四边形是正方形，∴，，．又∵，分别为，的中点，∴，，∴ ① ，在与中， ∴．∴ ② ．又∵，∴， ∴，又∵，∴，∴ ③ ．又∵ ∴四边形是平行四边形． 进一步思考，智慧小组发现任取，的上点，（不与，重合），，连接，，过作的垂线，交于点，则四边形是 ④ ． 21. 如图，是的直径，点C在上，平分交于点D，过点D作垂直，交的延长线于点E． （1）求证：直线为的切线； （2）连接，若的半径为5，，求线段的长． 22. 重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕． （1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分别为多少元？ （2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了元，“开心果半角”单价降低了元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求的值． 23. 如图1．在菱形中，，，动点从点出发，沿着的路线运动，到达点停止，过点作交菱形的另一边于点．设动点行驶的路程为，点、的距离为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）函数与函数只有一个交点，请直接写出的取值范围． 24. 如图，为沙坪坝区物流中心，，，为三个菜鸟驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．（，，，，，） （1）求驿站，驿站之间的距离（结果精确到）； （2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心出发，以的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途径，两个驿站各停留存放快递，请计算说明派送员能否在内到达驿站？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，两点，且点A在轴上，直线与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）是直线上方抛物线上一点，过作轴交直线于点，求的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的最大值的条件下，连接，将抛物线沿射线方向平移，使得点在新抛物线的对称轴上，是新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 在中，，为线段上一点，连接． （1）如图1，若，，过作于，交于，，求线段的长； （2）如图2，过点作交延长线于点，以为斜边在的右侧作等腰直角三角形，过点作，交的延长线于点，．猜想线段，，的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，，过作于，作的角平分线交于，取的中点，连接．点为直线上的动点，连接，将沿着所在直线翻折至所在平面得到，连接，取中点，连接．将绕着点顺时针旋转至直线上方处，使得．当取得最小值时，连接，，，当以为腰的等腰三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $