期末难点08：长方体和正方体问题“奥数思维训练版”-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 6 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末难点 08：长方体和正方体问题“奥数思维训练版” 1．一个长方体木块，如果从上部截去高为 4分米的长方体后，便成为一个正方 体，表面积减少 96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 2．淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代， 兴于元代，盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有“世界琉璃看 中国，中国琉璃看淄博”之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇 尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是他找来一个棱长 10厘米的正方体容器， 里面装有一些水，将这个高 8厘米的长方体镇尺竖直放入水中（镇尺底面与容器 底面平行），镇尺浸没 6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多少？（容器厚 度忽略不计） 2 / 6 3．在内侧棱长为 20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌 面上（正方体的一条棱与桌面接触），流出的水正好装满一个内侧棱长为 10厘 米的正方体容器，图中线段 AB的长是多少厘米？ 4．如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为 50厘米的正方形，容器内竖直 放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长 20厘米的正方形，高 80 厘米，水面高 30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底 21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 5．一张长方形硬纸板的面积是 6平方分米，周长是 10分米，水平摆放后向上平 移，形成的长方体的表面积是 36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 3 / 6 6．一个长方体，左右两个面是边长为 3分米的正方形，按下图所示切成 4块后， 表面积增加了 138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 7．如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这 个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ 8．一个长方体玻璃缸从里面量长是 10厘米，宽是 8厘米，高是 15厘米。将玻 璃缸装满水后，现将一个体积为 480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取 出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为 13厘米，求小玻璃球的体积。 9．一个圆锥形沙堆，底面积为 9平方米，高为 2米，把它倒入一个长方体沙坑 里，将底面铺均匀，此时沙坑里还空着 20%，已知长方体沙坑长 5米，宽 3米， 沙坑有多深？ 4 / 6 10．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是 40升，底面面积是 10平方分米， 箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口 0.8分米，现在这个水箱平放在地面上， 最多能装水多少升？（铁皮厚度不计） 11．一个长方体的棱长总和是 240厘米，长、宽、高的比是 5∶3∶4。这个长方 体的体积是多少立方厘米？ 12．一个长 20厘米，高 10厘米的密封的长方体容器里装有 6厘米深的水，如果 以容器的右侧面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 13．王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方 体。这个长方体容器的容积是多少毫升？ 5 / 6 14．数学活动小组准备用一块长方形铁皮如图所示，制作一个长方体铁盒，活动 步骤如下： 步骤一：剪掉四个角上所有阴影部分的正方形。（每个正方形都相同）。 步骤二：再沿虚线折起来，做成没有盖子的长方体铁盒。 （1）把这个铁盒的外面涂上防腐漆，每平方厘米用 0.8克防腐漆，至少准备多 少克防腐漆？ （2）要给这个铁盒配上一个盖子，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （3）该铁盒能装多少立方厘米的物品？（铁皮厚度不计） 6 / 6 15．连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来 卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长 32厘米、宽 32厘米、高 8.5厘米的长方体，这样一个 礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不 贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长 6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了 12 小盒。售货员拿出一张长 36厘米，宽 30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无 盖的礼盒，刚好装下这 12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成 5 份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费 材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末难点08：长方体和正方体问题“奥数思维训练版” 1．一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 2．淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代，兴于元代，盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有“世界琉璃看中国，中国琉璃看淄博”之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是他找来一个棱长10厘米的正方体容器，里面装有一些水，将这个高8厘米的长方体镇尺竖直放入水中（镇尺底面与容器底面平行），镇尺浸没6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多少？（容器厚度忽略不计） 3．在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌面上（正方体的一条棱与桌面接触），流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长是多少厘米？ 4．如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 5．一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 6．一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 7．如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ 8．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。 9．一个圆锥形沙堆，底面积为9平方米，高为2米，把它倒入一个长方体沙坑里，将底面铺均匀，此时沙坑里还空着20%，已知长方体沙坑长5米，宽3米，沙坑有多深？ 10．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是40升，底面面积是10平方分米，箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口0.8分米，现在这个水箱平放在地面上，最多能装水多少升？（铁皮厚度不计） 11．一个长方体的棱长总和是240厘米，长、宽、高的比是5∶3∶4。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 12．一个长20厘米，高10厘米的密封的长方体容器里装有6厘米深的水，如果以容器的右侧面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 13．王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体。这个长方体容器的容积是多少毫升？ 14．数学活动小组准备用一块长方形铁皮如图所示，制作一个长方体铁盒，活动步骤如下： 步骤一：剪掉四个角上所有阴影部分的正方形。（每个正方形都相同）。 步骤二：再沿虚线折起来，做成没有盖子的长方体铁盒。 （1）把这个铁盒的外面涂上防腐漆，每平方厘米用0.8克防腐漆，至少准备多少克防腐漆？ （2）要给这个铁盒配上一个盖子，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （3）该铁盒能装多少立方厘米的物品？（铁皮厚度不计） 15．连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 期末难点08：长方体和正方体问题“奥数思维训练版” 1．一个长方体木块，如果从上部截去高为4分米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】360立方分米 【分析】一个长方体木块，从上部截去高为4分米的长方体，便成为一个正方体，说明原来长方体木块的长和宽相等，长和宽相等的长方体，它的前后左右四个面完全相同。 表面积减少的部分就是截去的小长方体的前、后、左、右四个面的面积之和，且每个侧面都是形状相等的小长方形，则每个侧面的面积为：96÷4＝24（平方分米），因为截去的小长方体的高是4分米，所以小长方体的长＝24÷4＝6（分米），则原来大长方体的长为6分米，宽是6分米，高为：6＋4＝10（分米），再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】96÷4÷4 ＝24÷4 ＝6（分米） 6×6×（6＋4） ＝6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方分米） 答：原来长方体的体积是360立方分米。 【点睛】一个长方体从上面水平截去一个小长方体时，大长方体表面积减少的部分就是小长方体侧面积（即前、后、左、右四个面的面积之后）。 2．淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代，兴于元代，盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有“世界琉璃看中国，中国琉璃看淄博”之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是他找来一个棱长10厘米的正方体容器，里面装有一些水，将这个高8厘米的长方体镇尺竖直放入水中（镇尺底面与容器底面平行），镇尺浸没6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多少？（容器厚度忽略不计） 【答案】400立方厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体容器的容积，正方体容器的底面积×水面高度＝水的体积，正方体容器的容积－水的体积＝高6厘米的镇尺体积。高6厘米的镇尺体积÷6＝镇尺底面积，镇尺底面积×镇尺高＝镇尺体积，据此列式解答。 【详解】10×10×10－10×10×7 ＝1000－700 ＝300（立方厘米） 300÷6＝50（平方厘米） 50×8＝400（立方厘米） 答：这个镇尺的体积是400立方厘米。 【点睛】关键是先求出镇尺底面积，掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 3．在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌面上（正方体的一条棱与桌面接触），流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】 如图，将正方体分成高AB和高BC两个长方体部分，流出的水的体积是高BC部分的一半，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出流出的水的体积，乘2是高BC部分的容积；正方体容器的容积－高BC部分的容积＝高AB部分的容积，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出AB的长。 【详解】10×10×10＝1000（立方厘米） 20×20×20－1000×2 ＝8000－2000 ＝6000（立方厘米） 6000÷（20×20） ＝6000÷400 ＝15（厘米） 答：图中线段AB的长是15厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 4．如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 【答案】25厘米 【分析】铁块往上提时水面会下降，填充由于铁块提起而空出部分的体积，即下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，用这部分体积除以下降部分水的底面积（容器底面积－铁块底面积）可以得到水面下降的高度。露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长，等于提出的21厘米加上水面下降的高度。 【详解】下降水的体积：20×20×21 ＝400×21 ＝8400（立方厘米） 下降水的底面积：50×50－20×20 ＝2500－400 ＝2100（平方厘米） 下降高度：8400÷2100＝4（厘米） 露出的浸湿高度：21＋4＝25（厘米） 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是25厘米。 【点睛】本题关键是明确下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，同时还需要注意，下降部分水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差。 5．一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 【答案】14.4立方分米 【分析】这是一道关于长方体的题目，根据长方形的周长、面积公式与长方体的表面积、体积公式解答； 由长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长＋宽＝周长÷2，据此可求出长方形长与宽的和，再结合长方形的面积＝长×宽，可判断出长方形纸板的长与宽； 由长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2可得，长方体的高＝（表面积÷2－长×宽）÷（长＋宽），据此可求出长方体的高； 然后根据长方体的体积＝长×宽×高，可求出这个长方体的体积。 【详解】10÷2＝5（分米） 3＋2＝5（分米） 3×2＝6（平方分米） 因此可知：长方形的长是3分米，宽是2分米。 长方体的高： （36÷2－3×2）÷（3＋2） ＝（18－6）÷5 ＝12÷5 ＝2.4（分米） 长方体的体积：3×2×2.4 ＝6×2.4 ＝14.4（立方分米） 答：这个长方体的体积是14.4立方分米。 【点睛】利用长方体的表面积公式求出长方体的高是解题的关键。 6．一个长方体，左右两个面是边长为3分米的正方形，按下图所示切成4块后，表面积增加了138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 【答案】180立方分米 【分析】因为左右两个面是边长为3分米的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2，再乘2，即可求出左右两个面的面积； 从图中可知，长方体切成4块后，表面积增加左右两个面和上下两个面的面积之和，先用增加的表面积减去左右两个面的面积，即是上下两个面的面积，再除以2，即可求出原长方体的底面积； 原长方体的高是3分米，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出原长方体的体积。 【详解】增加的左右两个面的面积： 3×3×2＝18（平方分米） 长方体的底面积： （138－18）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方分米） 原长方体的体积： 60×3＝180（立方分米） 答：原长方体的体积是180立方分米。 【点睛】先分析出表面积增加的是哪几个面的面积，求出原长方体的底面积是解题的关键，再根据长方体的体积公式解答。 7．如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】1470平方厘米 【分析】从图中可知，这个长方体物体外面的侧面是4个长22厘米、宽10厘米的长方形，物体里面的侧面是4个长22厘米、宽5厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘4，分别求出长方体外面、里面的侧面积； 这个长方体物体的底面积＝边长为10厘米的正方形的面积－边长为5厘米的正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长求解； 如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积＝物体外面的侧面积＋物体里面的侧面积＋物体的底面积×2，据此求出物体与水接触的面积。 【详解】物体外面的侧面积：10×22×4＝880（平方厘米） 物体里面的侧面积：5×22×4＝440（平方厘米） 物体的两个底面积： （10×10－5×5）×2 ＝（100－25）×2 ＝75×2 ＝150（平方厘米） 物体与水接触的面积： 880＋440＋150＝1470（平方厘米） 答：它与水接触的面积是1470平方厘米。 【点睛】本题考查长方体表面积公式的灵活运用，分析出物体接触水的面是哪些面，再根据图形的面积公式求解。 8．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，求小玻璃球的体积。 【答案】320立方厘米 【分析】根据题意，先求出放入大玻璃球水上升的高度，再求出将大玻璃球取出后水的高度，也就是玻璃缸里只有水时的水面高度。放入小玻璃球的体积等于水上升的体积，先明确放入小玻璃球后水上升的高度，结合长方体的体积公式V＝abh，求出小玻璃球的体积，解答即可。 【详解】480÷10÷8 ＝48÷8 ＝6（厘米） 15－6＝9（厘米） 13－9＝4（厘米） 10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方厘米） 答：小玻璃球的体积是320立方厘米。 【点睛】解答此题的关键是要求出不放入任何物体时，水面的高度。要明确放入物体后水上升的体积即为所放物体的体积。 9．一个圆锥形沙堆，底面积为9平方米，高为2米，把它倒入一个长方体沙坑里，将底面铺均匀，此时沙坑里还空着20%，已知长方体沙坑长5米，宽3米，沙坑有多深？ 【答案】0.5米 【分析】已知圆锥形沙堆的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，求出沙堆的体积； 然后把这些沙子倒入一个长方体沙坑里，沙子的体积不变；此时沙坑里还空着20%，把长方体沙坑的容积看作单位“1”，沙子的体积占长方体沙坑容积的（1－20%），单位“1”未知，用沙子的体积除以（1－20%），求出长方体沙坑的容积； 已知长方体沙坑长和宽，根据长方体体积（容积）公式V＝abh可知，长方体的高h＝V÷a÷b，代入数据计算求出沙坑的深度。 【详解】圆锥形沙堆的体积： ×9×2＝6（立方米） 长方体沙坑的容积： 6÷（1－20%） ＝6÷0.8 ＝7.5（立方米） 沙坑的深度： 7.5÷5÷3 ＝1.5÷3 ＝0.5（米） 答：沙坑有0.5米深。 【点睛】本题考查百分数除法的应用，圆锥的体积、长方体的体积（容积）公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 10．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是40升，底面面积是10平方分米，箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口0.8分米，现在这个水箱平放在地面上，最多能装水多少升？（铁皮厚度不计） 【答案】32升 【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，据此可以求出长方体水箱的高，然后用水箱的高减去0.8分米求出可以装水的高，再用底面积乘高即可求出能装水的体积。 【详解】40升＝40立方分米 40÷10－0.8 ＝4－0.8 ＝3.2（分米） 3.2×10＝32（立方分米） 32立方分米＝32升 答：最多能装水32升。 【点睛】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：容积单位与体积单位之间的换算。 11．一个长方体的棱长总和是240厘米，长、宽、高的比是5∶3∶4。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】7500立方厘米 【分析】已知一个长方体的棱长总和是240厘米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4； 又已知长、宽、高的比是5∶3∶4，则长、宽、高的总份数是（5＋3＋4）份；用长、宽、高之和除以它们的总份数，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽、高的份数，求出长、宽、高； 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个长方体的体积。 【详解】长、宽、高之和：240÷4＝60（厘米） 一份数： 60÷（5＋3＋4） ＝60÷12 ＝5（厘米） 长：5×5＝25（厘米） 宽：5×3＝15（厘米） 高：5×4＝20（厘米） 体积：25×15×20＝7500（立方厘米） 答：这个长方体的体积是7500立方厘米。 【点睛】先灵活运用长方体的棱长总和求出长、宽、高之和，再把长、宽、高的比看作份数，求出一份数，进而求出长、宽、高，最后根据长方体的体积公式求解。 12．一个长20厘米，高10厘米的密封的长方体容器里装有6厘米深的水，如果以容器的右侧面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】根据题意，长方体内水的体积不变，以容器的右侧面为底竖直摆放，也就是改变水的底面为宽和高围成的长方形，根据：水的体积＝长×宽×高，水的高＝水的体积÷（高×宽）计算出结果即可，宽未知可以用字母代替计算。 【详解】设长方体容器的宽为b厘米。 20×b×6÷（10×b） ＝120b÷10b ＝12（厘米） 答：此时容器内水高12厘米。 【点睛】此题考查了长方体的体积运用，关键能灵活运用等体积变形知识以及字母表示数进行解答。 13．王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体。这个长方体容器的容积是多少毫升？ 【答案】6750毫升 【分析】根据题意，裁剪一块长方形铁皮焊接成一个底面是正方形的无盖长方体，则少上面，共有5个面，且底面是正方形，4个侧面完全相同。 从图中可知，把长方形的长边平均分成两半，这样左右两边都是边长为30厘米的正方形，左边的正方形作为长方体的底面，根据正方形的面积＝边长×边长，求出长方体的底面积； 把右边的正方形再平均分成4个小长方形，这4个小长方形作为长方体的侧面，用30÷4即可求出长方体的高； 最后根据公式V＝Sh，以及进率：1立方厘米＝1毫升，求出这个无盖长方体容器的容积。 【详解】正方形的边长：60÷2＝30（厘米） 长方体的高：30÷4＝7.5（厘米） 长方体的体积： 30×30×7.5 ＝900×7.5 ＝6750（立方厘米） 6750立方厘米＝6750毫升 答：这个长方体容器的容积是6750毫升。 【点睛】本题考查长方体体积（容积）公式的灵活运用，找出长方体容器的底面积和高是解题的关键。 14．数学活动小组准备用一块长方形铁皮如图所示，制作一个长方体铁盒，活动步骤如下： 步骤一：剪掉四个角上所有阴影部分的正方形。（每个正方形都相同）。 步骤二：再沿虚线折起来，做成没有盖子的长方体铁盒。 （1）把这个铁盒的外面涂上防腐漆，每平方厘米用0.8克防腐漆，至少准备多少克防腐漆？ （2）要给这个铁盒配上一个盖子，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （3）该铁盒能装多少立方厘米的物品？（铁皮厚度不计） 【答案】（1）560克 （2）300平方厘米 （3）1500立方厘米 【分析】（1）观察图形可知，这个铁盒所需铁皮的面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求出这个无盖铁盒的表面积；再用每平方厘米需防腐漆的质量乘这个无盖铁盒的表面积，即可求出至少需准备防腐漆的质量。 （2）要给这个铁盒配上一个盖子，求至少需要铁皮的面积，就是求这个无盖长方体铁盒上面的面积，根据长方形的面积＝长×宽，其中长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，代入数据计算即可求解。 （3）这个无盖长方体纸盒的长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，高是5厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算即可求解。 【详解】（1）40×20－5×5×4 ＝800－100 ＝700（平方厘米） 0.8×700＝560（克） 答：至少准备560克防腐漆。 （2）（40－5－5）×（20－5－5） ＝30×10 ＝300（平方厘米） 答：至少需要300平方厘米的铁皮。 （3）（40－5－5）×（20－5－5）×5 ＝30×10×5 ＝1500（立方厘米） 答：该铁盒能装1500立方厘米的物品。 【点睛】本题考查无盖长方体的表面积、体积（容积）公式的灵活运用，以及长方形、正方形面积公式的运用，找出无盖长方体铁盒的长、宽、高是解题的关键。 15．连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 【答案】（1）8704立方厘米；1088平方厘米 （2）见详解；长24厘米；宽18厘米；高6厘米 【分析】（1）已知长方体礼盒的长、宽、高，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求出这个礼盒的体积。 要在礼盒的四周贴一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），求这圈商标纸的面积，就是求长方体的侧面积，长方体的侧面是4个长36厘米、宽8.5厘米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘4即可。 （2）已知连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，那么长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数。在长方形纸板的四个角上分别剪去边长是6厘米、12厘米、18厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体礼盒，此时长方体的长＝长方形的长－2条边长，长方体的宽＝长方形的宽－2条边长，长方体的高＝正方形的边长；据此分情况讨论，求出哪种礼盒正好能装下12小盒连翘红茶，即可确定无盖长方体的长、宽、高，并画出裁剪示意图。 【详解】（1）32×32×8.5 ＝1024×8.5 ＝8704（立方厘米） 32×8.5×4 ＝272×4 ＝1088（平方厘米） 答：这样一个礼盒的体积是8704立方厘米，这圈商标纸至少是1088平方厘米。 （2）长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数； ①假设高是6厘米，那么： 长：36－6－6＝24（厘米） 宽：30－6－6＝18（厘米） 长可以装：24÷6＝4（盒） 宽可以装：18÷6＝3（盒） 高可以装：6÷6＝1（盒） 一共可以装：4×3×1＝12（盒） 刚好装下这12小盒连翘红茶，符合题意。 ②假设高是12厘米，那么： 长：36－12－12＝12（厘米） 宽：30－12－12＝6（厘米） 长可以装：12÷6＝2（盒） 宽可以装：6÷6＝1（盒） 高可以装：12÷6＝2（盒） 一共可以装：2×1×2＝4（盒） 4＜12 不能装下这12小盒连翘红茶，不符合题意。 ③假设高是18厘米，那么： 长：36－18－18＝0（厘米） 不符合题意。 裁剪示意图如下：        答：制作成的礼盒长是24厘米，宽是18厘米，高是6厘米。 【点睛】（1）掌握长方体的体积、表面积公式的运用，关键是分析出商标纸的面积是长方体哪些面的面积之和。 （2）掌握用长方形硬纸板做无盖长方体的方法，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$1 / 15 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 期末难点 08：长方体和正方体问题“奥数思维训练版” 1．一个长方体木块，如果从上部截去高为 4分米的长方体后，便成为一个正方 体，表面积减少 96平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？ 【答案】360立方分米 【分析】一个长方体木块，从上部截去高为 4分米的长方体，便成为一个正方体， 说明原来长方体木块的长和宽相等，长和宽相等的长方体，它的前后左右四个面 完全相同。 表面积减少的部分就是截去的小长方体的前、后、左、右四个面的面积之和，且 每个侧面都是形状相等的小长方形，则每个侧面的面积为：96÷4＝24（平方分米）， 因为截去的小长方体的高是 4分米，所以小长方体的长＝24÷4＝6（分米），则 原来大长方体的长为 6分米，宽是 6分米，高为：6＋4＝10（分米），再根据长 方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】96÷4÷4 ＝24÷4 ＝6（分米） 6×6×（6＋4） ＝6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方分米） 2 / 15 答：原来长方体的体积是 360立方分米。 【点睛】一个长方体从上面水平截去一个小长方体时，大长方体表面积减少的部 分就是小长方体侧面积（即前、后、左、右四个面的面积之后）。 2．淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代， 兴于元代，盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有“世界琉璃看 中国，中国琉璃看淄博”之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇 尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是他找来一个棱长 10厘米的正方体容器， 里面装有一些水，将这个高 8厘米的长方体镇尺竖直放入水中（镇尺底面与容器 底面平行），镇尺浸没 6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多少？（容器厚 度忽略不计） 【答案】400立方厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体容器的容积，正方体 容器的底面积×水面高度＝水的体积，正方体容器的容积－水的体积＝高 6厘米 的镇尺体积。高 6厘米的镇尺体积÷6＝镇尺底面积，镇尺底面积×镇尺高＝镇尺 体积，据此列式解答。 【详解】10×10×10－10×10×7 ＝1000－700 ＝300（立方厘米） 300÷6＝50（平方厘米） 50×8＝400（立方厘米） 答：这个镇尺的体积是 400立方厘米。 【点睛】关键是先求出镇尺底面积，掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 3．在内侧棱长为 20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌 面上（正方体的一条棱与桌面接触），流出的水正好装满一个内侧棱长为 10厘 米的正方体容器，图中线段 AB的长是多少厘米？ 3 / 15 【答案】15厘米 【分析】 如图 ，将正方体分成高 AB和高 BC两个长方体部分，流 出的水的体积是高 BC部分的一半，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出流 出的水的体积，乘 2是高 BC部分的容积；正方体容器的容积－高 BC部分的容 积＝高 AB部分的容积，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出 AB的长。 【详解】10×10×10＝1000（立方厘米） 20×20×20－1000×2 ＝8000－2000 ＝6000（立方厘米） 6000÷（20×20） ＝6000÷400 ＝15（厘米） 答：图中线段 AB的长是 15厘米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 4．如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为 50厘米的正方形，容器内竖直 放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长 20厘米的正方形，高 80 厘米，水面高 30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底 21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 4 / 15 【答案】25厘米 【分析】铁块往上提时水面会下降，填充由于铁块提起而空出部分的体积，即下 降部分水的体积等于铁块 21厘米高度的体积，用这部分体积除以下降部分水的 底面积（容器底面积－铁块底面积）可以得到水面下降的高度。露出水面的铁块 上被水浸湿的部分的长，等于提出的 21厘米加上水面下降的高度。 【详解】下降水的体积：20×20×21 ＝400×21 ＝8400（立方厘米） 下降水的底面积：50×50－20×20 ＝2500－400 ＝2100（平方厘米） 下降高度：8400÷2100＝4（厘米） 露出的浸湿高度：21＋4＝25（厘米） 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是 25厘米。 【点睛】本题关键是明确下降部分水的体积等于铁块 21厘米高度的体积，同时 还需要注意，下降部分水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差。 5．一张长方形硬纸板的面积是 6平方分米，周长是 10分米，水平摆放后向上平 移，形成的长方体的表面积是 36平方分米。这个长方体的体积是多少？ 【答案】14.4立方分米 【分析】这是一道关于长方体的题目，根据长方形的周长、面积公式与长方体的 5 / 15 表面积、体积公式解答； 由长方形的周长＝（长＋宽）×2可知，长＋宽＝周长 ÷2，据此可求出长方形长与宽的和，再结合长方形的面积＝长×宽，可判断出长 方形纸板的长与宽； 由长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2可得， 长方体的高＝（表面积÷2－长×宽）÷（长＋宽），据此可求出长方体的高； 然 后根据长方体的体积＝长×宽×高，可求出这个长方体的体积。 【详解】10÷2＝5（分米） 3＋2＝5（分米） 3×2＝6（平方分米） 因此可知：长方形的长是 3分米，宽是 2分米。 长方体的高： （36÷2－3×2）÷（3＋2） ＝（18－6）÷5 ＝12÷5 ＝2.4（分米） 长方体的体积：3×2×2.4 ＝6×2.4 ＝14.4（立方分米） 答：这个长方体的体积是 14.4立方分米。 【点睛】利用长方体的表面积公式求出长方体的高是解题的关键。 6．一个长方体，左右两个面是边长为 3分米的正方形，按下图所示切成 4块后， 表面积增加了 138平方分米，你能求出原长方体的体积吗？ 【答案】180立方分米 【分析】因为左右两个面是边长为 3分米的正方形，根据正方形的面积公式 S＝ a2，再乘 2，即可求出左右两个面的面积； 从图中可知，长方体切成 4块后，表面积增加左右两个面和上下两个面的面积之 和，先用增加的表面积减去左右两个面的面积，即是上下两个面的面积，再除以 2，即可求出原长方体的底面积； 6 / 15 原长方体的高是 3分米，根据长方体的体积公式 V＝Sh，求出原长方体的体积。 【详解】增加的左右两个面的面积： 3×3×2＝18（平方分米） 长方体的底面积： （138－18）÷2 ＝120÷2 ＝60（平方分米） 原长方体的体积： 60×3＝180（立方分米） 答：原长方体的体积是 180立方分米。 【点睛】先分析出表面积增加的是哪几个面的面积，求出原长方体的底面积是解 题的关键，再根据长方体的体积公式解答。 7．如图，有一个长方体物体，底面是正方形，中间是空心的正方形。如果把这 个物体浸没在水中，它与水接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】1470平方厘米 【分析】从图中可知，这个长方体物体外面的侧面是 4个长 22厘米、宽 10厘米 的长方形，物体里面的侧面是 4个长 22厘米、宽 5厘米的长方形，根据长方形 的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘 4，分别求出长方体外面、里面的侧 面积； 这个长方体物体的底面积＝边长为 10厘米的正方形的面积－边长为 5厘米的正 方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长求解； 如果把这个物体浸没在水中，它与水接触的面积＝物体外面的侧面积＋物体里面 的侧面积＋物体的底面积×2，据此求出物体与水接触的面积。 【详解】物体外面的侧面积：10×22×4＝880（平方厘米） 物体里面的侧面积：5×22×4＝440（平方厘米） 7 / 15 物体的两个底面积： （10×10－5×5）×2 ＝（100－25）×2 ＝75×2 ＝150（平方厘米） 物体与水接触的面积： 880＋440＋150＝1470（平方厘米） 答：它与水接触的面积是 1470平方厘米。 【点睛】本题考查长方体表面积公式的灵活运用，分析出物体接触水的面是哪些 面，再根据图形的面积公式求解。 8．一个长方体玻璃缸从里面量长是 10厘米，宽是 8厘米，高是 15厘米。将玻 璃缸装满水后，现将一个体积为 480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取 出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为 13厘米，求小玻璃球的体积。 【答案】320立方厘米 【分析】根据题意，先求出放入大玻璃球水上升的高度，再求出将大玻璃球取出 后水的高度，也就是玻璃缸里只有水时的水面高度。放入小玻璃球的体积等于水 上升的体积，先明确放入小玻璃球后水上升的高度，结合长方体的体积公式 V ＝abh，求出小玻璃球的体积，解答即可。 【详解】480÷10÷8 ＝48÷8 ＝6（厘米） 15－6＝9（厘米） 13－9＝4（厘米） 10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方厘米） 答：小玻璃球的体积是 320立方厘米。 【点睛】解答此题的关键是要求出不放入任何物体时，水面的高度。要明确放入 物体后水上升的体积即为所放物体的体积。 8 / 15 9．一个圆锥形沙堆，底面积为 9平方米，高为 2米，把它倒入一个长方体沙坑 里，将底面铺均匀，此时沙坑里还空着 20%，已知长方体沙坑长 5米，宽 3米， 沙坑有多深？ 【答案】0.5米 【分析】已知圆锥形沙堆的底面积和高，根据圆锥的体积公式 V＝ 13 Sh，求出沙 堆的体积； 然后把这些沙子倒入一个长方体沙坑里，沙子的体积不变；此时沙坑里还空着 20%，把长方体沙坑的容积看作单位“1”，沙子的体积占长方体沙坑容积的（1－ 20%），单位“1”未知，用沙子的体积除以（1－20%），求出长方体沙坑的容积； 已知长方体沙坑长和宽，根据长方体体积（容积）公式 V＝abh可知，长方体的 高 h＝V÷a÷b，代入数据计算求出沙坑的深度。 【详解】圆锥形沙堆的体积： 1 3 ×9×2＝6（立方米） 长方体沙坑的容积： 6÷（1－20%） ＝6÷0.8 ＝7.5（立方米） 沙坑的深度： 7.5÷5÷3 ＝1.5÷3 ＝0.5（米） 答：沙坑有 0.5米深。 【点睛】本题考查百分数除法的应用，圆锥的体积、长方体的体积（容积）公式 的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 10．如图，这个有盖长方体铁皮水箱的容积是 40升，底面面积是 10平方分米， 箱侧面出现了漏洞，漏洞下边沿距箱口 0.8分米，现在这个水箱平放在地面上， 最多能装水多少升？（铁皮厚度不计） 9 / 15 【答案】32升 【分析】根据长方体的容积（体积）公式：V＝Sh，那么 h＝V÷S，据此可以求 出长方体水箱的高，然后用水箱的高减去 0.8分米求出可以装水的高，再用底面 积乘高即可求出能装水的体积。 【详解】40升＝40立方分米 40÷10－0.8 ＝4－0.8 ＝3.2（分米） 3.2×10＝32（立方分米） 32立方分米＝32升 答：最多能装水 32升。 【点睛】此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式， 注意：容积单位与体积单位之间的换算。 11．一个长方体的棱长总和是 240厘米，长、宽、高的比是 5∶3∶4。这个长方 体的体积是多少立方厘米？ 【答案】7500立方厘米 【分析】已知一个长方体的棱长总和是 240厘米，根据长方体的棱长总和＝（长 ＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4； 又已知长、宽、高的比是 5∶3∶4，则长、宽、高的总份数是（5＋3＋4）份； 用长、宽、高之和除以它们的总份数，求出一份数，再用一份数分别乘长、宽、 高的份数，求出长、宽、高； 最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个长方体的体积。 【详解】长、宽、高之和：240÷4＝60（厘米） 一份数： 60÷（5＋3＋4） 10 / 15 ＝60÷12 ＝5（厘米） 长：5×5＝25（厘米） 宽：5×3＝15（厘米） 高：5×4＝20（厘米） 体积：25×15×20＝7500（立方厘米） 答：这个长方体的体积是 7500立方厘米。 【点睛】先灵活运用长方体的棱长总和求出长、宽、高之和，再把长、宽、高的 比看作份数，求出一份数，进而求出长、宽、高，最后根据长方体的体积公式求 解。 12．一个长 20厘米，高 10厘米的密封的长方体容器里装有 6厘米深的水，如果 以容器的右侧面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】根据题意，长方体内水的体积不变，以容器的右侧面为底竖直摆放，也 就是改变水的底面为宽和高围成的长方形，根据：水的体积＝长×宽×高，水的 高＝水的体积÷（高×宽）计算出结果即可，宽未知可以用字母代替计算。 【详解】设长方体容器的宽为 b厘米。 20×b×6÷（10×b） ＝120b÷10b ＝12（厘米） 答：此时容器内水高 12厘米。 【点睛】此题考查了长方体的体积运用，关键能灵活运用等体积变形知识以及字 母表示数进行解答。 13．王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方 体。这个长方体容器的容积是多少毫升？ 11 / 15 【答案】6750毫升 【分析】根据题意，裁剪一块长方形铁皮焊接成一个底面是正方形的无盖长方体， 则少上面，共有 5个面，且底面是正方形，4个侧面完全相同。 从图中可知，把长方形的长边平均分成两半，这样左右两边都是边长为 30厘米 的正方形，左边的正方形作为长方体的底面，根据正方形的面积＝边长×边长， 求出长方体的底面积； 把右边的正方形再平均分成 4个小长方形，这 4个小长方形作为长方体的侧面， 用 30÷4即可求出长方体的高； 最后根据公式 V＝Sh，以及进率：1立方厘米＝1毫升，求出这个无盖长方体容 器的容积。 【详解】正方形的边长：60÷2＝30（厘米） 长方体的高：30÷4＝7.5（厘米） 长方体的体积： 30×30×7.5 ＝900×7.5 ＝6750（立方厘米） 6750立方厘米＝6750毫升 答：这个长方体容器的容积是 6750毫升。 【点睛】本题考查长方体体积（容积）公式的灵活运用，找出长方体容器的底面 积和高是解题的关键。 14．数学活动小组准备用一块长方形铁皮如图所示，制作一个长方体铁盒，活动 步骤如下： 步骤一：剪掉四个角上所有阴影部分的正方形。（每个正方形都相同）。 步骤二：再沿虚线折起来，做成没有盖子的长方体铁盒。 12 / 15 （1）把这个铁盒的外面涂上防腐漆，每平方厘米用 0.8克防腐漆，至少准备多 少克防腐漆？ （2）要给这个铁盒配上一个盖子，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （3）该铁盒能装多少立方厘米的物品？（铁皮厚度不计） 【答案】（1）560克 （2）300平方厘米 （3）1500立方厘米 【分析】（1）观察图形可知，这个铁盒所需铁皮的面积＝长方形的面积－4个 小正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代 入数据计算即可求出这个无盖铁盒的表面积；再用每平方厘米需防腐漆的质量乘 这个无盖铁盒的表面积，即可求出至少需准备防腐漆的质量。 （2）要给这个铁盒配上一个盖子，求至少需要铁皮的面积，就是求这个无盖长 方体铁盒上面的面积，根据长方形的面积＝长×宽，其中长是（40－5－5）厘米， 宽是（20－5－5）厘米，代入数据计算即可求解。 （3）这个无盖长方体纸盒的长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米， 高是 5厘米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算即可求解。 【详解】（1）40×20－5×5×4 ＝800－100 ＝700（平方厘米） 0.8×700＝560（克） 答：至少准备 560克防腐漆。 （2）（40－5－5）×（20－5－5） ＝30×10 ＝300（平方厘米） 答：至少需要 300平方厘米的铁皮。 （3）（40－5－5）×（20－5－5）×5 ＝30×10×5 ＝1500（立方厘米） 答：该铁盒能装 1500立方厘米的物品。 13 / 15 【点睛】本题考查无盖长方体的表面积、体积（容积）公式的灵活运用，以及长 方形、正方形面积公式的运用，找出无盖长方体铁盒的长、宽、高是解题的关键。 15．连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来 卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长 32厘米、宽 32厘米、高 8.5厘米的长方体，这样一个 礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不 贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长 6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了 12 小盒。售货员拿出一张长 36厘米，宽 30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无 盖的礼盒，刚好装下这 12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成 5 份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费 材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 【答案】（1）8704立方厘米；1088平方厘米 （2）见详解；长 24厘米；宽 18厘米；高 6厘米 【分析】（1）已知长方体礼盒的长、宽、高，根据长方体的体积公式 V＝abh， 代入数据计算求出这个礼盒的体积。 要在礼盒的四周贴一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），求这圈商标纸的面 积，就是求长方体的侧面积，长方体的侧面是 4个长 36厘米、宽 8.5厘米的长 方形，根据长方形的面积公式 S＝ab，求出一个面的面积，再乘 4即可。 （2）已知连翘红茶是包装在一个棱长 6厘米的小正方体铁盒中，那么长方体礼 盒的长、宽、高是 6的倍数。在长方形纸板的四个角上分别剪去边长是 6厘米、 12厘米、18厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体礼盒， 14 / 15 此时长方体的长＝长方形的长－2条边长，长方体的宽＝长方形的宽－2条边长， 长方体的高＝正方形的边长；据此分情况讨论，求出哪种礼盒正好能装下 12小 盒连翘红茶，即可确定无盖长方体的长、宽、高，并画出裁剪示意图。 【详解】（1）32×32×8.5 ＝1024×8.5 ＝8704（立方厘米） 32×8.5×4 ＝272×4 ＝1088（平方厘米） 答：这样一个礼盒的体积是 8704立方厘米，这圈商标纸至少是 1088平方厘米。 （2）长方体礼盒的长、宽、高是 6的倍数； ①假设高是 6厘米，那么： 长：36－6－6＝24（厘米） 宽：30－6－6＝18（厘米） 长可以装：24÷6＝4（盒） 宽可以装：18÷6＝3（盒） 高可以装：6÷6＝1（盒） 一共可以装：4×3×1＝12（盒） 刚好装下这 12小盒连翘红茶，符合题意。 ②假设高是 12厘米，那么： 长：36－12－12＝12（厘米） 宽：30－12－12＝6（厘米） 长可以装：12÷6＝2（盒） 宽可以装：6÷6＝1（盒） 高可以装：12÷6＝2（盒） 一共可以装：2×1×2＝4（盒） 4＜12 不能装下这 12小盒连翘红茶，不符合题意。 ③假设高是 18厘米，那么： 15 / 15 长：36－18－18＝0（厘米） 不符合题意。 裁剪示意图如下： 答：制作成的礼盒长是 24厘米，宽是 18厘米，高是 6厘米。 【点睛】（1）掌握长方体的体积、表面积公式的运用，关键是分析出商标纸的 面积是长方体哪些面的面积之和。 （2）掌握用长方形硬纸板做无盖长方体的方法，找出长方体的长、宽、高是解 题的关键。