5.3 一次函数与实际问题（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

5.3 一次函数与实际问题 【考点1：利用一次函数解决方案问题】 【考点2：利用一次函数解决销售利润问题】 【考点3：利用一次函数解决行程问题】 【考点4：利用一次函数解决运输问题】 【考点5：一次函数与几何综合】 知识归纳： 一、分段函数 有的题目中，如下左图，当自变量 x 发生变化时，随着 x 的取值范围不同，y 和 x 的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化。这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数。 在有的题目中，如下右图，含有两个一次函数的图像，我们需要对两个函数的相关变量进行对比。 二、利用一次函数的知识解应用题的一般步骤 （1）设定实际问题中的变量； （2）建立一次函数表达式； （3）确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义； （4）解答一次函数实际问题，如最大（小）值； （5）写出答案。 【考点1：利用一次函数解决方案问题】 【典例1】某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【答案】(1)电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； (2)当时，方案一更省钱；当时，两种方案花费一样；当时，方案二更省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答的关键是根据题意找出等量关系列出方程组或一次函数表达式，用分类讨论的方法确定优惠方案． （1）根据题意，列出相应的二元一次方程组，从而可以求得电子白板和平板电脑的单价各是多少万元； （2）根据题意，分别写出两种方案下，关于的函数关系式，再利用分类讨论的方法可以得到该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【详解】（1）解：设购买电子白板的单价为x万元，平板电脑的单价是y万元， ， 解得： ， 答：电子白板的单价是万元，平板电脑的单价是万元； （2）由题意可得，方案一∶关于的函数表达式为∶， 方案二∶关于a的函数表达式为∶， 当时，得，即当时，选择方案一； 当时，得，即当时，方案一和方案二花费一样多； 当，得，即当时，选择方案二； 综上所述，当时，方案一更省钱，当时，两种方案花费一样，当时，方案二更省钱． 【变式1-1】甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)乙商场更优惠；理由见解析 【分析】（1）由两家商场的优惠方案分别列式整理即可； （2）由函数解析式分别求出x=5时的函数值，即可得解 本题考查了一次函数的应用和最优方案问题，读懂题目信息，理解两家商场的优惠方案是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， ； （2）解：当时，，， ∴， ∴当所买商品为5件时，选择乙商场更优惠． 【变式1-2】为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 【答案】(1)品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； (2)该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，利用数量总价单价，结合“用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台”，可列出关于的分式方程，解之检验后，可得出品牌电脑的单价，再将其代入即可求出品牌电脑的单价； （2）设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑，根据买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设学校购买这些电脑需要元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设品牌电脑的单价是万元，则品牌电脑的单价是万元，根据题意得：， 化简得 解得：，（舍去）， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴品牌电脑的单价是万元元，则品牌电脑的单价是万元即元． 答：品牌电脑的单价是元，品牌电脑的单价是元； （2）解：设购买台品牌电脑，则购买台品牌电脑， 根据题意得：， 解得：． 设学校购买这些电脑需要元，则， 即， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为（元）．此时， ∴该公司费用最少的购买方案为购买台电脑，购买台电脑，最少需要元． 【变式1-3】某公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积，的函数关系如图．乙工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积；满足函数关系式 （k为常数，且）． (1)求出甲工程队的费用元）与面积的函数关系式，并写明x的取值范围； (2)如果公园铺设广场砖的面积为 ，那么选择哪个工程队施工更合算？ 【答案】(1)； (2)当时，选择甲、乙工程队均可；当时，选择乙工程队施工合算；当时，选择甲工程队施工合算． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式、根据图象确定出图象经过的两个转折点是解题的关键． （1）分，两段，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）由题可得：当时，. ，然后分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：由题图可知，函数图象过点， 当时，设，则，解得：， ∴， 当时， 设，则 解得； ． 综上，甲工程队的费用元）与面积的函数关系式． （2）解：当时，. . 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 答：当时，选择甲、乙工程队均可，当时，选择乙工程队施工合算，当时，选择甲工程队施工合算． 【考点2：利用一次函数解决销售利润问题】 【典例2】某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如下表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． (1)若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ (2)若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)A型45只，B型15只． (2)A型44只，B型16只获利最大：最大利润是34400元 【分析】本题考查一元一次方程的运用，一元一次不等式的实际运用，一次函数的实际运用，解题的关键在于根据题意建立等量或不等关系求解． （1）设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只，根据“该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，”建立方程求解，即可解题； （2）设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只，根据题意建立不等式求解，得到的取值范围，再根据题意表示出利润，结合的取值范围求解，即可解题． 【详解】（1）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只， 由题意可得：， 解得， （只）， 答：购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只； （2）解：设购进A种型号智能手表只，则购进B种型号智能手表只， 该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元， ， 解得， A型号的智能手表不得超过44只． ， ， 利润， ， 根据式子可知，当取值越大，利润越大， 当时，利润最大为（元）， （只） 答：该商店应进A型号的智能手表只，B种型号智能手表只，才能使得获利最大，最大利润是元． 【变式2-1】部分手机生产商以环保为名销售手机时不再搭配充电器，某电商看准时机，购进一批慢充充电器和快充充电器，已知该电商销售10个慢充充电器和20个快充充电器的利润为800元；销售20个慢充充电器和10个快充充电器的利润为700元． (1)求每个慢充充电器和每个快充充电器的销售利润； (2)该电商购进两种类型的充电器共200个，其中快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，设电商购进慢充充电器个，这批充电器的销售总利润为元．该电商怎样购进两种类型的充电器，才能使销售总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个慢充充电器的销售利润为20元，每个快充充电器的销售利润为30元 (2)购进67个慢充充电器和133个快充充电器时，电商销售总利润最大，最大利润为5330元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设每个慢充充电器的销售利润为元，每个快充充电器的销售利润为元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）由题意可得：，根据快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，得出的范围，进而利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每个慢充充电器的销售利润为元，每个快充充电器的销售利润为元，根据题意得， ， 解得：， 每个慢充充电器的销售利润为20元，每个快充充电器的销售利润为30元； （2）由题意可得：， ， 解得：， 且是正整数， ， 在中，， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为：（元）， 此时（个）， 购进67个慢充充电器和133个快充充电器时，电商销售总利润最大，最大利润为5330元． 【变式2-2】为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元．一共有多少种满足条件的方案？ (3)在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 (2)共有种满足条件的方案； (3)要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，解不等式即可求解； （3）设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； （2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得：， ， ∴共有种满足条件的方案； （3）设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 【变式2-3】在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车进货单价为24元和紧凑型汽车进货单价为48元 (2)该经销商应购进中级型汽车25辆，紧凑型汽车75辆时，W最大为75万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元．      解得     答：中级型汽车进货单价为24元和紧凑型汽车进货单价为48元 （2）由题可得 ∵ ∴W随a的增大而减小 ∴当时，W有最大值为375 答：该经销商应购进中级型汽车25辆，紧凑型汽车75辆时，W最大为75万元 【考点3：利用一次函数解决行程问题】 【典例3】，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． (1)求，的函数关系式． (2)几小时后，甲乙两人相距？ 【答案】(1)解析式为；解析式为 (2)小时或小时后，甲乙两人相距 【分析】本题考查的是一次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解． （2）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设解析式为，根据题意经过点， ∴ 解得： ∴解析式为 设解析式为，根据题意经过点 ∴ 解得： ∴解析式为 （2）解：依题意，或 解得：或 ∴小时或小时后，甲乙两人相距． 【变式3-1】一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段、分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． (1)求所在直线的表达式． (2)出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ (3)小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离． 【答案】(1) (2)分钟 (3)396米 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，用待定系数法可求出函数表达式，一元一次方程的应用． （1）设所在直线表达式为：，将点，代入，再求解即可； （2）根据图象利用路程除以两人的速度和得到答案； （3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题可设所在直线表达式为：， 将点，代入： 可得， 解得， ∴所在直线表达式为：． （2）解：由图象可得小刚行驶速度为（米/分）， 小欣行驶速度（米/分）， 两人相遇时间为：（分钟） 所以，小刚行走分钟后两人相遇． （3）解：设A、B两地的距离为s米． 由题意得， 解得（米） 答：A、B两地的距离为396米． 【变式3-2】某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________． (2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标； (3)在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键； （1）根据图象得出距离，进而计算出速度即可； （2）设直线的解析式是，把，代入解析式，得出解析式，再把代入解答即可； （3）得出直线的解析式，再根据题意分情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：目的地距离学校千米， 小车出发去目的地的行驶速度是千米/时； 故答案为：； （2）解：设直线的解析式是， 把，代入解析式得：， 解得：， 则直线的解析式是：， 当时，； 则点坐标为：； （3）解：设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 当时，解得：； 当，解得：； 当，解得：； 行驶时间为或或， 故答案为：或或 【变式3-3】快车和慢车均从甲地出发匀速行驶至乙地，在整个行驶过程中，快车和慢车离开甲地的距离与慢车行驶时间之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息解决下列问题． (1)甲、乙两地相距多少千米？ (2)分别求快车和慢车离开甲地的距离与的关系式 (3)快车出发后几小时追上慢车？ 追上时距离乙地还有多远？ (4)慢车出发几小时，两车相距？ 【答案】(1)600千米 (2)快车：；慢车： (3)2小时， (4)小时；小时；小时；小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象可以解答本题； （2）根据图象中的信息分别求出两车对应的函数解析式， （3）根据（2）联立两车对应的函数解析式，求解二元一次方程组，即可解答本题； （4）根据（2）中的函数解析式，分四种情况：当快车出发前；当快车出发后，追上慢车前；当快车追上慢车后，到达乙地前；当快车到达乙地后，慢车到达乙地前；两车相距，列方程求解即可解答本题． 【详解】（1）解：由图可知， 甲、乙两地相距600千米． （2）解：设慢车对应的函数解析式为：， 把代入，得 ， 解得：， ∴慢车对应的函数解析式为：； 设快车对应的函数解析式为， 把，代入，得 ， 解得：， ∴快车对应的函数解析式为． （3）解：联立，得， 解得：， ， ， 答：快车出发后2小时追上慢车，追上时距离乙地还有． （4）解：由题意可得， 当快车出发前两车相距，则， 解得：； 当快车出发后，追上慢车前，两车相距，则， 解得：； 当快车追上慢车后，到达乙地前，两车相距，则 解得：； 当快车到达乙地后，慢车到达乙地前，两车相距，则， 解得：； 综上，慢车出发小时或小时或小时或小时，两车相距． 【考点4：利用一次函数解决运输问题】 【典例4】计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 700 1000 乙厂 1000 1500 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地 台，乙厂运往A地 台，乙厂运往B地 台； (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m元，从乙到B的运输费用每台减小了元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)甲厂运往A地30台、运往B地30台，乙厂将40台都运往A地使总费用最低，最低费用为91000元 (3) 【分析】本题考查一次函数及一元一次不等式组的应用，正确理解题意，找出合适的数量关系得到一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）设运输费用为a百元，根据题意列出关于x的一次函数，求出x的取值范围，根据一次函数的性质解答即可； （3）设运输费用为b百元，根据题意，在a的基础上列出关于x的一次函数，整理后根据费用最低的调运方案不变可得，进而可求得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． ∴甲厂运往B地台，乙厂运往A地台， 则 乙厂运往B地台． 故答案为： （2）解：设运输费用为a百元． 根据题意，． ∵， 解得， ∴． ∵a随x的减小而减小， ∴当时，a最小， ∴甲厂运往A地30台、运往B地30台，乙厂将40台都运往A地使总费用最低，最低费用为91000元． （3）解：设部分运输费用变动后运输费用为b，由题意得． ∵b随x的减小而减小， ∴且， 解得． ∴若要使费用最低的调运方案不变，有． 【变式4-1】疫情面前没有旁观者，疫情防控没有局外人，抗击疫情，我们一起！某运输公司积极响应疫情防控号召，决定安排大、小卡车共20辆，运送296吨物资到甲地和乙地，支援当地抗击疫情．每辆大卡车装18吨物资，每辆小卡车装10吨物资，这20辆卡车恰好装完这批物资．已知这两种卡车的运费如下表： 目的地 车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大卡车 800 900 小卡车 400 600 现安排上述装好物资的20辆卡车（每辆大卡车装18吨物资，每辆小卡车装10吨物资）中的10辆前往甲地，其余前往乙地，设前往甲地的大卡车有x辆，这20辆卡车的总运费为w元． (1)这20辆卡车中，大卡车、小卡车各有多少辆？ (2)求w与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围： (3)若运往甲地的物资不少于156吨，求总运费w的最小值． 【答案】(1)大货车12辆，小货车8辆 (2)w=100x+13600，2≤x≤10，且x为整数 (3)14300元 【分析】（1）设大货车、小货车各有m与n辆，根据题意列出方程组即可求出答案； （2）根据题中给出的等量关系即可列出w与x的函数关系； （3）先求出x的范围，然后根据w与x的函数关系式即可求出w的最小值． 【详解】（1）解：设大货车、小货车各有m与n辆， 由题意可知：， 解得：， 答：大货车12辆，小货车8辆； （2）设到甲地的大货车有x辆，则到甲地的小货车有（10-x）辆，到乙地的大货车有（12-x）辆，到乙地的小货车有（x-2）辆， ∴w=800x+400（10-x）+900（12-x）+600（x-2） =100x+13600， 其中2≤x≤10，x为整数； （3）由题意可得：18x+10（10-x）≥156， 解得：x≥7， ∴7≤x≤10， ∵w=100x+13600中，k=100＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x=7时，y有最小值， 此时w=100×7+13600=14300元， ∴总运费最小值为14300元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出w与x的函数表达式． 【变式4-2】某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 (1)求甲、乙两种货车各用了多少辆； (2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆． ①写出w与t之间的函数解析式； ②当t为何值时，w最小？最小值是多少？ 【答案】(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆 (2)①；②t＝4时，w最小＝22 700元 【分析】（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解； （2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式； ②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可． 【详解】（1）（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得 16x＋12（24－x）＝328． 解得x＝10． ∴24－x＝24－10＝14． 答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆． （2）①． ② ∵50>0， ∴w随t的减小而减小． ∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键． 【变式4-3】2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．我市始终把产业扶贫摆在突出位置，建立了A，B两个扶贫种植基地．为了帮扶我市的扶贫产业，扶贫办联系了C，D两家肥料厂对我市共捐赠100吨肥料，将这100吨肥料平均分配到A，B两个种植基地．已知C厂捐赠的肥料比D厂捐赠的肥料的2倍少20吨，从C，D两厂将肥料运往A，B两地的费用如表： C厂 D厂 运往A地（元/吨） 22 20 运往B地（元/吨） 20 22 (1)求C，D两厂捐赠的肥料的数量各是多少吨； (2)设从C厂运往A地肥料x吨，从C，D两厂运输肥料到A，B两地的总运费为y元，求y与x的函数关系式，并求出最少总运费； (3)由于从D厂到B地开通了一条新的公路，使D厂到B地的运费每吨减少了a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 【答案】(1)C厂捐赠的数量是60吨，则D厂捐赠的数量是40吨 (2)y＝4x+1980（10≤x≤50），最少总运费为2020元 (3)①当0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020；②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020；③当4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a． 【分析】（1）设D厂捐赠的数量是a吨，则C厂捐赠的数量是（2a﹣20）吨，根据题意列一元一次方程，解方程求解即可； （2）根据题意列出一次函数解析式，根据题意列不等式组求得自变量的取值范围； （3）根据一次函数的性质，根据的范围，分类讨论分析求得最小值． 【详解】（1）设D厂捐赠的数量是a吨，则C厂捐赠的数量是（2a﹣20）吨． 根据题意可得，a+2a﹣20＝100， 解得，a＝40， 则2a﹣20＝60． 答：C厂捐赠的数量是60吨，则D厂捐赠的数量是40吨． （2）根据题意可得，从C厂运往A地肥料x吨，从C厂运往B地肥料（60﹣x）吨；从D厂运往A地肥料（50﹣x）吨，从D厂运往B地肥料（x﹣10）吨． 由题意可得，y＝22x+20（60﹣x）+20（50﹣x）+22（x﹣10）＝4x+1980， 根据实际意义可得，， 解得，10≤x≤50， ∵4＞0， ∴y随x的减小而减小， ∴当x＝10时，y取最小值2020． 答：y与x的函数关系式为y＝4x+1980（10≤x≤50），最少总运费为2020元． （3）在（2）的基础上，可得，y＝22x+20（60﹣x）+20（50﹣x）+（22﹣a）（x﹣10）＝（4﹣a）x+（1980+10a）（10≤x≤50，0＜a＜6）， ①当4﹣a＞0，即0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020； ②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020； ③当4﹣a＜0，即4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a． 综上，①当0＜a＜4时，y随x的减小而减小，当x＝10时，y取最小值，y＝2020； ②当a＝4时，不管x取何值，均有y＝2020； ③当4＜a＜6时，y随x的减小而增大，当x＝50时，y取最小值，y＝2180﹣40a． 【点睛】本题考查了一元一次方程应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握一次函数的性质并根据实际情况分类讨论是解题的关键． 【考点5：一次函数与几何综合】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，点的坐标是或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设直线的表达式为：，再把和分别代入，进行计算，即可作答． （2）先得出，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． （3）设直线的表达式为，把代入，求出直线的表达式为，因为三角形的面积是三角形的面积的，得出点的横坐标为1或，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， ∵过点的直线与直线相交于点， ∴把和分别代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， （2）解：∵，， ∴， ∴， （3）解：存在，过程如下： 设直线的表达式为，把代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， ∵三角形的面积是三角形的面积的， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为1或， 当点的横坐标为1时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 在中，当时，， 则点的坐标为， 当点的横坐标为时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 综上，点的坐标是或或． 【变式5-1】如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，点在线段上，直线轴于点，交直线于点． (1)求直线的函数关系式； (2)当时，求Q点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数综合应用，掌握两坐标间距离公式及待定系数法是解题的关键． （1）将点代入得出，再代入一次函数求解即可； （2）设的横坐标，得出，，根据两坐标间距离公式求出点的坐标． 【详解】（1）解：直线和直线相交于点． ∴， ∴， 将点，代入得： ， ∴，， ∴； （2）解：设的横坐标，则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【变式5-2】如图，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)点A的坐标为_____，点B的坐标为_____，直线的表达式为______； (2)点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线交直线于点P，交直线于点Q． ①若M点在x轴的负半轴，且的面积为2，求点P的坐标； ②连接，若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，，直线的函数解析式为 (2)①点的坐标为；②点的坐标为或 【分析】（1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论； ②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，所以，当即可，利用勾股定理建立方程即可，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 由得：， ∴． 由得：， 解得：， ∴， ∵点与点关于轴对称． ∴， 设直线的函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线的函数解析式为． （2）解：设点，则点，点， 过点作与点， 则， 则的面积， 解得：（舍去）或， 故点的坐标为； ②如图，当点在轴的左侧时， ∵点与点关于轴对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ∴，解得：， ． 如图2，当点在轴的右侧时， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，勾股定理，坐标轴上点的特点等知识点，分类讨论是解本题的关键． 【变式5-3】【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 【答案】模型建立：见解析；模型应用：（1）①，；②或；（2） 【分析】（1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）过点A作交于点C，过点C作轴，求出，，然后证明出，，，求出，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】模型建立：解：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （1）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为； ②如图所示，当M在原点右边时，连接，，以O、A、B、M为顶点的四边形的面积为S， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （2）如图所示，过点A作交于点C，过点C作轴 ∵直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∴， ∵将直线绕点B旋转至直线， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴设直线表达式为 ∴ 解得 ∴设直线表达式为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，坐标与图形等等，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 1．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，掌握相关结论即可． （1）分别将代入和即可求解； （2）方程的解表示函数和的图象的交点横坐标，据此即可求解； 【详解】（1）解：将代入函数，得， 解得， 将代入函数，得，解得； （2）解：根据图象可得方程的解是． 2．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)点为轴上的一个动点，连接，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为和的值为 (2)或或 【分析】（1）将代入可得点的坐标，再将点的坐标代入即可求出的值； （2）根据勾股定理求得的长，然后分两种情况：①当时，②当时，分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴， 解得：， ∴点的坐标为，的值为； （2）解：存在，理由： 如图，过点作轴于点，则， ∴，， ∵一次函数的图象与轴交于点， 当时，得：，则， ∴， ∴， ∴， ①当时，则， ∵， ∴此时点的坐标为或； ②当时， ∵轴， ∴， ∵， ∴此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查正比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法确定函数解析式，等腰三角形性质，勾股定理等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 3．某电信公司规定的手机收费标准有甲、乙两类，甲类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费19元，另外，通话费按元/计；乙类收费标准：每月没有月租费，但通话费按元/计． (1)甲类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ；乙类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ． (2)若该电信公司的某位手机用户每月平均通话时间为，则该手机用户应选择哪类收费标准比较划算？ (3)当每月平均通话时间为多长时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等？ 【答案】(1)， (2)该手机用户应选择甲类收费标准比较划算 (3)当每月平均通话时间为时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）根据题意，可以写出甲类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式和乙类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式； （2）将x=300分别代入和中，求出相应的函数值，然后比较大小，即可解答本题． （3）根据（1）中的函数关系式，令和的函数值相等，即可得到每月通话多长时间，按甲、乙两类收费标准缴费，所缴话费相等； 【详解】（1）解：由题意可得，， （2）当时，， ∵ ∴该手机用户应选择甲类收费标准比较划算 （3）解：依题意， 解得： ∴当每月平均通话时间为时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等 4．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，快快同学从A地跑步到C地，同时乐乐同学从B地跑步到A地，休息后接到通知，要求乐乐比快快早到达C地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地路程与快快跑步时间之间的函数图象． (1)______，乐乐去A地的速度为______； (2)结合图象，求出乐乐从A地到C地对应的函数表达式（写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出两人与B地的距离相等的时间． 【答案】(1)2；200； (2)； (3)或或或． 【分析】本题主要考查了列式计算、一次函数图象与行程问题等知识点，审清题意、明确函数图象各点的意义是解答本题的关键． （1）根据题意结合图象以及速度、路程和时间的关系解答即可； （2）先确定F、G的坐标以及t的取值范围，然后利用待定系数法解答即可； （3）先运用待定系数法确定函数表达式，然后根据图象联立解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵乐乐在A地休息1分钟， ∴， ∴乐乐去A地的速度为， 故答案为：2；； （2）解：设乐乐从A地到C地对应的函数表达式为． ∵，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴乐乐从A地到C地对应的函数表达式为； （3）解：设线段对应的函数表达式为． ∵在函数图象上， ∴， 解得． ∴线段对应的函数表达式为． ①当时，，解得； ②当时，，解得（不合题意，舍去）． ③当时，或，解得或． ④当时，两人距B地的路程相等． 综上所述，两人距B地的路程相等的时间为或或或． 5．如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)的面积为； (3)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，与一次函数相关的线段和面积问题，熟练掌握一次函数的图象和性质，学会联立函数解析式求解点的坐标是解题的关键． （1）联立直线的解析式即可得出点的坐标； （2）分别求出，两点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）由点的坐标可得出，，再利用列方程求解的值即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 点的坐标为． （2）当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， 即的面积为． （3）由题意知，，， ， 解得：或， 点的坐标为或． 6．如图，直线：交x轴于点，点)在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据直线上的点的坐标满足直线的解析式来求解m和n的值； （2）设，利用求解即可； 【详解】（1）将点代入得： ， 解得：， 又直线：过点，得 ， 解得：， （2）设，则，， 即 ， 解得：或 故点P的坐标为或 7．某商场购进了一批瓦的灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表： 灯泡 普通白炽灯泡 进价（元/个） 标价（元/个） (1)该商场购进了灯泡与普通白炽灯泡共个，灯泡按标价进行销售，普通白炽灯泡打八折销售，若销售完这批灯泡后可以获利元，求该商场购进灯泡与普通白炽灯泡各多少个？ (2)由于节日期间热销，两种灯泡很快售完，该商场计划再次购进两种灯泡共个，普通白炽灯泡不再打折销售，设购进灯泡个，销售完这个灯泡所获利润为元． 直接写出与的关系式； 若该商场想要获得元的销售利润，则两种灯泡各需购进多少个？ 【答案】(1)该商场购进灯泡个，普通白炽灯泡个 (2)   商场需购进灯泡个，普通白炽灯泡个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及代入求值等知识点，解答本题的关键是找到等量关系列出二元一次方程组． （1）设该商场购进灯泡个，普通白炽灯泡个，根据灯泡普通白炽灯泡 个，以及销售完这批灯泡后可以获利元，列出二元一次方程组求解即可； （2）根据总利润（标价进价）件数，写出与的关系式即可解答； 令，求出即可解答． 【详解】（1）解：设该商场购进灯泡个，普通白炽灯泡个， 由题意可得， 解得， 答：该商场购进灯泡个，普通白炽灯泡个； （2） ； 当时，，解得：， ， 答：商场需购进灯泡个,普通白炽灯泡个． 8．甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 【答案】(1) (2)当时，到甲批发店购买更划算；当时，甲、乙两个批发店购买一样划算；当时，到乙批发店购买更划算 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式， 对于（1），甲批发店根据数量乘以单价可得关系式，乙批发店分两种情况：，，可得关系式； 对于（2），分三种情况计算讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 当时，； 当时，， ∴； （2）解：设他在同一个批发店一次购买苹果的数量为，根据题意得， ， 解得 ， 当时，到甲批发店购买更划算； 当时，甲、乙两个批发店购买一样划算； 当时，到乙批发店购买更划算． 9．【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 【答案】任务1：；任务2：达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元；任务3：． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，根据函数图象信息解决问题，理解题意构建方程是解答本题的关键． 任务1：设，找到两组表格数据，代入求解即可； 任务2：根据题意可知，当时，市场达到均衡，构建方程即可解决问题； 任务3：首先求出与p轴的交点，利用图象法即可求决问题． 【详解】解：任务1：设， 由表格可知，一次函数经过，两个点， ， 解得：， 关于的函数关系式为； 任务2：由题意得， 解得， 达到市场供需平衡时该商品的均衡价格为3万元； 任务3：当时，， 解得， 当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3 一次函数与实际问题 【考点1：利用一次函数解决方案问题】 【考点2：利用一次函数解决销售利润问题】 【考点3：利用一次函数解决行程问题】 【考点4：利用一次函数解决运输问题】 【考点5：一次函数与几何综合】 知识归纳： 一、分段函数 有的题目中，如下左图，当自变量 x 发生变化时，随着 x 的取值范围不同，y 和 x 的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化。这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数。 在有的题目中，如下右图，含有两个一次函数的图像，我们需要对两个函数的相关变量进行对比。 二、利用一次函数的知识解应用题的一般步骤 （1）设定实际问题中的变量； （2）建立一次函数表达式； （3）确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义； （4）解答一次函数实际问题，如最大（小）值； （5）写出答案。 【考点1：利用一次函数解决方案问题】 【典例1】某校为落实西宁市教育局“教育信息化行动计划”，搭建数字化校园平台，需要购买一批电子白板和平板电脑，若购买台电子白板和台平板电脑共需万元；购买3台电子白板和4 台平板电脑共需万元． (1)求电子白板和平板电脑的单价各是多少万元？ (2)结合学校实际，该校准备购买电子白板和平板电脑共台，其中电子白板不超过台，某商家给出了两种优惠方案，方案一：电子白板和平板电脑均打九折；方案二：买台电子白板，送台平板电脑．若购买电子白板台和平板电脑所需的费用为（万元），请根据两种优惠方案分别写出关于的函数表达式，并分析该校应选用哪种优惠方案购买更省钱． 【变式1-1】甲、乙两商场出售相同的某种商品，每件售价均为3000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一件按原价收费，其余每件优惠；乙商场的优惠条件是：每件优惠．设所买商品为件，甲商场收费为元，乙商场收费为元． (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当所买商品为5件时，选择哪家商场更优惠？请说明理由． 【变式1-2】为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，品牌的电脑单价比品牌电脑的单价少元，通过预算得知，用万元购买品牌电脑比购买品牌电脑多台． (1)试求，两种品牌电脑的单价分别是多少元； (2)该公司计划购买，两种品牌的电脑一共台，且购买品牌电脑的数量不少于品牌电脑的，试求出该公司费用最少的购买方案． 【变式1-3】某公园计划在健身区铺设广场砖，现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积，的函数关系如图．乙工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积；满足函数关系式 （k为常数，且）． (1)求出甲工程队的费用元）与面积的函数关系式，并写明x的取值范围； (2)如果公园铺设广场砖的面积为 ，那么选择哪个工程队施工更合算？ 【考点2：利用一次函数解决销售利润问题】 【典例2】某商店销售A，B两种型号智能手表，这两种手表的进价和售价如下表： 型号 A B 进价（元/只） 1200 2000 售价（元/只） 1800 2500 该商场购进A，B两种型号智能手表共60只． (1)若该商场计划用8.4万元购进A，B两种型号智能手表，求购进A，B两种型号智能手表各多少只？ (2)若该商店用于购进智能手表的资金不超过8.8万元，且A型号的智能手表不得超过44只．若这两种智能手表都按售价全部售完，那么该商店应如何进货，才能使得获利最大，最大利润是多少？ 【变式2-1】部分手机生产商以环保为名销售手机时不再搭配充电器，某电商看准时机，购进一批慢充充电器和快充充电器，已知该电商销售10个慢充充电器和20个快充充电器的利润为800元；销售20个慢充充电器和10个快充充电器的利润为700元． (1)求每个慢充充电器和每个快充充电器的销售利润； (2)该电商购进两种类型的充电器共200个，其中快充充电器的进货量不超过慢充充电器的2倍，设电商购进慢充充电器个，这批充电器的销售总利润为元．该电商怎样购进两种类型的充电器，才能使销售总利润最大？最大利润是多少元？ 【变式2-2】为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元．一共有多少种满足条件的方案？ (3)在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【变式2-3】在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？ 【考点3：利用一次函数解决行程问题】 【典例3】，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系． (1)求，的函数关系式． (2)几小时后，甲乙两人相距？ 【变式3-1】一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段、分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． (1)求所在直线的表达式． (2)出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ (3)小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A、B两地间的距离． 【变式3-2】某校八年级学生外出研学，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时其余学生乘坐大客车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大客车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)目的地距离学校________，小轿车出发去目的地的行驶速度是________． (2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标； (3)在第（2）题的条件下，大客车与小轿车相距如时，行驶时间为________． 【变式3-3】快车和慢车均从甲地出发匀速行驶至乙地，在整个行驶过程中，快车和慢车离开甲地的距离与慢车行驶时间之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息解决下列问题． (1)甲、乙两地相距多少千米？ (2)分别求快车和慢车离开甲地的距离与的关系式 (3)快车出发后几小时追上慢车？ 追上时距离乙地还有多远？ (4)慢车出发几小时，两车相距？ 【考点4：利用一次函数解决运输问题】 【典例4】计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 700 1000 乙厂 1000 1500 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地 台，乙厂运往A地 台，乙厂运往B地 台； (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m元，从乙到B的运输费用每台减小了元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围． 【变式4-1】疫情面前没有旁观者，疫情防控没有局外人，抗击疫情，我们一起！某运输公司积极响应疫情防控号召，决定安排大、小卡车共20辆，运送296吨物资到甲地和乙地，支援当地抗击疫情．每辆大卡车装18吨物资，每辆小卡车装10吨物资，这20辆卡车恰好装完这批物资．已知这两种卡车的运费如下表： 目的地 车型 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 大卡车 800 900 小卡车 400 600 现安排上述装好物资的20辆卡车（每辆大卡车装18吨物资，每辆小卡车装10吨物资）中的10辆前往甲地，其余前往乙地，设前往甲地的大卡车有x辆，这20辆卡车的总运费为w元． (1)这20辆卡车中，大卡车、小卡车各有多少辆？ (2)求w与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围： (3)若运往甲地的物资不少于156吨，求总运费w的最小值． 【变式4-2】某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表： 货车类型 载重量（吨/辆） 运往A地的成本（元/辆） 运往B地的成本（元/辆） 甲种 16 1200 900 乙种 12 1000 750 (1)求甲、乙两种货车各用了多少辆； (2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆． ①写出w与t之间的函数解析式； ②当t为何值时，w最小？最小值是多少？ 【变式4-3】2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年．我市始终把产业扶贫摆在突出位置，建立了A，B两个扶贫种植基地．为了帮扶我市的扶贫产业，扶贫办联系了C，D两家肥料厂对我市共捐赠100吨肥料，将这100吨肥料平均分配到A，B两个种植基地．已知C厂捐赠的肥料比D厂捐赠的肥料的2倍少20吨，从C，D两厂将肥料运往A，B两地的费用如表： C厂 D厂 运往A地（元/吨） 22 20 运往B地（元/吨） 20 22 (1)求C，D两厂捐赠的肥料的数量各是多少吨； (2)设从C厂运往A地肥料x吨，从C，D两厂运输肥料到A，B两地的总运费为y元，求y与x的函数关系式，并求出最少总运费； (3)由于从D厂到B地开通了一条新的公路，使D厂到B地的运费每吨减少了a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总运费最少？ 【考点5：一次函数与几何综合】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】如图，直线和直线相交于点，直线与轴交于点，点在线段上，直线轴于点，交直线于点． (1)求直线的函数关系式； (2)当时，求Q点的坐标． 【变式5-2】如图，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)点A的坐标为_____，点B的坐标为_____，直线的表达式为______； (2)点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线交直线于点P，交直线于点Q． ①若M点在x轴的负半轴，且的面积为2，求点P的坐标； ②连接，若，直接写出点P的坐标． 【变式5-3】【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，和所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是________，点A的坐标是________； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：________； （2）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，求直线的函数表达式． 1．如图，已知函数和的图象交于点，根据图象解答下列问题： (1)求的值； (2)求出方程的解． 2．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)点为轴上的一个动点，连接，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．某电信公司规定的手机收费标准有甲、乙两类，甲类收费标准：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费19元，另外，通话费按元/计；乙类收费标准：每月没有月租费，但通话费按元/计． (1)甲类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ；乙类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间（）之间的关系式为 ． (2)若该电信公司的某位手机用户每月平均通话时间为，则该手机用户应选择哪类收费标准比较划算？ (3)当每月平均通话时间为多长时，按甲、乙两类收费标准所缴费用相等？ 4．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，快快同学从A地跑步到C地，同时乐乐同学从B地跑步到A地，休息后接到通知，要求乐乐比快快早到达C地，两人均匀速运动，如图所示为两人距A地路程与快快跑步时间之间的函数图象． (1)______，乐乐去A地的速度为______； (2)结合图象，求出乐乐从A地到C地对应的函数表达式（写出自变量的取值范围）； (3)请直接写出两人与B地的距离相等的时间． 5．如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 6．如图，直线：交x轴于点，点)在直线l上． (1)求m，n的值； (2)已知P是x轴上的动点，若的面积为4，求点P的坐标． 7．某商场购进了一批瓦的灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表： 灯泡 普通白炽灯泡 进价（元/个） 标价（元/个） (1)该商场购进了灯泡与普通白炽灯泡共个，灯泡按标价进行销售，普通白炽灯泡打八折销售，若销售完这批灯泡后可以获利元，求该商场购进灯泡与普通白炽灯泡各多少个？ (2)由于节日期间热销，两种灯泡很快售完，该商场计划再次购进两种灯泡共个，普通白炽灯泡不再打折销售，设购进灯泡个，销售完这个灯泡所获利润为元． 直接写出与的关系式； 若该商场想要获得元的销售利润，则两种灯泡各需购进多少个？ 8．甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论数量多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，超过部分的价格为5元．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为． (1)设在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，分别求，关于的函数解析式： (2)若只在一个批发店购买，你认为在哪家更划算？ 9．【阅读理解】一次函数在实际生活中有着广泛的应用．在经济学中，市场的供给量和需求量通常受价格的影响，我们可以用一次函数来描述市场的供给量和需求量与价格之间的关系，可以帮助我们分析和解决与经济相关的问题． 如图1为市场均衡模型，为需求量，为供给量，P为商品价格．当商品价格P上涨时需求量会随之减少，而供给量却随之增加，当需求等于供给（）时，市场上既不会有商品剩余，也不会有商品短缺，市场达到均衡，我们把此时的价格称为均衡价格；当商品供不应求时，价格就会上涨；当商品供大于求时，价格就会下降． 【解决问题】 任务1：根据市场调查，某种商品在市场上的需求量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，其中与p的几组对应数据如下表： 价格p/（万元） 1 2 3 4 5 需求量/（万件） 22 20 18 16 14 求出与p的函数表达式； 任务2：该商品的市场供给量（单位：万件）与价格P（单位：万元）之间的关系可看作是一次函数，如图2，试求达到市场供需均衡时该商品的均衡价格； 任务3：依据以上信息和函数图象分析，当该商品供大于求时，该商品的价格p的取值范围是______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$