第01讲：集合期末高频考点题型讲与练【9大题型】-2024-2025学年高一数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习（人教A版2019必修第一册）

第01讲：集合期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点01：元素与集合的关系 · 考点02：元素特性问题 · 考点03：根据集合包含关系求参数 · 考点04：集合的基本运算 · 考点05：根据并集求集合或者参数问题 · 考点06：根据交集求集合或者参数问题 · 考点07：根据补集运算求集合或者参数问题 · 考点08：Venn图与集合的应用 · 考点09：集合的综合问题 【知识梳理】 知识点一：集合的的特性 1．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点五.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B 知识点六：集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 【题型归纳】 题型一：元素与集合的关系 1．（23-24高一下·河北·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集运算得出集合，再由元素与集合的关系判断． 【详解】因为全集，所以， 根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确． 故选：C． 2．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 【答案】2 【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案. 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 3．（23-24高一上·湖北十堰·期末）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得. 【详解】对于①，显然正确； 对于②，是无理数，故②正确； 对于③，是自然数，故③正确； 对于④，是无理数，故④错误. 故正确个数为3. 故选：C. 题型二：元素特性问题 4．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】A 【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以BD错误，A正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：A. 5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可. 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 6．（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 【答案】或 【分析】根据一元二次方程求解，结合集合元素的特征，可得答案. 【详解】由方程，则或， 当存在两个相等的实数根时，，解得， 此时方程的解为，符合题意； 当存在两个不相等的实数根且其中一个根为时，，解得， 此时，则方程另一个解为，符合题意. 综上所述，当或时，集合中恰有两个元素. 故答案为：或. 题型三：根据集合包含关系求参数 7．（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【答案】C 【分析】利用集合包含关系求得的值，从而得解. 【详解】因为，，， 所以或，即或， 当时，；当时，，都符合题意. 故选：C. 8．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合是集合的子集，结合集合中元素的互异性求解即可. 【详解】集合，， 由于，则实数的取值范围是 故选：B． 9．（2023·陕西·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的子集关系求解. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：B 题型四：集合的基本运算 10．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由题设得，所以. 故选：D . 11．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集和补集的运算得到结果即可. 【详解】因为， 所以，又 所以， 故选：B 12．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过解分式不等式和指数不等式，分别解出两个集合，再由交集和并集的运算，即可解答. 【详解】由题意， 集合， 集合， 所以，. 故选：A. 题型五：根据并集求集合或者参数问题 13．（21-22高二下·河南开封·期末）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据并集定义分析可得. 【详解】由题知，又，所以，所以，即. 故选：D 14．（21-22高一上·贵州毕节·期末）已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数轴，根据集合的运算结果即可求解. 【详解】因为集合或，，，所以． 故选：B． 15．（21-22高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知集合，满足，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将转化为，根据集合间的关系可解答. 【详解】由题可得，由可得，由可得或2. 故选：D. 题型六：根据交集求集合或者参数问题 16．（23-24高一下·广东·期末）集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合的交集、并集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合满足, 因为，可得， 又因为，可得， 因为，所以，即集合中的元素个数为4． 故选：B. 17．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）设集合，且，若集合只有一个子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由求出集合，再根据条件得，由交集的运算求出的范围． 【详解】由得，，则， ∵只有一个子集，即， 又，∴． 故选：A． 18．（22-23高一上·辽宁营口·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】由集合，， 又∵，∴ ∴实数a的取值范围为：． 故选：C 题型七：根据补集运算求集合或者参数问题 19．（20-21高三上·河北邯郸·期末）已知全集，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】按集合补运算并化简集合后求交. 【详解】， 故选:D. 20．（20-21高一上·江苏盐城·期末）设集合则（    ） A． B．(-1，2] C．(-1，2) D．(-1，+∞) 【答案】B 【解析】由对数型复合函数的定义域、指数的单调性解不等式求集合A、B，应用集合的交补运算求即可. 【详解】由题意知：， ∴， 故， 故选：B 21．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 【答案】或且 【分析】先考虑A，B为空集得出a的范围，再利用补集思想求得结果. 【详解】对于集合A，由，解得; 对于集合B，由，解得. 因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集, 所以a的取值范围是或，且 故答案为：或且 题型八：Venn图与集合的应用 22．（22-23高一上·江苏淮安·期末）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点．则乙一定去过的景点是（    ） A．淮安方特 B．龙宫大白鲸世界 C．西游乐园 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据题意分析结合集合的交集思想即可求解. 【详解】先从乙说的出发，可以推出乙可能去过淮安方特或西游乐园， 再由甲说的，可以推出甲去过龙宫大白鲸世界和西游乐园， 则乙只能去过淮安方特和西游乐园中的一个， 再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过西游乐园. 故选：C. 23．（22-23高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}， 集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 24．（19-20高一上·北京东城·期末）在国庆周年庆典活动中，东城区教育系统近名师生参与了国庆中心区合唱、方阵群众游行、联欢晚会及万只气球保障等多项重点任务．设是参与国庆中心区合唱的学校，是参与27方阵群众游行的学校，是参与国庆联欢晚会的学校．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为 ；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为 ． 【答案】 【解析】①利用交集定义直接求解,②利用并集定义直接求解． 【详解】解：①设是参与国庆中心区合唱的学校, 是参与27方阵群众游行的学校, 是参与国庆联欢晚会的学校． 既参与国庆中心区合唱又参与方阵群众游行的学校的集合为． 故答案为：． ②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为． 故答案为：． 【点睛】本题考查并集、交集的求法,考查并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题． 题型九：集合的综合问题 25．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）将代入集合，并化简，再根据并集的运算求解即可； （2）根据，列出不等式组，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以． 因为， 所以． （2）因为，所以，或， 解得． 故的取值范围为． 26．（22-23高一上·山东淄博·期末）集合 (1)求 (2)非空集合，求实数a的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合结合集合交集、补集运算即可； （2）确定，即可求解. 【详解】（1） 所以或 所以 （2）因为，所以， 则即，需满足且，解得 所以实数a的范围是. 27．（23-24高一上·浙江·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】当时，可得或，先求，再求其补集即可； （2）由可知，然后结合集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）依题意解得：，当时，或， 此时或， ； （2）由可知． 因为，； 当，即时，，符合题意， 当，即时，或， 则或，此时不存在； 当，即时，或， 则或，此时不存在， 所以． 【强化精练】 一、单选题 28．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出结合M，再应用交集运算得出选项. 【详解】因为，所以. 故选：C. 29．（23-24高一下·青海西宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的并集运算求解即可． 【详解】解：由题意可得， 则， 所以. 故选：B 30．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可. 【详解】因为中恰有三个元素，所以或或， 结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或. 故选：D． 31．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 32．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 33．（23-24高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 【答案】A 【分析】化简集合，用列举法表示集合、，即可判断. 【详解】因为或 ， 又或 或 ， 所以. 故选：A 34．（22-23高二下·广东茂名·期末）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得结合，结合阴影部分表示的集合为，即可求解. 【详解】由集合， 又由阴影部分表示的集合为. 故选：C. 35．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据集合对元素的要求，求得集合,再根据交集并集的定义判断A,B两项，根据集合新定义和的元素要求，分别求出集合判断即得. 【详解】由可得可能的取值有，即，均满足，故. 对于A项，，故A项错误； 对于B项，，故B项错误； 对于C项，因，故，故C项正确； 对于D项，依题有，,则，故D项错误. 故选：C. 36．（23-24高一上·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果. 【详解】由定义得，又，则或， 由方程，得或， 当时，方程只有一个实数根， 而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此； 当时，必有，方程有两个不相等的实数根， 并且都不是方程的根， 显然方程有两个相等的实数根，且异于， 于是，解得或， 当时，方程的根为，满足题意， 当时，方程的根为，满足题意， 因此或，所以，. 故选：C 二、多选题 37．（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，，则（    ） A．集合 B． C．集合可能是 D．可能是B的子集 【答案】ABD 【分析】解不等式化简集合A，由已知结合集合运算逐项判断即得. 【详解】集合，，则，，AB正确； 显然，即，而是的真子集，C错误； 由于，，因此可能是B的子集，D正确. 故选：ABD 38．（23-24高一上·山东淄博·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 39．（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解出集合，再根据交并补混合运算一一分析即可. 【详解】，即，解得，则， ， 则，则，，故A正确，B错误， ，则，C正确； ，则，D正确. 故选：ACD. 40．（21-22高一上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据题意，由集合间的关系以及集合的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为是无理数，为有理数集，故A错误； 若，则必有，故B正确； 若，则有，故C正确； 如果有一个元素既属于集合又属于集合，则这个元素一定属于，故D正确； 故选：BCD 41．（22-23高一上·吉林·期末）整数集Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属同一类 【答案】ACD 【分析】根据“类”的定义，对选项进行分析，得到答案. 【详解】A选项，，故，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，故，C正确； D选项，由题意可知能被5整除，故分别被5除的余数相同，故整数，属同一类，D正确. 故选：ACD 三、填空题 42．（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有 个． 【答案】30 【分析】若集合有个元素，则非空真子集的个数为. 【详解】根据元素互异性集合A中有5个元素， 所以非空真子集有． 故答案为:30. 43．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】解出即可得出交集. 【详解】解方程组，得，故. 故答案为：. 44．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据集合关系，可得，从而可求解. 【详解】由题意得， 则，解得. 故答案为：. 45．（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【分析】根据韦恩图计算得到答案. 【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 46．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 【答案】 或 【分析】根据并集的定义，结合交集的运算性质进行求解即可. 【详解】（ⅰ）当时，集合或，， 所以或； （ⅱ）因为，所以， 于是有或，即或， 因此实数的取值范围为， 故答案为：或； 47．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出的定义域得到集合A，再根据子集的定义即可求得a的取值范围. 【详解】，则或，即或. ①当时，，满足，符合题意； ②当时，，所以若， 则有或（舍），解得； ③当时，，所以若， 则有或（舍），解得. 综上所述，. 故答案为： 四、解答题 48．（23-24高一上·上海长宁·期末）设集合，. (1)若，试用区间表示集合、； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）当时，分别解出不等式，得集合、； （2）求出集合，根据，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，由，得， 解得，所以， 由，得，则有， 解得，所以； （2）由，得， 解得，所以， 由（1）得，由于， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 49．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知集合 (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. （2）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）解不等式，得，则， 当时，， 所以. （2）由，得，由（1）知，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 50．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集运算可得结果； （2）根据条件对集合A分类讨论，分别求出实数的范围. 【详解】（1）由时，集合， ， 所以， （2）当，即时，集合，符合， 当时，由，有， 解得 ， 综上可知，若，则的范围是. 51．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，然后由并集定义计算； （2）由，可得，列出相应不等式组，从而可求解. 【详解】（1）由题意知：，解得，所以， 所以. （2）由题意，得，所以，解得. 故的取值范围为. 52．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，，其中 (1)若； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，，，利用交集定义能求出； （2）由，，得，由此能求出的取值范围． 【详解】（1）集合或， ， ， ； （2），，其中 ，解得， 的取值范围是 53．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据子集的定义， 即可求解； （2）取，求得，再利用反证法假设，推得，与矛盾即可. 【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意； 若，设且， 根据题意，，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾， 综上所述，只有满足题意. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是在讨论时，利用反证法假设，推得，与矛盾，由此即可顺利得解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲：集合期末高频考点题型讲与练 【考点梳理】 · 考点01：元素与集合的关系 · 考点02：元素特性问题 · 考点03：根据集合包含关系求参数 · 考点04：集合的基本运算 · 考点05：根据并集求集合或者参数问题 · 考点06：根据交集求集合或者参数问题 · 考点07：根据补集运算求集合或者参数问题 · 考点08：Venn图与集合的应用 · 考点09：集合的综合问题 【知识梳理】 知识点一：集合的的特性 1．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点五.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B 知识点六：集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 【题型归纳】 题型一：元素与集合的关系 1．（23-24高一下·河北·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川德阳·期末）若，则 ． 3．（23-24高一上·湖北十堰·期末）下列关系中正确的个数为（    ） ①，②，③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：元素特性问题 4．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 5．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 6．（22-23高一上·上海奉贤·期末）集合中恰好有两个元素，则实数满足的条件是 . 题型三：根据集合包含关系求参数 7．（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 8．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·陕西·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四：集合的基本运算 10．（23-24高一上·甘肃嘉峪关·期末）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型五：根据并集求集合或者参数问题 13．（21-22高二下·河南开封·期末）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（21-22高一上·贵州毕节·期末）已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（21-22高一上·江苏南京·期末）设为实数，已知集合，满足，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 题型六：根据交集求集合或者参数问题 16．（23-24高一下·广东·期末）集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 17．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）设集合，且，若集合只有一个子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高一上·辽宁营口·期末）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：根据补集运算求集合或者参数问题 19．（20-21高三上·河北邯郸·期末）已知全集，则（ ） A． B． C． D． 20．（20-21高一上·江苏盐城·期末）设集合则（    ） A． B．(-1，2] C．(-1，2) D．(-1，+∞) 21．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知集合，，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 . 题型八：Venn图与集合的应用 22．（22-23高一上·江苏淮安·期末）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点．则乙一定去过的景点是（    ） A．淮安方特 B．龙宫大白鲸世界 C．西游乐园 D．不能确定 23．（22-23高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 24．（19-20高一上·北京东城·期末）在国庆周年庆典活动中，东城区教育系统近名师生参与了国庆中心区合唱、方阵群众游行、联欢晚会及万只气球保障等多项重点任务．设是参与国庆中心区合唱的学校，是参与27方阵群众游行的学校，是参与国庆联欢晚会的学校．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为 ；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为 ． 题型九：集合的综合问题 25．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 26．（22-23高一上·山东淄博·期末）集合 (1)求 (2)非空集合，求实数a的范围. 27．（23-24高一上·浙江·期末）已知集合，集合 (1)当时，求； (2)若，求实数a的值． 【强化精练】 一、单选题 28．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一下·青海西宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 30．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·上海·期末）已知集合或，集合，则集合与的关系是（    ） A． B． C． D．以上选项均不正确 34．（22-23高二下·广东茂名·期末）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·河南南阳·期末）已知集合，，记.则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一上·北京丰台·期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 37．（23-24高一上·安徽·期末）已知集合，，则（    ） A．集合 B． C．集合可能是 D．可能是B的子集 38．（23-24高一上·山东淄博·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 40．（21-22高一上·浙江杭州·期末）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 41．（22-23高一上·吉林·期末）整数集Z中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其中．以下判断正确的是（    ） A． B． C． D．若，则整数，属同一类 三、填空题 42．（24-25高一上·上海·期末）集合的非空真子集有 个． 43．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，则 ． 44．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 45．（23-24高一上·安徽合肥·期末）学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 46．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 47．（23-24高一上·江苏扬州·期末）已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 48．（23-24高一上·上海长宁·期末）设集合，. (1)若，试用区间表示集合、； (2)若，求实数的取值范围. 49．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知集合 (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 50．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 51．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 52．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，，其中 (1)若； (2)若，求的取值范围． 53．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$