2025年中考数学一轮教材复习-第四章 三角形 相似三角形(含位似)课件

第1讲　Unit 1—Unit 3 (含Starter Units) 七年级上册 相似三角形(含位似) 2025年中考数学一轮教材复习 第四章 三角形 （第四章 三角形） 教材知识复习 PART 01 （第四章 三角形） 比例线段 比例的性质 合比性质：如果 ,那么① (bd≠0) 等比性质：如果=···= b1+b2+···+bn≠0，那么② . 基本性质： (abcd≠0) 黄金分割：如图，AC＞BC,则 简记 　 　 （第四章 三角形） 比例线段 比例的性质 推论:平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所得的对应线段④ . 基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段③ . 【技巧】如图，直线a∥b∥c， 则,, 成比例 成比例 （第四章 三角形） [北师九上P84第1题变式]如图,直线a,b,c被直线l1,l2所截,交点分别为点A,C,E和点B,D,F.已知a∥b∥c,且=,BD=6,则BF的长是(　　) A.8 B.10 C.14 D.16 1 C （第四章 三角形） 相似三角形的性质与判定 性质 相似三角形的周长比等于⑧ ,面积比等于⑨ . 相似三角形对应角⑤ ,对应边⑥ . 相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)的比等于⑦ . 相等 成比例 相似比 相似比 相似比的平方 （第四章 三角形） 相似三角形的性质与判定 判 定 判定方法 图示 方法1 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似 （当DE∥BC时,△ADE∽△ABC) 方法2 ⑩ 分别对应相等的两个三角形相似 两角 （第四章 三角形） 相似三角形的性质与判定 判 定 判定方法 图示 方法3 两边对应成比例且⑪ 相等的两个三角形相似 方法4 三边⑫ 的两个三角形相似 夹角 对应成比例 （第四章 三角形） 证明三角形相似的思路 【注意】相似三角形中的对应关系,如果只给出两三角形相似,而不是用“∽”表示,那么需要分类讨论 （第四章 三角形） [人教九下P34第2题变式]如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是(　　) 3 A B C D C 素养落地 以裁剪三角形为背景判定两三角形相似,在考查相似三角形判定定理的同时又考查几何直观的核心素养,有助于学生把握问题的本质,明晰思维的路径 （第四章 三角形） [北师九上P120第8题变式,“8”字型]如图,平行四边形ABCD中,E是边BC上一点,AE交BD于点F,如果=,那么=　　　　. 4 　 （第四章 三角形） [湘教九上P80第2题变式,“一线三等角”型]如图,在△ABC中,AB=AC=6,D是AC的中点,E是BC上一点,若BE=2.5,∠AED=∠B,则CE的长为　　　　.  5 题眼 识别“一线三等角”模型,易得△ABE∽△ECD （第四章 三角形） 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上一点,连接DE,AD=2,BD=1. (1)添加一个条件(不添加辅助线):　　　 　　　　,使△ADE∽△ABC. 6 (2)若DE∥BC,则AE∶EC=　　　　,DE∶BC=　　　　.  (3)若△ADE∽△ABC. ①对应边、对应角的关系为=　　　=　　　,∠ADE=　　　　,  ∠AED=　　　　.  ②C△ADE∶C△ABC=　　　　,S△ADE∶S△ABC=　　　　.  (4)若△ADE与△ABC相似,AC=4,则AE=　　　  ∠AED=∠C（答案不唯一） 2∶1 2∶3 　 　 ∠B ∠C 2∶3 4∶9 或 （第四章 三角形） 位似图形 的性质 相似 相似比 （第四章 三角形） [人教九下P58第10题变式]如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为相似中心,在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A'B'C',则点C'的坐标是(　　) A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4) 2 C （第四章 三角形） 中考考点复习 PART 02 （第四章 三角形） [2023贵州23题节选(总12分)]如图,已知☉O是等边三角形ABC的外接圆,连接CO并延长交AB于点D,交☉O于点E,连接EA,EB. 求证:△AED∽△CEB. 考点 相似三角形的判定与性质(必考) 1 证明:∵△ABC是等边三角形, ∴AC=BC,∴=, ∴∠AEC=∠BEC. 又∠BCE=∠BAE, ∴△AED∽△CEB. （第四章 三角形） 考点 相似三角形的判定与性质(必考) 1-1 [2024遵义一模]如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,连接AC,BC.按如下步骤尺规作图: ①以点C为圆心,适当长为半径画弧,与AC,BC分别交于点M,N; ②再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点E; ③连接CE并延长交☉O于点D,交AB于点P, 连接AD,BD. (1)请在图中找出一对相似三角形并证明. (2)若AD=3,OP=1,求BC的长. （第四章 三角形） (1)△CAP∽△BDP.(答案不唯一) 证明:∵∠CAP=∠BDP,∠DBP=∠ACP, ∴△CAP∽△BDP. (2)∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. 由尺规作图的步骤可知,CD平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°, ∴∠BAD=∠BCD=45°, ∠ABD=∠ACD=45°, ∴∠BAD=∠ABD, ∴BD=AD=3, ∴AB==6, ∴OB=OA=AB=3, ∴PB=OB-OP=2. 如图,连接DO, 则DO⊥PO, DO=AB=OA=3, （第四章 三角形） ∴DP===. ∵∠DAP=∠BCP,∠ADP=∠CBP, ∴△APD∽△CPB, ∴=,即=, ∴BC=. （第四章 三角形） [2022贵阳6题3分]如图,在△ABC中,D是AB边上的点,∠B=∠ACD,AC∶AB=1∶2,则△ACD与△ABC的周长比是(　　) A.1∶ B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 2 考点 相似三角形的判定与性质(必考) B （第四章 三角形） [2024河南中考改编]如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为OC的中点,EF∥AB交BC于点F.若S△ABC=4,则S△CEF=(　　) A. B. C. D.1 2-1 考点 相似三角形的判定与性质(必考) B （第四章 三角形） 同步拓展训练 PART 03 （第四章 三角形） 大自然巧夺天工,一片树叶也蕴含着“黄金分割”,如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AP的长为10 cm,那么BP的长是　　　　cm. 3 (5-5) (或6.18) 解析 利用BP=AP （第四章 三角形） 某数学兴趣小组为了测量校内路灯的灯柱AB的高度,设计了以下三种方案. 方案一:如图(1),在操场上点C处放一面平面镜,从点C处后退1 m到点D处,恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像.再将平面镜向后移动4 m(即FC=4 m)放在F处,从点F处向后退1.5 m 到点H处,恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶 部A点的像,其中眼睛距地面的高度ED,GH均 为1.5 m,已知点B,C,D,F,H在同一水平线上,且GH⊥FH,ED⊥CD,AB⊥BH(平面镜的大小忽略不计). 4 （第四章 三角形） 方案二:如图(2),利用标杆CD测量灯柱 的高度.已知标杆CD高1.5 m,测得DE= 2 m,CE=2.5 m. 方案三:如图(3),将直角三角形支架的直 角边CE保持水平,并且边CE与点M在同 一直线上.已知CE=0.4 m,EF=0.2 m,测得 边CE离地面距离DC=1.5 m. 以上三种方案中,方案　　　　不可行,请 选择可行的方案,并求出灯柱的高度.  4 二、三 （第四章 三角形） 选择方案一. ∵∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC, ∴△ABC∽△EDC, ∴=,∴AB==1.5BC. 设BC=x m,则AB=1.5x m. 同理可得△ABF∽△GHF, ∴=. ∵AB=1.5x m, BF=BC+CF=(x+4)m,GH=1.5 m, FH=1.5 m, ∴=, 解得x=8, ∴AB=1.5×8=12(m), 即灯柱的高度为12 m. （第四章 三角形） $$