5.2.2 一次函数（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

5.2.2 一次函数 【考点1：一次函数的定义】 【考点2：一次函数图像】 【考点3：一次函数性质】 【考点4：一次函数的解析式】 【考点5：求一次函数的平移】 【考点6：一次函数与一元一次方程】 【考点7：一次函数与一元一次不等式】 【考点8：一次函数与二元一次方程组】 知识点1：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【考点1：一次函数的定义】 【典例1】函数①；②；③；④．是一次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下列各式中是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 知识点2：一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【考点2：一次函数图像】 【典例2】在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．  B．  C．   D．   【变式2-1】当时，一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【变式2-2】已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A．B．C．D． 【变式2-3】直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【考点3：一次函数性质】 【典例3】关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 【变式3-1】已知点、、在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】对于一次函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．若点，在一次函数的图象上，则 D．图象可由直线向下平移3个单位长度得到 【变式3-3】一次函数图象与y轴交点是（    ） A． B． C． D． 知识点4：求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【考点4：求一次函数解析式】 【典例4】一次函数图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【变式4-1】一次函数的图象过点． (1)求这个一次函数的解析式． (2)判断是否在此直线上？ 【变式4-2】已知一次函数，当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式． (2)当时，求x的值． 【变式4-3】已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数值的最小值． 知识点5：一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【考点5：一次函数的平移】 【典例5】要得到直线，可把直线（    ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移2个单位长度 【变式5-1】把直线向下平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ． 【变式5-2】将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是 ． 【变式5-3】将直线向下平移个单位后，经过点，则的值为 ． 知识点6：一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【考点6：一次函数与一元一次方程】 【典例6】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】一次函数（，为常数且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【变式6-3】一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 知识点7：一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【考点7：一次函数与一元一次不等式】 【典例7】如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 【变式7-3】如图，直线与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 知识点8：一次函数与二元一次方程组 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【考点8：一次函数与二元一次方程组】 【典例8】如图，函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【变式8-3】一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 1．关于一次函数的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象 D．图象与y轴的交点是 2．已知点，都在直线上，则，大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 3．要使直线向上平移后过点，那么直线应向上平移（ ）个单位 A．1 B．3 C．5 D．7 4．关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D．点和在一次函数的图象上，若，则 5．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 6．将直线向下平移个单位长度，得到直线，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 7．如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 8．已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（　　） A．B．C．D． 9．若函数是一次函数，则 ． 10．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 11．已知直线与直线平行，且与轴的交点为，那么这条直线的解析式为 ． 12．设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.2 一次函数 【考点1：一次函数的定义】 【考点2：一次函数图像】 【考点3：一次函数性质】 【考点4：一次函数的解析式】 【考点5：求一次函数的平移】 【考点6：一次函数与一元一次方程】 【考点7：一次函数与一元一次不等式】 【考点8：一次函数与二元一次方程组】 知识点1：一次函数的定义 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【考点1：一次函数的定义】 【典例1】函数①；②；③；④．是一次函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数．根据定义判断即可． 【详解】解：①当时，不是一次函数； ②是一次函数； ③不是一次函数； ④是一次函数． 故选B． 【变式1-1】下列各式中是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，依据一次函数的定义进行判断即可．一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A．，的次数是2，不是一次函数，不合题意； B．属于一次函数，符合题意； C．，不是整式，不是一次函数，不合题意； D．不是关于的一次函数，不合题意； 故选：B． 【变式1-2】若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：B． 知识点2：一次函数图像和性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【考点2：一次函数图像】 【典例2】在同一坐标系中，函数与的图象大致是（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象，依据正比例函数的图象从左往右下降，则，进而得到一次函数的图象与轴交于负半轴，故A选项正确． 【详解】解：A、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象与轴交于负半轴，故A选项符合题意； B、若正比例函数的图象从左往右下降，则，此时，一次函数 的图象应该与轴交于负半轴，故B选项不符合题意； C、若正比例函数的图象从左往右上升，则，此时，一次函数 的图象与应该轴交于正半轴，且从左往右上升，故C选项不符合题意； D、正比例函数的图象应该要过原点，明显D选项不符合题意． 故选：A． 【变式2-1】当时，一次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象，根据，可知随的增大而减小，可求得一次函数与轴的交点为，据此即可求得答案． 【详解】∵， ∴随的增大而减小． ∵时， ∴． ∴一次函数与轴的交点为． 所以，选项A的图象符合题意． 故选：A 【变式2-2】已知与是一次函数．若，那么如图所示的个图中正确的是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象，其图象是直线，要求学生掌握通过函数的解析式，判断直线的位置及与坐标轴的交点． 联立方程，得出两直线的交点为，依次分析选项可得答案． 【详解】解：联立方程，可解得，故两直线的交点为， 选项中交点纵坐标是0，即，但根据图象可得，故选项不符合题意； 而选项中交点横坐标是负数，故选项不符合题意； 选项中交点横坐标是负数，选项不符合题意； 选项中交点横坐标是正数，纵坐标是正数，即，根据图象可得，故选项符合题意； 故选：． 【变式2-3】直线（k，b为常数且k，）和直线（k，b为常数且k，）在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的知识，解题的关键在根据一次函数的图像得出和的符号． 根据k和b的符号分情况讨论直线和经过的象限，据此即可得出答案． 【详解】解：①当，时，直线：在第一、三、四象限，直线：在第一、二、三象限； ②当，时，直线：在第一、二、三象限，直线：在第一、二、四象限； ③当，时，直线：在第二、三、四象限，直线：在第二、三、四象限； ④当，时，直线：在第一、二、四象限，直线：在第一、三、四象限； 综上所述，D选项符合③． 故选：D 【考点3：一次函数性质】 【典例3】关于一次函数的图象，下列结论正确的是（  ） A．点 在图象上 B．图象经过第二、三、四象限 C．若点、点 在函数图象上， D．图象与轴的交点坐标为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点 在图象上，故选项正确； ∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，故选项错误； ∵， ∴的值随的增大而增大， ∵， ∴，故选项错误； 把代入得，， ∴图象与轴的交点坐标为，故选项错误； 故选：． 【变式3-1】已知点、、在一次函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，由一次函数值的符号，确定随变化情况，即可求解．此类题目只需要根据的符号确定函数随的变化情况，进而求解． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， 故； 故选：A． 【变式3-2】对于一次函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象不经过第一象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．若点，在一次函数的图象上，则 D．图象可由直线向下平移3个单位长度得到 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的几何变换、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换进行分析判断． 【详解】解：A、一次函数中的，，故函数图象经过第二、三、四象限，故A正确，不符合题意； B、令，则，所以图象与轴的交点为，故B正确，不符合题意； C、一次函数中的，所以随的增大而减小，由得，故C错误，符合题意； D、直线的图象可由直线向下平移3个单位长度得到，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式3-3】一次函数图象与y轴交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点．熟练掌握一次函数与轴的交点是解题的关键． 当时，，进而可求交点坐标． 【详解】解：当时，， ∴一次函数图象与y轴交点是， 故选：D． 知识点4：求一次函数解析式 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【考点4：求一次函数解析式】 【典例4】一次函数图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、求一次函数的函数值，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）直接利用待定系数法求解即可得； （2）将代入一次函数的解析式计算即可得． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， 将点和代入得：， 解得， 则这个一次函数的解析式为． （2）解：当时，． 【变式4-1】一次函数的图象过点． (1)求这个一次函数的解析式． (2)判断是否在此直线上？ 【答案】(1) (2)点不在此直线上 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次方程，求一次函数函数值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）把代入，得到一元一次方程，解方程即可求得的值，于是得解； （2）求出时的函数值，即可判断出该点是否在此直线上． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：当时，， 点不在此直线上． 【变式4-2】已知一次函数，当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式． (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的取值等知识． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入一次函数解析式得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数，当时，；当时，． ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 解得． 【变式4-3】已知一次函数，它的图象经过，两点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数值的最小值． 【答案】(1) (2)函数值的最小值为 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的性质， （1）把点，的坐标分别代入，得到关于的方程组，解方程组求得的值即可得出y与x之间的函数表达式； （2）根据（1）所求函数的表达式，然后根据该函数的增减性及即可得出y的最小值； 熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，理解一次函数的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）∵一次函数，它的图象经过，两点， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）对于， ∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，y的值为最小，最小值． 知识点5：一次函数的平移 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【考点5：一次函数的平移】 【典例5】要得到直线，可把直线（    ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移2个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题关键． 将直线向上平移3个单位可得，由此可得出答案． 【详解】解：直线向上平移3个单位可得， 故选：B． 【变式5-1】把直线向下平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握“上加下减”的原则是解题的关键． 利用“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：由题意知，直线向下平移3个单位长度，平移后直线的函数表达式为， 故答案为：． 【变式5-2】将直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的平移、一次函数的图像等知识，正确理解一次函数的平移规律是解题的关键．先求出直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式，再将代入该解析式，即可求得答案． 【详解】解：将直线向上平移3个单位长度后所得直线的解析式为， 将代入， 可得，解得， 即的值是2． 故答案为：2． 【变式5-3】将直线向下平移个单位后，经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据题意得到平移后直线解析式为，再将点代入即可求解． 【详解】解：直线向下平移个单位后新直线解析式为， 直线经过点， ， 解得：， 故答案为：． 知识点6：一次函数与一元一次方程的关系 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0（k≠0）的解．求 直线 y=kx+b（k≠0）与 x 轴交点时, （1）可令 y=0，得到方程 kx+b=0（k≠0），解方程得 ______________ ， （2）直线 y=kx+b 交 x 轴于点_（0，）_______ , 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标． 【考点6：一次函数与一元一次方程】 【典例6】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 【变式6-1】一次函数（，为常数且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象，得当即时，，根据方程解的定义，判定是方程的解． 本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握其关系是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得当即时，，根据方程解的定义，得是方程的解． 故选：A． 【变式6-2】如图，一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据图象可直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：关于的方程的解为； 故答案为． 【变式6-3】一次函数的图象交x轴于点，则一元一次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与关于的一元一次方程的解的关系．一次函数与关于的一元一次方程的解是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，据此即可得出本题答案． 【详解】解：∵由一次函数的图象交x轴于点， ∴关于的一元一次方程的解就是． 故答案为：． 知识点7：一次函数与一元一次不等式 （1）由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. （2）如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【考点7：一次函数与一元一次不等式】 【典例7】如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据两直线的交点求不等式的解集．利用数形结合的思想是解题关键．根据点在直线上，求出a的值，求的解集，即求直线在直线上方时（包括交点），x的取值范围，结合图象即可求解． 【详解】解：点在直线上， ， 解得：， 由图可知当时，直线在直线上方（包括交点）， ∴的解集为． 故选：D． 【变式7-1】如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象找到直线的函数图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案．本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，掌握一次函数与不等式之间的关系是关键． 【详解】解：∵直线经过点和点，直线过点， ∴点是直线与直线的交点， ∴由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方时，则的取值范围为， 不等式的解集为， 故选：D． 【变式7-2】如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可得：当时，， 所以不等式的解集为， 故答案为：． 【变式7-3】如图，直线与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与轴的交点问题，根据直线与x轴交于点并结合图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵直线与x轴交于点， ∴由图象可得，关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 知识点8：一次函数与二元一次方程组 1.一次函数与二元一次方程组的关系 2.一次函数与二元一次方程的数形结合 【考点8：一次函数与二元一次方程组】 【典例8】如图，函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 【详解】解：函数与的图象交于点， 所以关于x，y的方程组的解为． 故选C． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，将点点代入得出，即可求解． 【详解】解：∵直线与直线交于点， 当时， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故选：A． 【变式8-2】如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 【变式8-3】一次函数与的图象相交于如图点，则关于，的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，本题考查了利用函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解与一次函数交点的关系． 【详解】解：把代入得：， 解得， 所以点坐标为， 所以关于、的二元一次方程组的解是：， 故答案为：． 1．关于一次函数的图象与性质，下列描述正确的是（　　） A．图象过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象 D．图象与y轴的交点是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴的交点进行分析判断． 【详解】解：A、由于一次函数中的，，所以函数图象经过第一、二、四象限，故A错误，不符合题意； B、由于一次函数中的，所以y随x的增大而减小，故B正确，符合题意； C、函数的图象向下平移4个单位长度后得到函数的图象，故C错误，不符合题意； D、直线，令可得，函数图象与y轴的交点坐标为，故D错误，不符合题意． 故选：B． 2．已知点，都在直线上，则，大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键是掌握一次函数的增减性：①当，y随x的增大而增大；②当时，y随x的增大而减小．由题意可知，即可求解． 【详解】解：在直线上，， 随的增大而减小， ， ， 故选：A． 3．要使直线向上平移后过点，那么直线应向上平移（ ）个单位 A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了直线平移变换的规律：对直线而言：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减．设直线向上平移个单位，其图象经过点，根据平移规律得出，再将点代入，得2，解方程即可求出的值、 【详解】解：设直线向上平移个单位后经过点， 则函数解析式为，将点代入， 得， 解得． 故选：C． 4．关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象不经过第二象限 B．图象与轴的交点是 C．将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D．点和在一次函数的图象上，若，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐项判断即可解求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不合题意； 、把代入得，， ∴， ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，该选项错误，不合题意； 、将一次函数的图象向下平移个单位长度后，所得图象的函数表达式为，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴随的增大而减小， 若，则，该选项错误，不合题意； 故选：． 5．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键．分别求出与的值即可比较大小． 【详解】已知点，都在直线上， 则， ， ∴， 故选：C． 6．将直线向下平移个单位长度，得到直线，则的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将直线向下平移个单位长度得到函数的图象， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 7．如图，直线过点和点，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．利用一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解直接判断即可得出正确结果． 【详解】解：方程的解，即为函数图象与轴交点的横坐标， 直线过点， 方程的解是， 故选：C． 8．已知点在第四象限，则一次函数的图象大致是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．根据已知条件“点为第四象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点为第四象限内的点， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，观察选项，C选项符合题意，A、B、D选项不符合题意； 故选：C． 9．若函数是一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据形如的函数叫做一次函数，由此即可得出，，求解即可得出答案，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：函数是一次函数， 且， ． 故答案为：． 10．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握：“上加下减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：由题意知，的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为，即， 故答案为：． 11．已知直线与直线平行，且与轴的交点为，那么这条直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的平移问题，根据互相平行的两条直线的一次项系数相同得到k的值，再利用待定系数法求出b的值即可得到答案． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴， ∵直线与轴的交点为， ∴， ∴这条直线的解析式为， 故答案为：． 12．设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． （1）根据一次函数，是常数，的图象过，两点，可以求得该函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式可以求得的值； （3）由题意可求直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点坐标． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 函数表达式为； （2）解：点在该函数图象上， ， ； （3）解：设点， 直线与轴交于点， 当时， 交点的坐标为， ， ， 或， 点坐标或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$