专题09 2023年浙江省各地市七上期末试卷各考点选题40题训练2（中等偏上）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（浙江专用）

专题09 2023年浙江省各地市七上期末试卷各考点选题40题训练2（中等偏上） 选择题答案集合 题号 2 3 6 7 10 16 17 18 33 34 37 答案 C C D B B D C D D A B 题号 38 答案 D 一．绝对值（共1小题） 1．（2023秋•江北区期末）若a、b、c为整数，且|a﹣b|+（c﹣a）2024＝1，则|c﹣a|+2|a﹣b|+3|b﹣c|＝　4或5　． 【分析】利用数的非负性求出a、b、c的关系，再分情况利用绝对值求出答案即可． 【解答】解：∵a、b、c为整数， ∴|a﹣b|与 （c﹣a）2024 为非负整数， ∵|a﹣b|+（c﹣a）2024＝1 ∴|a﹣b|＝0，（c﹣a）2024＝1 或|a﹣b|＝1，（c﹣a）2024＝0 当|a﹣b|＝0，（c﹣a）2004＝1 时，a＝b，c﹣a＝±1， ∴c﹣b＝±1， ∴|c﹣a|+2|a﹣b|+3|b﹣c|＝1+2×0+3×1＝4． 当|a﹣b|＝1，（c﹣a）2m4＝0 时，a＝c，a﹣b＝±1， ∴c﹣b＝±1， |c﹣a|+2|a﹣b|+3|b﹣c|＝0+2×1+3×1＝5． 综上，答案为4或5． 故答案为：4或5． 二．有理数的加法（共1小题） 2．（2023秋•东阳市期末）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．下列选项中错误的是（　　） A．|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离． B．若满足|x﹣2|+|x+3|＝6时，则x的值是﹣3.5或2.5． C．|5+3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． D．A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为﹣2，B点对应的数为4，则A、B两点之间的距离为6． 【分析】A、根据绝对值的几何意义即可判断； B、根据绝对值的几何意义即可判断； C、根据绝对值的几何意义是数轴上表示两点的数的差的绝对值，即可判断； D、根据两点间的距离公式即可判断． 【解答】解：A、|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，故A选项不符合题意； B、当﹣3＜x＜2时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x+x+3＝5≠6（舍）； 当x＞2时，|x﹣2|+|x+3|＝x﹣2+x+3＝6，解得x＝2.5； 当x＜﹣3时，|x﹣2|+|x+3|＝2﹣x﹣x﹣3＝6，解得x＝﹣3.5； 综上所述：若满足|x﹣2|+|x+3|＝6时，则x的值是﹣3.5或2.5，故B选项不符合题意； C、因为|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离是为8，所以此选项说法错误，故C选项符合题意； D、A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为﹣2，B点对应的数为4，则A、B两点之间的距离为4﹣（﹣2）＝6，故D选项不符合题意； 故选：C． 三．有理数的乘方（共1小题） 3．（2023秋•西湖区期末）20245是20244的（　　）倍． A．2 B．4 C．2024 D．20242 【分析】根据题意列出式子20245÷20244，然后计算即可． 【解答】解：20245÷20244＝2024， 故选：C． 四．有理数的混合运算（共1小题） 4．（2023秋•鄞州区期末）（1）（）×（﹣36）； （2）﹣12024[1﹣（﹣2）3]． 【分析】（1）根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的乘法，最后算加法即可． 【解答】解：（1）原式 ＝﹣12+9+（﹣6） ＝﹣9； （2） ． 五．算术平方根（共1小题） 5．（2023秋•拱墅区期末）若a，a都是有理数，则a＝　　． 【分析】根据a，a都是有理数即可得出a的值． 【解答】解：若a是有理数，则， 若a是有理数，则a为的倍数， 所以若a，a都是有理数，则a， 故答案为：． 六．实数（共1小题） 6．（2023秋•滨江区期末）若实数a，b满足，则（　　） A．a，b都是有理数 B．a﹣b的结果必定为无理数 C．a，b都是无理数 D．a﹣b的结果可能为有理数 【分析】根据实数的运算法则，逐项进行判断分析即可． 【解答】解：A、当a＝2时，b＝12＝﹣1，a是有理数，b是无理数，故A错误； B、当a＝b，那么a﹣b＝0，所以B错误， C、当a＝2时，b＝﹣1，a是有理数，故选项C错误； D、当a＝b，那么a﹣b＝0，所以选项正确，D正确． 故选：D． 七．估算无理数的大小（共1小题） 7．（2023秋•滨江区期末）若整数a，b满足，，则a﹣b＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、、的大小，进而确定整数a、b的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵13，23，34，而整数a，b满足，， ∴a＝2，b＝3， ∴a﹣b＝2﹣3＝﹣1． 故选：B． 八．实数的运算（共1小题） 8．（2023秋•鄞州区期末）整数a、b、c满足1000a+10c2＝2024，其中a＞1，|b|＜100，则abc的最大值是 　1024　． 【分析】利用分类讨论的数学思想即可解决问题． 【解答】解：因为a，b，c为整数，且满足1000a+10c2＝2024， 所以为整数． 又因为|b|＜100， 所以b＝±1或±8或±27或±64． 因为a＞1， 所以abc的值要最大，则b，c同号，且绝对值尽可能大． 当b＞0，c＞0时， 则a＝2， 所以10c2＝24， 所以b＝8，c＝2． 此时abc＝2×8×2＝32． 当b＜0，c＜0时， 若b＝﹣1， 则1000a+c2＝2034， 因为c2＞0， 所以a＝2， 则c2＝34， 显然解出的c不是整除， 故不符合题意，舍去． 若b＝﹣8， 则1000a+c2＝2044， 又因为a＝2， 则c2＝44， 显然解出的c不是整数， 故不符合题意，舍去． 若b＝﹣27， 则1000a+c2＝2054， 又因为a＝2， 则c2＝54， 显然解出的c不是整数， 故不符合题意，舍去． 若b＝﹣64， 则1000a+c2＝2064， 由因为a＝2， 则c2＝64， 所以c＝±8， 又因为c＜0， 所以c＝﹣8， 此时abc＝2×（﹣64）×（﹣8）＝1024． 因为1024＞32， 所以abc的最大值为1024． 故答案为：1024． 九．列代数式（共1小题） 9．（2023秋•温州期末）如图1，两个正方形分别由①，②两种规格小长方形纸片拼成，现将它们放入一个长为a，宽为b的大长方形中，如图2，其中阴影部分恰好为正方形，则大长方形中未被纸片覆盖部分甲的周长为 　　.（用含a，b的代数式表示） 【分析】观察题图，设长方形②的宽为x，根据阴影部分的为正方形即长宽相等列等式，用含a，b的式子表示出阴影部分小正方形的边长，进而根据题图中线段的和差关系求出甲部分的长和宽，列代数式化简即可． 【解答】解：由题题意得，甲部分长方形的长为（a﹣b）， 设题图1中小长方形②的宽为x，则长为2x， 根据阴影部分为正方形，得， 解得x， 则甲部分的宽为b﹣2x（2b﹣a）． ∴甲部分的周长为2[（a﹣b）（2b﹣a）]（a+b）． 故答案为：（a+b）． 一十．单项式（共1小题） 10．（2023秋•鄞州区期末）下列说法正确的是（　　） A．0不是单项式 B．﹣abc的系数是﹣1，次数是3 C．的系数是 D．x2y的系数是0，次数是2 【分析】根据单项式的系数和次数的概念判断即可． 【解答】解：A、0是单项式，故本选项说法错误，不符合题意； B、﹣abc的系数是﹣1，次数是3，说法正确，符合题意； C、的系数是，故本选项说法错误，不符合题意； D、x2y的系数是1，次数是3，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 一十一．整式的加减（共1小题） 11．（2023秋•宁波期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为5，所以与5互为“友好数”． （1）①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由． ②求2的“友好数”为 　2　． （2）若有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数，求代数式的值． （3）对于有理数x（x≠0且x≠1），设x的“友好数”为x1；x1的倒数x2；x2的“友好数”为x3；x3的倒数为x4；…；依次按如上的操作，得到一组数x1，x2，x3，x4，…xn．当x＝4时，求x2024的值． 【分析】（1）根据“友好数”的定义即可解决问题； ②根据“友好数”的定义即可求解； （2）有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数，可知a+b＝ab，b+c＝0，化简代数式即可求解； （3）根据题意计算出x1，x2，x3＝﹣3，x4，x5，x6＝4，由此即可找出数字规律求解． 【解答】解：（1）①与3是互为“友好数”，理由如下： ∵3，3， ∴与3是互为“友好数”； ②设2的“友好数”为a，则有2a＝2+a， 解得：a＝2， ∴2的“友好数”为2， 故答案为：2； （2）∵有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数， ∴a+b＝ab，b+c＝0， ∴4（abc）﹣4（ab）﹣3 ＝4ab﹣3c﹣4a﹣7b﹣3 ＝4a+4b﹣3c﹣4a﹣7b﹣3 ＝﹣3b﹣3c﹣3 ＝﹣3（c+b）﹣3 ＝﹣3×0﹣3 ＝﹣3； （3）由题意得，当x＝4时，x1，x2，x3＝﹣3，x4，x5，x6＝4， ∴这组数每6次一循环， ∵2024÷6＝337••••••2， ∴x2024的值为． 一十二．整式的加减—化简求值（共2小题） 12．（2023秋•滨江区期末）设A＝2a2﹣ab+2，B＝﹣a2+2ab+3． （1）当，b＝2时，求3A﹣2B的值； （2）当a≠0时，实数m，n使得代数式mA+nB的值与b的取值无关，求m，n满足的关系式． 【分析】（1）根据去括号、合并同类项法则可将3A﹣2B进行化简，再代入计算即可； （2）将mA+nB通过去括号、合并同类项化为2ma2+2m﹣an2+（2na﹣ma）b+3n，再令含有b项的系数为0即可． 【解答】解：（1）∵A＝2a2﹣ab+2，B＝﹣a2+2ab+3， ∴3A﹣2B ＝3（2a2﹣ab+2）﹣2（﹣a2+2ab+3） ＝6a2﹣3ab+6+2a2﹣4ab﹣6 ＝8a2﹣7ab， 当，b＝2时， 原式＝87×（）×2 ＝2+7 ＝9； （2）∵A＝2a2﹣ab+2，B＝﹣a2+2ab+3， ∴mA+nB ＝m（2a2﹣ab+2）+n（﹣a2+2ab+3） ＝2ma2﹣mab+2m﹣an2+2nab+3n ＝2ma2+2m﹣an2+（2na﹣ma）b+3n， ∵代数式mA+nB的值与b的取值无关， ∴2na﹣ma＝0， 又∵a≠0， ∴2n﹣m＝0， 即m＝2n． 13．（2023秋•温州期末）先化简：，再写出一组x，y的值，使得代入计算后的结果等于6． 【分析】先利用去括号法则、合并同类项法则化简整式，再代入求值． 【解答】解： ＝3x2+6xy﹣2xy﹣3x2+2 ＝4xy+2． ∵计算后的结果等于6， ∴4xy+2＝6． ∴xy＝1 ∴x＝2，y．（答案不唯一）． 一十三．二次根式的混合运算（共1小题） 14．（2023秋•滨江区期末）计算： （1）4﹣5； （2）； （3）； （4）107°18′﹣55.6°（结果用度、分、秒表示）． 【分析】（1）根据有理数的减法法则运算； （2）先化简二次根式，再进行乘法运算，然后合并即可； （3）先进行乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，接着约分，然后进行有理数的加法运算； （4）先把0.6°化为36分，然后进行减法运算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣1； （2）原式＝2×（）﹣3+2 23+2 ； （3）原式＝﹣4 ＝﹣4+3 ＝﹣1； （4）原式＝107°18′﹣55°36′ ＝106°78′﹣55°36′ ＝51°42′． 一十四．解一元一次方程（共1小题） 15．（2023秋•杭州期末）设代数式，代数式，a为常数．观察当x取不同值时，对应A的值，并列表如下（部分）： x … 1 2 3 … A … 5 6 7 … 若A＝B，则x＝　　． 【分析】选取表格中的一对x和A的值，代入代数式 得关于a的方程，解方程求出a，然后再根据A＝B，把a代入得关于x的方程，解方程即可． 【解答】解：把x＝1，A＝5代入代数式 得： ， 3+a+3＝15， a+6＝15， a＝9， ∵A＝B， ∴ 3x+9+3＝9x﹣3， 3x+12＝9x﹣3， 6x＝15， 故答案为：． 一十五．一元一次方程的应用（共16小题） 16．（2023秋•滨江区期末）若一组实数按如下规律排列：﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…（　　） A．数列中存在相邻两个数的和为﹣1024 B．数列中存在连续三个数的和为﹣1024 C．若x，y是数列中连续两个数（x在前，y在后），则x＝﹣2y D．若x，y，z是数列中连续三个数（x在前，y在中间，z在后），则y+z＝2x 【分析】根据实数的排列规律，列方程求解． 【解答】解：﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…，（﹣1）n2n﹣1，即后面的数是前面数的﹣2倍， A：设前面的数为x，x+（﹣2x）＝﹣1024，解得：x＝1024＝210，n＝11，而（﹣1）11210＝﹣1024，故A是错误的； B：设前面的数为x，x+（﹣2x）+4x＝﹣1024，x无整数解，故B是错误的； C：若x，y是数列中连续两个数（x在前，y在后），则﹣2x＝y，故C是错误的； D：若x，y，z是数列中连续三个数（x在前，y在中间，z在后），∴z＝﹣2y＝4x，y＝﹣2x，∴y+z＝2x，故D是正确； 故选：D． 17．（2023秋•西湖区期末）如图，∠AOB是平角，射线OM从OA开始，先顺时针绕点O向射线OB旋转，到达OB后再绕点O逆时针向射线OA旋转，速度为6度/秒．射线ON从OB开始，以4度/秒的速度绕点O向OA旋转，到当ON到达OA时，射线OM与ON都停止运动．当∠BON＝2∠MON时，有以下t的值：①t＝15；②t＝22.5；③t＝30；④t＝45．其中正确的序号是（　　） A．③ B．④ C．①②④ D．①②③ 【分析】分0＜t≤18，18＜t≤30及30＜t≤45三种情况考虑，当0＜t≤18时，∠BON＝4t°，∠MON＝（180﹣6t﹣4t）°，根据∠BON＝2∠MON，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值；当18＜t≤30时，∠BON＝4t°，∠MON＝（6t+4t﹣180）°，根据∠BON＝2∠MON，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值；当30＜t≤45时，∠BON＝4t°，∠MON＝（180﹣2t）°，根据∠BON＝2∠MON，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值． 【解答】解：180÷6＝30（秒），180÷4＝45（秒），180÷（6+4）＝18（秒）． 当0＜t≤18时，∠BON＝4t°，∠MON＝（180﹣6t﹣4t）°， ∴4t＝2（180﹣6t﹣4t）， 解得：t＝15； 当18＜t≤30时，∠BON＝4t°，∠MON＝（6t+4t﹣180）°， ∴4t＝2（6t+4t﹣180）， 解得：t＝22.5； 当30＜t≤45时，∠BON＝4t°，∠MON＝4t°﹣6（t﹣30）°＝（180﹣2t）°， ∴4t＝2（180﹣2t）， 解得：t＝45． ∴正确的序号是①②④． 故选：C． 18．（2023秋•温州期末）如图1是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图，把甲，乙两根相同的玻璃棒垂直插入水中，高度与水面齐平．如图2，先将甲玻璃棒竖直向上提起4cm，露出水面部分高度为5cm，保持甲玻璃棒离容器底部4cm不变，再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm，发现乙玻璃棒仍有部分浸入水中，则乙玻璃棒露出水面部分高度为（　　） A．7.3cm B．7.5cm C．8.3cm D．8.5cm 【分析】根据题意，得等量关系为：将甲玻璃棒竖直向上提起4cm，露出水面部分高度为5cm，则水面下降了（5﹣4）cm，说明容器的底面积是两个玻璃棒底面积的6倍，设设两个玻璃棒底面积为x，容器的底面积为y，玻璃棒高为h，乙露出水面部分高度为m cm，则y（6+h﹣m）＝yh﹣2xh+x（2+h﹣m）+x（h﹣m），解方程即可求解． 【解答】解：设两个玻璃棒底面积为x，容器的底面积为y，玻璃棒高为h，乙露出水面部分高度为m cm， 依题意得：y（h﹣1）＝yh﹣2xh+x（h﹣5）+x（h﹣1）， 解得y＝6x． 再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm，则y（6+h﹣m）＝yh﹣2xh+x（2+h﹣m）+x（h﹣m）， 解得m＝8.5， 故乙玻璃棒露出水面部分高度为8.5cm． 故选：D． 19．（2023秋•滨江区期末）书店举行购书优惠活动：①购书原价不超过100元，按原价的九折付款；②购书原价超过100元但不超过200元，按原价的八折付款；③购书原价超过200元，按原价的七折付款．小滨在这次活动中，两次购书总共付款211.2元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，则小滨这两次购书原价的总和是 　256或281.6　元． 【分析】根据“两次购书总共付款211.2元”列方程求解． 【解答】解：设第一次购书的原价为x元， ∵211.2不是0.9的倍数， 当x＜100，100＜3x＜200， ∴0.9x+0.8×3x＝211.2， 解得：x＝64， ∴x+3x＝4x＝256（元）， 当x＜100，200＜3x， 0.9x+0.7×3x＝211.2， 解得：x＝70.4， ∴4x＝281.6， 故答案为：256或281.6． 20．（2023秋•西湖区期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《易经》中记载了最早的幻方——九宫图．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则x的值是 　6　． x ﹣5 8 ﹣2 【分析】由第一横行上的三个数之和为x+3，可补充完其他空格，根据幻方每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值． 【解答】解：将幻方中的数据补充完整，如图所示． 根据题意得：x﹣5+8＝x+x﹣3+x﹣6， 解得：x＝6． 故答案为：6． 21．（2023秋•拱墅区期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别是﹣4和2，点P从A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，点Q从B出发以每秒2个单位长度的速度向右运动．若点P与点Q同时出发，经过 　1或2　秒后，P，Q之间距离2个单位长度． 【分析】设经过t秒后，P，Q之间距离2个单位长度，由题意得出点P表示的数是﹣4+6t，点Q表示的数是2+2t，再根据P，Q之间距离2个单位长度列出方程|（﹣4+6t）﹣（2+2t）|＝2，求解即可． 【解答】解：设经过t秒后，P，Q之间距离2个单位长度， ∵A，B对应的数分别是﹣4和2，点P从A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，点Q从B出发以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴点P表示的数是﹣4+6t，点Q表示的数是2+2t， ∴|（﹣4+6t）﹣（2+2t）|＝2， 解得t＝1或t＝2， 故答案为：1或2． 22．（2023秋•金东区期末）已知数轴上点A表示的数为﹣5，点O表示的数为0． （1）点B是数轴上不与点A重合的点，且A、B两点间的距离为6个单位长度．则点B所表示的数为 　1或﹣11　； （2）若有一只小乌龟从A点出发，以每分钟2个单位长度的速度向左做匀速运动，有一只小白兔从原点O出发，以每分钟5个单位长度的速度向左做匀速运动，但小白兔每走2分钟原地休息1分钟，小乌龟和小白兔同时出发，问运动 　1或4　分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度． 【分析】（1）根据实际情况分两种情况进行求解即可； （2）小乌龟运动t秒的长度为2t，小白兔运动t秒的长度为5t，OA＝5，根据题意分为小白兔在小乌龟的左边时，小白兔在小乌龟的左边时，分别进行求解即可． 【解答】解：（1）点A表示的数为﹣5，点B是数轴上不与点A重合的点，且A、B两点间的距离为6个单位长度， 当点B位于点A的右侧时，﹣5+6＝1， 当点B位于点A的左侧时，﹣5﹣6＝﹣11， 故答案为：1或﹣11； （2）小乌龟运动t秒的长度为2t，小白兔运动t秒的长度为5t，OA＝5， ①小乌龟在小白兔的左边时， 当t＝1时，小乌龟所在的表示为﹣5﹣2＝﹣7， 小白兔所在的表示为﹣5， ∴小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度， ②小白兔在小乌龟的左边时， t＝2时，小乌龟所在的表示为﹣5﹣2×2＝﹣9， 小白兔所在的表示为﹣5×2＝﹣10， ∴小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度， t＝3时，小乌龟所在的表示为﹣5﹣2×3＝﹣11， 小白兔每走2分钟原地休息一分钟，故小白兔所在的表示为﹣5×2＝﹣10， ∴小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度， t＝4时，小乌龟所在的表示为﹣5﹣2t＝﹣5﹣2×4＝﹣13， 小白兔每走2分钟原地休息一分钟，故小白兔所在的表示为﹣5×3＝﹣15， ∴小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度， t≥5时，小乌龟追不上小白兔，不会再出现距离为2个单位长度的情况， 故综上所述，当1或4分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度， 故答案为：1或4． 23．（2023秋•鄞州区期末）如图，点A、B为数轴上的两点，点A表示﹣8，点B表示4，点P为数轴上一动点． （1）若点P在A、B之间，满足PB＝2PA时，求点P表示的数； （2）若点P以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍时，求点P运动的时间． 【分析】（1）根据“PB＝2PA”列方程求解； （2）根据“点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍”列方程求解． 【解答】解：（1）设点P表示的数为x， 则4﹣x＝2（x+8）， 解得：x＝﹣4， 答：点P表示的数为﹣4； （2）设点P运动的时间为t秒，则t+8＝3|t﹣4|， 解得：t＝1或t＝10， 答：点P运动的时间为1秒或10秒． 24．（2023秋•鄞州区期末）某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话200分钟及以下，流量20GB及以下，各种费用月费共计69元． 通话250分钟及以下，流量30GB及以下，各种费用月费共计99元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收0.15元/分；流量超量部分加收2.5元/GB． 通话超时部分加收0.12元/分；流量超量部分加收2元/GB． （1）若某月小明通话时间为300分钟，上网流量为25GB，则他按套餐一计费需要的费用是 　96.5　元；按套餐二计费需要的费用是 　105　元； （2）若上网流量为26GB，是否可能通话时间相同，按套餐一和套餐二的计费也相等？请你作出判断并说明理由； （3）为迎接新春佳节到来，移动公司针对两款套餐推出限时优惠活动：套餐一对通话超时和上网超量部分的费用打8折；套餐二月费从99元降到90元．小明认为：“当通话超过250分钟，流量超过30GB时，两款套餐费用差额为一确定的值．”你认为小明的判断正确吗？如果正确，请求出这一确定的值；如果不正确，请说明理由． 【分析】（1）根据表格分别计算套餐一个套餐二的费用，作答即可； （2）设通话时长为t分钟，分类讨论：①0＜t≤200，②200＜t≤250，③t＞250，分别计算即可； （3）设通话时长为m分钟，上网流量为n GB，分别计算套餐一和套餐二的费用，然后作差即可求解． 【解答】解：（1）按套餐一计费需要的费用：69+（300﹣200）×0.15+（25﹣20）×2.5＝96.5（元）， 按套餐二计费需要的费用：99+（300﹣250）×0.12＝105（元），故答案为：96.5，105； （2）设通话时长为t分钟， ①当0＜t≤200时，由题意得，69+（26﹣20）×2.5＝84， ∵84≠99，不合题意，舍去； ②当200＜t≤250时，由题意得， 69+（t﹣200）×0.15+（26﹣20）×2.5＝99， 解得t＝300＞250，不合题意，舍去； ③当t＞250时，由题意得， 69+（t﹣200）×0.15+（26﹣20）×2.5＝99+（t﹣250）×0.12， 解得 t＝500，符合题意； ∴当t＝500分钟时，套餐一和套餐二的计费相等； （3）小明的判断正确，两款套餐费用差额为定值，定值为5元， 理由如下： 设通话时长为m分钟，上网流量为n GB，由题意得： 套餐一优惠后费用：69+（m﹣200）×0.15×0.8+（n﹣20）×2.5×0.8＝0.12m+2n+5， 套餐二优惠后费用：90+（m﹣250）×0.12+（n﹣30）×2＝0.12m+2n， 费用差为：（0.12m+2n+5）﹣（0.12m+2n）＝5， ∴两款套餐费用差额为定值，定值为5元． 25．（2023秋•滨江区期末）取号等候在生活中常常发生，如医院取药、银行办理业务、就餐等，大家都希望能尽可能减少等候时间．某市商业街有一家网红奶茶店，上午9：00开门营业时，恰好第20人完成自主取号．已知奶茶店给每位顾客的服务时间为2分钟，到中午12：00，有一位顾客正好完成取号，此时有50人在等候．（假设：相邻两位顾客到店的时间间隔相同；奶茶店为上一位顾客服务完成后，再为下一位顾客服务；每位取号的顾客都买并且只买一杯奶茶） （1）求相邻两位顾客前来买奶茶的间隔时间； （2）小滨在奶茶店等候时，在不远处的一家鸡排店下了一单，此时49号顾客刚拿到奶茶，小滨是58号，他迅速骑上电动自行车，以12千米/小时的速度赶到鸡排店，立即取好鸡排，他以9.6千米/小时的速度返回奶茶店，到店时恰好轮到他取奶茶，求此鸡排店到该奶茶店的路程．（列方程解应用题） 【分析】（1）从上午9：00到中午12：00一共180分钟，由奶茶店给每位顾客的服务时间为2分钟，可知这段时间奶茶店已经服务了90位顾客，故上午9：00到中午12：00前来买奶茶的顾客有90﹣20+50＝120（位），即得相邻两位顾客前来买奶茶的间隔时间为180÷120＝1.5（分钟）； （2）设鸡排店到该奶茶店的路程为x千米，根据到店时恰好轮到他取奶茶得：（58﹣49），即可解得答案． 【解答】解：（1）从上午9：00到中午12：00一共180分钟， ∵奶茶店给每位顾客的服务时间为2分钟， ∴这段时间奶茶店已经服务了180÷2＝90（位）顾客， ∵上午9：00开门营业时，恰好第20人完成自主取号，中午12：00时有50人在等候， ∴上午9：00到中午12：00前来买奶茶的顾客有90﹣20+50＝120（位）， ∴相邻两位顾客前来买奶茶的间隔时间为180÷120＝1.5（分钟）； （2）设鸡排店到该奶茶店的路程为x千米， 根据题意得：（58﹣49）， 解得x＝1.6； ∴鸡排店到该奶茶店的路程为1.6千米． 26．（2023秋•杭州期末）一根竹竿插入一水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，露出水面部分为米，竹竿有多长？水有多深？ 【分析】本题中竹竿的总长＝露出水面的高度+淤泥以上的入水部分的高度+入泥部分的高度． 【解答】解：设竹竿有x米，则竹竿入泥部分为米． 淤泥以上的入水部分为米． 由题意可得：， 解得x＝3， 则， 答：竹竿有3米，则水深为米． 27．（2023秋•杭州期末）如图，在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数﹣1，点C表示数5，点A到点B的距离记为AB．我们规定：AB的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示． 例如：AB＝（﹣1）﹣（﹣3）＝2． （1）求线段AC的长； （2）以数轴上某点D为折点，将此数轴向右对折，若点A在点C的右边，且AC＝4，求点D表示的数； （3）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过t秒时，AC＝2AB．求出t的值． 【分析】（1）用点C表示的数减去点A表示的数就是线段AC的长； （2）根据对折后AC的长度和点C表示的数求出对折后的点A表示的数，然后根据对折的性质求出折点D所表示的数； （3）分两种情况：①点C在点A右边；②点A在点C右边．每种情况下根据AC与AB之间的数量关系分别求出t值即可． 【解答】解：（1）∵点A表示数﹣3，点C表示数5， ∴AC＝5﹣（﹣3）＝8； （2）∵点A以点D为折点向右对折后点A在点C的右边，且AC＝4， ∴对折后的点A表示的数为5+4＝9， ∴点D表示的数为9﹣[9﹣（﹣3）]÷2＝3； （3）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发， ∴t秒时点A表示的数为﹣3﹣t，点C表示的数为5﹣4t， ∴AB﹣1﹣（﹣3﹣t）＝2+t， ①当点C在点A右边时，AC＝5﹣4t﹣（﹣3﹣t）＝8﹣3t， ∵AC＝2AB， ∴8﹣3t＝2（2+t）， 解得：t＝0.8； ①当点A在点C右边时，AC＝﹣3﹣t﹣（5﹣4t）＝3t﹣8， ∵AC＝2AB， ∴3t﹣8＝2（2+t）， 解得：t＝12； 综上所述：t的值为0.8或12． 28．（2023秋•温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）． 【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？ 思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期． 思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分） 【分析】思考1（特值分析）：分别求出甲，乙，丙三家子工厂的工期即可求解； 思考2（减少要素）：设分配给甲工厂产品x件，则乙工厂为（60﹣x）件．根据时间的等量关系即可求解； 思考3（方案探究）：设分配给丙工厂的产品有m件，则甲为2m件，乙为（60﹣3m）件，可求当甲，乙同时完成时，工期最短，得到8m﹣6（60﹣3m），求出m，再根据m为整数分析求解． 【解答】解：【逐步挑战】 思考1（特值分析）：甲完成的时间为：20×4＝80（天）， 分配给丙工厂的数量为：20÷2＝10（件）， 乙完成的时间为：（60﹣20﹣10）×6＝180（天）， 丙完成的时间为：10×5＝50（天）， ∴该公司完成60件产品的最短工期为180天． 思考2（减少要素）：设分配给甲工厂产品x件，则乙工厂为（60﹣x）件． 由题意，得4x＝6（60﹣x）， 解得x＝36， 则60﹣x＝24． ∴此时公司分配给甲，乙工厂的产品数量分别为36件，24件，工期为144天； 思考3（方案探究）：设分配给丙工厂的产品有m件，则甲为2m件，乙为（60﹣3m）件． 甲完成的时间为：4×2m＝8m（天）， 乙完成的时间为：6（60﹣3m）天， 丙完成的时间为：5m天， ∵8m＞5m， ∴当甲，乙同时完成时，工期最短， 则8m﹣6（60﹣3m）， 解得， ∵m为整数， ∴当m＝14时，即甲比同时完成时多分配了， 完成时间为8×14＝112（天）； 当m＝13时，即乙比同时完成时多分配了， 完成时间为6×（60﹣3×13）＝126（天）， ∵112＜126， ∴当m＝14时，工期最短，为112天， 即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件． 【直接挑战思考3】 思考3（方案探究）：设分配给丙工厂的产品有m件，则甲为2m件，乙为（60﹣3m）件． 甲完成的时间为：4×2m＝8m（天）， 乙完成的时间为：6（60﹣3m）天， 丙完成的时间为：5m天， ∵8m＞5m， ∴当甲，乙同时完成时，工期最短， 则8m﹣6（60﹣3m）， 解得， ∵m为整数， ∴当m＝14时，即甲比同时完成时多分配了， 完成时间为8×14＝112（天）； 当m＝13时，即乙比同时完成时多分配了， 完成时间为6×（60﹣3×13）＝126（天）， ∵112＜126， ∴当m＝14时，工期最短，为112天， 即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件． 29．（2023秋•北仑区期末）随着春节的临近，A、B两款“欢庆新春”主题盲盒在市场上热销．经调研，学校周边甲、乙两家文具店里这两款网红盲盒的原价一致，A款盲盒原价为12元/个，B款盲盒的原价为16元/个，但两家店都推出了相应的促销活动： 甲商店：A款盲盒打八折促销，B款盲盒打九折促销． 乙商店：这两款盲盒单买都不打折，但推出了盲盒大礼包进行促销，每一个大礼包由3个A款盲盒和2个B款盲盒组成，大礼包定价为56元/个． （1）若要购买A款盲盒6个，B款盲盒5个，参加哪家店的促销活动总价更优惠？优惠多少元？ （2）某学校701班和702班打算在班会课举行迎新主题联谊活动，计划购买A款盲盒30个，B款盲盒n个（n≥20），若选择到甲商店购买与到乙商店购买盲盒所需的金额相同，求n的值． （3）已知甲、乙两家店相隔不远，若你是701班的班长，负责此次活动所需盲盒的购买事项，请在（2）的基础上，直接写出最为优惠的采购方案． 【分析】（1）分别求出购买A款盲盒6个，B款盲盒5个，优惠前的价钱、在甲店购买的价钱、在乙店购买的价钱，进行比较即可求得答案； （2）根据到甲店购买与到乙店购买盲盒所需的金额相同，列出方程即可求得； （3）由（2）得，在甲商店购买30个A款盲盒和30个B款盲盒的金额与在乙商店购买的金额是相等的，求出费用，另一种方案为：在乙商店购买10个大礼包后，剩余的10个B款盲盒到甲商店购买，求出相应的费用，进行比较即可得出答案． 【解答】解：（1）购买A款盲盒6个，B款盲盒5个，优惠前的价钱是6×12+5×16 ＝72+80 ＝152（元）， 在甲店购买的价钱为12×0.8×6+16×0.9×5 ＝57.6+72 ＝129.6（元）， 在乙店购买的价钱为56×（6÷3）+（5﹣6÷3×2）×16 ＝112+16 ＝128（元）， ∵129.6＞128， ∴参加乙家店的促销活动总价更优惠， 152﹣128＝24（元）， 答：参加乙家店的促销活动总价更优惠，优惠24元． （2）由题意可知，12×0.8×30+16×0.9×n＝56×（30÷3）+（n﹣30÷3×2）×16， 解得：n＝30， ∴n的值为30． （3）由（2）得，在甲商店购买30个A款盲盒和30个B款盲盒的金额与在乙商店购买的金额是相 等的，费用为12×0.8×30+16×0.9×30＝720（元）， 若在乙商店购买10个大礼包后，剩余的10个B款盲盒到甲商店购买，则费用为： 56×10+16×0.9×10＝704（元）， ∵704＜720， ∴最优惠的采购方案是：去乙商店购买10个盲盒大礼包，去甲商店购买10个B款盲盒． 30．（2023秋•北仑区期末）定义：在同一直线上有A，B，C三点，若点C到A，B两点的距离呈2倍关系，即AC＝2BC或BC＝2AC，则称点C是线段AB的“倍距点”． （1）线段AB的中点 　不是　该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是”） （2）已知AB＝9，点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC＝　3或6或9或18　． （3）如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点． ①现有一动点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段MN（如图2，点M起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值． 【分析】（1）设线段AB的中点为P，看PA和PB是否呈2倍关系即可判断线段AB的中点是不是该线段的“倍距点”； （2）根据点C是线段AB的“倍距点”，可得CA＝2CB或CB＝2CA，根据点C在线段AB上和直线AB上即可求得AC的值； （3）①算出点C表示的数，用t表示出点P，进而表示出PA和PC的长，根据PA＝2PC或PC＝2PA列式即可求得t的值；②用t分别表示出点M和点N，进而表示出MN和NC的长，根据NM＝2NC或NC＝2NM列式求值即可求得t的值． 【解答】解：（1）设线段AB的中点为P， ∴PA＝PB． ∴点P到A，B两点的距离不呈2倍关系． ∴线段的中点不是线段AB的“倍距点”． 故答案为：不是． （2）∵点C是线段AB的“倍距点”， ∴CA＝2CB或CB＝2CA． ①点C在线段AB上，CA＝2CB． ∵AB＝9， ∴ACAB＝6； ②点C在线段AB上，CB＝2CA． ∴ACAB＝3． ③点C在点A的左边，CB＝2CA． ∴AC＝AB＝9； ④点C在点B的右边，CA＝2CB． ∴CA＝2AB＝18． 故答案为：3或6或9或18． （3）∵点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点， ∴点C表示的数为：11． 由题意得：点P表示的数为2t． ∴PA＝|2t﹣2|，PC＝|2t﹣11|． ∵点P为AC的“倍距点”， ∴PA＝2PC或PC＝2PA． ①PA＝2PC． |2t﹣2|＝2|2t﹣11|， 2t﹣2＝2（2t﹣11）或2t﹣2＝2（11﹣2t）． 解得：t＝10或t＝4． ②PC＝2PA． |2t﹣11|＝2|2t﹣2|， 2t﹣11＝2（2t﹣2）或2t﹣11＝2（2﹣2t）． 解得：t＝﹣3.5（不合题意，舍去）或t＝2.5． 综上：t为4或10或2.5． 答：当t为4或10或2.5时，点P为AC的“倍距点”； （3）由题意得：点M表示的数为：t，点N表示的数为：2+t． ∴NM＝2，NC＝|2+t﹣11|＝|t﹣9|． ∵点N为MC的“倍距点”， ∴NM＝2NC，NC＝2NM． ①NM＝2NC． 2＝2|t﹣9|． 2＝2（t﹣9）或2＝2（9﹣t）， 解得：t＝10或t＝8； ②NC＝2NM． |t﹣9|＝2×2． t﹣9＝4或9﹣t＝4． 解得：t＝13或t＝5． 综上：t的值为5或8或10或13． 31．（2023秋•松阳县期末）一副三角尺按如图所示摆放，将三角尺ABP绕点P以每秒15°的速度顺时针旋转，同时，三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，三角尺ABP的直角边PB与PN重合时停止旋转，三角尺PCD也停止旋转，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：∠NPD＝　（5t）°　；∠MPB＝　（45+15t）°　； （2）当t为何值时，∠BPC＝5°？ （3）下列三个问题，依次按易、中、难排列，对应的满分值为2分、3分、4分，请根据自己的认知水平，选择其中一个问题完成作答． ①当t为何值时，PC与PB重合？ ②当t为何值时，PC⊥PB？ ③在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线PB是由射线PA、射线PC、射线PD中的其中两条组成的角的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）由旋转性质，三角板特征，数形结合列式求解即可得到答案； （2）根据题意，分类讨论：①PC与PB重合前；②PC与PB重合后两种情况，数形结合，列方程求解即可得到答案； （3）①数形结合，由平角为180°列方程求解即可得到答案； ②数形结合，由PC⊥PB后角度之间的和差关系列方程求解即可得到答案； ③根据题意，分类讨论：i：当射线PB是由射线PA、射线PC的角平分线时；ii：当射线PB是由射线PA、射线PD的角平分线时；iii：当射线PB是由射线PC、射线PD的角平分线时；数形结合，由角平分线定义及平角为180°列方程求解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵三角尺ABP是等腰直角三角形，且绕点P以每秒15°的速度顺时针旋转， ∴∠MPB＝（45+15t）°； ∵三角尺PCD是含30°的直角三角形，且绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转， ∴∠NPD＝（5t）°； 故答案为：（5t）°，（45+15t）°； （2）解：①如图： ∵∠MPB＝（45+15t）°，∠NPC＝（30+5t）°，∠BPC＝5°，∠MPB+∠NPC+∠BPC＝180°， ∴（45+15t）°+（30+5t）°+5°＝180°， 解得t＝5； ②如图： ∵∠MPB＝（45+15t）°，∠NPC＝（30+5t）°，∠BPC＝5°，∠MPB+∠NPC﹣∠BPC＝180°， ∴（45+15t）°+（30+5t）°﹣5°＝180°， 解得t＝5.5， ∴综上所述，当t为5s或5.5s时，∠BPC＝5°； （3）解：①当PC与PB重合时，如图： ∴∠MPB+∠NPC＝180°， ∵∠MPB＝（45+15t）°，∠NPC＝（30+5t）°， ∴（45+15t）°+（30+5t）°＝180°， 解得， ∴当t为时，PC与PB重合； ②当PC⊥PB时，如图： ∴∠BPC＝90°， i：∵∠MPB+∠NPC+∠BPC＝180°， ∴（45+15t）°+（30+5t）°+90°＝180°， 解得； ii：∵∠MPB+∠NPC+∠BPC＝180°， ∴（45+15t）2+（30+5t）2﹣90°＝180°， 解得， ∵PB与PN重合时，三角尺停止旋转， ∴0＜t≤9， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，当t为时，PC⊥PB； ③存在这样的t，使得射线PB是由射线PA、射线PC、射线PD中的其中两条组成的角的平分线． i：当射线PB是由射线PA、射线PC的角平分线时，如图： ∵BP平分∠APC， ∴∠APC＝2∠APB＝90°， ∴∠MPA+∠APC+∠NPC＝180°， ∵∠MPA＝（15t）°，∠NPC＝（30+5t）°， ∴（15t）°+90°+（30+5t）°＝180°， 解得t＝3； ii：当射线PB是由射线PA、射线PD的角平分线时，如图： ∵BP平分∠APD， ∴∠APD＝2∠APB＝90°， ∴∠MPA+∠APD+∠NPD＝180°， ∵∠MPA＝（15t）°，∠NPD＝（5t）°， ∴（15t）°+90°+（5t）°＝180°， 解得t＝4.5； iii：当射线PB是由射线PC、射线PD的角平分线时，如图： ∵BP平分∠CPD， ∴， ∴∠MPB+∠BPD+∠NPD＝180°， ∵∠MPB＝（45+15t）°，∠NPD＝（5t）°， ∴（45+15t）°+15°+（5t）°＝180°， 解得t＝6； 综上所述，存在这样的t，使得射线PB是由射线PA、射线PC、射线PD中的其中两条组成的角的平分线，t的值为3s或4.5s或6s． 一十六．角的计算（共1小题） 32．（2023秋•拱墅区期末）综合与实践． 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题． 问题1：已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，则∠AOD＝　15°　． 问题2：已知AB＝60，点C是AB的中点，点D是AC的中点，则AD＝　15　． 数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空． 深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系． （2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题． 如图1，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB同侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数（无需作答）． 完成下列问题的解答： ①“运河小组”提出问题：如图2，线段AB＝180，点C，D在线段AB上（AC＜AD），CD＝90，点E，F分别是线段AC，BD的中点，求EF的长． ②“武林小组”提出问题：如图3，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB两侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数． 【分析】（1）问题1：根据OC平分∠AOB得AOC∠AOB＝30°，再根据OD平分∠AOC可得出∠AOD的度数； 问题2：根据点C是AB的中点得ACAB＝30，再根据点D是AC的中点可得出AD的长度； （2）①先求出AC+DB＝90，再根据线段中点的定义得ECAC，DFDB，进而得EC+DF（AC+DB）＝45，据此可求出EF的长； ②设∠AOD＝α，根据垂直的定义及平角的定义得∠AOC＝90°﹣α，∠BOD＝180°﹣α，再根据角平分线的定义得∠AOE（90°﹣α），∠DOF（180°﹣α），由此得∠AOE+∠DOF＝135°﹣α，据此可求出∠EOF的度数． 【解答】解：（1）问题1：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC∠AOB＝30°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD∠AOC＝15°； 故答案为：15°． 问题2：∵AB＝60，点C是AB的中点， ∴ACAB＝30， ∵点D是AC的中点， ∴ADAC＝15， 故答案为：15． （2）①∵线段AB＝180，点C，D在线段AB上（AC＜AD），CD＝90， ∴AC+DB＝AB﹣CD＝90， ∵点E，F分别是线段AC，BD的中点， ∴ECAC，DFDB， ∴EC+DF（AC+DB）90＝45， ∴EF＝EC+DF+CD＝45+90＝135； ②设∠AOD＝α， ∵点O在直线AB上，OC⊥OD ∴∠AOC＝90°﹣α，∠BOD＝180°﹣α， ∵OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD， ∴∠AOE∠AOC（90°﹣α），∠DOF∠BOD（180°﹣α）， ∴∠AOE+∠DOF（90°﹣α+180°﹣α）＝135°﹣α， ∵∠EOF＝∠AOE+∠DOF+∠AOD＝135°﹣α+α＝135°． 一十七．余角和补角（共4小题） 33．（2023秋•长兴县期末）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论错误的是（　　） A．∠3﹣∠2＝90° B．∠3+∠2+2∠1＝270° C．∠3﹣∠1＝2∠2 D．∠3﹣∠2＝2∠1 【分析】根据余角和补角的定义对每个选项中的结论进行判断即可找出其中正确的结论． 【解答】解：∵∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角， ∴∠1+∠2＝90°①，∠1+∠3＝180°②， ②﹣①得：∠1+∠3﹣（∠1+∠2）＝180°﹣90°＝90°， 即∠3﹣∠2＝90°，故A正确； ②+①得：∠1+∠3+（∠1+∠2）＝180°+90°＝270°， 即∠3+∠2+2∠1＝270°，故B正确； ∵∠1+∠2＝90°，∠3﹣∠2＝90°， ∴∠3﹣∠2＝∠1+∠2， ∴∠3﹣∠1＝2∠2，故C正确； ∵∠3﹣∠2＝90°，2∠1不一定等于90°， ∴∠3﹣∠2＝2∠1错误． 故选：D． 34．（2023秋•拱墅区期末）如图，点O在直线AD上，在直线AD的同侧作射线OB，OC，若60°＜∠AOC＜90°，且∠AOB和∠AOC互余．作OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，则（　　） A．∠BOM+∠CON＝45° B．2∠BOM+∠CON＝45° C．2∠BOM+∠CON＝60° D．∠BOM+2∠CON＝60° 【分析】设∠AOB＝α，由∠AOB和∠AOC互余得∠AOC＝90°﹣α，则∠BOC＝∠AOC﹣AOB＝90°﹣2α，再由OM平分∠AOC得∠AOM∠AOC＝45°α，进而得∠BOM＝∠AOM﹣AOB＝45°α，然后由∠AOB＝α得∠BOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣α，再由ON平分∠BOD得∠BON∠BOD＝90°α，进而得∠CON＝∠BON﹣∠BOCα，由此得∠BOM+∠CON＝45°，据此即可得出答案． 【解答】解：设∠AOB＝α， ∵∠AOB和∠AOC互余， ∴∠AOB+∠AOC＝90°， ∴∠AOC＝90°﹣∠AOB＝90°﹣α， ∴∠BOC＝∠AOC﹣AOB＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∵OM平分∠AOC， ∴∠AOM∠AOC（90°﹣α）＝45°α， ∴∠BOM＝∠AOM﹣AOB＝45°α﹣α＝45°α， ∵∠AOB＝α， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣α， ∵ON平分∠BOD， ∴∠BON∠BOD（180°﹣α）＝90°α， ∴∠CON＝∠BON﹣∠BOC＝90°α﹣（90°﹣2α）α， ∴∠BOM＝45°α＝45°﹣∠CON， ∴∠BOM+∠CON＝45°．故选项A正确，符合题意； ∵∠BOM+∠CON＝45°． ∴2∠BOM+∠CON≠45°，2∠BOM+∠CON≠60°，∠BOM+2∠CON≠60° 故选项B，C，D不符合题意． 故选：A． 35．（2022秋•杭州期末）若∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，则∠1与∠3的关系是　∠1＝∠3　，理由是　同角的余角相等　． 【分析】根据同角的余角相等的性质即可求解． 【解答】解：若∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，则∠1与∠3的关系是∠1＝∠3，理由是同角的余角相等． 故答案为：∠1＝∠3；同角的余角相等． 36．（2023秋•郧阳区期末）如图1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线，OE平分∠AOD． （1）【基础尝试】如图2，若∠AOB＝120°，∠COD＝10°，求∠DOE的度数； （2）【画图探究】设∠COE＝x°，用x的代数式表示∠BOD的度数； （3）【拓展运用】若∠COE与∠BOD互余，∠AOB与∠COD互补，求∠AOB的度数． 【分析】（1）由角平分线的定义，得出∠AOC＝∠COB＝60°，再结合图形，即可求解； （2）由角平分线的定义，得出，表示出∠COE，即可求解； （3）由（2）得∠BOD＝2∠COE，再由题意确定∠COE＝30°，∠BOD＝60°，结合图形，列出关于∠AOB的方程组，即可求解． 【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠COB＝60°， ∵∠COD＝10°， ∴∠AOD＝60°+10°＝70°， ∵OE平分∠AOD， ∴． （2）∵OC平分∠AOB，OE平分∠AOD， ∴， ∵∠COE＝x°， ∴， 即， ∴∠BOD＝2x°； （3）∵由（2）得∠BOD＝2∠COE， ∵∠COE与∠BOD互余，∠COE+∠BOD＝90°， ∴∠COE＝30°，∠BOD＝60°， ∵∠AOB与∠COD互补， ∴∠AOB+∠COD＝180°， ∵， ∴∠AOB， ∴∠AOB＝160°． 一十八．矩形的性质（共1小题） 37．（2023秋•拱墅区期末）已知AB，CD，EF是三条平行线，小明在三条平行线之间摆放相同的长方形纸片，如图所示，在CD上方有7个，在CD下方有4个，AEFB构成大长方形．已知小纸片长为a，宽为b，摆放方式不重叠也无空隙．小明发现，改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，则a，b之间的关系为（　　） A．5b＝2a B．4b＝a C．3b＝a D．5b＝3a 【分析】由矩形的性质得出S1﹣S2＝AB×4b﹣4ab﹣AB×a+7ab＝（4b﹣a）AB+3ab，再根据改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，得出4b﹣a＝0，即可得出结果． 【解答】解：∵四边形AEFB为矩形，AB∥CD∥EF， ∴AB＝EF，四边形ABCD、四边形CDFE都为矩形， ∵在三条平行线之间摆放相同的长方形纸片，小纸片长为a，宽为b，摆放方式不重叠也无空隙， ∴S1＝EF×4b﹣4b×a＝AB×4b﹣4ab，S2＝AB×a﹣7b×a＝AB×a﹣7ab， ∴S1﹣S2＝AB×4b﹣4ab﹣AB×a+7ab＝（4b﹣a）AB+3ab， ∵改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变， ∴4b﹣a＝0， ∴4b＝a， 故选：B． 一十九．正方形的性质（共1小题） 38．（2023秋•鄞州区期末）将正方形纸片BEFG和正方形纸片DHMN按如图所示放入周长为10的长方形ABCD中，将图中的两个空白图形分别记为P，Q，已知下列某个选项的值，仍不能求出甲的周长，这个选项是（　　） A．乙的周长 B．丙的周长 C．P与Q的周长和 D．P与Q的周长差 【分析】设正方形BEFG和正方形DHMN的边长分别为x和y，长方形ABCD的AB为a，则AD为（5﹣a），表示出甲，乙，丙，P，Q的长和宽，根据甲的周长与四个选项的代数式比较，找到不能表示的即可． 【解答】解：设正方形BEFG和正方形DHMN的边长分别为x和y，长方形ABCD的AB为a， ∵长方形ABCD周长为10， ∴AD＝5﹣a， 则甲的长和宽为：x+y﹣a，x+y+a﹣5， 丙的长和宽为：5﹣a﹣x，a﹣y， 乙的长和宽为：5﹣a﹣y，a﹣x， P的边长为：x， Q的边长为：y， ∴甲的周长为：4（x+y）﹣20，乙的周长为：10﹣2（x+y），丙的周长为：10﹣2（x+y）， P的周长为：4x， Q的周长为：4y， ∴选项A，乙的周长已知，则可以求得x+y的值，即能求得甲的周长； 选项B，丙的周长已知，则可以求得x+y的值，即能求得甲的周长； 选项C，P与Q的周长已知，则分别可以求得x，y的值，即能求得甲的周长； 选项D，P与Q的周长差已知，则只能知道x﹣y的值，故不能求得甲的周长， 故选：D． 二十．作图—复杂作图（共2小题） 39．（2023秋•鄞州区期末）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成（保留画图痕迹）． （1）画直线AB，画射线AD； （2）连结BC并延长BC到E，使得CE＝BC； （3）在线段BD上取点F，使FA+FC的值最小，并说明理由． 【分析】（1）根据直线，射线的定义画出图形； （2）根据线段的定义画出图形； （3）连接AC，BD交于点F，点F即为所求． 【解答】解：（1）如图，直线AB，射线AD即为所求； （2）如图，线段CE即为所求； （3）如图点F即为所求． 理由：两点之间线段最短． 40．（2023秋•拱墅区期末）如图，已知线段AB． （1）尺规作图（不写画法，但要保留画图痕迹）： ①延长线段AB到C，使B点为线段AC的中点； ②延长线段BA到D，使AD是CD的三分之一． （2）求线段BD与线段AC长度之间的大小关系． （3）如果AB＝3，求线段BD和CD的长． 【分析】（1）①以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，交AB的延长线于点C，则点C即为所求． ②以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BA的延长线于点D，则点D即为所求． （2）由（1）可知，AD＝AB＝BC，则可得BD＝AC． （3）由题意可得AD＝AB＝BC＝3，进而可得答案． 【解答】解：（1）①∵B点为线段AC的中点， ∴AB＝BC． 如图，以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，交AB的延长线于点C， 则点C即为所求． ②∵点D在线段BA的延长线上，AD是CD的三分之一，CD＝DA+AB+BC，AB＝BC， ∴AD＝AB＝BC． 如图，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BA的延长线于点D， 则点D即为所求． （2）由（1）可知，AD＝AB＝BC， ∴AD+AB＝AB+BC， 即BD＝AC． （3）∵AB＝3， ∴AD＝AB＝BC＝3， ∴BD＝AD+AB＝6，CD＝DA+AB+BC＝9． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 2023年浙江省各地市七上期末试卷各考点选题40题训练2（中等偏上） 一．绝对值（共1小题） 1．（2023秋•江北区期末）若a、b、c为整数，且|a﹣b|+（c﹣a）2024＝1，则|c﹣a|+2|a﹣b|+3|b﹣c|＝　 　． 二．有理数的加法（共1小题） 2．（2023秋•东阳市期末）一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．下列选项中错误的是（　　） A．|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离． B．若满足|x﹣2|+|x+3|＝6时，则x的值是﹣3.5或2.5． C．|5+3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离． D．A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为﹣2，B点对应的数为4，则A、B两点之间的距离为6． 三．有理数的乘方（共1小题） 3．（2023秋•西湖区期末）20245是20244的（　　）倍． A．2 B．4 C．2024 D．20242 四．有理数的混合运算（共1小题） 4．（2023秋•鄞州区期末）（1）（）×（﹣36）； （2）﹣12024[1﹣（﹣2）3]． 五．算术平方根（共1小题） 5．（2023秋•拱墅区期末）若a，a都是有理数，则a＝　 　． 六．实数（共1小题） 6．（2023秋•滨江区期末）若实数a，b满足，则（　　） A．a，b都是有理数 B．a﹣b的结果必定为无理数 C．a，b都是无理数 D．a﹣b的结果可能为有理数 七．估算无理数的大小（共1小题） 7．（2023秋•滨江区期末）若整数a，b满足，，则a﹣b＝（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 八．实数的运算（共1小题） 8．（2023秋•鄞州区期末）整数a、b、c满足1000a+10c2＝2024，其中a＞1，|b|＜100，则abc的最大值是 　 　． 九．列代数式（共1小题） 9．（2023秋•温州期末）如图1，两个正方形分别由①，②两种规格小长方形纸片拼成，现将它们放入一个长为a，宽为b的大长方形中，如图2，其中阴影部分恰好为正方形，则大长方形中未被纸片覆盖部分甲的周长为 　 　.（用含a，b的代数式表示） 一十．单项式（共1小题） 10．（2023秋•鄞州区期末）下列说法正确的是（　　） A．0不是单项式 B．﹣abc的系数是﹣1，次数是3 C．的系数是 D．x2y的系数是0，次数是2 一十一．整式的加减（共1小题） 11．（2023秋•宁波期末）我们定义：若两个有理数的积等于这两个有理数的和，则称这两个数互为“友好数”．如：有理数与5，因为5，所以与5互为“友好数”． （1）①判断与3是否互为“友好数”，并说明理由． ②求2的“友好数”为 　 　． （2）若有理数a与b互为“友好数”，b与c互为相反数，求代数式的值． （3）对于有理数x（x≠0且x≠1），设x的“友好数”为x1；x1的倒数x2；x2的“友好数”为x3；x3的倒数为x4；…；依次按如上的操作，得到一组数x1，x2，x3，x4，…xn．当x＝4时，求x2024的值． 一十二．整式的加减—化简求值（共2小题） 12．（2023秋•滨江区期末）设A＝2a2﹣ab+2，B＝﹣a2+2ab+3． （1）当，b＝2时，求3A﹣2B的值； （2）当a≠0时，实数m，n使得代数式mA+nB的值与b的取值无关，求m，n满足的关系式． 13．（2023秋•温州期末）先化简：，再写出一组x，y的值，使得代入计算后的结果等于6． 一十三．二次根式的混合运算（共1小题） 14．（2023秋•滨江区期末）计算： （1）4﹣5； （2）； （3）； （4）107°18′﹣55.6°（结果用度、分、秒表示）． 一十四．解一元一次方程（共1小题） 15．（2023秋•杭州期末）设代数式，代数式，a为常数．观察当x取不同值时，对应A的值，并列表如下（部分）： x … 1 2 3 … A … 5 6 7 … 若A＝B，则x＝　 　． 一十五．一元一次方程的应用（共16小题） 16．（2023秋•滨江区期末）若一组实数按如下规律排列：﹣1，2，﹣4，8，﹣16，…（　　） A．数列中存在相邻两个数的和为﹣1024 B．数列中存在连续三个数的和为﹣1024 C．若x，y是数列中连续两个数（x在前，y在后），则x＝﹣2y D．若x，y，z是数列中连续三个数（x在前，y在中间，z在后），则y+z＝2x 17．（2023秋•西湖区期末）如图，∠AOB是平角，射线OM从OA开始，先顺时针绕点O向射线OB旋转，到达OB后再绕点O逆时针向射线OA旋转，速度为6度/秒．射线ON从OB开始，以4度/秒的速度绕点O向OA旋转，到当ON到达OA时，射线OM与ON都停止运动．当∠BON＝2∠MON时，有以下t的值：①t＝15；②t＝22.5；③t＝30；④t＝45．其中正确的序号是（　　） A．③ B．④ C．①②④ D．①②③ 18．（2023秋•温州期末）如图1是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图，把甲，乙两根相同的玻璃棒垂直插入水中，高度与水面齐平．如图2，先将甲玻璃棒竖直向上提起4cm，露出水面部分高度为5cm，保持甲玻璃棒离容器底部4cm不变，再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm，发现乙玻璃棒仍有部分浸入水中，则乙玻璃棒露出水面部分高度为（　　） A．7.3cm B．7.5cm C．8.3cm D．8.5cm 19．（2023秋•滨江区期末）书店举行购书优惠活动：①购书原价不超过100元，按原价的九折付款；②购书原价超过100元但不超过200元，按原价的八折付款；③购书原价超过200元，按原价的七折付款．小滨在这次活动中，两次购书总共付款211.2元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，则小滨这两次购书原价的总和是 　 　元． 20．（2023秋•西湖区期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《易经》中记载了最早的幻方——九宫图．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未完成的幻方，则x的值是 　 　． x ﹣5 8 ﹣2 21．（2023秋•拱墅区期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别是﹣4和2，点P从A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，点Q从B出发以每秒2个单位长度的速度向右运动．若点P与点Q同时出发，经过 　 　秒后，P，Q之间距离2个单位长度． 22．（2023秋•金东区期末）已知数轴上点A表示的数为﹣5，点O表示的数为0． （1）点B是数轴上不与点A重合的点，且A、B两点间的距离为6个单位长度．则点B所表示的数为 　 　； （2）若有一只小乌龟从A点出发，以每分钟2个单位长度的速度向左做匀速运动，有一只小白兔从原点O出发，以每分钟5个单位长度的速度向左做匀速运动，但小白兔每走2分钟原地休息1分钟，小乌龟和小白兔同时出发，问运动 　 　分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度． 23．（2023秋•鄞州区期末）如图，点A、B为数轴上的两点，点A表示﹣8，点B表示4，点P为数轴上一动点． （1）若点P在A、B之间，满足PB＝2PA时，求点P表示的数； （2）若点P以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍时，求点P运动的时间． 24．（2023秋•鄞州区期末）某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话200分钟及以下，流量20GB及以下，各种费用月费共计69元． 通话250分钟及以下，流量30GB及以下，各种费用月费共计99元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收0.15元/分；流量超量部分加收2.5元/GB． 通话超时部分加收0.12元/分；流量超量部分加收2元/GB． （1）若某月小明通话时间为300分钟，上网流量为25GB，则他按套餐一计费需要的费用是 　 　元；按套餐二计费需要的费用是 　 　元； （2）若上网流量为26GB，是否可能通话时间相同，按套餐一和套餐二的计费也相等？请你作出判断并说明理由； （3）为迎接新春佳节到来，移动公司针对两款套餐推出限时优惠活动：套餐一对通话超时和上网超量部分的费用打8折；套餐二月费从99元降到90元．小明认为：“当通话超过250分钟，流量超过30GB时，两款套餐费用差额为一确定的值．”你认为小明的判断正确吗？如果正确，请求出这一确定的值；如果不正确，请说明理由． 25．（2023秋•滨江区期末）取号等候在生活中常常发生，如医院取药、银行办理业务、就餐等，大家都希望能尽可能减少等候时间．某市商业街有一家网红奶茶店，上午9：00开门营业时，恰好第20人完成自主取号．已知奶茶店给每位顾客的服务时间为2分钟，到中午12：00，有一位顾客正好完成取号，此时有50人在等候．（假设：相邻两位顾客到店的时间间隔相同；奶茶店为上一位顾客服务完成后，再为下一位顾客服务；每位取号的顾客都买并且只买一杯奶茶） （1）求相邻两位顾客前来买奶茶的间隔时间； （2）小滨在奶茶店等候时，在不远处的一家鸡排店下了一单，此时49号顾客刚拿到奶茶，小滨是58号，他迅速骑上电动自行车，以12千米/小时的速度赶到鸡排店，立即取好鸡排，他以9.6千米/小时的速度返回奶茶店，到店时恰好轮到他取奶茶，求此鸡排店到该奶茶店的路程．（列方程解应用题） 26．（2023秋•杭州期末）一根竹竿插入一水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，露出水面部分为米，竹竿有多长？水有多深？ 27．（2023秋•杭州期末）如图，在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数﹣1，点C表示数5，点A到点B的距离记为AB．我们规定：AB的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数来表示． 例如：AB＝（﹣1）﹣（﹣3）＝2． （1）求线段AC的长； （2）以数轴上某点D为折点，将此数轴向右对折，若点A在点C的右边，且AC＝4，求点D表示的数； （3）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点C以每秒4个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，经过t秒时，AC＝2AB．求出t的值． 28．（2023秋•温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）． 【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？ 思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期． 思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分） 29．（2023秋•北仑区期末）随着春节的临近，A、B两款“欢庆新春”主题盲盒在市场上热销．经调研，学校周边甲、乙两家文具店里这两款网红盲盒的原价一致，A款盲盒原价为12元/个，B款盲盒的原价为16元/个，但两家店都推出了相应的促销活动： 甲商店：A款盲盒打八折促销，B款盲盒打九折促销． 乙商店：这两款盲盒单买都不打折，但推出了盲盒大礼包进行促销，每一个大礼包由3个A款盲盒和2个B款盲盒组成，大礼包定价为56元/个． （1）若要购买A款盲盒6个，B款盲盒5个，参加哪家店的促销活动总价更优惠？优惠多少元？ （2）某学校701班和702班打算在班会课举行迎新主题联谊活动，计划购买A款盲盒30个，B款盲盒n个（n≥20），若选择到甲商店购买与到乙商店购买盲盒所需的金额相同，求n的值． （3）已知甲、乙两家店相隔不远，若你是701班的班长，负责此次活动所需盲盒的购买事项，请在（2）的基础上，直接写出最为优惠的采购方案． 30．（2023秋•北仑区期末）定义：在同一直线上有A，B，C三点，若点C到A，B两点的距离呈2倍关系，即AC＝2BC或BC＝2AC，则称点C是线段AB的“倍距点”． （1）线段AB的中点 　 　该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是”） （2）已知AB＝9，点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC＝　 　． （3）如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点． ①现有一动点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段MN（如图2，点M起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值． 31．（2023秋•松阳县期末）一副三角尺按如图所示摆放，将三角尺ABP绕点P以每秒15°的速度顺时针旋转，同时，三角尺PCD也绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，三角尺ABP的直角边PB与PN重合时停止旋转，三角尺PCD也停止旋转，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示：∠NPD＝　 　；∠MPB＝　 　； （2）当t为何值时，∠BPC＝5°？ （3）下列三个问题，依次按易、中、难排列，对应的满分值为2分、3分、4分，请根据自己的认知水平，选择其中一个问题完成作答． ①当t为何值时，PC与PB重合？ ②当t为何值时，PC⊥PB？ ③在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线PB是由射线PA、射线PC、射线PD中的其中两条组成的角的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 一十六．角的计算（共1小题） 32．（2023秋•拱墅区期末）综合与实践． 问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题． 问题1：已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，则∠AOD＝　 　． 问题2：已知AB＝60，点C是AB的中点，点D是AC的中点，则AD＝　 　． 数学思考：（1）完成问题1与问题2的填空． 深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系． （2）老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题． 如图1，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB同侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数（无需作答）． 完成下列问题的解答： ①“运河小组”提出问题：如图2，线段AB＝180，点C，D在线段AB上（AC＜AD），CD＝90，点E，F分别是线段AC，BD的中点，求EF的长． ②“武林小组”提出问题：如图3，点O在直线AB上，OC⊥OD（OC，OD在直线AB两侧），OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD．求∠EOF的度数． 一十七．余角和补角（共4小题） 33．（2023秋•长兴县期末）若∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，则下列结论错误的是（　　） A．∠3﹣∠2＝90° B．∠3+∠2+2∠1＝270° C．∠3﹣∠1＝2∠2 D．∠3﹣∠2＝2∠1 34．（2023秋•拱墅区期末）如图，点O在直线AD上，在直线AD的同侧作射线OB，OC，若60°＜∠AOC＜90°，且∠AOB和∠AOC互余．作OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，则（　　） A．∠BOM+∠CON＝45° B．2∠BOM+∠CON＝45° C．2∠BOM+∠CON＝60° D．∠BOM+2∠CON＝60° 35．（2022秋•杭州期末）若∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，则∠1与∠3的关系是　 　，理由是　 　． 36．（2023秋•郧阳区期末）如图1，OC平分∠AOB，OD是∠BOC内部从点O出发的一条射线，OE平分∠AOD． （1）【基础尝试】如图2，若∠AOB＝120°，∠COD＝10°，求∠DOE的度数； （2）【画图探究】设∠COE＝x°，用x的代数式表示∠BOD的度数； （3）【拓展运用】若∠COE与∠BOD互余，∠AOB与∠COD互补，求∠AOB的度数． 一十八．矩形的性质（共1小题） 37．（2023秋•拱墅区期末）已知AB，CD，EF是三条平行线，小明在三条平行线之间摆放相同的长方形纸片，如图所示，在CD上方有7个，在CD下方有4个，AEFB构成大长方形．已知小纸片长为a，宽为b，摆放方式不重叠也无空隙．小明发现，改变AB的长度，空余部分的面积S1与S2的差不改变，则a，b之间的关系为（　　） A．5b＝2a B．4b＝a C．3b＝a D．5b＝3a 一十九．正方形的性质（共1小题） 38．（2023秋•鄞州区期末）将正方形纸片BEFG和正方形纸片DHMN按如图所示放入周长为10的长方形ABCD中，将图中的两个空白图形分别记为P，Q，已知下列某个选项的值，仍不能求出甲的周长，这个选项是（　　） A．乙的周长 B．丙的周长 C．P与Q的周长和 D．P与Q的周长差 二十．作图—复杂作图（共2小题） 39．（2023秋•鄞州区期末）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成（保留画图痕迹）． （1）画直线AB，画射线AD； （2）连结BC并延长BC到E，使得CE＝BC； （3）在线段BD上取点F，使FA+FC的值最小，并说明理由． 40．（2023秋•拱墅区期末）如图，已知线段AB． （1）尺规作图（不写画法，但要保留画图痕迹）： ①延长线段AB到C，使B点为线段AC的中点； ②延长线段BA到D，使AD是CD的三分之一． （2）求线段BD与线段AC长度之间的大小关系． （3）如果AB＝3，求线段BD和CD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$