期末复习专题一：数与代数·分数、百分数、比的认识和计算【二十大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末复习专题一：数与代数·分数、百分数、比的认识和计算 【二十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题一：数与代数·分数、百分数、比的认识和计算 专题内容 本专题包括分数和百分数的基础计算、混合运算及简便运算，比的基本认识、基本性质及基本计算等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 二十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 4 【第四篇】典型例题篇 9 【考点一】分数乘除法的表示和意义 9 【考点二】分数（百分数）基础计算 12 【考点三】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 12 【考点四】分数乘除法与单位换算 15 【考点五】分数（百分数）混合运算和简便计算 16 【考点六】分数（百分数）解方程 22 【考点七】分数（百分数）列式计算（文字式） 25 【考点八】分数（百分数）列式计算（图形式） 26 【考点九】分数（百分数）简便计算其一：分子、分母交换与拆分 28 【考点十】分数（百分数）简便计算其二：带分数化加式或化减式 29 【考点十一】分数（百分数）简便计算其三：裂项法（分数裂和与分数裂差） 31 【考点十二】分数（百分数）简便计算其四：整体约分思想 33 【考点十三】倒数的基本认识 35 【考点十四】倒数的变式问题 37 【考点十五】比与百分数的认识和意义 40 【考点十六】化简比和求比值 42 【考点十七】比的基本性质 44 【考点十八】化连比 45 【考点十九】分数、小数、百分数、除法、比之间的互相转化 47 【考点二十】分数、小数、百分数之间的大小比较 48 【第三篇】知识总览篇 知识点一：分数乘法的意义。 1. 分数与整数相乘的意义。 （1）分数乘整数表示求几个相同加数的和的简便运算或者求一个分数的几倍是多少； （2）整数乘分数表示求一个整数的几分之几是多少。 注意：分数乘整数和整数乘分数所表示的意义略有区别，但二者并无本质不同。 2. 计算法则。 分母不变，分子乘整数作分子，即：。 注意：能约分的先约分。 知识点二：分数乘法的计算。 1. 分数与整数相乘。 分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2. 分数与分数相乘。 用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3. 小数与分数相乘。 （1）把小数转化成分数，按分数乘分数的方法进行计算； （2）把分数转化成小数，按小数乘小数的方法进行计算。 4. 为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5. 积与因数的大小关系。 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。 一个数（0除外）乘1，积等于这个数。 6. 分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 7. 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 知识点三：倒数的认识。 1. 定义。 乘积为1的两个数互为倒数。 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法。 （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 注意：1的倒数是1，0没有倒数。 知识点四：分数除法的计算。 1. 分数除法的意义。 （1）分数除以整数的意义。 一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少。 （2）一个数除以的意义。 一个数除以分数表示一个数里面有几个另一个数。 2. 分数除以整数（0除外）的计算方法。 （1）用分子和整数相除的商做分子，分母不变。 （2）分数除以整数，等于分数乘这个整数的倒数。 3. 一个数除以分数的计算方法。 一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 4. 商与被除数的大小关系。 ①一个数(0除外)除以小于1的数，商比原来的数大。 ②一个数(0除外)除以大于1的数，商比原来的数小。 ③一个数(0除外)除以等于1的数，商与原来的数相等。 5. 分数连除的计算方法。 分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分的要约分。 6. 不含括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 7. 含有括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 8. 整数的运算定律在分数混合运算中的运用。 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算性质，使计算简便。 知识点五：分数乘除法简便计算。 1. 乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4. 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5. 添加因数1。 形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 6. 除法运算性质： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 知识点六：比的认识。 1. 比的意义。 两个数相除又叫做两个数的比。 2. 比的符号和读写法。 （1） 符号：比用符号“∶”表示，“∶”叫做比号。 （2）写法：15∶10，记做15∶10或 （3）读法：两种形式的比都读作几比几。 3. 比的各部分名称。 知识点七：化简比和求比值。 1. 比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 2. 求比中未知项的方法。 已知比的前项、后项和比值中的任意两项，都可以根据它们之间的关系来求出第三项。 3. 比和分数、除法的关系。 4. 化简比的意义。 （1）比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比，把两个数化成最简单的整数比，叫做化简比，也叫做比的化简。 （2）整数比的化简方法。 整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 （3）分数比的化简方法。 比的前项和后项中含有分数的，把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。 （4）小数比的化简方法。 把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比，再进行化简。 带单位的两个同类量的比进行化简时，单位要统一，否则计算的结果不正确。 5. 求比值。 （1）求两个数比的比值，就是用比的前项除以比的后项。 （2）比只能写成a∶b或的形式，比值可以是分数，也可以是整数或小数。 知识点八：百分数的认识。 1. 百分数的概念。 像95%、13.4%、120%这样的数叫做百分数，百分数也叫百分率或百分比，其中%叫做百分号，它的计数单位是1%， 2. 百分数的读法。 读百分数时，先读百分号%，再读百分号前面的数，读作“百分之”。 3. 百分数的写法。 百分数通常不写成分数形式，通常以数+%的形式表示（数可以是整数和小数，不能是分数）。 4. 百分数的意义。 百分数表示一个数占另一个数的百分之几，例如15%表示一个数占另一个数的百分之十五。 知识点九：百分数与小数、分数的互化。 1. 分小百互化。 （1）百分数化小数：去掉百分号，小数点向左移动两位； （2）小数化百分数：添加百分号，小数点向右边移动两位； （3）百分数化分数：去掉百分号，分母直接变为100，注意约分； （4）分数化百分数：先化成小数再化成百分数。 2. 常见的分数与小数、百分数互化。 =0.5=50% =0.2=20% =0.625= 62.5% =0.25=25% =0.4=40% =0.125=12.5% =0.75=75% =0.6=60% =1.375=37.5% =0.0625=6.25% =0.8=80% =0.875=87.5% =0.04=4﹪ =0.08=8﹪ =0.12=12﹪ =0.16=16﹪ 【第四篇】典型例题篇 【考点一】分数乘除法的表示和意义。 【典型例题】 1．（分数乘整数）×3表示( )。 【答案】 求的是多少 3个的和是多少 【分析】一个数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少；分数乘整数，表示整数个分数的和是多少。 【详解】×表示求的是多少，×3表示3个的和是多少。 2．（整数乘分数）表示( )。 【答案】 60的是多少 【分析】求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。将30乘，求出第一空； 整数乘分数，表示求整数的几分之几是多少。据此填空。 【详解】30×＝ 所以，30的是； 表示60的是多少。 3. （分数乘分数）表示的意义是( )。 【答案】的是多少 【分析】 分数乘法的意义，如图，将整个长方形看作单位“1”，先选取整个长方形的，再从选取的中选取，表示“的是多少”，用乘法算式，即一个数乘分数表示求这个数的几分之几是多少。 【详解】根据分数乘法的意义，表示的意义是的是多少。 4. （分数除以整数）表示把平均分成( )份，求其中的( )是多少，也就是求的( )是多少。 【答案】 4 1份/一份 【分析】根据除法的意义，表示把平均分成4份，求其中的1份是多少，其中的1份就是的，据此解答。 【详解】通过分析可得：表示把平均分成4份，求其中的1份是多少，也就是求的是多少。 5. （分数除以分数）÷表示( )。 【答案】里面有几个 【分析】一个数除以另一个数，可以表示为一个数里面有几个另一个数，，据此解答。 【详解】÷表示：里面有几个 【点睛】掌握分数除法的含义是此题的关键。 【对应练习】 1．表示( )。 【答案】4个相加的和是多少 【分析】根据分数乘法的意义，直接解题即可。 【详解】表示4个相加的和是多少；还可以表示4的是多少，或者的4倍是多少。 【点睛】本题考查了分数乘法，掌握乘法的意义是解题的关键。 2．20×的意义是( )。 【答案】20的是多少 【分析】根据分数乘法的意义，整数乘分数，表示求这个整数的几分之几是多少，据此分析。 【详解】20×的意义是20的是多少。 3. 表示的意义是( )。 【答案】表示的是多少。 【分析】先把单位“1”平均分成6份，每份是它的，就是其中的5份，再把这5份平均分成4份，每份是它的，就是其中的3份；据此解答。 【详解】由分析可得：表示的意义是求的是多少。 【点睛】本题考查了分数的意义以及分数乘分数的意义。熟练掌握它的意义并灵活运用。 4. 表示把平均分成( )，求( )份是多少，也就是求的( )是多少。 【答案】 2份 每 【分析】除法：是四则运算之一，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。只要是平均分的过程就可以用除法算式来表示。 一道除法算式里面，甲数÷乙数，就是将甲数平均分成乙数份，每一份就是甲数的乙数分之一。 【详解】表示把平均分成2份，求每份是多少，也就是求的是多少。 5. 表示的意义是( )。 解析：表示的意义是里面有多少个。 【考点二】分数（百分数）基础计算。 【典型例题】 直接写得数。 62.5%÷＝         ×＝         2.4×＝             ＋×0＝   18÷＝             ÷0.75＝          1—×＝          15×—15×＝ 【答案】1；1；1；； 81；1；；0 【解析】略 【对应练习】 1．直接写出得数。                                                                                【答案】；；4.5； ；12；；20 【解析】略 2．直接写出得数。                                                                   【答案】2.7；；； 3.2；12；； 【详解】略 【考点三】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系。 【典型例题1】其一。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.83        ( )     ( ) 【答案】 ＞ ＞ ＜ 【分析】分数与小数比较大小时，先把分数转化成小数，再比较大小；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于原数，一个数（0除外）乘小于1的数，积小于原数，据此解答即可。 【详解】，所以； ，所以； ，所以。 【对应练习】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )        ( ) ( )        ( )        ( ) 【答案】 ＝ ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ 【分析】任何一个非零数乘1，结果是它本身；任何数乘0都得0； 一个数乘大于1的数，积大于这个数；一个数乘小于1的数，积小于这个数； 两个算式比较大小，计算出结果再比较。 【详解】＝； 2＞1，＞； ＝0，＜； ＝； ＞1，所以，＞； ＜1，所以，＜。 【典型例题2】其二。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ÷6( )×6      ÷6( )       ÷( ) 【答案】 ＜ ＜ ＞ 【分析】（1）一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。 （2）当被除数不等于0时，若除数大于1，则商小于被除数；若除数小于1（0除外），则商大于被除数。 【详解】因为6＞1，所以÷6＜，×6＞，所以÷6＜×6。 因为6＞1，所以÷6＜。 因为＜1，所以÷＞。 【点睛】积与其中一个因数的大小比较，关键是比较另一个因数和1的大小。商与被除数的大小比较，关键是比较除数和1的大小。 【对应练习】 在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。 ( )         ( )       ( )13         ( ) 【答案】 ＝ ＜ ＞ ＜ 【分析】除以一个不为0的数相当于乘这个数的倒数；一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数；两个数相除，被除数比除数大，商大于1，被除数比除数小，商小于1，据此解答。 【详解】＝ ＜ ＞13 因为＜1 ＞1 所以＜ 【点睛】此题主要考查了判断因数与积之间大小关系、商与被除数之间大小关系的方法。 【考点四】分数乘除法与单位换算。 【典型例题】 单位换算。 时( )分，4500毫升( )升。 【答案】 45 4.5 【分析】根据1时＝60分，1升＝1000毫升，高级单位化成低级单位，乘进率，低级单位化成高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】时＝45分 4500毫升＝4500÷1000＝4.5升 【点睛】本题主要考查时间、容积单位之间的换算。 【对应练习】 1．单位换算 平方千米＝( )公顷      立方米＝( )立方分米 分米＝( )米           升＝( )毫升 【答案】 55 625 0.175 3875 【解析】略 2．单位换算。 时＝( )分      元＝( )分      m＝( )cm L＝( )mL      dm2＝( )m2      mm＝( )cm 秒＝( )分      dm＝( )cm      元＝( )分 【答案】 72 32 72 26 35 【分析】把时换算成分，乘进率60； 把元换算成分，乘进率100； 把米换算成厘米，乘进率100； 把升换算成毫升，乘进率1000； 把平方分米换算成平方米，除以进率100； 把毫米换算成厘米，除以进率10； 把秒换算成分，除以进率60； 把分米换算成厘米，乘进率10； 把元换算成分，乘进率100。 【详解】时＝72分      元＝32分      m＝cm L＝72mL      dm2＝m2      mm＝cm 秒＝分      dm＝26cm      元＝35分 【点睛】本题考查单位的换算，牢记：大单位换算小单位乘进率，小单位换算大单位除以进率。 【考点五】分数（百分数）混合运算和简便计算。 【典型例题】 脱式计算，能简算的要简算。 （1）     （2）             （3） （4）     （5）     （6） 【答案】（1）；（2）；（3）14； （4）；（5）；（6）8 【分析】（1），将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算； （2），先算除法，再算乘法； （3），利用乘法分配律进行简算； （4），同时算出两边的乘法和除法，最后算加法； （5），先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算括号外的除法； （6），将分数和百分数都化成小数，利用乘法分配律进行简算。 【详解】（1）＋ ＝＋ ＝（＋）× ＝1× ＝         （2） ＝ ＝ ＝             （3）（－）×53×13 ＝×53×13－×53×13 ＝53－39 ＝14                （4）＋ ＝＋ ＝＋3 ＝         （5）÷[÷（1－）] ＝÷[÷] ＝÷[×] ＝÷ ＝× ＝         （6）×6.5＋2.5×80%＋0.8 ＝0.8×6.5＋2.5×0.8＋0.8 ＝（6.5＋2.5＋1）×0.8 ＝10×0.8 ＝8 【对应练习】 1．脱式计算，能简算的要简算。 3.5×＋5.5×＋25%                          5.2×＋5.2÷                     ×99                 ××14×32 【答案】；65； 5.2；；24 【分析】（1）根据乘法分配律进行简便计算； （2）根据乘法分配律进行简便计算； （3）把99改为（100－1）然后根据乘法分配律进行简便计算； （4）根据乘法分配律进行简便计算； （5）把99改为（100－1）然后根据乘法分配律进行简便计算； （6）根据乘法交换律和结合律进行简算。 【详解】（1）3.5×＋5.5×＋25% ＝3.5×＋5.5×＋ ＝（3.5＋5.5＋1）× ＝（9＋1） × ＝10 × ＝ （2） ＝ ＝ ＝35＋30 ＝65 （3） ＝（100－1）× ＝100×－1× ＝－ ＝ ＝ （4）5.2×＋5.2÷ ＝5.2×＋5.2× ＝5.2×（＋） ＝5.2×1 ＝5.2 （5）×99 ＝×（100－1） ＝×100－×1 ＝－ ＝ ＝ （6）××14×32 ＝×14××32 ＝（×14）×（×32） ＝6×4 ＝24 2．脱式计算，能简算的要简算。                                                     【答案】；；72 8；； 【分析】（1）先算括号里面的加法，再算括号外面的除法； （2）先算括号里面的除法，再算括号里面的减法，最后算括号外面的乘法； （3）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （4）先把化成0.8，80%化成0.8，再根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （5）先把87拆成88－1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （6）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【考点六】分数（百分数）解方程。 【典型例题】 解方程。            【答案】x＝16.4；x＝27；x＝160 【分析】25%x＋1.7＝5.8，根据等式的性质1，方程两边同时减去1.7，再根据等式的性质2，方程两边同时除以25%即可； 36－x＝18，根据等式的性质1，方程两边同时加上x，再减去18，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可； x－x＝60×，先化简方程左边含有x的算式，即求出1－的差，以及计算出方程右边60×的积，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1－的差即可。 【详解】25%x＋1.7＝5.8 解：25%x＋1.7－1.7＝5.8－1.7 25%x＝4.1 25%x÷25%x＝4.1÷25% x＝16.4 36－x＝18 解：36－x＋x－18＝18－18＋x x＝18 x÷＝18÷ x＝18× x＝27 x－x＝60× 解：x＝40 x÷＝40÷ x＝40×4 x＝160 【对应练习】 1．解方程。          【答案】；； 【分析】，根据等式的性质1和2，两边同时－36，再同时÷0.2即可； ，先将左边合并成，根据等式的性质2，两边同时÷即可； ，先将左边合并成x，根据等式的性质2，两边同时÷即可。 【详解】 解： 解： 解： 2．解方程。 （1＋20%）x＝0.48            x－x＝             x－＝ 【答案】x＝0.4；x＝；x＝1 【分析】（1＋20%）x＝0.48，先计算出1＋20%的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1＋20%的和即可； x－x＝，先化简方程左边含有x的算式，即求出1－的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以1－的差即可； x－＝，根据等式的性质1，方程两边同时加上，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 【详解】（1＋20%）x＝0.48 解：1.2x＝0.48 x＝0.48÷1.2 x＝0.4 x－x＝ 解：x＝ x＝÷ x＝× x＝ x－＝ 解：x＝＋ x＝ x＝÷ x＝× x＝1 【考点七】分数（百分数）列式计算（文字式）。 【典型例题】 列式计算。 除8的商减去与45的积，差是多少？ 【答案】1 【分析】除8，即是8除以。根据题中的数量关系，可列式为：8÷－×45，计算出结果即可。 【详解】8÷－×45 ＝8×－9 ＝10－9 ＝1 则差是1。 【对应练习】 1．列式计算。 甲数的相当于乙数的15%，乙数是20，求甲数。 【答案】 【分析】根据题意可知，甲数×＝乙数×15%，先计算出乙数×15%的积，再除以，即可求出甲数。 【详解】20×15%÷ ＝3÷ ＝3× ＝ 甲数是。 2．列综合算式或方程计算。 一个数的75%比它的少6，这个数是多少？ 【答案】72 【分析】由题可得，等量关系式：这个数×－这个数×75%＝6，设这个数为，再根据等量关系式列出方程，再解出方程即可。 【详解】解：设这个数为。 这个数是72。 【考点八】分数（百分数）列式计算（图形式）。 【典型例题】 看图列式计算。 【答案】240页 【分析】根据题意，把全书的总页数看作单位“1”，还剩，则已经看了全书的（1－）。已知全书的总页数是420页，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，用420乘（1－）即可求出已经看了多少页。 【详解】420×（1－） ＝420× ＝240（页） 则已经看了240页。 【对应练习】 1．看图列式计算。 【答案】58千克 【分析】把弟弟的体重看作单位“1”，则哥哥的体重是弟弟的（1＋）。已知哥哥体重是72千克，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”，用72除以（1＋）即可求出弟弟的体重。 【详解】72÷（1＋） ＝72÷ ＝72× ＝58（千克） 则弟弟重58千克。 2．看图列式（或方程）计算。 【答案】见详解 【分析】由图可知：食品支出占总支出的55%，其他支出占总支出的45%，其他支出比食品支出少620元，求总支出是多少元。因620元相当于总支出的（55%－45%），根据已知一个数量的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数量用除法计算，可列式620÷（55%－45%），从而求得总支出。 【详解】620÷（55%－45%） ＝620÷10% ＝620÷0.1 ＝6200（元） 总支出6200元。 【考点九】分数（百分数）简便计算其一：分子、分母交换与拆分。 【典型例题】 简便计算。 解析： 【对应练习】 1. 简便计算。 ×＋× 解析：；； 2. 简便计算。 解析：5；； 【考点十】分数（百分数）简便计算其二：带分数化加式或化减式。 【典型例题】 1. 简便计算。 24× 20×25 解析：；； 2. 简便计算。 2020÷2020 解析：将带分数化成加法形式，再按照除法的左分配律进行简便计算。 2020÷2020 =（2020+）÷2020 =2020÷2020+÷2020 =1+ =1 【对应练习】 1. 简便计算。 （1）               （2） 【答案】（1）；（2）72 【分析】（1）先把带分数改写成，再把拆成，把给分数，这样算式变成，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （2）先把带分数、改写成、，再把拆成、把拆成，都把给后面的分数，最后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算。 【详解】（1） （2） 2. 简便计算。 32÷32 解析：1 【考点十一】分数（百分数）简便计算其三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 【典型例题】 观察下列等式： ，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：( )。 （2）( )。 （3）探究并计算：( )。 （4）计算： 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）先根据题中所给出的等式进行猜想，写出猜想结果即可； （2）根据（1）中的猜想计算出结果； （3）根据乘法分配律提取，再计算即可求解； （4）先拆项，再抵消结果即可求解。 【详解】（1） ＝ ＝ 【点睛】本题考查的是分数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键。 【对应练习】 1. 简便计算。 ＋＋ 【答案】 【分析】根据裂项求和的方法，，，，然后根据加法交换律和加法结合律进行计算即可。 【详解】＋＋ ＝＋＋ ＝（－＋－） ＝（） ＝ ＝ 【点睛】本题考查裂项求和，熟练运用交换律和结合律是解题的关键。 2. 简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 【考点十二】分数（百分数）简便计算其四：整体约分思想。 【典型例题1】整体约分其一。 简便计算。 解析： ＝ ＝ ＝2 【典型例题2】整体约分其二。 简便计算。 （××）÷（××） 解析： （××）÷（××） ＝××÷÷÷ ＝××××× ＝（×）×（×）×（×） ＝2×2×2 ＝8 【对应练习】 简便计算。 解析： 【对应练习2】 简便计算。 解析： =（+）÷（+） =[65×（+）]÷（+） =65 【典型例题3】大变小思想。 简便计算。 解析：此题关键在于“2014×2015=（2013+1）×2015。 = = =1 【对应练习】 简便计算。    解析： ，将拆成，拆成，拆成，小括号里3个分数都可以约分成，再将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算。 ＝（＋＋）÷ ＝（＋＋）× ＝×＋×＋× ＝1＋1＋1 ＝3 【考点十三】倒数的基本认识。 【典型例题】 1. 的倒数是( )，0.25和( )互为倒数，的倒数是( )，与它的倒数的和是( )，1的倒数是( )，( )没有倒数。 【答案】 / 4 //5.2 1 0 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，求分数的倒数的方法：分子和分母互换位置即可；是带分数的的先化成假分数，再把分子和分母互换位置即可；求小数倒数的方法：先将小数化成分数，再分子和分母互换位置即可；1的倒数是它本身，0没有倒数。 【详解】的倒数是； 0.25＝，所以0.25的倒数是4； ＝，所以的的倒数是； 的倒数是5，＋5＝，所以与它的倒数的和是； 1的倒数是它本身，0没有倒数。 2. ( )( )( )。 【答案】 /0.125 /2.5 【分析】每个算式的结果都等于1，根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数，分别求出8、、（）的倒数即可；再根据求一个分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母调换位置；据此解答。 【详解】8的倒数是 的倒数是 ，的倒数是。 因此。 3. a和b互为倒数，则( )。 【答案】/0.05 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，分数与分数相乘，用分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，据此进行计算求值即可。 【详解】 a和b互为倒数，则。 【对应练习】 1. 的倒数是( )；1.25与( )互为倒数。 【答案】 0.8/ 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，求带分数的倒数的方法：先把带分数化成假分数，再把分子和分母互换位置即可；求小数倒数的方法：先将小数化成分数，再分子和分母互换位置即可，也可以直接用1除以这个小数。 【详解】=，所以的倒数是； 1.25=，所以1.25的倒数是。 2. ( )( )( )。 【答案】 3 /0.4 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，将带分数和小数都化成假分数，交换真分数和假分数分子和分母的位置，即可得到它的倒数。 【详解】、2.5＝ 3 3. 如果a与b互为倒数，那么＝( )。 【答案】 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，分数与分数相乘，用分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母。据此进行计算化简，并将ab＝1代入求值即可。 【详解】a与b互为倒数，那么ab＝1，＝＝＋1＝。 【考点十四】倒数的变式问题。 【典型例题】 1. 一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是( )。 【答案】5 【分析】假设这个自然数是a，则它的倒数是，根据这个自然数＋它的倒数＝，列出方程，通过观察即可得出a的值。 【详解】假设这个自然数是a。 a＋＝＝5＋ 所以a＝5 一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是5。 【点睛】关键是理解倒数的含义，乘积是1的两个数互为倒数。 2. 一个数与它的倒数的差是，这个数是( )。 【答案】13 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。 已知一个数与它的倒数的差是，可以分解成13－，13的倒数正好是，据此解答。 【详解】＝13－ 13的倒数是； 所以，这个数是13。 【点睛】本题考查倒数的求法，把带分数分解成13－的形式是解题的关键。 3. 如果，a、b、c均不为0，那么a、b、c中，( )最大，( )最小。 【答案】 c b 【分析】根据题意，假设，分别计算出a、b、c的值，再进行比较即可。 【详解】假设，那么 ，所以，那么a、b、c中，c最大，b最小。 【对应练习】 1. 一个不为0的整数与它的倒数的和是4.25，这个整数是( )。 【答案】4 【分析】把4.25化作带分数，带分数的整数部分就是这个整数，带分数的真分数部分是这个整数的倒数。 【详解】4.25＝4＋0.25＝4＋，则这个整数是4。 【点睛】把小数拆为“整数部分＋真分数部分”是解答本题的关键。 2. 0.6的倒数是( )；一个数与它倒数的差是0，这个数是( )。 【答案】 1 【分析】互为倒数的两个数乘积为1，可用1除以这个数得到它的倒数；一个数与它倒数的差是0，说明这个数等于它的倒数，只有1符合条件。据此可得出答案。 【详解】0.6的倒数是：；一个数与它倒数的差是0，这个数是1。 3. 已知a、b、c是三个不等于零的数，且a×＝b÷＝c×1，在这三个数中，( )最大，( )最小。 【答案】 a b 【分析】假设a×＝b÷＝c×1＝1，然后根据一个因数＝积÷另一个因数，被除数＝除数×商，分别求出a、b、c的值，再比较即可。 【详解】假设a×＝b÷＝c×1＝1 a：1÷ ＝1× ＝ b：1×＝ c：1÷1＝1 ＞1＞ a＞c＞b a最大，b最小。 【考点十五】比与百分数的认识和意义。 【典型例题】 1．13∶10也可以写成( )，读作( )，它的前项是( )，比值是( )。 【答案】 13比10 13 1.3 【分析】两个数的比表示两个数相除，在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，比的前项除以后项所得的商，叫做比值，根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式，如：15∶10也可以写成，仍读作“15比10”，据此解答。 【详解】13∶10＝13÷10＝1.3 分析可知，13∶10也可以写成，读作13比10，它的前项是13，比值是1.3。 【点睛】本题主要考查比的认识，掌握比的各部分名称和读写方法是解答题目的关键。 2. 26%读作( )；百分之十二点五写作( )。 【答案】 百分之二十六 12.5% 【分析】读百分数时，百分号前面的数按照整数、小数的读法来读，百分号读作“百分之”，先读“百分之”，再读百分号前面的数；写百分数时，百分之写作“%”，后面的数按照整数、小数的写法来写，先写整数或小数，再写百分号：“%”。 【详解】26%读作：百分之二十六 百分之十二点五写作：12.5% 所以第一空填百分之二十六，第二空填12.5%。 3. 一罐饮料上写着“100%橙汁”，表示( )。 【答案】饮料中橙汁的含量是饮料总质量的100% 【分析】表示一个数是另一个数的百分之几，又叫百分率或百分比，据此填空。 【详解】一罐饮料上写着“100%橙汁”，表示饮料中橙汁的含量是饮料总质量的100%。 【点睛】关键是理解百分率的含义，百分数表示两个数之间的倍比关系。 【对应练习】 1. 已知a÷b＝3，则b与a的比是( )，比值是( )。 【答案】 1∶3 【分析】根据比与除法之间的关系，可得a÷b＝a∶b，已知a÷b＝3，所以可求出a∶b＝3∶1，即可求出b与a的比，再用比的前项除以比的后项，即可求出比值。 【详解】a∶b＝a÷b＝3 则b∶a＝1∶3 b∶a＝1∶3＝1÷3＝ 即b与a的比是1∶3，比值是。 【点睛】此题主要考查比与除法之间的关系、比的意义以及求比值的方法。 2. 选择合适的数填空。（97.3%   2.7%   100%   110%） (1)从1999年11月20日神舟一号升空，打通了天地往返之路开始，到今天神舟十二号发射和对接成功，中国航天人从来都不辱使命，神舟系列载人飞船历经22年总共12次飞行，( )的成功率。令世界见识了真真正正的中国速度。 (2)地球上的水资源，海水占( )，淡水占( )，淡水资源紧张，所以要节约用水。 (3)小明家2020年收入是2019年的( )。 【答案】(1)100% (2) 97.3% 2.7% (3)110% 【分析】（1）12次飞行，全部成功，成功率＝成功次数÷飞行次数×100%，结果是100%； （2）海水资源和淡水资源是地球上水资源的一部分，不可能等于100%或者大于100%，且淡水资源紧张，则淡水资源所占的百分比更低，97.3%＞2.7%，根据分析解答即可； （3）收入一般都是逐年递增，求20年的收入是19年收入的百分之几，用20年的收入除以19年的收入即可，选择110%比较合适。 【详解】（1）从1999年11月20日神舟一号升空，打通了天地往返之路开始，到今天神舟十二号发射和对接成功，中国航天人从来都不辱使命，神舟系列载人飞船历经22年总共12次飞行，100%的成功率。令世界见识了真真正正的中国速度。 （2）地球上的水资源，海水占97.3%，淡水占2.7%，淡水资源紧张，所以要节约用水。 （3）小明家2020年收入是2019年的110%。 【考点十六】化简比和求比值。 【典型例题】 先化简再求比值。 4.2∶5.6          ∶         ∶0.3kg 【答案】3∶4；；5∶36；；40000∶27； 【分析】化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，单位不同的两个量统一单位后再化简；求比值直接用最简比的前项÷后项即可。 【详解】4.2∶5.6＝42∶56＝（42÷14）∶（56÷14）＝3∶4 3∶4＝3÷4＝ ∶＝（×135）∶（×135）＝10∶72＝（10÷2）∶（72÷2）＝5∶36 5∶36＝5÷36＝ t∶0.3kg＝kg∶0.3kg＝（×9）∶（0.3×9）＝4000∶2.7＝40000∶27 40000∶27＝40000÷27＝ 【对应练习】 1．化简比并求比值。 15∶90                        6千米∶300米 【答案】1∶6；；5∶9；；20∶1；20 【分析】根据比的性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。化简比即可；用比的前项÷比的后项，得到一个数值（比值）即可。 【详解】 2．把下面的比化成最简单的整数比，并求出比值。        小时∶15分钟       ∶0.75 【答案】18∶1，18；3∶1，3；5∶12， 【分析】将最简整数比的前项除以后项，即可求出比值。 （1）将前项和后项同时乘，求出最简整数比。 （2）1小时＝60分，据此先统一单位，再将前项和后项同时除以15，求出最简整数比。 （3）将前项和后项同时乘16，求出最简整数比。 【详解】12∶ ＝（12×）∶（×） ＝18∶1 18∶1＝18÷1＝18 ×60＝45（分） 小时∶15分钟 ＝45∶15 ＝（45÷15）∶（15÷15） ＝3∶1 3∶1＝3÷1＝3 ∶0.75 ＝（×16）∶（0.75×16） ＝5∶12 5∶12＝5÷12＝ 【考点十七】比的基本性质。 【典型例题】 1．如果，那么5a∶5b＝( )。 【答案】 【分析】比的性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变，据此进行解答即可。 【详解】，所以。 2．把5∶9的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项应增加( )。 【答案】10 【分析】比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。先求出前项扩大到原来的3倍是多少，再减去原来的前项即可。 【详解】5×3－5 ＝15－5 ＝10 把5∶9的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项应增加10。 3．把5∶6的前项增加10，要使比值不变，后项应乘( )。 【答案】3 【分析】用比的前项加上10，再除以比的前项，求出比的前项扩大到原来的多少倍，比的后项也扩大到原来的多少倍，进而求出比的后项用乘多少，据此解答。 【详解】（5＋10）÷5 ＝15÷5 ＝3 把5∶6的前项增加10，要使比值不变，后项应乘3。 【对应练习】 1. 一个比是9∶32，如果比的前项增加18，要使比值不变，那么比的后项应增加( )。 【答案】64 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 比的前项9增加18得27，相当于前项乘3，根据比的基本性质，比的后项也要乘3，后项32乘3后再减去32，即是比的后项应增加的数。 【详解】前项相当于乘： （9＋18）÷9 ＝27÷9 ＝3 后项也要乘3或增加： 32×3－32 ＝96－32 ＝64 要使比值不变，那么比的后项应增加64。 2. 的前项减去12，要使比值不变，后项可以除以( )。 【答案】3 【分析】比的前项和后项只有同时乘或除以相同的数（0除外），比值才不变。据此解答。 【详解】的前项减去12，即18－12＝6，18÷6＝3，相当于前项除以3，要使比值不变，后项可以除以3。 所以的前项减去12，要使比值不变，后项可以除以3。 【考点十八】化连比。 【典型例题】 1. 已知a∶b＝2∶3，b∶c＝4∶5，求a∶b∶c。 解析： a：b＝2：3＝8：12 b：c＝4：5＝12：15 所以a：b：c＝8：12：15 2. 已知a∶b＝3：4，b∶c＝∶，求a∶b∶c。 解析： a：b＝3：4＝20：12 b：c＝：＝15：20 所以a：b：c＝15：20：12。 【对应练习】 1. 饲养场养的鸡与鸭的只数比是5∶3，鸭与鹅的只数比是2∶1，则鸡、鸭、鹅的只数比是( )。 【答案】10∶6∶3 【分析】比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变。鸡与鸭的比中，鸭是3份。鸭与鹅的比中，鸭是2份。份数不一，不能建立鸡和鹅的关系。所以，第一步需先根据比的基本性质，将两个比中鸭的份数统一，从而写出鸡、鸭、鹅的只数比。 【详解】鸡与鸭的只数比：5∶3＝（5×2）∶（3×2）＝10∶6 鸭与鹅的只数比：2∶1＝（2×3）∶（1×3）＝6∶3 所以，鸡、鸭、鹅的只数比是10∶6∶3。 2. 甲数和乙数的比是2∶3，乙数和丙数的比是6∶5，丙、甲两数的比是( )。 【答案】5∶4 【分析】因为甲数和乙数的比是2∶3＝4∶6，乙数和丙数的比是6∶5。在甲数和乙数的比中，乙数是6份；在乙数和丙数的比中，乙数也是6份。所以甲数是4份，乙数是6份，丙数是5份，据此解答。 【详解】甲数∶乙数＝2∶3＝4∶6 乙数∶丙数＝6∶5 所以甲数∶乙数∶丙数＝4∶6∶5 丙数∶甲数＝5∶4 丙、甲两数的比是5∶4。 【考点十九】分数、小数、百分数、除法、比之间的互相转化。 【典型例题】 45÷( )＝0.75＝＝( )%＝（ ∶ ）（最简整数比）。 【答案】60；15；75；3；4 【分析】分数的分子相当于被除数、比的前项，分母相当于除数、比的后项，分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。据此先将小数化成分数，根据分数与除法和比的关系，以及它们通用的基本性质进行填空。小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可。 【详解】0.75＝＝3∶4；45÷3×4＝60；20÷4×3＝15；0.75＝75% 45÷60＝0.75＝＝75%＝3∶4 【对应练习】 1. ( )÷5＝0.8＝＝( )∶35＝( )%。 【答案】 4；45；28；80 【分析】把0.8化成分数形式，然后根据分数、除法、小数之间的关系进行解答；然后利用分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变；把0.8改写成比的形式，根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变；小数化成百分数，小数点向右移动2位，再添加百分号即可。 【详解】 0.8＝80% 2. ＝0.4＝6∶( )＝2÷( )＝( )%。 【答案】8；15；5；40 【分析】小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分；据此可得0.4＝；根据分数的基本性质，将的分子和分母同时乘4，可得＝；将的分子和分母同时乘3，可得＝；根据分数与除法的关系，可得＝2÷5；根据分数和比的关系，可得＝6∶15；小数化为百分数，小数点向右移动2位，再在小数的末尾加上百分号；据此可得0.4＝40%。 【详解】＝0.4＝6∶15＝2÷5＝40% 【考点二十】分数、小数、百分数之间的大小比较。 【典型例题】 在、0.67、66.7%、这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 【分析】把题中的分数和百分数统一化为小数，再根据小数大小的比较方法比较大小即可。 【详解】＝0.66… 66.7%＝0.667 ＝0.7 0.7＞0.67＞0.667＞0.66…，所以＞0.67＞66.7%＞。 在、0.67、66.7%、这四个数中，最大的数是，最小的数是。 【点睛】本题主要考查小数、分数和百分数的互化。 【对应练习】 1. 在3.14%、3.14、π、、0.35这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 π 3.14% 【分析】先把百分数和分数化成小数，再根据小数比较大小的方法：先看整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就看十分位上的数，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上的数也相同，就看百分位上的数，百分位上的数大的那个数就大，依次类推，进行解答。 【详解】3.14%＝0.0314；＝2.5；π≈3.141593 3.141593＞3.14＞2.5＞0.35＞0.0314 即π＞3.14＞＞0.35＞3.14% 在3.14%、3.14、π、、0.35这五个数中，最大的数是π，最小的数是3.14%。 【点睛】熟练掌握小数比较大小的方法是解答本题的关键，注意π的取值。 2. 在3.14、、π、31.4%这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 31.4% 【分析】先把带分数化成假分数，再用分子除以分母，把带分数化成小数； 把π改写成无限小数形式； 把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位； 然后根据小数大小比较的方法进行比较，找出最大的数和最小的数。 小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【详解】＝＝22÷7≈3.1429 π≈3.1416 31.4%＝0.314 3.1429＞3.1416＞3.14＞0.314 ＞π＞3.14＞31.4% 最大的数是，最小的数是31.4%。 【点睛】各种形式的数比较大小时，一般情况下，先统一转化成小数，再比较大小。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 50 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 50 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末复习专题一：数与代数·分数、百分数、比的认识和计算 【二十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题一：数与代数·分数、百分数、比的认识和计 算 专题内容 本专题包括分数和百分数的基础计算、混合运算及简便运算， 比的基本认识、基本性质及基本计算等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考 点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广 泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 二十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 .......................................................................................................4 【第四篇】典型例题篇 .......................................................................................................9 【考点一】分数乘除法的表示和意义 ................................................................................9 【考点二】分数（百分数）基础计算 ..............................................................................12 【考点三】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 ............................................. 12 【考点四】分数乘除法与单位换算 ..................................................................................15 【考点五】分数（百分数）混合运算和简便计算 ...........................................................16 3 / 50 【考点六】分数（百分数）解方程 ..................................................................................22 【考点七】分数（百分数）列式计算（文字式） ...........................................................25 【考点八】分数（百分数）列式计算（图形式） ...........................................................26 【考点九】分数（百分数）简便计算其一：分子、分母交换与拆分 ............................ 28 【考点十】分数（百分数）简便计算其二：带分数化加式或化减式 ............................ 29 【考点十一】分数（百分数）简便计算其三：裂项法（分数裂和与分数裂差） ......... 31 【考点十二】分数（百分数）简便计算其四：整体约分思想 ........................................33 【考点十三】倒数的基本认识 ......................................................................................... 35 【考点十四】倒数的变式问题 ......................................................................................... 37 【考点十五】比与百分数的认识和意义 ..........................................................................40 【考点十六】化简比和求比值 ......................................................................................... 42 【考点十七】比的基本性质 ............................................................................................. 44 【考点十八】化连比 ........................................................................................................ 45 【考点十九】分数、小数、百分数、除法、比之间的互相转化 ....................................47 【考点二十】分数、小数、百分数之间的大小比较 .......................................................48 4 / 50 【第三篇】知识总览篇 知识点一：分数乘法的意义。 1. 分数与整数相乘的意义。 （1）分数乘整数表示求几个相同加数的和的简便运算或者求一个分数的几倍是 多少； （2）整数乘分数表示求一个整数的几分之几是多少。 注意：分数乘整数和整数乘分数所表示的意义略有区别，但二者并无本质不同。 2. 计算法则。 分母不变，分子乘整数作分子，即： a bcc a b  。 注意：能约分的先约分。 知识点二：分数乘法的计算。 1. 分数与整数相乘。 分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2. 分数与分数相乘。 用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3. 小数与分数相乘。 （1）把小数转化成分数，按分数乘分数的方法进行计算； （2）把分数转化成小数，按小数乘小数的方法进行计算。 4. 为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5. 积与因数的大小关系。 一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。 一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外），积小于这个数。 一个数（0 除外）乘 1，积等于这个数。 6. 分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 7. 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 知识点三：倒数的认识。 1. 定义。 5 / 50 乘积为 1 的两个数互为倒数。 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法。 （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O 除外）看作分母是 1 的假分数，再交换分子、 分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 注意：1的倒数是 1，0没有倒数。 知识点四：分数除法的计算。 1. 分数除法的意义。 （1）分数除以整数的意义。 一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少。 （2）一个数除以的意义。 一个数除以分数表示一个数里面有几个另一个数。 2. 分数除以整数（0除外）的计算方法。 （1）用分子和整数相除的商做分子，分母不变。 （2）分数除以整数，等于分数乘这个整数的倒数。 3. 一个数除以分数的计算方法。 一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 4. 商与被除数的大小关系。 ①一个数(0 除外)除以小于 1 的数，商比原来的数大。 ②一个数(0 除外)除以大于 1 的数，商比原来的数小。 ③一个数(0 除外)除以等于 1 的数，商与原来的数相等。 5. 分数连除的计算方法。 分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分 的要约分。 6. 不含括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照从左到右的顺序计 6 / 50 算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 7. 含有括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算小括号里面 的，再算中括号里面的。 8. 整数的运算定律在分数混合运算中的运用。 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算 性质，使计算简便。 知识点五：分数乘除法简便计算。 1. 乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为 a×b=b×a。 2. 乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为 (a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4. 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5. 添加因数 1。 形如 A×B+A 的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作 A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 6. 除法运算性质： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 知识点六：比的认识。 1. 比的意义。 7 / 50 两个数相除又叫做两个数的比。 2. 比的符号和读写法。 （1） 符号：比用符号“∶”表示，“∶”叫做比号。 （2）写法：15∶10，记做 15∶10 或 （3）读法：两种形式的比都读作几比几。 3. 比的各部分名称。 知识点七：化简比和求比值。 1. 比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变，这叫做比的基本 性质。 2. 求比中未知项的方法。 已知比的前项、后项和比值中的任意两项，都可以根据它们之间的关系来求出第 三项。 3. 比和分数、除法的关系。 4. 化简比的意义。 （1）比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比，把两个数化成最简 单的整数比，叫做化简比，也叫做比的化简。 （2）整数比的化简方法。 整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 （3）分数比的化简方法。 比的前项和后项中含有分数的，把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数， 8 / 50 变成整数比，再进行化简。 （4）小数比的化简方法。 把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比，再进行化简。 带单位的两个同类量的比进行化简时，单位要统一，否则计算的结果不正确。 5. 求比值。 （1）求两个数比的比值，就是用比的前项除以比的后项。 （2）比只能写成 a∶b 或 的形式，比值可以是分数，也可以是整数或小数。 知识点八：百分数的认识。 1. 百分数的概念。 像 95%、13.4%、120%这样的数叫做百分数，百分数也叫百分率或百分比，其中% 叫做百分号，它的计数单位是 1%， 2. 百分数的读法。 读百分数时，先读百分号%，再读百分号前面的数，读作“百分之”。 3. 百分数的写法。 百分数通常不写成分数形式，通常以数+%的形式表示（数可以是整数和小数， 不能是分数）。 4. 百分数的意义。 百分数表示一个数占另一个数的百分之几，例如 15%表示一个数占另一个数的百 分之十五。 知识点九：百分数与小数、分数的互化。 1. 分小百互化。 （1）百分数化小数：去掉百分号，小数点向左移动两位； （2）小数化百分数：添加百分号，小数点向右边移动两位； （3）百分数化分数：去掉百分号，分母直接变为 100，注意约分； （4）分数化百分数：先化成小数再化成百分数。 2. 常见的分数与小数、百分数互化。 2 1 =0.5=50% 5 1 =0.2=20% 8 5 =0.625= 62.5% 9 / 50 4 1 =0.25=25% 5 2 =0.4=40% 8 1 =0.125=12.5% 4 3 =0.75=75% 5 3 =0.6=60% 8 3 =1.375=37.5% 16 1 =0.0625=6.25% 5 4 =0.8=80% 8 7 =0.875=87.5% 25 1 =0.04=4﹪ 25 2 =0.08=8﹪ 25 3 =0.12=12﹪ 25 4 =0.16=16﹪ 【第四篇】典型例题篇 【考点一】分数乘除法的表示和意义。 【典型例题】 1．（分数乘整数） 3 4 ×3 表示( )。 【答案】 求 1 3 的 2 5 是多少 3 个 3 4 的和是多少 【分析】一个数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少；分数乘整数，表示整 数个分数的和是多少。 【详解】 1 3 × 2 5 表示求 1 3 的 2 5 是多少， 3 4 ×3 表示 3 个 3 4 的和是多少。 2．（整数乘分数） 260 5  表示( )。 【答案】 45 2 60 的 2 5 是多少 【分析】求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。将 30 乘 3 4 ，求出第一 空； 整数乘分数，表示求整数的几分之几是多少。据此填空。 【详解】30× 3 4 ＝ 45 2 所以，30 的 3 4 是 45 2 ； 260 5  表示 60 的 25 是多少。 3. （分数乘分数） 5 39 4  表示的意义是( )。 【答案】 5 9 的 3 4 是多少 【分析】 10 / 50 分数乘法的意义，如图 ，将整个长方形看作单位“1”， 先选取整个长方形的 5 9 ，再从选取的 5 9 中选取 3 4 ，表示“ 59 的 3 4 是多少”，用乘法算 式 5 3 9 4  ，即一个数乘分数表示求这个数的几分之几是多少。 【详解】根据分数乘法的意义， 5 3 9 4  表示的意义是 5 9 的 3 4 是多少。 4. （分数除以整数） 2 4 5  表示把 2 5 平均分成( )份，求其中的( ) 是多少，也就是求 2 5 的( )是多少。 【答案】 4 1 份/一份 14 【分析】根据除法的意义， 2 4 5  表示把 2 5 平均分成 4 份，求其中的 1 份是多少， 其中的 1 份就是 25 的 1 4 ，据此解答。 【详解】通过分析可得： 2 4 5  表示把 2 5 平均分成 4 份，求其中的 1 份是多少，也 就是求 2 5 的 1 4 是多少。 5. （分数除以分数） 5 8 ÷ 5 6 表示( )。 【答案】 5 8 里面有几个 5 6 【分析】一个数除以另一个数，可以表示为一个数里面有几个另一个数，，据此 解答。 【详解】 5 8 ÷ 5 6 表示： 5 8 里面有几个 5 6 【点睛】掌握分数除法的含义是此题的关键。 【对应练习】 1． 2 4 7  表示( )。 【答案】4 个 27 相加的和是多少 【分析】根据分数乘法的意义，直接解题即可。 【详解】 2 4 7  表示 4 个 27 相加的和是多少；还可以表示 4 的 2 7 是多少，或者 2 7 的 11 / 50 4 倍是多少。 【点睛】本题考查了分数乘法，掌握乘法的意义是解题的关键。 2．20× 45 的意义是( )。 【答案】20 的 45 是多少 【分析】根据分数乘法的意义，整数乘分数，表示求这个整数的几分之几是多少， 据此分析。 【详解】20× 45 的意义是 20 的 4 5 是多少。 3. 5 36 4  表示的意义是( )。 【答案】表示 5 6 的 3 4 是多少。 【分析】先把单位“1”平均分成 6 份，每份是它的 1 6 ， 5 6 就是其中的 5 份，再把 这 5 份平均分成 4 份，每份是它的 14 ， 3 4 就是其中的 3 份；据此解答。 【详解】由分析可得： 5 3 6 4  表示的意义是求 5 6 的 3 4 是多少。 【点睛】本题考查了分数的意义以及分数乘分数的意义。熟练掌握它的意义并灵 活运用。 4. 6 2 13  表示把 6 13平均分成( )，求( )份是多少，也就是求 6 13的 ( )是多少。 【答案】 2 份 每 1 2 【分析】除法：是四则运算之一，已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个 因数的运算，叫做除法。只要是平均分的过程就可以用除法算式来表示。 一道除法算式里面，甲数÷乙数，就是将甲数平均分成乙数份，每一份就是甲数 的乙数分之一。 【详解】 6 2 13  表示把 6 13平均分成 2 份，求每份是多少，也就是求 6 13的 1 2 是多少。 5. 3 5 8 12  表示的意义是( )。 解析： 3 5 8 12  表示的意义是 3 8 里面有多少个 5 12。 12 / 50 【考点二】分数（百分数）基础计算。 【典型例题】 直接写得数。 62.5%÷ 5 8 ＝ 131 15 × 57 ＝ 2.4× 5 12＝ 1 8 ＋ 7 8 ×0＝ 18÷ 2 9 ＝ 3 4 ÷0.75＝ 1— 59 × 3 10＝ 15× 3 5 —15× 3 5＝ 【答案】1；1 13 ；1； 1 8 ； 81；1； 56 ；0 【解析】略 【对应练习】 1．直接写出得数。 4 21 7 20   7 2 15   55.4 6   616 17   15 5 19   39 4   8 4 27 9   15 4   【答案】 3 5； 14 15 ；4.5； 9617 3 19；12； 2 3 ；20 【解析】略 2．直接写出得数。 33.6 4   15 45 26 13   3 60% 8   11 15% 25   72.8 8   3 312 7 7    12 5 19 6   1 5 1 6 6 5    【答案】2.7； 1 6 ； 9 40 ； 44 15 3.2；12； 10 19 ； 1 3 【详解】略 【考点三】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系。 【典型例题 1】其一。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 13 / 50 5 6 ( )0.83 7 58 2  ( ) 78 3 2 13 5  ( ) 3 13 【答案】 ＞ ＞ ＜ 【分析】分数与小数比较大小时，先把分数转化成小数，再比较大小；一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于原数，一个数（0 除外）乘小于 1 的数，积小于原 数，据此解答即可。 【详解】 5 5 6 0.833 6    ，所以 5 0.83 6  ； 5 1 2  ，所以 7 5 7 8 2 8   ； 2 1 5  ，所以 3 2 3 13 5 13   。 【对应练习】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 9 1 7  ( ) 97 3 2 7  ( ) 37 4 0 21  ( ) 421 5 2 6 3  ( ) 59 4 8 5 3  ( ) 45 8 3 9 4  ( ) 3 4 【答案】 ＝ ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ 【分析】任何一个非零数乘 1，结果是它本身；任何数乘 0 都得 0； 一个数乘大于 1 的数，积大于这个数；一个数乘小于 1 的数，积小于这个数； 两个算式比较大小，计算出结果再比较。 【详解】 9 1 7  ＝ 9 7 ； 2＞1， 3 27  ＞ 3 7 ； 4 0 21  ＝0， 4 0 21  ＜ 4 21； 5 2 6 3  ＝ 5 9 ； 8 3 ＞1，所以， 4 8 5 3  ＞ 4 5 ； 3 4 ＜1，所以， 8 3 9 4  ＜ 3 4 。 【典型例题 2】其二。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3 7 ÷6( ) 3 7 ×6 4 9 ÷6( ) 4 9 5 7 ÷ 3 4 ( ) 57 14 / 50 【答案】 ＜ ＜ ＞ 【分析】（1）一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积比原来的数大；一个数（0 除外）乘小于 1 的数，积比原来的数小。 （2）当被除数不等于 0 时，若除数大于 1，则商小于被除数；若除数小于 1（0 除外），则商大于被除数。 【详解】因为 6＞1，所以 37 ÷6＜ 3 7 ， 3 7 ×6＞ 3 7 ，所以 3 7 ÷6＜ 3 7 ×6。 因为 6＞1，所以 49 ÷6＜ 4 9 。 因为 3 4 ＜1，所以 57 ÷ 3 4 ＞ 5 7 。 【点睛】积与其中一个因数的大小比较，关键是比较另一个因数和 1 的大小。商 与被除数的大小比较，关键是比较除数和 1 的大小。 【对应练习】 在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。 3 2 5  ( ) 3 15 2  2 4 3 5  ( ) 45 113 13  ( )13 1 16 5  ( ) 1 15 6  【答案】 ＝ ＜ ＞ ＜ 【分析】除以一个不为 0 的数相当于乘这个数的倒数；一个数（0 除外）乘小于 1 的数，积小于这个数；一个数（0 除外）除以小于 1 的数（0 除外），商大于 这个数；两个数相除，被除数比除数大，商大于 1，被除数比除数小，商小于 1， 据此解答。 【详解】 3 2 5  ＝ 3 1 5 2  2 4 3 5  ＜ 4 5 113 13  ＞13 因为 1 1 6 5  ＜1 1 1 5 6  ＞1 所以 1 1 6 5  ＜ 1 1 5 6  【点睛】此题主要考查了判断因数与积之间大小关系、商与被除数之间大小关系 15 / 50 的方法。 【考点四】分数乘除法与单位换算。 【典型例题】 单位换算。 3 4 时 ( )分，4500 毫升 ( )升。 【答案】 45 4.5 【分析】根据 1 时＝60 分，1 升＝1000 毫升，高级单位化成低级单位，乘进率， 低级单位化成高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】 3 4 时＝45 分 4500 毫升＝4500÷1000＝4.5 升 【点睛】本题主要考查时间、容积单位之间的换算。 【对应练习】 1．单位换算 11 20 平方千米＝( )公顷 5 8 立方米＝( )立方分米 31 4 分米＝( )米 73 8 升＝( )毫升 【答案】 55 625 0.175 3875 【解析】略 2．单位换算。 6 5 时＝( )分 8 25 元＝( )分 11 75 m＝( )cm 9 125 L＝( )mL 25 4 dm2＝( )m2 5 8 mm＝( )cm 8 5 秒＝( )分 13 5 dm＝( )cm 7 20 元＝( )分 【答案】 72 32 443 72 1 16 1 16 2 75 26 35 【分析】把时换算成分，乘进率 60； 把元换算成分，乘进率 100； 把米换算成厘米，乘进率 100； 16 / 50 把升换算成毫升，乘进率 1000； 把平方分米换算成平方米，除以进率 100； 把毫米换算成厘米，除以进率 10； 把秒换算成分，除以进率 60； 把分米换算成厘米，乘进率 10； 把元换算成分，乘进率 100。 【详解】 6 5 时＝72 分 8 25 元＝32 分 11 75 m＝ 443 cm 9 125 L＝72mL 25 4 dm2＝ 116 m 2 5 8 mm＝ 116 cm 8 5 秒＝ 2 75 分 13 5 dm＝26cm 7 20 元＝35 分 【点睛】本题考查单位的换算，牢记：大单位换算小单位乘进率，小单位换算大 单位除以进率。 【考点五】分数（百分数）混合运算和简便计算。 【典型例题】 脱式计算，能简算的要简算。 （1） 17 3 19 836 8 36 3    （2） 3 5 34 6 10   （3） 1 3 53 13 13 53        （4） 3 5 7 7 4 12 8 24    （5） 21 5 6 2 2 8 1 7            （6） 4 6.5 2.5 80% 0.85     【答案】（1） 38 ；（2） 27 100 ；（3）14； （4） 53 16 ；（5） 12 13；（6）8 【分析】（1） 17 3 19 836 8 36 3    ，将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算； （2） 3 5 34 6 10   ，先算除法，再算乘法； （3） 1 3 53 13 13 53        ，利用乘法分配律进行简算； （4） 3 5 7 7 4 12 8 24    ，同时算出两边的乘法和除法，最后算加法； （5） 21 5 6 2 2 8 1 7            ，先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算括 号外的除法； 17 / 50 （6）4 6.5 2.5 80% 0.85     ，将分数和百分数都化成小数，利用乘法分配律进行简 算。 【详解】（1） 17 336 8  ＋ 19 8 36 3  ＝ 17 3 36 8  ＋ 19 3 36 8  ＝（ 17 36 ＋ 19 36 ）× 38 ＝1× 38 ＝ 3 8 （2） 3 5 34 6 10   ＝ 3 6 3 4 5 10   ＝ 9 3 10 10  ＝ 27 100 （3）（ 1 13 － 3 53 ）×53×13 ＝ 1 13 ×53×13－ 3 53 ×53×13 ＝53－39 ＝14 （4） 3 54 12  ＋ 7 7 8 24  ＝ 5 16 ＋ 7 8 7 24  ＝ 5 16 ＋3 ＝ 53 16 （5） 2126 ÷[ 5 8 ÷（1－ 27 ）] ＝ 21 26 ÷[ 5 8 ÷ 57 ] ＝ 21 26 ÷[ 5 8 × 75 ] ＝ 21 26 ÷ 7 8 18 / 50 ＝ 21 26 × 8 7 ＝ 12 13 （6） 45 ×6.5＋2.5×80%＋0.8 ＝0.8×6.5＋2.5×0.8＋0.8 ＝（6.5＋2.5＋1）×0.8 ＝10×0.8 ＝8 【对应练习】 1．脱式计算，能简算的要简算。 3.5× 14 ＋5.5× 1 4 ＋25% 5 5 6 7 6 7        9899 99  5.2× 79 ＋5.2÷ 9 2 9 25 ×99 3 7 × 1 8 ×14×32 【答案】 12 2 ；65； 1100 98 5.2； 1635 25；24 【分析】（1）根据乘法分配律进行简便计算； （2）根据乘法分配律进行简便计算； （3）把 99 改为（100－1）然后根据乘法分配律进行简便计算； （4）根据乘法分配律进行简便计算； （5）把 99 改为（100－1）然后根据乘法分配律进行简便计算； （6）根据乘法交换律和结合律进行简算。 【详解】（1）3.5× 14 ＋5.5× 1 4 ＋25% ＝3.5× 14 ＋5.5× 1 4 ＋ 1 4 ＝（3.5＋5.5＋1）× 14 ＝（9＋1） × 14 ＝10 × 14 ＝ 12 2 19 / 50 （2） 5 5 6 7 6 7        ＝ 5 56 7 6 7 6 7      ＝5 7 5 6   ＝35＋30 ＝65 （3） 9899 99  ＝（100－1）× 9998 ＝100× 9998 －1× 99 98 ＝ 9900 98 － 99 98 ＝ 9801 98 ＝ 1100 98 （4）5.2× 79 ＋5.2÷ 9 2 ＝5.2× 79 ＋5.2× 2 9 ＝5.2×（ 79 ＋ 2 9 ） ＝5.2×1 ＝5.2 （5） 925 ×99 ＝ 9 25 ×（100－1） ＝ 9 25 ×100－ 9 25 ×1 ＝ 900 25 － 9 25 ＝ 891 25 ＝ 1635 25 （6） 37 × 1 8 ×14×32 20 / 50 ＝ 3 7 ×14× 1 8 ×32 ＝（ 3 7 ×14）×（ 1 8 ×32） ＝6×4 ＝24 2．脱式计算，能简算的要简算。 49 3 1 72 4 8       3 3 101 10 5 17        1 5 824 8 6 23          4 5.5 0.8 3.5 80% 5     8787 88  8 9 5 4 13 4 13 9    【答案】 7 9 ； 5 17；72 8； 186 88 ； 4 9 【分析】（1）先算括号里面的加法，再算括号外面的除法； （2）先算括号里面的除法，再算括号里面的减法，最后算括号外面的乘法； （3）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除 法； （4）先把 45 化成 0.8，80%化成 0.8，再根据乘法分配律的逆运算 a×c＋b×c＝（a ＋b）×c 进行简算； （5）先把 87 拆成 88－1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c 进行简算； （6）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律的逆运算 a×c＋b×c＝（a＋b）×c 进行简算。 【详解】（1） 49 3 1 72 4 8       49 6 1 72 8 8        49 7 72 8   49 8 72 7   7 9  （2） 3 3 101 10 5 17        21 / 50 3 5 101 10 3 17         1 101 2 17        1 10 2 17   5 17  （3） 1 5 824 8 6 23          3 20 824 24 24 23           23 824 24 23       124 3   24 3  72 （4） 4 5.5 0.8 3.5 80%5     0.8 5.5 0.8 1 3.5 0.8       0.8 5.5 1 3.5    0.8 10  8 （5） 8787 88    8788 1 88    87 8788 1 88 88     8787 88   186 88  （6） 8 9 5 4 13 4 13 9    8 4 5 4 13 9 13 9     22 / 50 9 8 5 4 13 13        41 9   4 9  【考点六】分数（百分数）解方程。 【典型例题】 解方程。 25%x 1.7 5.8  236 x 18 3   3 2x x 60 4 3  ＝ 【答案】x＝16.4；x＝27；x＝160 【分析】25%x＋1.7＝5.8，根据等式的性质 1，方程两边同时减去 1.7，再根据等 式的性质 2，方程两边同时除以 25%即可； 36－ 2 3 x＝18，根据等式的性质 1，方程两边同时加上 2 3 x，再减去 18，再根据等 式的性质 2，方程两边同时除以 2 3 即可； x－ 3 4 x＝60× 2 3 ，先化简方程左边含有 x 的算式，即求出 1－ 3 4 的差，以及计算出 方程右边 60× 2 3 的积，再根据等式的性质 2，方程两边同时除以 1－ 3 4 的差即可。 【详解】25%x＋1.7＝5.8 解：25%x＋1.7－1.7＝5.8－1.7 25%x＝4.1 25%x÷25%x＝4.1÷25% x＝16.4 36－ 2 3 x＝18 解：36－ 2 3 x＋ 2 3 x－18＝18－18＋ 2 3 x 2 3 x＝18 2 3 x÷ 2 3 ＝18÷ 2 3 x＝18× 3 2 x＝27 23 / 50 x－ 3 4 x＝60× 2 3 解： 1 4 x＝40 1 4 x÷ 1 4 ＝40÷ 1 4 x＝40×4 x＝160 【对应练习】 1．解方程。 20% 36 48x   4 27 5 16 x x  180% 50% 6 x x  【答案】 60x  ； 15 16 x  ； 5 9 x  【分析】20% 36 48x   ，根据等式的性质 1 和 2，两边同时－36，再同时÷0.2 即 可； 4 27 5 16 x x  ，先将左边合并成 9 5 x，根据等式的性质 2，两边同时÷ 95 即可； 180% 50% 6 x x  ，先将左边合并成 3 10 x，根据等式的性质 2，两边同时÷ 3 10即可。 【详解】20% 36 48x   解：0.2 36 36 48 36x     0.2 12x  0.2 0.2 12 0.2  x 60x  4 27 5 16 x x  解： 9 27 5 16 x  9 9 27 9 5 5 16 5 x    27 5 16 9 x   15 16 x  180% 50% 6 x x  24 / 50 解： 3 1 10 6 x  3 3 1 3 10 10 6 10 x    1 10 6 3 x   5 9 x  2．解方程。 （1＋20%）x＝0.48 x－ 25 x＝ 1 15 2 3 x－ 2 9 ＝ 4 9 【答案】x＝0.4；x＝ 1 9 ；x＝1 【分析】（1＋20%）x＝0.48，先计算出 1＋20%的和，再根据等式的性质 2，方 程两边同时除以 1＋20%的和即可； x－ 25 x＝ 1 15 ，先化简方程左边含有 x 的算式，即求出 1－ 25 的差，再根据等式的 性质 2，方程两边同时除以 1－ 25 的差即可； 2 3 x－ 2 9 ＝ 4 9 ，根据等式的性质 1，方程两边同时加上 2 9 ，再根据等式的性质 2， 方程两边同时除以 2 3 即可。 【详解】（1＋20%）x＝0.48 解：1.2x＝0.48 x＝0.48÷1.2 x＝0.4 x－ 25 x＝ 1 15 解： 3 5 x＝ 1 15 x＝ 1 15 ÷ 35 x＝ 1 15 × 53 x＝ 1 9 2 3 x－ 2 9 ＝ 4 9 25 / 50 解： 2 3 x＝ 49 ＋ 2 9 2 3 x＝ 2 3 x＝ 2 3 ÷ 2 3 x＝ 2 3 × 3 2 x＝1 【考点七】分数（百分数）列式计算（文字式）。 【典型例题】 列式计算。 4 5 除 8 的商减去 1 5 与 45 的积，差是多少？ 【答案】1 【分析】 4 5 除 8，即是 8 除以 4 5 。根据题中的数量关系，可列式为：8÷ 4 5 － 1 5 ×45， 计算出结果即可。 【详解】8÷ 45 － 1 5 ×45 ＝8× 54 －9 ＝10－9 ＝1 则差是 1。 【对应练习】 1．列式计算。 甲数的 2 3 相当于乙数的 15%，乙数是 20，求甲数。 【答案】 9 2 【分析】根据题意可知，甲数× 2 3 ＝乙数×15%，先计算出乙数×15%的积，再除 以 2 3 ，即可求出甲数。 【详解】20×15%÷ 2 3 26 / 50 ＝3÷ 2 3 ＝3× 3 2 ＝ 9 2 甲数是 9 2 。 2．列综合算式或方程计算。 一个数的 75%比它的 5 6 少 6，这个数是多少？ 【答案】72 【分析】由题可得，等量关系式：这个数× 5 6 －这个数×75%＝6，设这个数为 x， 再根据等量关系式列出方程，再解出方程即可。 【详解】解：设这个数为 x。 5 75% 6 6 x x  5 3 6 6 4 x x  1 6 12 x  16 12 x   6 12x   72x  这个数是 72。 【考点八】分数（百分数）列式计算（图形式）。 【典型例题】 看图列式计算。 27 / 50 【答案】240 页 【分析】根据题意，把全书的总页数看作单位“1”，还剩 37 ，则已经看了全书的 （1－ 37 ）。已知全书的总页数是 420 页，根据“求一个数的几分之几是多少，用 乘法计算”，用 420 乘（1－ 37 ）即可求出已经看了多少页。 【详解】420×（1－ 37 ） ＝420× 47 ＝240（页） 则已经看了 240 页。 【对应练习】 1．看图列式计算。 【答案】5810 11 千克 【分析】把弟弟的体重看作单位“1”，则哥哥的体重是弟弟的（1＋ 2 9 ）。已知哥 哥体重是 72 千克，根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”， 用 72 除以（1＋ 2 9 ）即可求出弟弟的体重。 【详解】72÷（1＋ 2 9 ） 28 / 50 ＝72÷119 ＝72× 9 11 ＝5810 11 （千克） 则弟弟重 5810 11 千克。 2．看图列式（或方程）计算。 【答案】见详解 【分析】由图可知：食品支出占总支出的 55%，其他支出占总支出的 45%，其 他支出比食品支出少 620 元，求总支出是多少元。因 620 元相当于总支出的（55% －45%），根据已知一个数量的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数量用 除法计算，可列式 620÷（55%－45%），从而求得总支出。 【详解】620÷（55%－45%） ＝620÷10% ＝620÷0.1 ＝6200（元） 总支出 6200 元。 【考点九】分数（百分数）简便计算其一：分子、分母交换与拆 分。 【典型例题】 简便计算。 13 3 26 33 25 4 4 134      解析： 13 3 26 33 25 4 4 134      13 3 3= 3 25 2 4 44      29 / 50  3= 13 5 4 2 2   3= 4 40 30 【对应练习】 1. 简便计算。 7 17 ×16 25 ＋ 9 17 × 7 25 24 7 17 9 24 9 17 5  24 13 16 7 24 7 16 11  解析： 17 7 ； 34 9 ； 16 7 2. 简便计算。 27 5 11 6 11 5 9 710  17 5 9 1 9 150 17 16 9 5  17 6 18 5 17 4 9 5 6 5 17 1  解析：5； 9 55 ； 18 5 【考点十】分数（百分数）简便计算其二：带分数化加式或化减 式。 【典型例题】 1. 简便计算。 24 15 8 ×5 6 17 1 20 1751  20 15 7 ×25 解析： 9 184 ； 20 61 ； 3 1535 2. 简便计算。 2020 2021 2020 ÷2020 解析：将带分数化成加法形式，再按照除法的左分配律进行简便计算。 20202020 2021 ÷2020 =（2020+2020 2021 ）÷2020 =2020÷2020+2020 2021 ÷2020 =1+ 1 2021 =1 1 2021 30 / 50 【对应练习】 1. 简便计算。 （1） 1 12004 2002 2003  （2） 1 3 1 441 51 3 4 4 5    【答案】（1） 11 2002 ；（2）72 【分析】（1）先把带分数 12004 2002 改写成 12004 2002      ，再把2004拆成2003 1 ， 把1给分数 1 2002 ，这样算式变成 2003 12003 2002 2003       ，然后根据乘法分配律（a＋b） ×c＝a×c＋b×c 进行简算； （2）先把带分数 141 3 、 151 4 改写成 141 3      、 151 4      ，再把 41拆成 40 1 、把51拆 成50 1 ，都把1给后面的分数，最后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c 进行 简算。 【详解】（1） 1 12004 2002 2003  1 12004 2002 2003        1 12003 1 2002 2003         2003 12003 2002 2003        1 2003 12003 2003 2002 2003     11 2002   11 2002  （2） 1 3 1 441 51 3 4 4 5    1 3 1 441 51 3 4 4 5                 1 3 1 440 1 50 1 3 4 4 5                   3 440 50 3 4 4 5 4 5                3 3 4 440 50 4 3 5 4 5 4 5 4         30 1 40 1    72 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末复习专题一：数与代数·分数、百分数、比的认识和计算 【二十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题一：数与代数·分数、百分数、比的认识和计算 专题内容 本专题包括分数和百分数的基础计算、混合运算及简便运算，比的基本认识、基本性质及基本计算等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 二十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 4 【第四篇】典型例题篇 9 【考点一】分数乘除法的表示和意义 9 【考点二】分数（百分数）基础计算 9 【考点三】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 10 【考点四】分数乘除法与单位换算 11 【考点五】分数（百分数）混合运算和简便计算 11 【考点六】分数（百分数）解方程 13 【考点七】分数（百分数）列式计算（文字式） 13 【考点八】分数（百分数）列式计算（图形式） 14 【考点九】分数（百分数）简便计算其一：分子、分母交换与拆分 15 【考点十】分数（百分数）简便计算其二：带分数化加式或化减式 16 【考点十一】分数（百分数）简便计算其三：裂项法（分数裂和与分数裂差） 17 【考点十二】分数（百分数）简便计算其四：整体约分思想 18 【考点十三】倒数的基本认识 19 【考点十四】倒数的变式问题 20 【考点十五】比与百分数的认识和意义 20 【考点十六】化简比和求比值 21 【考点十七】比的基本性质 21 【考点十八】化连比 22 【考点十九】分数、小数、百分数、除法、比之间的互相转化 22 【考点二十】分数、小数、百分数之间的大小比较 22 【第三篇】知识总览篇 知识点一：分数乘法的意义。 1. 分数与整数相乘的意义。 （1）分数乘整数表示求几个相同加数的和的简便运算或者求一个分数的几倍是多少； （2）整数乘分数表示求一个整数的几分之几是多少。 注意：分数乘整数和整数乘分数所表示的意义略有区别，但二者并无本质不同。 2. 计算法则。 分母不变，分子乘整数作分子，即：。 注意：能约分的先约分。 知识点二：分数乘法的计算。 1. 分数与整数相乘。 分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2. 分数与分数相乘。 用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3. 小数与分数相乘。 （1）把小数转化成分数，按分数乘分数的方法进行计算； （2）把分数转化成小数，按小数乘小数的方法进行计算。 4. 为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5. 积与因数的大小关系。 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。 一个数（0除外）乘1，积等于这个数。 6. 分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 7. 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 知识点三：倒数的认识。 1. 定义。 乘积为1的两个数互为倒数。 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法。 （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 注意：1的倒数是1，0没有倒数。 知识点四：分数除法的计算。 1. 分数除法的意义。 （1）分数除以整数的意义。 一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少。 （2）一个数除以的意义。 一个数除以分数表示一个数里面有几个另一个数。 2. 分数除以整数（0除外）的计算方法。 （1）用分子和整数相除的商做分子，分母不变。 （2）分数除以整数，等于分数乘这个整数的倒数。 3. 一个数除以分数的计算方法。 一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 4. 商与被除数的大小关系。 ①一个数(0除外)除以小于1的数，商比原来的数大。 ②一个数(0除外)除以大于1的数，商比原来的数小。 ③一个数(0除外)除以等于1的数，商与原来的数相等。 5. 分数连除的计算方法。 分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分的要约分。 6. 不含括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照从左到右的顺序计算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 7. 含有括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 8. 整数的运算定律在分数混合运算中的运用。 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算性质，使计算简便。 知识点五：分数乘除法简便计算。 1. 乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。 2. 乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4. 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5. 添加因数1。 形如A×B+A的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 6. 除法运算性质： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 知识点六：比的认识。 1. 比的意义。 两个数相除又叫做两个数的比。 2. 比的符号和读写法。 （1） 符号：比用符号“∶”表示，“∶”叫做比号。 （2）写法：15∶10，记做15∶10或 （3）读法：两种形式的比都读作几比几。 3. 比的各部分名称。 知识点七：化简比和求比值。 1. 比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。 2. 求比中未知项的方法。 已知比的前项、后项和比值中的任意两项，都可以根据它们之间的关系来求出第三项。 3. 比和分数、除法的关系。 4. 化简比的意义。 （1）比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比，把两个数化成最简单的整数比，叫做化简比，也叫做比的化简。 （2）整数比的化简方法。 整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 （3）分数比的化简方法。 比的前项和后项中含有分数的，把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简。 （4）小数比的化简方法。 把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比，再进行化简。 带单位的两个同类量的比进行化简时，单位要统一，否则计算的结果不正确。 5. 求比值。 （1）求两个数比的比值，就是用比的前项除以比的后项。 （2）比只能写成a∶b或的形式，比值可以是分数，也可以是整数或小数。 知识点八：百分数的认识。 1. 百分数的概念。 像95%、13.4%、120%这样的数叫做百分数，百分数也叫百分率或百分比，其中%叫做百分号，它的计数单位是1%， 2. 百分数的读法。 读百分数时，先读百分号%，再读百分号前面的数，读作“百分之”。 3. 百分数的写法。 百分数通常不写成分数形式，通常以数+%的形式表示（数可以是整数和小数，不能是分数）。 4. 百分数的意义。 百分数表示一个数占另一个数的百分之几，例如15%表示一个数占另一个数的百分之十五。 知识点九：百分数与小数、分数的互化。 1. 分小百互化。 （1）百分数化小数：去掉百分号，小数点向左移动两位； （2）小数化百分数：添加百分号，小数点向右边移动两位； （3）百分数化分数：去掉百分号，分母直接变为100，注意约分； （4）分数化百分数：先化成小数再化成百分数。 2. 常见的分数与小数、百分数互化。 =0.5=50% =0.2=20% =0.625= 62.5% =0.25=25% =0.4=40% =0.125=12.5% =0.75=75% =0.6=60% =1.375=37.5% =0.0625=6.25% =0.8=80% =0.875=87.5% =0.04=4﹪ =0.08=8﹪ =0.12=12﹪ =0.16=16﹪ 【第四篇】典型例题篇 【考点一】分数乘除法的表示和意义。 【典型例题】 1．（分数乘整数）×3表示( )。 2．（整数乘分数）表示( )。 3. （分数乘分数）表示的意义是( )。 4. （分数除以整数）表示把平均分成( )份，求其中的( )是多少，也就是求的( )是多少。 5. （分数除以分数）÷表示( )。 【对应练习】 1．表示( )。 2．20×的意义是( )。 3. 表示的意义是( )。 4. 表示把平均分成( )，求( )份是多少，也就是求的( )是多少。 5. 表示的意义是( )。 【考点二】分数（百分数）基础计算。 【典型例题】 直接写得数。 62.5%÷＝         ×＝         2.4×＝             ＋×0＝   18÷＝             ÷0.75＝          1—×＝          15×—15×＝ 【对应练习】 1．直接写出得数。                                                                                2．直接写出得数。                                                                   【考点三】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系。 【典型例题1】其一。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.83        ( )     ( ) 【对应练习】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )        ( ) ( )        ( )        ( ) 【典型例题2】其二。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ÷6( )×6      ÷6( )       ÷( ) 【对应练习】 在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。 ( )         ( )       ( )13         ( ) 【考点四】分数乘除法与单位换算。 【典型例题】 单位换算。 时( )分，4500毫升( )升。 【对应练习】 1．单位换算 平方千米＝( )公顷      立方米＝( )立方分米 分米＝( )米           升＝( )毫升 2．单位换算。 时＝( )分      元＝( )分      m＝( )cm L＝( )mL      dm2＝( )m2      mm＝( )cm 秒＝( )分      dm＝( )cm      元＝( )分 【考点五】分数（百分数）混合运算和简便计算。 【典型例题】 脱式计算，能简算的要简算。 （1）      （2）              （3） （4）      （5）     （6） 【对应练习】 1．脱式计算，能简算的要简算。 3.5×＋5.5×＋25%                          5.2×＋5.2÷                     ×99                 ××14×32 2．脱式计算，能简算的要简算。                                                     【考点六】分数（百分数）解方程。 【典型例题】 解方程。             【对应练习】 1．解方程。           2．解方程。 （1＋20%）x＝0.48             x－x＝              x－＝ 【考点七】分数（百分数）列式计算（文字式）。 【典型例题】 列式计算。 除8的商减去与45的积，差是多少？ 【对应练习】 1．列式计算。 甲数的相当于乙数的15%，乙数是20，求甲数。 2．列综合算式或方程计算。 一个数的75%比它的少6，这个数是多少？ 【考点八】分数（百分数）列式计算（图形式）。 【典型例题】 看图列式计算。 【对应练习】 1．看图列式计算。 2．看图列式（或方程）计算。 【考点九】分数（百分数）简便计算其一：分子、分母交换与拆分。 【典型例题】 简便计算。 【对应练习】 1. 简便计算。 ×＋× 2. 简便计算。 【考点十】分数（百分数）简便计算其二：带分数化加式或化减式。 【典型例题】 1. 简便计算。 24× 20×25 2. 简便计算。 2020÷2020 【对应练习】 1. 简便计算。 （1）               （2） 2. 简便计算。 32÷32 【考点十一】分数（百分数）简便计算其三：裂项法（分数裂和与分数裂差）。 【典型例题】 观察下列等式： ，，， 请将以上三个等式两边分别相加得： 。 （1）猜想并写出：( )。 （2）( )。 （3）探究并计算：( )。 （4）计算： 【对应练习】 1. 简便计算。 ＋＋ 2. 简便计算。 【考点十二】分数（百分数）简便计算其四：整体约分思想。 【典型例题1】整体约分其一。 简便计算。 【典型例题2】整体约分其二。 简便计算。 （××）÷（××） 【对应练习】 简便计算。 【对应练习2】 简便计算。 【典型例题3】大变小思想。 简便计算。 【对应练习】 简便计算。    【考点十三】倒数的基本认识。 【典型例题】 1. 的倒数是( )，0.25和( )互为倒数，的倒数是( )，与它的倒数的和是( )，1的倒数是( )，( )没有倒数。 2. ( )( )( )。 3. a和b互为倒数，则( )。 【对应练习】 1. 的倒数是( )；1.25与( )互为倒数。 2. ( )( )( )。 3. 如果a与b互为倒数，那么＝( )。 【考点十四】倒数的变式问题。 【典型例题】 1. 一个自然数，与它的倒数的和是，这个自然数是( )。 2. 一个数与它的倒数的差是，这个数是( )。 3. 如果，a、b、c均不为0，那么a、b、c中，( )最大，( )最小。 【对应练习】 1. 一个不为0的整数与它的倒数的和是4.25，这个整数是( )。 2. 0.6的倒数是( )；一个数与它倒数的差是0，这个数是( )。 3. 已知a、b、c是三个不等于零的数，且a×＝b÷＝c×1，在这三个数中，( )最大，( )最小。 【考点十五】比与百分数的认识和意义。 【典型例题】 1．13∶10也可以写成( )，读作( )，它的前项是( )，比值是( )。 2. 26%读作( )；百分之十二点五写作( )。 3. 一罐饮料上写着“100%橙汁”，表示( )。 【对应练习】 1. 已知a÷b＝3，则b与a的比是( )，比值是( )。 2. 选择合适的数填空。（97.3%   2.7%   100%   110%） (1)从1999年11月20日神舟一号升空，打通了天地往返之路开始，到今天神舟十二号发射和对接成功，中国航天人从来都不辱使命，神舟系列载人飞船历经22年总共12次飞行，( )的成功率。令世界见识了真真正正的中国速度。 (2)地球上的水资源，海水占( )，淡水占( )，淡水资源紧张，所以要节约用水。 (3)小明家2020年收入是2019年的( )。 【考点十六】化简比和求比值。 【典型例题】 先化简再求比值。 4.2∶5.6          ∶         ∶0.3kg 【对应练习】 1．化简比并求比值。 15∶90                        6千米∶300米 2．把下面的比化成最简单的整数比，并求出比值。        小时∶15分钟       ∶0.75 【考点十七】比的基本性质。 【典型例题】 1．如果，那么5a∶5b＝( )。 2．把5∶9的后项扩大到原来的3倍，要使比值不变，前项应增加( )。 3．把5∶6的前项增加10，要使比值不变，后项应乘( )。 【对应练习】 1. 一个比是9∶32，如果比的前项增加18，要使比值不变，那么比的后项应增加( )。 2. 的前项减去12，要使比值不变，后项可以除以( )。 【考点十八】化连比。 【典型例题】 1. 已知a∶b＝2∶3，b∶c＝4∶5，求a∶b∶c。 2. 已知a∶b＝3：4，b∶c＝∶，求a∶b∶c。 【对应练习】 1. 饲养场养的鸡与鸭的只数比是5∶3，鸭与鹅的只数比是2∶1，则鸡、鸭、鹅的只数比是( )。 2. 甲数和乙数的比是2∶3，乙数和丙数的比是6∶5，丙、甲两数的比是( )。 【考点十九】分数、小数、百分数、除法、比之间的互相转化。 【典型例题】 45÷( )＝0.75＝＝( )%＝（ ∶ ）（最简整数比）。 【对应练习】 1. ( )÷5＝0.8＝＝( )∶35＝( )%。 2. ＝0.4＝6∶( )＝2÷( )＝( )%。 【考点二十】分数、小数、百分数之间的大小比较。 【典型例题】 在、0.67、66.7%、这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【对应练习】 1. 在3.14%、3.14、π、、0.35这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 2. 在3.14、、π、31.4%这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 23 且视他人之凝目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路！ ——史铁生《病隙碎笔》 2 / 23 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末复习专题一：数与代数·分数、百分数、比的认识和计算 【二十大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 期末复习专题一：数与代数·分数、百分数、比的认识和计 算 专题内容 本专题包括分数和百分数的基础计算、混合运算及简便运算， 比的基本认识、基本性质及基本计算等内容。 总体评价 讲解建议 本部分内容根据篇目进行分类，每个篇目又包含多个常考考 点，每个考点又划分多种变式练习，总体来说，内容涵盖广 泛，综合性强，建议作为期末复习核心内容进行讲解。 考点数量 二十大考点。 【第二篇】目录导航篇 【第三篇】知识总览篇 .......................................................................................................4 【第四篇】典型例题篇 .......................................................................................................9 【考点一】分数乘除法的表示和意义 ................................................................................9 【考点二】分数（百分数）基础计算 ................................................................................9 【考点三】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系 ............................................. 10 【考点四】分数乘除法与单位换算 ..................................................................................11 【考点五】分数（百分数）混合运算和简便计算 ...........................................................11 3 / 23 【考点六】分数（百分数）解方程 ..................................................................................13 【考点七】分数（百分数）列式计算（文字式） ...........................................................13 【考点八】分数（百分数）列式计算（图形式） ...........................................................14 【考点九】分数（百分数）简便计算其一：分子、分母交换与拆分 ............................ 15 【考点十】分数（百分数）简便计算其二：带分数化加式或化减式 ............................ 16 【考点十一】分数（百分数）简便计算其三：裂项法（分数裂和与分数裂差） ......... 17 【考点十二】分数（百分数）简便计算其四：整体约分思想 ........................................18 【考点十三】倒数的基本认识 ......................................................................................... 19 【考点十四】倒数的变式问题 ......................................................................................... 20 【考点十五】比与百分数的认识和意义 ..........................................................................20 【考点十六】化简比和求比值 ......................................................................................... 21 【考点十七】比的基本性质 ............................................................................................. 21 【考点十八】化连比 ........................................................................................................ 22 【考点十九】分数、小数、百分数、除法、比之间的互相转化 ....................................22 【考点二十】分数、小数、百分数之间的大小比较 .......................................................22 4 / 23 【第三篇】知识总览篇 知识点一：分数乘法的意义。 1. 分数与整数相乘的意义。 （1）分数乘整数表示求几个相同加数的和的简便运算或者求一个分数的几倍是 多少； （2）整数乘分数表示求一个整数的几分之几是多少。 注意：分数乘整数和整数乘分数所表示的意义略有区别，但二者并无本质不同。 2. 计算法则。 分母不变，分子乘整数作分子，即： a bcc a b  。 注意：能约分的先约分。 知识点二：分数乘法的计算。 1. 分数与整数相乘。 分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2. 分数与分数相乘。 用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3. 小数与分数相乘。 （1）把小数转化成分数，按分数乘分数的方法进行计算； （2）把分数转化成小数，按小数乘小数的方法进行计算。 4. 为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5. 积与因数的大小关系。 一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。 一个数（0 除外）乘小于 1 的数（0 除外），积小于这个数。 一个数（0 除外）乘 1，积等于这个数。 6. 分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 7. 整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 知识点三：倒数的认识。 1. 定义。 5 / 23 乘积为 1 的两个数互为倒数。 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法。 （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O 除外）看作分母是 1 的假分数，再交换分子、 分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 注意：1的倒数是 1，0没有倒数。 知识点四：分数除法的计算。 1. 分数除法的意义。 （1）分数除以整数的意义。 一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少。 （2）一个数除以的意义。 一个数除以分数表示一个数里面有几个另一个数。 2. 分数除以整数（0除外）的计算方法。 （1）用分子和整数相除的商做分子，分母不变。 （2）分数除以整数，等于分数乘这个整数的倒数。 3. 一个数除以分数的计算方法。 一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数。 4. 商与被除数的大小关系。 ①一个数(0 除外)除以小于 1 的数，商比原来的数大。 ②一个数(0 除外)除以大于 1 的数，商比原来的数小。 ③一个数(0 除外)除以等于 1 的数，商与原来的数相等。 5. 分数连除的计算方法。 分数连除，可以分步转化为乘法计算，也可以一次都转化为乘法再计算，能约分 的要约分。 6. 不含括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果只含有同一级运算，按照从左到右的顺序计 6 / 23 算；如果含有两级运算，先算第二级运算，再算第一级运算。 7. 含有括号的分数混合运算的运算顺序。 在一个分数混合运算的算式里，如果既有小括号又有中括号，要先算小括号里面 的，再算中括号里面的。 8. 整数的运算定律在分数混合运算中的运用。 在进行分数的混合运算中，可以利用加法、减法、乘法、除法的运算定律或运算 性质，使计算简便。 知识点五：分数乘除法简便计算。 1. 乘法交换律。 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，用字母表示为 a×b=b×a。 2. 乘法结合律。 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为 (a×b)×c=a×(b×c)。 3. 乘法分配律。 (a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 4. 乘法分配律逆运算。 a×c+b×c=(a+b)×c a×c-b×c=(a-b)×c 5. 添加因数 1。 形如 A×B+A 的式子，在进行简便计算时，要把单独的一个数看作 A×1，即 A×B+A=A×B+A×1，然后再使用乘法分配律进行简便计算。 6. 除法运算性质： a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 知识点六：比的认识。 1. 比的意义。 7 / 23 两个数相除又叫做两个数的比。 2. 比的符号和读写法。 （1） 符号：比用符号“∶”表示，“∶”叫做比号。 （2）写法：15∶10，记做 15∶10 或 （3）读法：两种形式的比都读作几比几。 3. 比的各部分名称。 知识点七：化简比和求比值。 1. 比的基本性质。 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变，这叫做比的基本 性质。 2. 求比中未知项的方法。 已知比的前项、后项和比值中的任意两项，都可以根据它们之间的关系来求出第 三项。 3. 比和分数、除法的关系。 4. 化简比的意义。 （1）比的前项和后项是互质数的比，叫做最简单的整数比，把两个数化成最简 单的整数比，叫做化简比，也叫做比的化简。 （2）整数比的化简方法。 整数比的化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 （3）分数比的化简方法。 比的前项和后项中含有分数的，把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数， 8 / 23 变成整数比，再进行化简。 （4）小数比的化简方法。 把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，变成整数比，再进行化简。 带单位的两个同类量的比进行化简时，单位要统一，否则计算的结果不正确。 5. 求比值。 （1）求两个数比的比值，就是用比的前项除以比的后项。 （2）比只能写成 a∶b 或 的形式，比值可以是分数，也可以是整数或小数。 知识点八：百分数的认识。 1. 百分数的概念。 像 95%、13.4%、120%这样的数叫做百分数，百分数也叫百分率或百分比，其中% 叫做百分号，它的计数单位是 1%， 2. 百分数的读法。 读百分数时，先读百分号%，再读百分号前面的数，读作“百分之”。 3. 百分数的写法。 百分数通常不写成分数形式，通常以数+%的形式表示（数可以是整数和小数， 不能是分数）。 4. 百分数的意义。 百分数表示一个数占另一个数的百分之几，例如 15%表示一个数占另一个数的百 分之十五。 知识点九：百分数与小数、分数的互化。 1. 分小百互化。 （1）百分数化小数：去掉百分号，小数点向左移动两位； （2）小数化百分数：添加百分号，小数点向右边移动两位； （3）百分数化分数：去掉百分号，分母直接变为 100，注意约分； （4）分数化百分数：先化成小数再化成百分数。 2. 常见的分数与小数、百分数互化。 2 1 =0.5=50% 5 1 =0.2=20% 8 5 =0.625= 62.5% 9 / 23 4 1 =0.25=25% 5 2 =0.4=40% 8 1 =0.125=12.5% 4 3 =0.75=75% 5 3 =0.6=60% 8 3 =1.375=37.5% 16 1 =0.0625=6.25% 5 4 =0.8=80% 8 7 =0.875=87.5% 25 1 =0.04=4﹪ 25 2 =0.08=8﹪ 25 3 =0.12=12﹪ 25 4 =0.16=16﹪ 【第四篇】典型例题篇 【考点一】分数乘除法的表示和意义。 【典型例题】 1．（分数乘整数） 3 4 ×3 表示( )。 2．（整数乘分数） 260 5  表示( )。 3. （分数乘分数） 5 39 4  表示的意义是( )。 4. （分数除以整数） 2 4 5  表示把 2 5 平均分成( )份，求其中的( ) 是多少，也就是求 2 5 的( )是多少。 5. （分数除以分数） 5 8 ÷ 5 6 表示( )。 【对应练习】 1． 2 4 7  表示( )。 2．20× 45 的意义是( )。 3. 5 36 4  表示的意义是( )。 4. 6 2 13  表示把 6 13平均分成( )，求( )份是多少，也就是求 6 13的 ( )是多少。 5. 3 5 8 12  表示的意义是( )。 【考点二】分数（百分数）基础计算。 【典型例题】 直接写得数。 10 / 23 62.5%÷ 5 8 ＝ 131 15 × 57 ＝ 2.4× 5 12＝ 1 8 ＋ 7 8 ×0＝ 18÷ 2 9 ＝ 3 4 ÷0.75＝ 1— 59 × 3 10＝ 15× 3 5 —15× 3 5＝ 【对应练习】 1．直接写出得数。 4 21 7 20   7 2 15   55.4 6   616 17   15 5 19   39 4   8 4 27 9   15 4   2．直接写出得数。 33.6 4   15 45 26 13   3 60% 8   11 15% 25   72.8 8   3 312 7 7    12 5 19 6   1 5 1 6 6 5    【考点三】积与因数的大小关系·商与被除数的大小关系。 【典型例题 1】其一。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 5 6 ( )0.83 7 58 2  ( ) 78 3 2 13 5  ( ) 3 13 【对应练习】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 9 1 7  ( ) 97 3 2 7  ( ) 37 4 0 21  ( ) 421 5 2 6 3  ( ) 59 4 8 5 3  ( ) 45 8 3 9 4  ( ) 3 4 【典型例题 2】其二。 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3 7 ÷6( ) 3 7 ×6 4 9 ÷6( ) 4 9 5 7 ÷ 3 4 ( ) 57 【对应练习】 在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。 3 2 5  ( ) 3 15 2  2 4 3 5  ( ) 45 113 13  ( )13 1 16 5  ( ) 1 15 6  11 / 23 【考点四】分数乘除法与单位换算。 【典型例题】 单位换算。 3 4 时 ( )分，4500 毫升 ( )升。 【对应练习】 1．单位换算 11 20 平方千米＝( )公顷 5 8 立方米＝( )立方分米 31 4 分米＝( )米 73 8 升＝( )毫升 2．单位换算。 6 5 时＝( )分 8 25 元＝( )分 11 75 m＝( )cm 9 125 L＝( )mL 25 4 dm2＝( )m2 5 8 mm＝( )cm 8 5 秒＝( )分 13 5 dm＝( )cm 7 20 元＝( )分 【考点五】分数（百分数）混合运算和简便计算。 【典型例题】 脱式计算，能简算的要简算。 （1） 17 3 19 836 8 36 3    （2） 3 5 34 6 10   （3） 1 3 53 13 13 53        （4） 3 5 7 7 4 12 8 24    （5） 21 5 6 2 2 8 1 7            （6） 4 6.5 2.5 80% 0.85     12 / 23 【对应练习】 1．脱式计算，能简算的要简算。 3.5× 14 ＋5.5× 1 4 ＋25% 5 5 6 7 6 7        9899 99  5.2× 79 ＋5.2÷ 9 2 9 25 ×99 3 7 × 1 8 ×14×32 2．脱式计算，能简算的要简算。 49 3 1 72 4 8       3 3 101 10 5 17        1 5 824 8 6 23          4 5.5 0.8 3.5 80% 5     8787 88  8 9 5 4 13 4 13 9    13 / 23 【考点六】分数（百分数）解方程。 【典型例题】 解方程。 25%x 1.7 5.8  236 x 18 3   3 2x x 60 4 3  ＝ 【对应练习】 1．解方程。 20% 36 48x   4 27 5 16 x x  180% 50% 6 x x  2．解方程。 （1＋20%）x＝0.48 x－ 25 x＝ 1 15 2 3 x－ 2 9 ＝ 4 9 【考点七】分数（百分数）列式计算（文字式）。 【典型例题】 列式计算。 4 5 除 8 的商减去 1 5 与 45 的积，差是多少？ 14 / 23 【对应练习】 1．列式计算。 甲数的 2 3 相当于乙数的 15%，乙数是 20，求甲数。 2．列综合算式或方程计算。 一个数的 75%比它的 5 6 少 6，这个数是多少？ 【考点八】分数（百分数）列式计算（图形式）。 【典型例题】 看图列式计算。 【对应练习】 1．看图列式计算。 15 / 23 2．看图列式（或方程）计算。 【考点九】分数（百分数）简便计算其一：分子、分母交换与拆 分。 【典型例题】 简便计算。 13 3 26 33 25 4 4 134      【对应练习】 1. 简便计算。 7 17 ×16 25 ＋ 9 17 × 7 25 24 7 17 9 24 9 17 5  24 13 16 7 24 7 16 11  2. 简便计算。 27 5 11 6 11 5 9 710  17 5 9 1 9 150 17 16 9 5  17 6 18 5 17 4 9 5 6 5 17 1  16 / 23 【考点十】分数（百分数）简便计算其二：带分数化加式或化减 式。 【典型例题】 1. 简便计算。 24 15 8 ×5 6 17 1 20 1751  20 15 7 ×25 2. 简便计算。 2020 2021 2020 ÷2020 【对应练习】 1. 简便计算。 （1） 1 12004 2002 2003  （2） 1 3 1 441 51 3 4 4 5    2. 简便计算。 3232 33 ÷32 17 / 23 【考点十一】分数（百分数）简便计算其三：裂项法（分数裂和 与分数裂差）。 【典型例题】 观察下列等式： 1 11 1 2 2    ， 1 1 1 2 3 2 3    ， 1 1 1 3 4 3 4    ， 请将以上三个等式两边分别相加得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 1 1 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 4 4               。 （1）猜想并写出： 1 ( 1)n n   ( )。 （2） 1 1 1 1+ 1 2 2 3 3 4 2016 2017          ( )。 （3）探究并计算： 1 1 1 1+ + + + = 2 4 4 6 6 8 2016 2018        ( )。 （4）计算： 1 1 1 1 1 1 1 1 14 12 24 40 60 84 112 144 180         【对应练习】 1. 简便计算。 1 3 5 ＋ 1 5 7 ＋ 1 7 9 2. 简便计算。 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30     18 / 23 【考点十二】分数（百分数）简便计算其四：整体约分思想。 【典型例题 1】整体约分其一。 简便计算。 8 3 6 3 5 41 9 7 11 11 7 9                【典型例题 2】整体约分其二。 简便计算。 （ 4 11 × 11 9 × 47 ）÷（ 2 11 × 5 9 × 2 7 ） 【对应练习】 简便计算。 3 30.84 0.54 0.54 0.14 20 10                【对应练习 2】 简便计算。 ）（）（ 9 5 7 5 9 27 7 29  19 / 23 【典型例题 3】大变小思想。 简便计算。 201520132014 120152014   【对应练习】 简便计算。 1919 190190 19001900 19÷ 9898 980980 98009800 98 （ ＋ ＋ ） 【考点十三】倒数的基本认识。 【典型例题】 1. 310的倒数是( )，0.25 和( )互为倒数， 23 3 的倒数是( )， 1 5 与它的倒数的和是( )，1 的倒数是( )，( )没有倒数。 2. 8( ) 2 5   ( ) 1.25  ( ) 18 15   。 3. a 和 b 互为倒数，则 5 4 a b   ( )。 【对应练习】 1. 52 7 的倒数是( )；1.25 与( )互为倒数。 2. 13 ( ) 21 5   ( ) 2.5 ( ) 1 。 3. 如果 a 与 b 互为倒数，那么 18 7 a b ab   ＝( )。 20 / 23 【考点十四】倒数的变式问题。 【典型例题】 1. 一个自然数，与它的倒数的和是 15 5 ，这个自然数是( )。 2. 一个数与它的倒数的差是 121213，这个数是( )。 3. 如果 1 12 4 6 a b c     ，a、b、c 均不为 0，那么 a、b、c 中，( )最大， ( )最小。 【对应练习】 1. 一个不为 0 的整数与它的倒数的和是 4.25，这个整数是( )。 2. 0.6 的倒数是( )；一个数与它倒数的差是 0，这个数是( )。 3. 已知 a、b、c 是三个不等于零的数，且 a× 35 ＝b÷ 3 5＝c×1，在这三个数中， ( )最大，( )最小。 【考点十五】比与百分数的认识和意义。 【典型例题】 1．13∶10 也可以写成( )，读作( )，它的前项是( )， 比值是( )。 2. 26%读作( )；百分之十二点五写作( )。 3. 一罐饮料上写着“100%橙汁”，表示( )。 【对应练习】 1. 已知 a÷b＝3，则 b 与 a 的比是( )，比值是( )。 2. 选择合适的数填空。（97.3% 2.7% 100% 110%） (1)从 1999 年 11 月 20 日神舟一号升空，打通了天地往返之路开始，到今天神舟 十二号发射和对接成功，中国航天人从来都不辱使命，神舟系列载人飞船历经 22 年总共 12 次飞行，( )的成功率。令世界见识了真真正正的中国速度。 (2)地球上的水资源，海水占( )，淡水占( )，淡水资源紧张，所 以要节约用水。 (3)小明家 2020 年收入是 2019 年的( )。 21 / 23 【考点十六】化简比和求比值。 【典型例题】 先化简再求比值。 4.2∶5.6 2 27 ∶ 8 15 4 t 9 ∶0.3kg 【对应练习】 1．化简比并求比值。 15∶90 1 : 0.45 4 6 千米∶300 米 2．把下面的比化成最简单的整数比，并求出比值。 212 : 3 3 4 小时∶15 分钟 516 ∶0.75 【考点十七】比的基本性质。 【典型例题】 1．如果 3: 5 a b  ，那么 5a∶5b＝( )。 2．把 5∶9 的后项扩大到原来的 3 倍，要使比值不变，前项应增加( )。 3．把 5∶6 的前项增加 10，要使比值不变，后项应乘( )。 【对应练习】 1. 一个比是 9∶32，如果比的前项增加 18，要使比值不变，那么比的后项应增 加( )。 2. 18: 24的前项减去 12，要使比值不变，后项可以除以( )。 22 / 23 【考点十八】化连比。 【典型例题】 1. 已知 a∶b＝2∶3，b∶c＝4∶5，求 a∶b∶c。 2. 已知 a∶b＝3：4，b∶c＝ 13 ∶ 1 5 ，求 a∶b∶c。 【对应练习】 1. 饲养场养的鸡与鸭的只数比是 5∶3，鸭与鹅的只数比是 2∶1，则鸡、鸭、鹅 的只数比是( )。 2. 甲数和乙数的比是 2∶3，乙数和丙数的比是 6∶5，丙、甲两数的比是 ( )。 【考点十九】分数、小数、百分数、除法、比之间的互相转化。 【典型例题】 45÷( )＝0.75＝   20 　　　 ＝( )%＝（ ∶ ）（最简整数比）。 【对应练习】 1. ( )÷5＝0.8＝ 36 （ ） ＝( )∶35＝( )%。 2. 2 0 （ ） ＝0.4＝6∶( )＝2÷( )＝( )%。 【考点二十】分数、小数、百分数之间的大小比较。 【典型例题】 在 2 3 、0.67、66.7%、 7 10这四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【对应练习】 1. 在 3.14%、3.14、π、 52 、0.35 这五个数中，最大的数是( )，最小的数 23 / 23 是( )。 2. 在 3.14、 13 7 、π、31.4%这四个数中，最大的数是( )，最小的数是 ( )。