2025年九年级中考数学一轮复习课件 --第三章 函数 二次函数的图象及其性质

第1讲　Unit 1—Unit 3 (含Starter Units) 七年级上册 二次函数的图象及其性质 2025年中考数学一轮教材复习 第三章 函数 （第三章 函数） 教材知识复习 PART 01 （第三章 函数） 二次函数的图象与性质 抛物线 (a≠0) y=ax2 y=ax2+c y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c y=a(x+) 2+ 开口方向 当a①　　　0时,开口向上,并向上无限延伸;当a②　　　0时,开口向下,并向下无限延伸  顶点坐标 (0,0) (0,c) (h,0) (③　　　)  (④　　　　　　)  对称轴 y轴 y轴 直线x=h 直线x=h 直线x=⑤　　  > < h,k -, - （第三章 函数） 二次函数的图象与性质 最 值 a>0 当x=0时, ymin=0 当x=0时, ymin=c 当x=h时, ymin=0 当x=⑥　　时,  ymin=⑦　　  当x=-时,ymin= a<0 当x=0时, ymax=0 当x=0时, ymax=c 当x=h时, ymax=0 当x=h时, ymax=k 当x=⑧ 　　时, ymax=⑨　　　  h k - 　 抛物线 (a≠0) y=ax2 y=ax2+c y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c y=a(x+) 2+ （第三章 函数） 二次函数的图象与性质 增 减 性 a>0 在对称轴左侧,y随x的增大而⑩　　   在对称轴右侧,y随x的增大而⑪　　   a<0 在对称轴左侧,y随x的增大而⑫　　   在对称轴右侧,y随x的增大而⑬　　   减小 增大 增大 减小 （第三章 函数） y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系 a 决定抛物线的开口方向和大小 a>0,抛物线开口向 　　　,a<0,抛物线开口向下;|a|越大,抛物线的开口越小,|a|越小,抛物线的开口越大  a,b 共同决定抛物线 　　　的位置  b=0,对称轴为y轴;a,b同号,对称轴在y轴 　　　侧;a,b异号,对称轴在y轴 　　　侧.可简记为“左同右异”  c 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0,抛物线过原点;c>0,抛物线与y轴交于 　　　半轴; c<0,抛物线与y轴交于 　　　半轴  特殊 关系 当x=1时, y=a+b+c;当x=-1时, y=a-b+c ;当x=2时, y=4a+2b+c;当x=-2时, y=4a-2b+c当对称轴为直线x=1时,则2a+b=0;当对称轴为直线x=-1时,则2a-b=0 【课标新增】知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系 【平移规律】上加下减常数项,左加右减自变量 上 对称轴 左 右 正 负 （第三章 函数） 二次函数表达式的确定 名称 表达式(a≠0) 图象 使用条件 一般式 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数) 已知抛物线上任意三点 顶点式 y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数) 已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值+其他任意一点 交点式 ⑳y=a(x-x)(x -x(a为常数,x1,x2为图象与x轴交点的横坐标) 已知抛物线与x轴的两个交点+其他任意一点 y=a(x-x1)(x-x2) （第三章 函数） [北师九下P39第4题变式]已知某函数当x>1时,y随x的增大而减小,请你写出一个满足条件的二次函数表达式:　　　　　　.  1 y=-(x-1)2(答案不唯一) （第三章 函数） [北师九下P43习题第1题变式]已知二次函数图象的顶点坐标是(-,),且经过点(1,0). (1)求二次函数的表达式,并在如图所示的平面直角坐标系中画出图象. (2)若二次函数的图象经过平移后过原点,可以怎样平移? 2 （第三章 函数） (1)设二次函数的表达式为y=a(x+)2+, 把点(1,0)的坐标代入, 得a(1+)2+=0,解得a=-1, 所以二次函数的表达式为y=-(x+)2+. 函数图象如图所示. (2)将二次函数的图象向下平移2个单位后,二次函数的图象经过原点.(平移方法不唯一,正确即可) （第三章 函数） 与方程的关系 x 2 不相等 1 相等 没有 （第三章 函数） 与方程的关系 > <  （第三章 函数） [湘教九下P19第9题变式]如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1. (1)a与b的数量关系是　　　　.  (2)a　　　0,b　　　0,c　　　0,abc　　　0. (填“>”“<”或“=”)  (3)抛物线与x轴有　　　个交点,b2-4ac　　　0. (填“>”“<”或“=”)  (4)当x=-1时,y　　　　0,a-b+c　　　　0,3a+c　　　　0.(填“>”“<”或“=”)  3 b=-2a > > < < 2 > > > > （第三章 函数） (5)当x=2时,y　　　　0,4a+2b+c　　　　0.(填“>”“<”或“=”)  (6)y的最小值为　　　　(用含a,b,c的式子表示).若m为任意实数,则a+b　　　　m(am+b).(填“≥”“≤”“>”或“<”)  3 < < a+b+c ≤ [湘教九下P19第9题变式]如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1. （第三章 函数） (7)①若B(-,y1),C(,y2)为抛物线上的两点,则y1　　　　y2;(填“>”“<”或“=”)  ②若P(-5,y1),Q(m,y2)是抛物线上两点,且y1>y2,则 实数m的取值范围是　　　　.  (8)若该抛物线经过点(-3,n),则关于x的一元二次方程 ax2+bx+c-n=0的根为　　　　.  3 > -5<m<7 x=5或x=-3 课标新增 本题中的第(3)问和第(8)问均体现二次函数与一元二次方程之间的关系 [湘教九下P19第9题变式]如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=1. （第三章 函数） 巧借距离比较二次函数值的大小 图(1)　 　　 图(2) 对于二次函数y=ax2+bx+c. ①当a>0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越小,如图(1); ②当a<0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越大,如图(2). （第三章 函数） 中考考点复习 PART 02 （第三章 函数） [2023贵州10题3分]已知,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,b)所在的象限是(　　) A.第一象限　B.第二象限 C.第三象限　D.第四象限 [2024贵阳开阳一模]已知,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,c)可能是(　　) 考点1 二次函数图象与系数a,b,c的关系(10年3考) 1 1-1 A.(3,2)　　　　　　 B.(-3,2) C.(-3,-2)　　　　　　D.(3,-2) D D （第三章 函数） [2016 贵阳10题3分]若m,n(n<m)是关于x的一元二次方程1-(x-a)(x-b)=0的两个根,且b<a,则m,n,b,a的大小关系是(　　) A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.b<n<m<a D.n<b<a<m 考点2 二次函数与一元二次方程的关系(10年3考) 2 D 解析 利用图象法,画出抛物线y=(x-a)(x-b)与直线y=1,示意图如下,分析图象解决问题 （第三章 函数） [2024 贵阳南明区模拟]已知二次函数y=-x2+ax+3的图象的对称轴为直线x=2,关于x的方程-x2+ax+3-m=0(m为实数)在-1<x<3的范围内有实数根,则m的取值范围是(　　) A.6≤m<7 B.m<7 C.-2≤m<6 D.-2<m≤7 考点2 二次函数与一元二次方程的关系(10年3考) 2-1 D （第三章 函数） 数轴二次函数的交点问题(10年3考) [2018 贵阳10题3分]已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新函数(如图所示),当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　 A.-<m<3 　 B.-<m<2 C.-2<m<3 　 D.-6<m<-2 考点3 3 D （第三章 函数） [2024 东莞模拟]抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为(　　) A.0个　　　　B.1个　　 C.2个　　　　D.3个 考点3 3-1 数轴二次函数的交点问题(10年3考) [2024新乡一中二模]二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,设二次函数图象上点A,B之间的部分(含点A,B)为曲线C.将曲线C向上平移m个单位长度,若曲线C与直线y=5有两个交点,则m的取值范围为　　　　. 3-2 B 1<m≤2 提示 曲线C向上平移1个单位与直线y=5相切,继续再向上平移1个单位刚好与直线y=5有两个交点,继续向上平移没有两个交点了 （第三章 函数） 考点4 二次函数的图象与性质(10年8考) 考点4 [2024贵州12题3分]如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是(　　) 4 A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时,y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 D （第三章 函数） [2024 黔东南州模拟改编]已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示.在该函数所给自变量取值范围内,下列说法正确的是(　　) A.函数图象关于直线x=1对称 B.有最小值-1,最大值3 C.y随x的增大而增大 D.顶点坐标为(0,0) 考点4 4-1 二次函数的图象与性质(10年8考) B （第三章 函数） 考点4 二次函数的图象与性质(10年8考) 考点4 [2022贵阳24题12分]已知二次函数y=ax2+4ax+b. (1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a,b的代数 式表示). (2)在平面直角坐标系中,若二次函数的图象与x 轴交于A,B两点,AB=6,且图象过(1,c),(3,d),(-1,e), (-3,f)四点,判断c,d,e,f的大小,并说明理由. (3)点M(m,n)是二次函数图象上的一个动点,当 -2≤m≤1时,n的取值范围是-1≤n≤1,求二次函数的 表达式. 5 备用图 （第三章 函数） 考点4 二次函数的图象与性质(10年8考) 考点4 [2022贵阳24题12分]已知二次函数y=ax2+4ax+b. (1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a,b的代数 式表示). 5 备用图 (1)∵y=ax2+4ax+b=a(x+2)2-4a+b, ∴二次函数图象的顶点坐标为(-2,-4a+b). （第三章 函数） 考点4 二次函数的图象与性质(10年8考) 考点4 [2022贵阳24题12分]已知二次函数y=ax2+4ax+b. (2)在平面直角坐标系中,若二次函数的图象与x 轴交于A,B两点,AB=6,且图象过(1,c),(3,d),(-1,e), (-3,f)四点,判断c,d,e,f的大小,并说明理由. 5 备用图 (2)由(1)得抛物线对称轴为直线x=-2,当a>0,抛物线开口向上时, ∵3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3),∴d>c>e=f. 当a<0,抛物线开口向下时,∵3-(-2)>1-(-2)>(-1)-(-2)=(-2)-(-3),∴d<c<e=f. （第三章 函数） 考点4 二次函数的图象与性质(10年8考) 考点4 [2022贵阳24题12分]已知二次函数y=ax2+4ax+b. (3)点M(m,n)是二次函数图象上的一个动点,当 -2≤m≤1时,n的取值范围是-1≤n≤1,求二次函数的 表达式. 5 备用图 （第三章 函数） (3)当a>0,抛物线开口向上,x>-2时,y随x的增大而增大, ∴m=-2,n=-1或m=1,n=1, ∴解得∴y=x2+x-. 当a<0,抛物线开口向下,x>-2时,y随x的增大而减小, ∴m=-2,n=1或m=1,n=-1, ∴解得∴y=-x2-x+. 综上所述,二次函数的表达式为y=x2+x-或y=-x2-x+. （第三章 函数） [2024 贵阳南明区模拟]在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)与y轴交于点A. (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴. (2)当a>0时,抛物线上有两点(2,t1),(k,t2),若t1>t2,求k的取值范围. (3)若D(m-2,y1),E(m,y2),F(m+3,y3)都在抛物线上,是否存在实数m,使y1<y3<y2≤-a-8恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 考点4 5-1 二次函数的图象与性质(10年8考) （第三章 函数） [2024 贵阳南明区模拟]在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)与y轴交于点A. (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴. 考点4 5-1 二次函数的图象与性质(10年8考) (1) ∵抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)与y轴交于点A, ∴当x=0 时,y=-8,∴A(0,-8). ∵-=1, ∴抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)的对称轴为直线x=1 . （第三章 函数） [2024 贵阳南明区模拟]在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)与y轴交于点A. (2)当a>0时,抛物线上有两点(2,t1),(k,t2),若t1>t2,求k的取值范围. 考点4 5-1 二次函数的图象与性质(10年8考) (2) 由(1)得,抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)的对称轴为直线x=1, ∵a>0,∴当x<1时,y随 x的增大而减小;当x>1时,y随 x的增大而增大. ∵点(2,t1 )关于直线x=1 的对称点为(0,t1 ), ∴当 t1 >t2 时,0<k<2. （第三章 函数） [2024 贵阳南明区模拟]在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2ax-8(a≠0)与y轴交于点A. (3)若D(m-2,y1),E(m,y2),F(m+3,y3)都在抛物线上,是否存在实数m,使y1<y3<y2≤-a-8恒成立?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. 考点4 5-1 二次函数的图象与性质(10年8考) （第三章 函数） (3)∵y=ax2-2ax-8=a(x-1)2-a-8, ∴抛物线的顶点坐标为(1,-a-8). ∵y1<y3<y2 ≤-a-8, ∴抛物线开口向下,∴a<0. 当x=m-2 时,y1 =a(m-2)2 -2a(m-2)-8=am2-6am+8a-8; 当x=m 时,y2 =am2-2am-8; 当x=m+3 时,y3=a(m+3)2-2a(m+3)-8=am2+4am+3a-8. ①若y1<y3 ,即 am2 -6am+8a-8<am2+4am+3a-8,解得m<; ②若y3<y2 ,即 am2+4am+3a-8<am2-2am-8,解得 m>-; ③若y1<y2 ,即 am2 -6am+8a-8<am2-2am-8, 解得 m<2. 综上所述,存在实数 m ,使得y1<y3<y2 ≤-a-8恒成立, ∴m的取值范围为-<m< . （第三章 函数） Lavf57.83.100 $$