25.2用列举法求概率 同步练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第25章 概率初步25.2同步练习 人教版2024-2025学年数学九年级上册 一、单选题 1．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字之和恰好都等于3的概率是（　　） A． B． C． D． 2．某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 3．在一个不透明的口袋中装有3张完全相同的卡片，卡片上面分别写有数字，从中随机抽出两张不同卡片，则下列判断正确的是（   ） A．“抽出数字之积是非正数”是必然事件 B．“抽出数字之积是”是随机事件 C．“抽出数字之积是”的概率为 D．“抽出数字之积是0”的概率为 4．如图，管中放置着三根同样的绳子小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选取该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选中同一根绳子的概率为（ ） A． B． C． D． 5．用如图两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（共中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中转盘被等分成两个扇形，转盘被等分成三个扇形．如果同时转动两个转盘、那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 6．某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为共道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号题和7号题，则第3位选手抽中8号题的概率是（    ） A． B． C． D． 7．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于4的概率是（   ） A． B． C． D． 8．晋剧的唱腔，时而如泉水般涓涓细流，时而又如瀑布般飞流直下，走过近百年风雨的晋剧艺术，如同黄土高原上厚重的黄土，它是山西人民的骄傲，也是中国戏曲的瑰宝．正面印有晋剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（   ） A． B． C． D． 9．在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（   ） A． B． C． D． 10．如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，某景区有，两个入口，，，三个出口，周末小亮到该景区游玩，他从入口进，从出口出的概率是 ． 12．有两组相同的牌，每组两张且大小一样，两张牌的牌面数字分别是2和3．从每组牌中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字和为5的概率是 ． 13．为发展学生的数学素养，某校开设了《写给孩子的数学之美》、《给孩子的数学思维课》和《数学家的眼光》3个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这三个阅读项目中随机抽取1个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是 ． 14．“服务社会，提升自我．”宁波市某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的3名同学（两男一女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是 ． 15．如图，两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形：分别旋转两个转盘．若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色．此时，配成紫色的概率是 ．      16．如果是从，，三个数中任取的一个数，是从、两个数中任取的一个数，那么关于的一元二次方程有实数根的概率为 ． 三、解答题 17．有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为，确定点的坐标为． (1)用树状图或列表法列举点所有可能的坐标； (2)求点在函数的图象上的概率． 18． 周一举行升旗仪式，要在5名同学（其中有3名男生和2名女生）中随机抽取2名，参加国旗下的演讲，请利用树状图或列表求抽取同学中恰有1名男生和1名女生的概率． 19．2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据以上信息，解答下列问题： (1)学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度； (3)学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 20．如图，一个可以自由转动的转盘，被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字．（若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次） (1) 转动转盘一次，转出的数字是的概率是________； (2)转动转盘两次，用列表或画树状图的方法，求这两次分别转出的数字之积为正数的概率． 21．在四张完全相同的卡片正面写上数字1、2、3、4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将抽得卡片上的数字记为；不透明的袋子中装有标号为1、2、3的三个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号记为b． (1)先抽取一张卡片，再摸一个球，求的概率： (2)若规定：当时，甲获胜；否则，乙获胜．这样的规则公平吗？请说明理由．如果不公平，能否只将袋子中一个球的标号调整为另一个整数，使得规则公平？写出一个调整方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C A C C D D A 1．B 【分析】本题考查的是利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，先画树状图，可得有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都等于3有2种情况，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都等于3有2种情况， ∴两张卡片上的数字恰好都等于3的概率， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据题意可得黑球有个，根据概率公式可得摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为，使得游戏公平，则概率相等，由此列式求解即可． 【详解】解：口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球， ∴黑球有个， ∴摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为， ∵使游戏对小星、小红双方公平， ∴， 解得，， 故选：B ． 3．A 【分析】此题考查了事件的分类，列树状图求事件的概率，概率的计算公式，正确列出树状图解答是解题的关键．列树状图，得到共有6种等可能的情况，共有6种等可能的情况，积为0或，和为负数的有2种情况，结合事件的分类，依次判断即可． 【详解】解：列树状图如下： 共有6种等可能的情况，积为0或，和为负数的有2种情况， A. “抽出数字之积是非正数”是必然事件，故该项正确，符合题意；     B. “抽出数字之积是”是不可能事件，故该项不正确，不符合题意； C. “抽出数字之积是”的概率为，故该项不正确，不符合题意； D. “抽出数字之积是0”的概率为，故该项不正确，不符合题意； 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选中同一根绳子的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解；画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人选中同一根绳子的结果数有3种， ∴两人选中同一根绳子的概率为， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意列举出所有可能的结果求概率是解题的关键． 由题意知，第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、共8个题中抽一个号，共有8种等可能的结果，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，前两位选手抽走2号题、7号题，则第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、共8个题中抽一个号，共有8种等可能的结果， ∴抽中8号题的概率为， 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图求概率是解题的关键．根据题意，画出树状图展示所有等可能的结果，再利用概率的计算公式即可． 【详解】解：根据题意，画出树状图为： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号的积小于4有4种， 两次摸出的小球标号的积小于4的概率． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数． 根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把张卡片分别记为、、， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 故选：D 9．D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限，然后列举所有的情况，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限， 由题意知，有，，，，，，，，共9种等可能的结果， 其中使一次函数的图象经过第二象限和第三象限，有，，，，共5种等可能的结果， ∴一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为， 故选：D． 10．A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况， ∴小灯泡发光的概率为， 故选：A． 11． 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到他从入口进，从出口出的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中从入口进，从出口出的结果数有1种， ∴他从入口进，从出口出的概率是， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了画树状图求概率，画出树状图，共有4个等可能的结果，两张牌的牌面数字和为5的有2个，由概率公式即可求解． 【详解】画出树状图如图： 共有4个等可能的结果，两张牌的牌面数字和为5的有2个， ∴两张牌的牌面数字和为5的概率为； 故答案为：． 13． 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及他们恰好抽到同一个阅读项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这三个阅读项目分别记为，，， 列表如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好抽到同一个阅读项目的结果有3种， 他们恰好抽到同一个阅读项目的概率为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． 画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意画出树状图如下： 一共有6种情况，恰好是一男一女的有4种情况， 所以，恰好是一男一女的概率是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了列表法与树状图法，先通过列表求出所有种等可能的结果，再找出一个红色和一个蓝色的结果数，然后根据概率公式计算即可，解题的关键是正确掌握利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率． 【详解】解：列表得： 红 蓝 红 （红，红） （蓝，红） 黄 （红，黄） （蓝，黄） 蓝 （红，蓝） （蓝，蓝） ∴一共有种情况，配成紫色的有种情况， ∴配成紫色的概率是 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、列表法求概率等知识点，先列表得出所有等可能结果，再从中找到满足，即的结果数，继而利用概率公式求解即可，熟练掌握列表法求概率是解决此题的关键． 【详解】列表如下： 1 2 1 2 3 由表可知，共有6种等可能结果，其中满足，即的有,，，，这5种结果， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了用列表法或画树状图的方法求随机事件的概率，掌握列表法和画树状图是解答关键． （1）利用列表法列举点所有可能的坐标来求解； （2）根据（1）的统计情况，利用概率公式求解． 【详解】（1）解：列表如下： 共有9种等可能出现的结果：、、、、、、、、． （2）解：由（1）可知，满足点在函数的图象上的结果有和共2种， ∴点在函数的图象上的概率为． 18． 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率；列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．三名男生记为男1，男2，男3，2名女生记为女1，女2，依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：设三名男生记为男1，男2，男3，2名女生记为女1，女2，则从这5名同学中随机抽取2名的所有情况为： 由树状图得共有20种等可能结果，其中所抽取的两名学生中恰有1名男生和1名女生共有12种结果． 抽到两名同学中恰有1名男生和1名女生的概率为：． 19．(1)，见解析 (2)144 (3) 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、画树状图或列表法求概率、概率公式． （1）利用选择A类的学生人数除以其所占的百分比求得样本总量，再利用总人数减去其他类的学生人数求得D类的学生人数，再补全条形统计图即可； （2）利用C类的学生人数除以样本的总人数求得其所占的百分比，再乘以即可求解； （3）画树状图可得共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：被调查学生总人数：（名）， 的人数（名）， 补全条形统计图如下： 故答案为：100； （2）解：C“科技类”所对应的圆心角度数是， 故答案为：144； （3）解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了用列表法和树状图法求概率的知识，熟练掌握列表法和树状图法是解题的关键． （1）由题意可知，“”“”所占圆心角为，“”所占的圆心角共为，由计算可得转出数字是“”的概率； （2）用列表法或树状图法得出所有可能的结果，再从中找到和为正数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴“”和“”所占的扇形圆心角为， 个“”所占的扇形圆心角为， ∴转动转盘一次，转出的数字是的概率为； 故答案为：； （2）解：树状图法： 由上图可知：所有可能的结果共种，其中数字之积为正数的有种，两次分别转出的数字之和为正数的概率为． 21．(1) (2)不公平，理由见解析；将标有数字1的小球改成4，理由见解析 【分析】本题考查的是概率的应用—游戏公平性的判断，熟练掌握概率的计算公式：概率所求情况数总情况数，并通过计算每个参与者获胜的概率是否相等来判定游戏公平性是解题的关键． （1）画出列表法列出所有可能，得到12种等可能的情况，两个数的差为0的情况占3种，依据概率公式计算即可得出结果； （2）利用概率公式分别计算甲、乙获胜的概率，再判断概率是否相等，相等即公平，否则不公平，将标有数字1的小球改成4，同理即可得到一个公平的游戏． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的情况，其中两个数的差为0的情况占3种， P（两个数的差为0）． 答：这两个数的差为0的概率为． （2）解：这样的规则不公平，理由如下： 两个数的差为非负数的情况有9种， P（甲获胜），P（乙获胜）， P（甲获胜）P（乙获胜）， 这样的规则不公平； 将标有数字1的小球改成4， 列表如下： 1 2 3 4 4 0 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的情况，其中两个数的差为非负数的情况有6种， P（甲获胜），P（乙获胜）， P（甲获胜）P（乙获胜）， 这样的规则就公平了． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$