5.1 变量与函数（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

5.1 变量与函数 【考点1：变量与常量】 【考点2：函数自变量取值范围】 【考点3：函数的定义】 【考点4：函数的关系式】 【考点5：函数图像】 【考点6：动点问题的函数图像】 知识点 1：变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 【考点1：变量与常量】 【典例1】如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（   ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 【变式1-1】在圆的周长中，常量与变量分别是（    ） A．2是常量，C，π，r是变量 B．2，π是常量，C，r是变量 C．C，2是常量，r是变量 D．2是常量，C，r是变量 【变式1-2】已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（    ） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 【变式1-3】已知一个长方形的面积为，它的长为，宽为，下列说法正确的是（   ） A．常量为，，变量为 B．常量为，，变量为 C．常量为，，变量为 D．常量为，变量为， 知识点2： 自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 【考点2：函数自变量取值范围】 【典例2】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式2-2】函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】在函数中，自变量的取值范围是 ． 知识点3：函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 【考点3：函数的定义】 【典例3】下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A．B．C．D． 【变式3-2】下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【变式3-3】下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【考点4：函数的关系式】 【典例4】“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为 ，定义域为 ． 【变式4-3】一棵树苗现在高，以后每月长高，那么这棵树苗的高度（）与生长月数（月）之间的关系式为 ． 【考点5：函数图像】 【典例5】周日，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟乒乓球，然后跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图是某楼房上的蓄水池横截面图，分为深水区与浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，那么下列能表达水的最大深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程：注水、清洗、排水．若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机内水量（升）与时间（分）之间的函数关系对应的图象大致为（        ） A．B．C．D． 【变式5-3】小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A．  B．  C．  D．   【考点6：动点问题的函数图像】 【典例6】已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 【变式6-1】如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法不正确的是（　　）    A． B． C． D． 【变式6-2】如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【变式6-3】如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 1．水中涟漪（圈）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C．在等式中自变量是（    ） A．C B． C．r D． 2．下列四个选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．点在下列哪个函数的图象上（    ） A． B． C． D． 4．已知甲、乙两辆运输车沿同一条道路从A地出发前往B地，他们离出发地的路程s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图像如图所示，根据图中提供的信息判断，下列说法不正确的是（   ） A．甲车比乙车早出发1小时，但甲车在途中停留了1小时 B．甲乙两车都行驶了240千米 C．甲乙两车同时到达目的地 D．相遇后，乙车的速度大于甲车的速度 5．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 6．蜡烛长30厘米，点燃后每小时燃烧6厘米，燃烧时剩下的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）的关系式可以表示为 ． 7．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 8．已知函数，则 ． 9．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发．在跑步过程中，甲、乙两人的距离与乙出发的时间之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③．其中正确的是 ． 10．某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题： (1)洗衣机的进水时间是______分钟，清洗的时间______分钟，清洗时洗衣机中的水量是_______升． (2)已知洗衣机的排水速度为每分钟14升，求排水时y与x之间的关系式（不需要写自变量的取值范围）． 11．如图，是小王和小李在赛跑过程中时间和路程的关系图． (1)这是______米的赛跑比赛； (2)小王的平均速度是________； (3)小李跑步时路程（米）与时间（秒）的函数关系式及定义域是__________； (4)谁先到达终点：__________． 12．动点H以每秒1的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系如图2，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)_____，______，_____； (2)当点H在线段上运动时，直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当三角形的面积为8时，请直接写出t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 变量与函数 【考点1：变量与常量】 【考点2：函数自变量取值范围】 【考点3：函数的定义】 【考点4：函数的关系式】 【考点5：函数图像】 【考点6：动点问题的函数图像】 知识点 1：变量与常量 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，b那么 a叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 【考点1：变量与常量】 【典例1】如图是某加油站加油机上的数据显示牌，在此次加油过程中的变量是（   ） A．金额 B．油量 C．单价 D．金额和油量 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，在一个变化的过程中，固定不变的量为常量，变化的量为变量，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，单价是固定不变的，金额随着油量的变化而变化； 故金额和油量为变量； 故选：D． 【变式1-1】在圆的周长中，常量与变量分别是（    ） A．2是常量，C，π，r是变量 B．2，π是常量，C，r是变量 C．C，2是常量，r是变量 D．2是常量，C，r是变量 【答案】B 【分析】本题考查了常量与变量的知识，属于基础题，变量是指在一个变化的过程中随时可以发生变化的量． 根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 【详解】解：∵在圆的周长公式中，C与r是改变的，是不变的； ∴变量是C，r，常量是2，π． 故选：B． 【变式1-2】已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（    ） A．速度、时间 B．路程、时间 C．速度、路程 D．速度、路程、时间 【答案】B 【分析】本题考查了函数关系式，常量与变量，弄清变量概念是解题的关键．根据变量的定义判断即可． 【详解】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是． 在此变化过程中，变量是路程、时间， 故答案为：B． 【变式1-3】已知一个长方形的面积为，它的长为，宽为，下列说法正确的是（   ） A．常量为，，变量为 B．常量为，，变量为 C．常量为，，变量为 D．常量为，变量为， 【答案】D 【分析】本题考查了常量与变量，解题的关键是根据变量和常量的定义来解答．根据变量和常量的定义解答即可． 【详解】解：由题意得：， 长方形的面积为，始终不变为常量，长为，宽为的数值发生变化为变量， 故选：D． 知识点2： 自变量取值范围 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0。 【考点2：函数自变量取值范围】 【典例2】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数求解． 【详解】解：根据题意得：， 即． 故选： 【变式2-1】在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、自变量的取值范围等知识点，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件成为解题的关键． 根据分式的分母不等于0、二次根式的被开方数大于等于0列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． 故选A． 【变式2-2】函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：C． 【变式2-3】在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，求自变量的取值范围，根据分式有意义的条件可得，据此即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴自变量的取值范围是， 故答案为：． 知识点3：函数定义 像这样，用关于自变量的数学式子表示 函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式 【考点3：函数的定义】 【典例3】下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念，根据函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应判断即可，掌握函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应是解题的关键． 【详解】解：A选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与之对应，故该选项不符合题意； B选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与之对应，故该选项不符合题意； C选项，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，故该选项符合题意； D选项，对于x的每一个确定的值，y可能有2个值与之对应，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】下列曲线中，表示y是x的函数的是（） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的基本概念，熟练掌握如果x取任意一个量，y都有唯一的一个量与x对应，那么相应地x就叫做这个函数的自变量或如果y是x的函数，那么x是这个函数的自变量是解题的关键．根据函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．对于每一个自变量x的取值，因变量y有且只有一个值与之相对应，所以y是x的函数，故本选项符合题意； B．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； C．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； D．对于每一个自变量x的取值，因变量y可能不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式3-2】下列曲线中，能表示是的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了用图象法表示函数、根据函数定义等知识点，理解函数的定义成为解题的关键. 根据函数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、D三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数； 故选：C． 【变式3-3】下列说法正确的是（     ） A．变量，满足，则是的函数 B．变量，满足，则是的函数 C．变量，满足，则是的函数 D．在中，是常量，，是自变量，是的函数 【答案】B 【分析】根据函数的定义解答即可． 本题考查对函数概念的理解，认识变量和常量． 【详解】解：与不是唯一的值对应，故选项错误； B．当取一值时，有唯一的值与之对应，故选项正确； C．与不是唯一的值对应，故选项错误； D．在中，、是常量，是自变量，是的函数，故选项错误． 故选B． 【考点4：函数的关系式】 【典例4】“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列函数关系式．某地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出关系式即可． 【详解】解：某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为， 故选：C 【变式4-1】汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数关系式，根据油箱内余油量等于原有的油量减去t小时消耗的油量，可列出函数关系式，再求出自变量t的取值范围，即可解答． 【详解】解：由题意得， ∵t应满足，解得， ∴油箱内剩余油量（升）与行驶时间（时）的关系式为． 故选：C 【变式4-2】有一个长110米，宽为100米矩形操场，现长增加x米，宽也增加某个长度，使其扩建成周长为520米的矩形操场且面积为S，则S关于x的函数解析式为 ，定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的解析式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．设宽增加了米，依题意有，则，则，再求出定义域即可． 【详解】解：设宽增加了米， 依题意有， 则， ， ， ． ，解得， 定义域为， 故答案为：， 【变式4-3】一棵树苗现在高，以后每月长高，那么这棵树苗的高度（）与生长月数（月）之间的关系式为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了根据实际问题列出函数关系式，首先表示出月长高，根据树高现在的高度月长的高度，可得函数关系式． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 【考点5：函数图像】 【典例5】周日，妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟．妈妈到了少年宫后直接返回家里，还是用了20分钟．张浩在少年宫玩了20分钟乒乓球，然后跑步回家，用了15分钟．如图中，正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，根据题意结合各个选项的图象分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵妈妈送张浩到离家的少年宫，用时20分钟，张浩在少年宫玩了20分钟乒乓球，然后跑步回家，用了15分钟， ∴正确描述张浩离家时间和离家距离关系的是 故选：C． 【变式5-1】如图是某楼房上的蓄水池横截面图，分为深水区与浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，那么下列能表达水的最大深度h和注水时间t之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，掌握函数图象的意义得结论． 根据水面面积和水位升高速度得结论． 【详解】解：由题意可知，随着时间的变化水位越来越高，由于底部面积大，上部面积小，水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，水位升高先慢后快． A．表示水的最大深度h与随着时间t的增加上升一段后，不再上升，故不符合题意； B．表示水的最大深度h与随着时间t的增加，先慢后快，故符合题意； C．表示水的最大深度h与随着时间t的增加，先快后慢，故不符合题意； D．表示水的最大深度h与随着时间t的增加，匀速增加，不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程：注水、清洗、排水．若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机内水量（升）与时间（分）之间的函数关系对应的图象大致为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，根据洗涤衣服时经历的三个阶段洗衣机内的水量的变化情况，分析得到水量与时间的函数图象． 【详解】解：注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多；清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间；排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0；如图所示： 故选：C． 【变式5-3】小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择． 【详解】解：加速行驶时，速度逐渐增加， 匀速行驶时，速度不变， 开到服务区时，速度逐渐减少， 加油时，速度为0， 加满油后开始加速行驶时，速度增加， 最后匀速行驶时，速度不变， 综上：只有C符合题意； 故选：C． 【考点6：动点问题的函数图像】 【典例6】已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：    (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 【答案】(1)5；24；9 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了动点问题函数图像，根据函数图像获得信息，解题的关键是树形结合，熟练掌握三角形的面积公式． （1）根据图形的边长，求出即可；根据函数图像结合点M在图形上的运动轨迹，以及三角形的面积公式求出a、b的值即可； （2）先求出点M在上运动时，点M到的距离，然后根据三角形面积公式求出S与t的函数关系式即可； （3）分情况讨论：当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵图形的相邻两边垂直，，，，， ∴，， 当点M从点B运动到点C时，的面积逐渐增大，到达点C时，面积最大，当点M从点C向点D运动时，的面积不变，当点M从点D向点E运动时，的面积逐渐减小，当点M从点E向点F运动时，的面积不变，当点M从点F向点A运动时，的面积逐渐减小， ∴，； （2）解：当点M在上运动时，点M到的距离为： ， ∴此时的面积为： ． （3）解：当点M在上运动时，， 解得：； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，， 解得：， ∵， ∴符合题意； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，的面积小于，不可能是； 综上分析可知：当或时，面积为． 【变式6-1】如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法不正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点的函数图象，三角形的面积，将坐标系中的图象与点的运动过程对应是本题的解题关键． 将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12， ∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动， ∴． ∵， ∴， ∴A选项的结论正确，故该选项不符合题意； B选项的结论正确，故该B选项不符合题意； 由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处， ∴， 由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处， ∴， 由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处， ∴． ∴C选项不正确，故该选项符合题意；； ∵图①中各角均为直角， ∴， ∴D选项的结论正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式6-2】如图①，点从的顶点出发，沿方向匀速运动，到达点停止运动．点运动时，线段的长度与运动时间的函数关系如图②所示，其中为曲线部分的最低点，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查勾股定理及等腰三角形的性质，能够从图象上得出及边上的高是解题的关键． 根据图象可知，点P在上运动时，逐渐增大，而从B到C运动过程中，先变小后变大，从而可确定的长度以及边上的高，从而利用勾股定理即可求出的长度，最后利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：由图象可知，点P在上运动时，逐渐增大，运动到点B时最大，所以 ， 而点P从B到C运动过程中，先变小后变大，当时，最小，此时为边上的高，长度为4，然后继续向点C运动，到C点时最大，所以． 如图，当时， ∵，，， ∴ ． ∵，， ， ， 故答案为：12． 【变式6-3】如图（图1中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线匀速运动，的面积y与点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如右图2所示，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查函数图象问题，注意将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点是解题的关键．将实际运行状态与函数图象对应，关注图象中的拐点，给合函数图象给定的信息确定等量关系求解． 【详解】解：如图，点P运动至点B时，，即， 的面积，解得： ∴， 时,点P运动至点E，即 ∴， 故答案为：6． 1．水中涟漪（圈）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C．在等式中自变量是（    ） A．C B． C．r D． 【答案】C 【分析】本题考查了变量的定义，理解定义是解题的关键．可得周长是半径的函数，周长随着半径的变化而变化，周长是因变量，半径为自变量，即可求解． 【详解】解：周长随着半径为的变化而变化， 半径为是自变量； 故选：C． 2．下列四个选项中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了函数的概念，对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 【详解】解：．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，y是x的函数，故该选项不符合题意； ．，给定一个自变量x的值，有两个函数值与之对应，y不是x的函数，故该选项符合题意； 故选：D． 3．点在下列哪个函数的图象上（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断给出的点是否在函数图像上，将点的坐标代入函数解析式即可判断． 【详解】解：将点代入，等式不成立，A选项不符合题意； 将点代入，等式成立，B选项符合题意； 将点代入，等式不成立，C选项不符合题意； 将点代入，等式不成立，D选项不符合题意； 故选：B． 4．已知甲、乙两辆运输车沿同一条道路从A地出发前往B地，他们离出发地的路程s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图像如图所示，根据图中提供的信息判断，下列说法不正确的是（   ） A．甲车比乙车早出发1小时，但甲车在途中停留了1小时 B．甲乙两车都行驶了240千米 C．甲乙两车同时到达目的地 D．相遇后，乙车的速度大于甲车的速度 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，读懂图象是解题的关键．通过观察图象，甲出发1小时后乙开始出发可判断A；甲、乙到达B地时离出发地的距离都为240千米可判断B；由甲、乙到大B地的时间可判断C；两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明甲的速度小于乙的速度可判断D． 【详解】解：观察图象可得： A．甲出发1小时后乙开始出发，但甲车在途中停留了1小时，正确，不符合题意； B． 甲乙两车都行驶了240千米，正确，不符合题意； C．甲在5小时到达B地，乙4小时到大B地，即乙比甲早到1小时，故不正确，符合题意； D．两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明乙车的速度大于甲车的速度，正确，不符合题意； 故选：C． 5．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是和时，输出的值相等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数值，根据程序图分别求出值是和时的值，再列出方程即可求解，看懂程序图是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵输入的值是和时，输出的值相等， ∴， ∴， 故选：． 6．蜡烛长30厘米，点燃后每小时燃烧6厘米，燃烧时剩下的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）的关系式可以表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列函数关系式，用燃烧前蜡烛的长减去燃烧的蜡烛长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 7．在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，求不等式的解集，掌握分式的分母不能为0是解题的关键． 根据题意可得，由不等式的性质即可求解． 【详解】解：函数中，， ∴， 故答案为： ． 8．已知函数，则 ． 【答案】 【分析】计算时，函数的值即可． 本题考查了求函数的值，熟练掌握计算函数的值基本方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 9．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发．在跑步过程中，甲、乙两人的距离与乙出发的时间之间的关系如图所示，给出以下结论：①；②；③．其中正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题是一次函数的应用，属于行程问题，考查了由图得出已知信息，再解决问题；要明确时间、路程、速度的关系，本题有两个人，速度不同，但同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，理解这一句话是关键，利用数形结合解决问题． 首先求出甲乙两人的速度，①是两人相遇的时间，相遇时两人的路程相等，列方程可以得出； ②是甲到达终点的时间，因为此图中的是乙的时间，所以要减去2秒，即可得出结论； ③是100秒时，两人的距离为米． 【详解】解：， 甲速为每秒4米， ， 乙速为每秒5米， 由图可知，两人小时相遇，则， ，故①正确； 由图可知：乙100秒到终点， 而甲需要的时间为：秒，所以，故②正确； 当乙100秒到终点时，甲、乙二人的距离为：米， ，故③正确； 故答案为：①②③． 10．某洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题： (1)洗衣机的进水时间是______分钟，清洗的时间______分钟，清洗时洗衣机中的水量是_______升． (2)已知洗衣机的排水速度为每分钟14升，求排水时y与x之间的关系式（不需要写自变量的取值范围）． 【答案】(1)4；12；30 (2) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式： （1）根据函数图象可知，前4分钟为进水过程，第4分钟到第16分钟为清洗过程，据此可得答案； （2）用清洗过程中的水量减去每分钟的排水量乘以排水时间即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，洗衣机的进水时间是分钟，清洗时间为分钟，清洗时洗衣机中的水量是30升， 故答案为：4；12；30； （2）解：由题意得，． 11．如图，是小王和小李在赛跑过程中时间和路程的关系图． (1)这是______米的赛跑比赛； (2)小王的平均速度是________； (3)小李跑步时路程（米）与时间（秒）的函数关系式及定义域是__________； (4)谁先到达终点：__________． 【答案】(1)100 (2)米/秒 (3) (4)小李 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，从中获取信息的能力，以及路程、速度与时间的关系． （1）观察函数图象易得到甲乙都跑了100米； （2）由速度路程时间即可得到结论； （3）先根据图象得出小李跑100米用了10秒，再根据速度路程时间，计算出小李的速度，即可得到结论； （4）这次赛跑中先到达终点的是用时较少的． 【详解】（1）解：根据图象可以得到路程s的最大值是100米， ∴这次赛跑的赛程为100米； （2）解：从图象可知，小王跑完全程用时12秒， 所以小王的速度为：(米/秒) （3）解：∵小李跑100米用了10秒， ∴小李的速度(米/秒)； ∴； （4）解：从图象可知，小李跑完全程用时10秒，小王跑完全程用时12秒， 所以先到达终点的是小李． 12．动点H以每秒1的速度沿图1中的长方形按从的路径匀速运动，相应的三角形的面积与时间的关系如图2，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)_____，______，_____； (2)当点H在线段上运动时，直接写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)当三角形的面积为8时，请直接写出t的值． 【答案】(1)，14，10 (2) (3)或． 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能结合图象得到有用条件，利用动点的运动求出相关线段是本题的解题关键． （1）根据图2函数分别分析出当点运动到点、、处的路程，求出，再求出当点在上时的面积即可； （2）根据（1）中数据求出，再根据即可解答； （3）当三角形的面积为时，点在或上，分别计算求出高，再依题意求出路程即可． 【详解】（1）解：由图2得，当时，随的增大而增大， 当点运动到点时，， ， 当时，的值不变， 当点运动到点时，，此时三角形的面积为长方形面积的一半， ，即， 当点运动到点处时，， ， 故答案为：，14，10； （2）由（1）知，点H在线段上运动时，，， 此时，， ； （3）解：当点在上时，三角形的面积， 当时，， ， ， 当点在上时，三角形的面积， 当时，， ，， ， 综上，点的运动时间为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$