专题07四种旋转类压轴题专项复习（4题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题07 四种旋转类压轴题专项复习（4题型） 三角板旋转类压轴题 1．（2023秋•宁波期末）如图，将一副三角尺60°角和90°角的顶点A叠放在一起，将三角板ADE绕点A旋转，在旋转过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部，则∠BAE﹣∠CAD的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 2．（2023秋•仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形ABC和直角三角形ADE，∠BAC＝45°，∠DAE＝30°）按如图1摆放，点E、A、B在同一条直线上，AM、AN分别平分∠BAE和∠CAD． （1）求∠DAC的度数； （2）求∠MAN的度数； （3）将三角尺ADE绕点A按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说明理由． 旋转一个角类压轴题 1．（2023秋•双峰县期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度数． （2）如图①，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）． （3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由． 2．（2023秋•西湖区期末）数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中∠CPD＝90°，∠APB＝45°，作PM平分∠APC，PN平分∠BPD． ①当∠APC分别为20°和30°时，求∠MPN的度数； ②当∠APB在∠CPD内转动时，∠MPN的度数是否保持不变，请说明理由． （2）如图2，∠APB在∠CPD内，设∠CPD＝α，∠APB＝β，（0°＜β＜α＜180°），作PM平分∠APC，PN平分∠BPD，请用含α，β的代数式表示∠MPN． 新定义类旋转压轴题 1．（2023秋•诸暨市期末）定义：同一平面内有若干条以点O为端点，且不共线的射线，求出任意两射线间小于180°的角度，并把所有这些角的度数和记为T．例如：如图1，同一平面内有三条射线OA，OB，OC，∠AOB＝60°，OC是∠AOB内任意一条射线，则T＝∠AOB+∠AOC+∠COB＝60°+（∠AOC+∠COB）＝60°+60°＝120°． （1）如图2，射线OA，OC，OD，OB在同一平面内绕点O顺时针排列，其中∠AOB＝60°，∠AOC＝x°（0＜x＜40），∠COD＝20°，求T的值． （2）如图3，射线OA，OC，OD，OE，OB在同一平面内绕点O顺时针排列，其中OC是∠AOB（小于180°）的角平分线，OE平分∠DOB，且∠COE＝30°，T＝440°，求∠AOB的度数． （3）射线OA，OB，OC，OD在同一平面内，其中∠AOB＝90°，∠COD比∠AOC大30°，T＝620°，直接写出∠AOC的度数（写出三个即可）． 2．（2023秋•柯桥区期末）如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，若其中有一个角的角度是另一个角的两倍，则称射线OC为∠AOB的“倍分线”． （1）若射线OC是∠AOB的角平分线，则射线OC 　 　（填“是”或“不是”）∠AOB的“倍分线”； （2）如图②，若∠AOB＝90°，射线OC为∠AOB的“倍分线”，求∠AOC； （3）若∠AOB＝90°，射线OM从射线OB的位置开始，绕点O逆时针以每秒9°的速度向射线OA运动，当射线OM到达射线OA时停止运动，运动的时间为t秒，同时射线ON从射线OA的位置开始以每秒6°的速度向射线OB运动，如图③所示，并与射线OM同时停止，则当经过多少秒时，射线OM是∠BON的“倍分线”． 旋转一条射线类压轴题 1．（2023秋•宁波期末）如图，O是直线AB上一点，射线OC绕点O顺时针旋转，从OA出发，每秒旋转10°，射线OD绕点O逆时针旋转，以相同的速度从OB出发，射线OC与OD同时旋转，设旋转的时间为t秒，当OC旋转到与OD重合时，OC、OD都停止运动． （1）猜想：∠AOC+∠AOD＝　 　°，并说明理由； （2）已知射线OE始终平分∠BOD，射线OF在∠COD内，且满足∠BOD与∠EOF互余． ①当t＝3秒时，∠EOF＝　 　°； ②在运动过程中，试探究∠BOF与∠COF之间有怎样的数量关系，并说明理由． 2．（2023秋•江北区期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转． （1）试说明：∠DPC＝90°； （2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF． （3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 1．（2023秋•余姚市期末）将一副三角板如图放置，已知∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠DAE＝30°．现将三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转，三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转． （1）求图中起始位置时∠CAE的度数． （2）若两块三角板以相同速度旋转，当AC与AE第一次在一条直线上时，求AC转过的角度． 2．（2022秋•玉环市期末）如图1，点O是直线MN上一点，三角板（其中∠AOB＝30°）的边AO与射线OM重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边OB与ON重合；同时射线OC与ON重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至OM，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）若m＝3，n＝2，t＝10秒时，∠BOC＝　 　°； （2）若m＝3，n＝2，当OA在OC的左侧且平分∠MOC时，求t的值； （3）如图2，在运动过程中，射线OP始终平分∠AOC． ①若m＝3，n＝2，当射线OA，OB，OP中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出t＝　 　秒； ②当OA在OC的左侧，且∠COP与始终互余，求m与n之间的数量关系． 3．（2023秋•海曙区期末）如图1，在直线AB上取一点O，向上作一条射线OC，使∠BOC＝n°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OB上，另一边OE在直线AB的上方．如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针转动，当OD与OA第一次重合时停止． （1）如图2，n＝54时，若∠COD和∠AOE互余，且满足OD始终在∠BOC内部，求此时∠COE的度数； （2）如图2，当OD始终在∠BOC内部时，猜想∠COD与∠AOE有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由； （3）如图2，当n＝54时，若直角三角板DOE绕点O以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，OD与OA第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 　 　秒．（直接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 四种旋转类压轴题专项复习（4题型） 三角板旋转类压轴题 1．（2023秋•宁波期末）如图，将一副三角尺60°角和90°角的顶点A叠放在一起，将三角板ADE绕点A旋转，在旋转过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部，则∠BAE﹣∠CAD的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 【分析】根据∠BAE和∠CAD都与∠BAD组成一个角，将组成的两个角相减即可得到答案． 【解答】解：∵∠BAE+∠BAD＝90° ∠CAD+∠BAD＝60°， ∴∠BAE+∠BAD﹣（∠CAD+∠BAD）＝90°﹣60°， 即∠BAE﹣∠CAD＝30°， 故选：A． 2．（2023秋•仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形ABC和直角三角形ADE，∠BAC＝45°，∠DAE＝30°）按如图1摆放，点E、A、B在同一条直线上，AM、AN分别平分∠BAE和∠CAD． （1）求∠DAC的度数； （2）求∠MAN的度数； （3）将三角尺ADE绕点A按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说明理由． 【分析】（1）根据题意，数形结合，利用平角定义求解即可得到答案； （2）根据题意，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案； （3）根据题意，设∠NAD＝x°，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案． 【解答】解：（1）∵E、A、B在同一条直线上， ∴∠BAE＝180°， ∵∠BAC＝45°，∠DAE＝30°， ∴∠DAC＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝105°； （2）∵∠BAE＝180°，AM平分∠BAE， ∴， 由（1）知∠DAC＝105°， ∵AN平分∠CAD， ∴， ∴∠MAN＝∠MAE﹣∠DAE﹣∠NAD＝90°﹣30°﹣52.5°＝7.5°； （3）∠MAN的度数在转动过程中不会变化， 设∠NAD＝x°， ∵AN平分∠CAD，则∠CAD＝2x°，∠BAE＝∠EAD+∠DAC+∠CAB＝30°+2x°+45°＝（75+2x）°， ∵AM平分∠BAE， ∴， ∴∠MAN＝∠MAE﹣∠DAE﹣∠NAD＝（37.5+x）°﹣30°﹣x°＝7.5°． 旋转一个角类压轴题 1．（2023秋•双峰县期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度数． （2）如图①，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）． （3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由∠AOC＝30°，∠COD是直角，可知∠BOC＝150°，∠BOD＝60°，因为OE平分∠BOC，所以∠COE∠BOC＝75°； （2）因为∠AOC＝α，∠COD是直角，所以∠BOC＝180°﹣α，∠COD＝90°，所以∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝90°﹣α，因为OE平分∠BOC，所以∠BOE∠BOC＝90°；所以∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°（90°﹣α）． （3）设∠AOC＝α，因为∠COD是直角，所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∠COD＝90°，因为OE平分∠BOC，所以∠COE∠BOC＝90°；所以∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°）． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝30°，∠COD是直角， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，∠COD＝90°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC＝75°； （2）∵∠AOC＝α，∠COD是直角， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∠COD＝90°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝90°﹣α， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE∠BOC＝90°； ∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°（90°﹣α）． （3）∠DOE∠AOC．理由如下： 设∠AOC＝α， ∵∠COD是直角， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∠COD＝90°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE∠BOC＝90°； ∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°）． 即∠DOE∠AOC． 2．（2023秋•西湖区期末）数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． （1）将两块三角板如图1方式摆放，其中∠CPD＝90°，∠APB＝45°，作PM平分∠APC，PN平分∠BPD． ①当∠APC分别为20°和30°时，求∠MPN的度数； ②当∠APB在∠CPD内转动时，∠MPN的度数是否保持不变，请说明理由． （2）如图2，∠APB在∠CPD内，设∠CPD＝α，∠APB＝β，（0°＜β＜α＜180°），作PM平分∠APC，PN平分∠BPD，请用含α，β的代数式表示∠MPN． 【分析】（1）①先求出∠APC+∠BPD＝90°﹣45°＝45°，根据角平分线定义得出∠APM∠APC，∠BPN∠BPD，再分别根据∠APC＝20°时，∠APC＝30°时，求出结果即可； ②先求出∠APC+∠BPD＝90°﹣45°＝45°，根据角平分线定义得出∠APM∠APC，∠BPN∠BPD，求出∠APM+∠BPN∠APC∠BPN45°＝22.5°，即可得出答案； （2）根据∠CPD＝α，∠APB＝β，得出∠APC+∠BPD＝α﹣β，根据角平分线定义得出∠APM∠APC，∠BPN∠BPD，求出∠APM+∠BPN（α﹣β）得出∠MPN＝∠APB+（∠APM+∠BPN）＝β（α﹣β）αβ． 【解答】解：（1）①∵∠CPD＝90°，∠APB＝45°， ∴∠APC+∠BPD＝90°﹣45°＝45°， ∵PM平分∠APC，PN平分∠BPD， ∴∠APM∠APC，∠BPN∠BPD， 当∠APC＝20°时，∠BPD＝45°﹣20°＝25°， 则∠APM∠APC＝10°，∠BPN∠BPD＝12.5°， ∴∠MPN＝∠APB+（∠APM+∠BPN）＝45°+（10°+12.5°）＝67.5°； 当∠APC＝30°时，∠BPD＝45°﹣30°＝15°， 则∠APM∠APC＝15°，∠BPN∠BPD＝7.5°， ∴∠MPN＝∠APB+（∠APM+∠BPN）＝45°+（15°+7.5°）＝67.5°； ②当∠APB在∠CPD内转动时，∠MPN的度数保持不变；理由如下： ∵∠CPD＝90°，∠APB＝45°， ∴∠APC+∠BPD＝90°﹣45°＝45°， ∵PM平分∠APC，PN平分∠BPD， ∴∠APM∠APC，∠BPN∠BPD， ∴∠APM+∠BPN∠APC∠BPN45°＝22.5°， ∴∠MPN＝∠APB+（∠APM+∠BPN）＝45°+22.5°＝67.5°； （2）当∠APB在∠CPD内转动时，∠CPD＝α，∠APB＝β， ∴∠APC+∠BPD＝α﹣β， ∵PM平分∠APC，PN平分∠BPD， ∴∠APM∠APC，∠BPN∠BPD， ∴∠APM+∠BPN（α﹣β）， ∴∠MPN＝∠APB+（∠APM+∠BPN）＝β（α﹣β）αβ． 新定义类旋转压轴题 1．（2023秋•诸暨市期末）定义：同一平面内有若干条以点O为端点，且不共线的射线，求出任意两射线间小于180°的角度，并把所有这些角的度数和记为T．例如：如图1，同一平面内有三条射线OA，OB，OC，∠AOB＝60°，OC是∠AOB内任意一条射线，则T＝∠AOB+∠AOC+∠COB＝60°+（∠AOC+∠COB）＝60°+60°＝120°． （1）如图2，射线OA，OC，OD，OB在同一平面内绕点O顺时针排列，其中∠AOB＝60°，∠AOC＝x°（0＜x＜40），∠COD＝20°，求T的值． （2）如图3，射线OA，OC，OD，OE，OB在同一平面内绕点O顺时针排列，其中OC是∠AOB（小于180°）的角平分线，OE平分∠DOB，且∠COE＝30°，T＝440°，求∠AOB的度数． （3）射线OA，OB，OC，OD在同一平面内，其中∠AOB＝90°，∠COD比∠AOC大30°，T＝620°，直接写出∠AOC的度数（写出三个即可）． 【分析】（1）图2中有6个角，T＝∠AOC+∠AOD+∠AOB+∠COD+∠COB+∠DOB，整理化简求解即可； （2）图3中有10个角，T＝∠AOC+∠AOD+∠AOE+∠AOB+∠COD+∠COE+∠COB+∠DOE+∠DOB+∠EOB，整理化简求解即可； （3）射线OA，OB，OC，OD可构成6个角，T＝∠AOC+∠AOD+∠AOB+∠COD+∠COB+∠DOB，整理化简求解即可； 【解答】解：（1）图2中有6个角，T＝∠AOC+∠AOD+∠AOB+∠COD+∠COB+∠DOB＝x°+（x°+20°）+60°+20°+（60°﹣x°）+（40°﹣x°）， 整理化简，得T＝200°； （2）图3中有10个角，T＝∠AOC+∠AOD+∠AOE+∠AOB+∠COD+∠COE+∠COB+∠DOE+∠DOB+∠EOB， 因为OC是∠AOB的角平分线，OE平分∠DOB， 可设∠AOC＝∠COB＝α，∠DOE＝∠EOB＝β，则∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝30°﹣β，α＝∠COE+∠EOB＝30°+β； T＝α+（α+30°﹣β）+（α+30°）+（α+30°+β）+（30°﹣β）+30°+（30°+β）+β+2β+β， 整理化简，得T＝4α+4β+180°＝8α+60°＝440°， 则∠AOB＝2α＝95°； （3）T＝∠AOC+∠AOD+∠AOB+∠COD+∠COB+∠DOB， 根据∠COD比∠AOC大30°，可令∠AOD＝30°，考虑两种情况，分别如图4、图5所示， 如图4，T＝∠AOC+30°+90°+（∠AOC+30°）+（∠AOC﹣90°）+120°＝620°，解得∠AOC； 如图5，T＝∠AOC+30°+90°+（∠AOC+30°）+（360°﹣∠AOC﹣90°）+60°＝620°，解得∠AOC＝140°； 考虑第三种情况，如图6所示，∠COD＝∠AOC+30°， T＝∠AOC+（∠AOC+∠AOC+30°）+90°+（∠AOC+30°）+（∠AOC+90°）+（360°﹣90°﹣∠AOD）＝620°，解得∠AOC； 综上，∠AOC的度数可能是或140°或． 2．（2023秋•柯桥区期末）如图①，射线OC在∠AOB内部，图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，若其中有一个角的角度是另一个角的两倍，则称射线OC为∠AOB的“倍分线”． （1）若射线OC是∠AOB的角平分线，则射线OC 　是　（填“是”或“不是”）∠AOB的“倍分线”； （2）如图②，若∠AOB＝90°，射线OC为∠AOB的“倍分线”，求∠AOC； （3）若∠AOB＝90°，射线OM从射线OB的位置开始，绕点O逆时针以每秒9°的速度向射线OA运动，当射线OM到达射线OA时停止运动，运动的时间为t秒，同时射线ON从射线OA的位置开始以每秒6°的速度向射线OB运动，如图③所示，并与射线OM同时停止，则当经过多少秒时，射线OM是∠BON的“倍分线”． 【分析】（1）根据“倍分线”的定义分析即可； （2）分三种情况讨论：当∠AOB＝2∠AOC时；当∠BOC＝2∠AOC时；∠AOC＝2∠BOC时，利用“倍分线”的定义分别求解即可； （3）由题意可知，∠BOM＝9°t，∠AON＝6°t，∠BON＝90°﹣6°t，分三种情况讨论：当∠MON＝2∠BOM时；当∠BON＝2∠BOM时；当∠BOM＝2∠MON时，利用“倍分线”的定义分别求解即可． 【解答】解：（1）∵射线OC是∠AOB的角平分线， ∴∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∴射线OC为∠AOB的“倍分线”， 故答案为：是； （2）①如图1，当∠AOB＝2∠AOC时，； ②如图2，当∠BOC＝2∠AOC时， ∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝3∠AOC＝90°， ∴∠AOC＝30°； ③如图3，∠AOC＝2∠BOC时， ∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝3∠BOC＝90°， ∴∠BOC＝30°， ∴∠AOC＝60°， 综上可知，∠AOC的度数为45°或30°或60°； （3）由题意可知，∠BOM＝9°t，∠AON＝6°t，∠BON＝90°﹣6°t， ①当∠MON＝2∠BOM时，此时∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝90°﹣6°t﹣9°t＝90°﹣15°t， 则90°﹣15°t＝2×9°t， 解得：； ②当∠BON＝2∠BOM时， 则90°﹣6°t＝2×9°t， 解得：， ③当∠BOM＝2∠MON时，此时∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝90°﹣6°t﹣9°t＝90°﹣15°t， 则9°t＝2（90°﹣15°t）， 解得：； 综上可知，当经过或或秒时，射线OM是∠BON的“倍分线”． 旋转一条射线类压轴题 1．（2023秋•宁波期末）如图，O是直线AB上一点，射线OC绕点O顺时针旋转，从OA出发，每秒旋转10°，射线OD绕点O逆时针旋转，以相同的速度从OB出发，射线OC与OD同时旋转，设旋转的时间为t秒，当OC旋转到与OD重合时，OC、OD都停止运动． （1）猜想：∠AOC+∠AOD＝　180　°，并说明理由； （2）已知射线OE始终平分∠BOD，射线OF在∠COD内，且满足∠BOD与∠EOF互余． ①当t＝3秒时，∠EOF＝　60　°； ②在运动过程中，试探究∠BOF与∠COF之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由已知条件可以知道∠AOC＝∠BOD，再根据补角的性质即可得出答案； （2）①当t＝3秒时，可求出∠BOD＝30°，又根据∠BOD与∠EOF互余，得出∠EOF的度数； ②根据题意，设∠AOC＝∠BOD＝10t°，然后根据角平分线的定义和余角的性质可知∠BOE＝∠EOD＝5t°， ∠DOF＝90°﹣15t°，再根据角的和差得出∠BOF＝∠COF． 【解答】解：（1）∠AOC+∠AOD＝180°，理由如下： 由题意可知：∠AOC＝∠BOD， ∵∠BOD+∠AOD＝180°， ∴∠AOC+AOD＝∠BOD+∠AOD＝180°． 故答案为：180． （2）①当t＝3秒时，∠BOD＝30°， ∵∠BOD与∠EOF互余， ∴∠EOF＝90°﹣∠BOD＝60°． 故答案为：60． ②∠BOF＝∠COF，理由如下： 设∠AOC＝∠BOD＝10t°， ∵射线OE始终平分∠BOD， ∴∠BOE＝∠EOD∠BOD＝5t°， ∵∠BOD+∠EOF＝90°， ∴∠BOD+∠EOD+∠DOF＝90°， ∴10t°+5t°+∠DOF＝90°， ∴∠DOF＝90°﹣15t°， ∴∠BOF＝∠BOD+∠DOF＝10t°+90°﹣15t°＝90°﹣5t°， ∴∠COF＝180°﹣∠AOC﹣∠FOD﹣∠DOB＝180﹣10t°﹣（90°﹣15t°）﹣10t°＝90°﹣5t°， ∴∠BOF＝∠COF． 2．（2023秋•江北区期末）如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转． （1）试说明：∠DPC＝90°； （2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF． （3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由． 【分析】（1）利用含有30°、60°的三角板得出∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，进而求出即可； （2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，则∠APF＝∠DPF＝2x+y，进而利用∠CPA＝60°求出即可； （3）首先得出值不变，设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，表示出∠CPD和∠BPN的度数即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°， ∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°； （2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y， 则∠APF＝∠DPF＝2x+y， ∵∠CPA＝60°， ∴y+2x+y＝60°， ∴x+y＝30° ∴∠EPF＝x+y＝30° （3）不变． 设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t， ∴∠BPN＝180﹣2t，∠APN＝3t． ∴∠CPD＝360﹣∠DPB﹣∠BPN﹣∠CPA﹣∠APN＝90﹣t， ∴． 1．（2023秋•余姚市期末）将一副三角板如图放置，已知∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠DAE＝30°．现将三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转，三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转． （1）求图中起始位置时∠CAE的度数． （2）若两块三角板以相同速度旋转，当AC与AE第一次在一条直线上时，求AC转过的角度． 【分析】（1）由图可知∠CAE＝∠CAB+∠DAE可直接得出结论； （2）设AC转过的角度为α，则AE转过的角度也是α，由题意可知，α+α+120°＝360°，解之即可． 【解答】解：（1）由题意可知：图中起始位置时∠CAE＝∠CAB+∠DAE， ∵∠CAB＝90°，∠DAE＝30°， ∴∠CAE＝90°+30°＝120°； （2）设AC转过的角度为α，则AE转过的角度也是α， 由题意可知，α+α+120°＝180°， ∴α＝30°．即AC转过的角度为30°． 2．（2022秋•玉环市期末）如图1，点O是直线MN上一点，三角板（其中∠AOB＝30°）的边AO与射线OM重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边OB与ON重合；同时射线OC与ON重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至OM，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． （1）若m＝3，n＝2，t＝10秒时，∠BOC＝　100　°； （2）若m＝3，n＝2，当OA在OC的左侧且平分∠MOC时，求t的值； （3）如图2，在运动过程中，射线OP始终平分∠AOC． ①若m＝3，n＝2，当射线OA，OB，OP中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出t＝　12或30或48　秒； ②当OA在OC的左侧，且∠COP与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【分析】（1）根据∠MOB+∠BOC+∠NOC＝180°，即可求解； （2）根据平分线的性质得∠AOC＝∠MOA＝3t，再由平角为180°即可求解； （3）①当OB是∠AOP的角平分线，当OP是∠AOB的角平分线时，当OA是∠BOP的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由∠COP与始终互余，得出，进而可求解． 【解答】解：（1）当m＝3，n＝2，t＝10秒时， ∴∠MOB＝m×t+∠AOB＝3×10+30＝60°，∠NOC＝nt＝2×10＝20°， ∵∠MOB+∠BOC+∠NOC＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠MOB﹣∠NOC＝180°﹣60°﹣20°＝100°； 故答案为：100； （2）∵∠NOC＝2t，∠MOA＝3t， 又∵OA在OC的左侧且平分∠MOC， ∴∠AOC＝∠MOA＝3t， ∵∠MOA+∠AOC+∠NOC＝180°， ∴3t+3t+2t＝180°， 解得：， （3）①当OB是∠AOP的角平分线时，如图所示： ∴∠BOP＝∠AOB＝30°， ∴∠AOP＝2×30°＝60°， 又∵OP始终平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOP＝120°， ∵∠MOA+∠AOC+∠NOC＝180°， ∴3t+120°+2t＝180°， t＝12， 当OP是∠AOB的角平分线时，如图所示： ∴∠AOP＝30°÷2＝15°， 又∵OP始终平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOP＝30°，此时射线OC与OB重合， ∵∠MOA+∠AOC+∠NOC＝180°， ∴3t+30°+2t＝180°， 解得：t＝30， 当OA是∠BOP的角平分线时，如图所示： ∴∠AOP＝∠AOB＝30°， 又∵OP始终平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOP＝60°， ∵∠MOC＝∠MOA﹣∠AOC＝3t﹣60°， 又∵∠MOC+∠NOC＝180°， ∴3t﹣60°+2t＝180°， 解得：t＝48， 故答案为：12或30或48； ②当OA在OC的左侧时，如图所示： ∵∠MOA＝mt， 又∵OP始终平分∠AOC， ∴∠AOP＝∠COP， ∵∠COP与始终互余， ∴， ∴， ∴， ∵∠MOA+∠AOC+∠NOC＝180°， ∴， 化简得：． 3．（2023秋•海曙区期末）如图1，在直线AB上取一点O，向上作一条射线OC，使∠BOC＝n°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OB上，另一边OE在直线AB的上方．如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针转动，当OD与OA第一次重合时停止． （1）如图2，n＝54时，若∠COD和∠AOE互余，且满足OD始终在∠BOC内部，求此时∠COE的度数； （2）如图2，当OD始终在∠BOC内部时，猜想∠COD与∠AOE有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由； （3）如图2，当n＝54时，若直角三角板DOE绕点O以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，OD与OA第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 　25.2或54　秒．（直接写出结果） 【分析】（1）因为∠COD和∠AOE互余，∠EOD＝90°，可得∠EOC＝∠AOE，所以∠AOE∠AOC，已知∠COB＝54°，可得∠COE的度数； （2）∠EOC＝∠EOD﹣∠COD，因为∠BOC＝n°，所以∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC，即∠AOE＝180°﹣n°﹣（90°﹣∠COD）＝90°+∠COD﹣n°，可得∠COD与∠AOE的数量关系； （3）分OE在直线AB上方、OE不在直线AB上方两种情况讨论． 【解答】解：（1）∵∠COD和∠AOE互余， ∴∠COD+∠AOE＝90°， ∵∠EOD＝90°， ∴∠COD+∠EOC＝90°， ∴∠EOC＝∠AOE， ∴∠AOE∠AOC， ∵∠COB＝54°， ∴∠AOC＝126°， ∴∠COE＝63°； （2）∵∠EOD＝90°， ∴∠EOC＝90°﹣∠COD， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝180°﹣n°， ∴∠AOE＝180°﹣n°﹣（90°﹣∠COD）＝90°+∠COD﹣n°， ∴∠AOE﹣∠COD＝90°﹣n°； （3）设旋转的时间为t秒， ①OE在直线AB上方时， ∠BOC＝54°，∠BOD＝3t°， ∴∠COD＝3t°﹣54°， ∠AOE＝180°﹣3t°﹣90°＝90°﹣3t°， ∵， ∴3t°﹣54°（90°﹣3t°）， 解得：t＝25.2， ∠BOC＝54°，∠BOD＝3t°， ∴∠COD＝54°﹣3t°， ∠AOE＝180°﹣3t°﹣90°＝90°﹣3t°， ∵， ∴54°﹣3t°（90°﹣3t°）， 解得：t＝54， ②OE不在直线AB上方时， ∠BOC＝54°，∠BOD＝3t°， ∴∠COD＝3t°﹣54°， ∠AOE＝3t°﹣90°， ∵， ∴3t°﹣54°（3t°﹣90°）， 解得：t＝54， 故答案为：25.2或54． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$