专题5.3 一次函数与实际问题（5个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

专题5.3一次函数与实际问题（5个考点） 【考点1：利用一次函数解决方案问题】 【考点2：利用一次函数解决销售利润问题】 【考点3：利用一次函数解决行程问题】 【考点4：利用一次函数解决运输问题】 【考点5：一次函数与几何综合】 【考点1：利用一次函数解决方案问题】 1．某学校为了给学生提供更舒适的学习环境，决定购进，两种空调．已知购买1台种空调和3台种空调共需9300元；购买3台种空调和2台种空调共需13200元． (1)求，两种空调的单价； (2)若该校准备购买，两种空调共50台，且种空调数量不小于种空调数量的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 2．在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 3．自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． (1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． (2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 4．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 5．学校准备举行社团活动，需要向商家购买 A、B两种型号的文化衫50件．已知170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫． (1)求A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为多少元？ (2)若用于购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，请问一共有几种购买方案？ (3)试问在（2）的条件下，学校采用哪种购买方案花费最少？最少是多少元？ 6．众志成城抗灾情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共30辆，运送390吨物资到A地和B地，支援当地抗击灾情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这30辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表： 现安排上述装好物资的30辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的20辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有m辆，这20辆货车的总运费为w元． A地（元/辆） B地（元/辆） 大货车 800 1000 小货车 500 600 (1)这30辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ (2)求w与m的函数解析式，并直接写出m的取值范围． (3)若运往A地的物资不多于260吨，求总运费w的最小值，并写出运输方案 【考点2：利用一次函数解决销售利润问题】 7．为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元．一共有多少种满足条件的方案？ (3)在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 8．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 9．某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元． (1)求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元； (2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案； (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 10．某超市销售、两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多15元，用200元购买款保温杯的数量与用275元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯的销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍．若款保温杯的销售单价不变，款保温杯的销售单价降低，两款保温杯的进价每个均为30元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 11．泉州木偶造型优美，彩绘精致，个性鲜明，具有独特的艺术风格和地方色彩．某店销售，两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，为使购买总费用最低，应购买款木偶工艺品和款木偶工艺品各多少件？总费用最低为多少元？ 12．在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元． (1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ (2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元． ①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 13．汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为件，销售完甲、乙两种汉服的利润为元. (1)求与之间的函数关系式，写出自变量范围； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润。 14．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元个、元个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【考点3：利用一次函数解决行程问题】 15．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度． (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离． (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 16．已知A，B两港口相距150海里，甲船从A港行驶到B港后，休息一段时间，速度不变，沿原航线返回，同时，乙船从A港出发驶向B港，甲、乙两船离A港的距离s（海里）与甲船行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，当两船相遇时，两船到A港的距离为90海里，乙船在行驶过程中，速度不变．（假设甲、乙两船沿同一航线航行） (1)直接写出M点的坐标______； (2)分别求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (3)直接写出甲船行驶多少小时后两船在甲船返航过程中相距30海里？ 17．某中学八年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，已知A，B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地．两班同时出发，相向而行．设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为，千米，，与x之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)直接写出，与x之间的函数关系式； (2)甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？ (3)甲、乙两班首次相距4千米时，步行了多长时间？ 18．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离（千米）与（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： (1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ (2)求线段对应的函数解析式． (3)求货车从甲地出发后多长时间与轿车相遇． 19．A，B两地相距16千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线和线段，分别表示甲、乙两人与A地的距离、与他们所行时间之间的函数关系，且与相交于点M． (1)求与x的函数关系式以及两人相遇地点与A地的距离； (2)求线段对应的与x的函数关系式； (3)求经过多少小时，甲、乙两人相距． 20．如图，甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两地相距 千米；两车 小时后相遇；从乙地到甲地，普通列车用了 小时． (2)求直线的解析式． (3)普通列车和动车的速度分别是多少？ (4)求点的坐标，并解释点的实际意义． 【考点4：利用一次函数解决运输问题】 21．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它不变，且，请你探究总费用的最小值． 22．面对世界百年未有之大变局和中华民族伟大复兴战略全局，党中央提出构建“国内国际双循环”新发展格局具有重大战略．某物流公司承接、两种出口货物的运输业务，已知月份货物运费单价为元吨，货物运费单价为元吨，共收取运费元；月份由于油价下调，运费单价下降为：货物元吨，货物元吨；该物流公司月承接的两种货物的数量与月份相同，月份共收取运费元． (1)该物流公司3月份运输两种货物各多少吨？ (2)该物流公司预计5月份运输这两种货物共3600吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与4月份相同的情况下，该物流公司5月份最多将收到多少运费？ 23．某地爆发新一波的疫情，疫情期间为保障市民正常生活，现要用10辆汽车装运蔬菜和水果到该地，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题： 物资种类 蔬菜 水果 每辆汽车运载量/吨 每吨所需运费/元 100 120 (1)已知1辆车所装蔬菜的重量与2辆车所装水果的重量之和为14吨，求的值； (2)在（1）的条件下，设装运蔬菜的车辆有辆，运输这批物资所需总运费为元，求与之间的函数关系式；并求当装运蔬菜的车辆数不少于装运水果的车辆数的2倍时，总运费至少需要多少元？ 24．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地_________台，乙厂运往A地_________台，乙厂运往B地_________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了百元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围． 25．我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满． 水果品种 A B C 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨水果获利/百元 12 16 10 根据表格中提供的信息，解答以下问题： (1)设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式； (2)如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案? (3)在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案?求出最大利润． 26．某市防疫物资配送站，甲、乙两仓库分别有防疫物资20箱和30箱，A，B两个社区分别需要防疫物资15箱和35箱．已知从甲、乙仓库到A，B两个社区的运价如下表： 到A社区 到B社区 甲仓库 每箱15元 每箱12元 乙仓库 每箱10元 每箱9元 若从甲仓库运到A社区的防疫物资为x箱， (1)用含x的代数式表示：从甲仓库运到B社区的防疫物资为_________箱；从乙仓库运到A社区的防疫物资为_________箱，运到B社区的防疫物资为___________箱； (2)若把全部防疫物资从甲、乙两仓库运到A，B两个社区的总运输费为545元，求x的值； (3)配送站为了减少总运输费用支出，设计了防疫物资运到A，B两个社区的最佳运输方案请你直接写出最佳运输方案，此时最少的总运输费用是多少元？ 27．已知A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现将这些肥料全部运往C，D两乡．C乡需要的肥料比D乡少20吨，从A城运往C，D两乡的费用分别为每吨20元和25元；从B城运往C，D两乡的费用分别为每吨15元和24元． (1)求C，D两乡各需肥料多少吨？ (2)设从B城运往C乡的肥料为x吨，全部肥料运往C，D两乡的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)因近期持续暴雨天气，为安全起见，从B城到C乡需要绕道运输，实际运费每吨增加了a元（），其它路线运费不变．此时全部肥料运往C，D两乡所需最少费用为10520元，求a的值． 28．一方有难，八方支援，新冠肺炎疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如下表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运物资吨数 第一次 3 4 29 第二次 2 6 31 (1)甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资？ (2)目前有46.4吨物资要运输到武汉，该公司拟安排甲、乙两种货车共10辆，全部物资一次运完其中每辆甲种货车一次运送花费500元，每辆乙种货车一次运送花费300元，那么该公司应如何安排车辆最节省费用？ 【考点5：一次函数与几何综合】 29．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点A，交轴于点，点是点A关于轴对称的点，过点作轴平行的射线，交直线与点，点是射线上的一个动点． (1)点A的坐标为______，点的坐标为_______； (2)若直线与直线的交点为（不与点重合），连接，当与的面积满足时，请求出对应的点坐标． 30．如图，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中． (1)求k的值； (2)若点是第一象限内的直线上的一个动点，当点A运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式； (3)探索： ①点D是直线上的一个动点，当的面积是3时，求点D的坐标； ②在①的条件下，且点D在第一象限，问：x轴上是否存在一点P，使等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 31．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作于点B，交x轴于点C． (1)求点A和点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？若存在，出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线 的图象与轴、轴分别交于D，B两点．直线 的图象与轴交于C．直线与直线交于点．    (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点E在直线上，且的面积为，求点E的坐标； (3)在轴上是否存在点P，使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 33．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是的上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处．求： (1)求A、B两点坐标； (2)求M坐标； (3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标； (4)在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得，请直接写出N点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3一次函数与实际问题（5个考点） 【考点1：利用一次函数解决方案问题】 【考点2：利用一次函数解决销售利润问题】 【考点3：利用一次函数解决行程问题】 【考点4：利用一次函数解决运输问题】 【考点5：一次函数与几何综合】 【考点1：利用一次函数解决方案问题】 1．某学校为了给学生提供更舒适的学习环境，决定购进，两种空调．已知购买1台种空调和3台种空调共需9300元；购买3台种空调和2台种空调共需13200元． (1)求，两种空调的单价； (2)若该校准备购买，两种空调共50台，且种空调数量不小于种空调数量的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)种空调和种空调的进货单价分别是3000元和2100元 (2)最省钱的购买方案是购买种空调34台，种空调16台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用； （1）设种空调的单价是元，种空调的单价是元，根据“购买1台种空调和3台种空调共需9300元，购买3台种空调和2台种空调共需13200元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型空调台，则购进型空调台，购买所需费用为元，根据总价单价数量列出关于的函数解析式，根据种空调数量不小于种空调数量的2倍得出关于的一元一次不等式，解之求出的范围，然后根据一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）设种空调的单价是元，种空调的单价是元， 依题意得：， 解得：． 答：种空调的单价是3000元，种空调的单价是2100元． （2）设购进型空调台，则购进型空调台，购买所需费用为元． 依题意得：， 化简整理得：， 由题意得：， 解得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，此时最小值为（元． 答：最省钱的购买方案是：购进型空调34台，购进型空调16台． 2．在渠县中学新校区建设中，需要甲、乙两种钢材，现计划把甲种钢材吨和乙种钢材吨用一列火车运往渠县，已知这列火车接挂有两种不同规格的车厢共节，使用型车厢每节费用为元，使用型车厢每节费用元． (1)设运送这批钢材的总费用为元，这列货车挂型车厢节，试写出用车厢节数表示总费用的公式． (2)如果每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，每节型车厢最多可装甲种钢材吨和乙种钢材吨，装货时按此要求安排两种车厢的节数，那么共有几种安排车厢的方案？ (3)在（）中的哪种方案运费最少？最少运费为多少元？ 【答案】(1)； (2)种； (3)安排型车厢节，型车厢节运输运费最少，最少运费为元 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （）根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出一次函数解析式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴或或或或或， ∴共有种安排车厢的方案； （3）解：∵，， ∴的值随的增大而减小， ∴当时的值最小，即安排型车厢节，型车厢节运输运费最少， 此时，最少运费元． 3．自 2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买 A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格比 B型设备价格每台高，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5 台． (1)求 A，B型设备每台的价格分别是多少元． (2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的 ．设购买a台A型设备，购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案． 【答案】(1)，型设备单价分别是2200，2000元 (2)，当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意列出关系式是解题的关键． （1）设型设备的单价为元，则型设备的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可求解； （2）设购买台型设备，购买型设备台，根据题意建立一元一次不等式，求得最小整数解；根据单价乘以数量即可求的与的函数关系式，根据一次函数的性质即可求得最少购买费用． 【详解】（1）解：设型设备的单价为元，则型设备的单价为元， 根据题意得：， 解得，经检验是原方程的解， ∴型设备的单价为元； 答：，型设备单价分别是2200，2000元； （2）设购买台型设备， 购买型设备台，依题意，．解得， 的最小整数解为12， 购买总费用为元，， ， ，随的增大而增大， 时，取得最小值，此时． 答：当购买12台型设备，则购买型设备48台时，购买费用最低． 4．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 5．学校准备举行社团活动，需要向商家购买 A、B两种型号的文化衫50件．已知170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫． (1)求A、B两种型号的文化衫每件的价格分别为多少元？ (2)若用于购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，请问一共有几种购买方案？ (3)试问在（2）的条件下，学校采用哪种购买方案花费最少？最少是多少元？ 【答案】(1)A型号的价格为35元/件，B型号的价格为27元/件 (2)共有4种购买方案 (3)购买A型号19件，B型号31件时，费用最少，最小费用为1502元 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的应用．关键是熟练掌握总价与单价和数量关系，列出方程组、不等式组和函数解析式． （1）设A型号文化衫售价x元，B型号文化衫售价y元，根据170元恰好可以买到一件A型文化衫和5件B型文化衫；159元恰好可以买到3件A型文化衫和2件B型文化衫，列出方程组求解即可； （2）设购买A型号文化衫m件，则购买B型号文化衫件，根据购买A，B两种型号文化衫的金额不少于1500元但不超过1530元，列出不等式组，求出m的取值范围，再根据m只能取整数，即可得出购买方案； （3）根据购买总费用为，当m越小，费用越小，故取，故当购买A型号19件，B型号31件时，费用最少，此时，最小费用为，即可． 【详解】（1）设A型号的价格为x元/件，B型号的价格为y元/件， 依题意得：， 解得，． 答：A型号的价格为35元/件，B型号的价格为27元/件． （2）设A型号买m件，则B型号买件， 依题意得：， 即：， 解得，， ∵m为正整数， ∴． 故共有4种购买方案： 方案一：购买A型号19件，B型号31件； 方案二：购买A型号20件，B型号30件； 方案三：购买A型号21件，B型号29件； 方案四：购买A型号22件，B型号28件． （3）购买总费用为， ∵， ∴m越小，费用越小， ∴当时，总费用最少， 最小费用为：． 故方案一总费用最少，最少为1502元． 6．众志成城抗灾情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共30辆，运送390吨物资到A地和B地，支援当地抗击灾情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这30辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表： 现安排上述装好物资的30辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的20辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有m辆，这20辆货车的总运费为w元． A地（元/辆） B地（元/辆） 大货车 800 1000 小货车 500 600 (1)这30辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？ (2)求w与m的函数解析式，并直接写出m的取值范围． (3)若运往A地的物资不多于260吨，求总运费w的最小值，并写出运输方案 【答案】(1)大货车有辆，则小货车有辆 (2) (3)前往A地的大货车12辆，小货车8辆，前往B地的大货车6辆，小货车4辆时，运费w有最小值元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，正确列方程和不等式是解题关键． （1）设大货车有辆，则小货车有辆，根据“每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这30辆货车恰好装完这批物资”列一元一次方程求解即可； （2）设前往A地的大货车有m辆，则小货车有辆，前往B地的大货车有辆，小货车有辆，根据题意列出w与m的函数解析式即可； （3）设前往A地的大货车有m辆，则小货车有辆，根据“运往A地的物资不多于260吨”列一元一次不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的增减性求出最小值即可． 【详解】（1）解：设大货车有辆，则小货车有辆， 由题意得：， 解得：， （辆）， 答：大货车有辆，则小货车有辆； （2）解：设前往A地的大货车有m辆，则小货车有辆，前往B地的大货车有辆，小货车有辆， 则， m的取值范围为， w与m的函数解析式； （3）解：设前往A地的大货车有m辆，则小货车有辆， 由题意得：， 解得：， 随的增大而减小， 当时，总运费w有最小值为（元）， 即前往A地的大货车12辆，小货车8辆，前往B地的大货车6辆，小货车4辆时，运费w有最小值元． 【考点2：利用一次函数解决销售利润问题】 7．为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元，且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元，该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍，总成本不超过元．一共有多少种满足条件的方案？ (3)在（2）的条件下，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 (2)共有种满足条件的方案； (3)要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，解不等式即可求解； （3）设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； （2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得：， ， ∴共有种满足条件的方案； （3）设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 8．剪纸是一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，剪纸内容多，寓意广，生活气息浓厚．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸装饰套装共60套进行销售，已知购进一套甲种剪纸比购进一套乙种剪纸多10元，购进2套甲种剪纸和3套乙种剪纸共需220元． (1)求这两种剪纸购进时的单价分别为多少元？ (2)设购进甲种剪纸装饰x套()，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费y元，求y与x之间的函数关系式； (3)若甲种剪纸的售价为65元/套，乙种剪纸的售价为50元/套，该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过2800元，要使这批剪纸装饰全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元 (2) (3)甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元 【分析】本题考查一次函数和一元一次方程的应用： （1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意列方程，解方程即可； （2）购进甲种剪纸装饰套乙种剪纸装饰套，总费用元为甲乙种剪纸装饰套装费用的和列出一次函数即可； （3）甲种剪纸装饰套装利润为元，乙种剪纸装饰套装利润为元，则利润为 根据随的增大而增大， 且为非负整数可得当时，取最大值． 【详解】（1）设乙种剪纸装饰套装单价为元，则甲种剪纸装饰套装单价为元，根据题意，得 解得 ， ∴甲种剪纸装饰套装单价为元，乙种剪纸装饰套装单价为元． （2）设购进甲种剪纸装饰套， 则购进乙种剪纸装饰套，购买甲、乙两种剪纸装饰共花费元，根据题意，得 ， 即 ∴与之间的函数关系式为； （3）设甲、乙两种剪纸装饰获得的利润为元，根据题意，得 即 ， ∴随的增大而增大 ∵该商家计划购进这批剪纸装饰所花的总费用不超过元， ，即， 解得， ∵为非负整数 ∴当 时，取最大值，(元)， 此时套， 即商家购进甲种剪纸装饰套，乙种剪纸装饰套时，所获利润最大，最大利润为元． 9．某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生．已知购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元． (1)求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元； (2)若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元又不多于1000元，设购买甲种文具x个，求有多少种购买方案； (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元 (2)有5种购买方案 (3)购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的一次函数关系式． （1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可； （2）根据题意列不等式组解答即可； （3）求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）购买一个甲种文具元，一个乙种文具元，由题意得： ，解得， 答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元； （2）根据题意得： ， 解得， 是整数， ，37，38，39，40． 有5种购买方案； （3）， ， 随的增大而增大， 当时，（元， ． 答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元． 10．某超市销售、两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多15元，用200元购买款保温杯的数量与用275元购买款保温杯的数量相同． (1)、两款保温杯的销售单价各是多少元？ (2)由于需求量大，、两款保温杯很快售完，超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍．若款保温杯的销售单价不变，款保温杯的销售单价降低，两款保温杯的进价每个均为30元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)、两款保温杯的销售单价分别是40元、55元 (2)购买款保温杯80个，款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1360元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设款保温杯的单价是元，则款保温杯的单价是元，根据用200元购买款保温杯的数量与用275元购买款保温杯的数量相同列出方程求解即可； （2）设购买款保温杯个，则购买款保温杯个，利润为元，先列出w关于x的一次函数关系式，再根据且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍列出不等式求出m的取值范围，据此利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款保温杯的单价是元，则款保温杯的单价是元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：、两款保温杯的销售单价分别是40元、55元； （2）解：设购买款保温杯个，则购买款保温杯个，利润为元， 由题意得，， 款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍， 解得， ∵， ∴w随x增大而减小， 当时，取得最大值，此时，， 答：当购买款保温杯80个，款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1360元． 11．泉州木偶造型优美，彩绘精致，个性鲜明，具有独特的艺术风格和地方色彩．某店销售，两款木偶工艺品，如下是甲、乙两位销售员的对话： (1)求两款木偶工艺品的售价各为多少元； (2)某公司想购买40件木偶工艺品送给员工（两种款式均需购买），且购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，为使购买总费用最低，应购买款木偶工艺品和款木偶工艺品各多少件？总费用最低为多少元？ 【答案】(1)款木偶工艺品的售价为20元，款木偶工艺品的售价为25元 (2)应购买款木偶工艺品10件和款木偶工艺品30件，总费用最低为950元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数解析式． （1）设款木偶工艺品的售价为元，款木偶工艺品的售价为元，根据售货员的对话列出方程组，解方程组即可； （2）设购买款木偶工艺品件，则购买款木偶工艺品件，总费用为元，根据总费用，两款工艺品费用之和列出函数解析式，再根据购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的，求出的取值范围，由函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：设款木偶工艺品的售价为元，款木偶工艺品的售价为元， 根据题意得：， 解得， 答：款木偶工艺品的售价为20元，款木偶工艺品的售价为25元； （2）解：设购买款木偶工艺品件，则购买款木偶工艺品件，总费用为元， 根据题意得：， 购买款木偶工艺品的数量不超过款木偶工艺品数量的， ， 解得， ， 随的增大而减小， 当时，最小，最小值为950， 此时，， 答：应购买款木偶工艺品10件和款木偶工艺品30件，总费用最低为950元． 12．在人们高度关注我国神舟十七号载人飞船成功发射的时候，某商家看准商机，推出了“神舟”和“天宫”两种航天模型进行销售．已知每个天宫模型的成本比神舟模型低4元，商家购进10个天宫模型和8个神舟模型共花费320元． (1)每个神舟模型和天宫模型的成本分别是多少元？ (2)该商家计划购进两种模型共100个，每个神舟模型的售价为34元，每个天宫模型的售价为26元．设其中购进的神舟模型为a个，销售这批模型所得利润为w元． ①求w与a之间的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半，则购进神舟模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元 (2)①；②购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程组． （1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个，然后表示出； ②根据购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半列出不等式，得到，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设每个神舟模型的成本为元，每个天宫模型的成本为元． 依题意，得解得 答：每个神舟模型的成本为20元，每个天宫模型的成本为16元． （2）①购进的神舟模型为个，则购进的天宫模型为个． ， 即． ②购进神舟模型的数量不超过天宫模型数量的一半， ，解得． 随的增大而增大，为整数， 当时，（元）． 答：购进神舟模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润为1132元． 13．汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为件，销售完甲、乙两种汉服的利润为元. (1)求与之间的函数关系式，写出自变量范围； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润。 【答案】(1) (2)当甲汉服购进件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次 不等式的应用，二元一次方程的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解答本题的关键； （1）根据总利润=两种服装利润之和列出函数解析式； （2）根据乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，得出x的取值范围，再根据函数的性质求出函数的最值即可． 【详解】（1）解：由题意得 ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵乙的数量不能超过甲的数量的２倍， ∴ 解得， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，y最大， 答：当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两 种汉服获利最多，最大利润为元． 14．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元个、元个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元．超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个甲种粽子的进价为元，每个乙种粽子的进价为元 (2)购进甲种粽子个，乙种粽子个时利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元，根据“用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同”列出方程，解方程即可，注意验根； （2）设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个，全部售完获得利润为元，根据“总利润甲、乙两种粽子利润之和”列出函数解析式，根据“甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍”求出的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案． 【详解】（1）解：设每个甲种粽子的进价为元，则每个乙种粽子的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根， 此时，， 答：每个甲种粽子的进价为元，每个乙种粽子的进价为元； （2）解：设购进甲种粽子个，则购进乙种粽子个， ， ， 根据题意得： ， 与的函数关系式为， 甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍， ， 解得：， （为正整数）， ，，为正整数， 当时，有最大值，最大值为， 此时，， 答：购进甲种粽子个，乙种粽子个时利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质等知识点，找到等量关系，列出分式方程和函数解析式是解题的关键． 【考点3：利用一次函数解决行程问题】 15．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度． (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离． (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为 (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为 (3)货车出发或后，两车相距 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度，时间，路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）根据题意两车相距，可分两种情况讨论，相遇前和相遇后，利用待定系数法求出当时关于的函数关系式，将代入关系式，求出相应的值是相遇前两车相距时的时间，两车相遇后，由（2）得：轿车到达终点时，货车离终点的距离为；当时，两车相距，可得方程，解方程即可得到相遇后两车两车相距时的时间，从而得到答案． 【详解】（1）解：轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：两车相遇前，即时，设与的函数关系式为：，将和代入得： 解得： ∴， 当时，即， 解得：； 两车相遇后，由（2）得：轿车到达终点时，货车离终点的距离为； ∴当时，两车相距， ∴， 解得：， ∴货车出发或后，两车相距． 16．已知A，B两港口相距150海里，甲船从A港行驶到B港后，休息一段时间，速度不变，沿原航线返回，同时，乙船从A港出发驶向B港，甲、乙两船离A港的距离s（海里）与甲船行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，当两船相遇时，两船到A港的距离为90海里，乙船在行驶过程中，速度不变．（假设甲、乙两船沿同一航线航行） (1)直接写出M点的坐标______； (2)分别求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (3)直接写出甲船行驶多少小时后两船在甲船返航过程中相距30海里？ 【答案】(1)； (2)线段的表达式为：；线段的表达式为：； (3)甲船行驶9.6小时或10.4小时后，两船相距30海里 【分析】（1）根据甲船从港行驶到港后，休息一段时间，速度不变，沿原航线返回，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）分两种情况，分别计算即可求解． 本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，读懂题目信息，从图象准确获取信息是解题的关键，（3）要注意分两种情况讨论，并且求的是从甲船开始行使的时间而不是从乙船开始行使的时间，这也是本题最容易出错的地方． 【详解】（1）解：甲船返回时速度不变， 返回时间为5小时，， 所以，点的坐标为， 故答案为：； （2）解：由图可知：点， 设所在直线的解析式为：， 把点，点分别代入解析式，得 ， ， 故线段的表达式为：； 甲船的速度（海里时）， 到两船相遇时乙船行驶的时间为：（小时）， 乙船的速度为：（海里时）， 乙船行驶的时间为：（小时）， 此时， 故点，由图可知：点， 设直线的表达式为， 把点，点分别代入解析式，得 ， ， 故线段的表达式为：； （3）解：设甲船行驶小时后两船相距30海里， ①若相遇前相距30海里，则， 解得， ②若相遇后再相距30海里，则， 解得， 所以，甲船行驶9.6小时或10.4小时后，两船相距30海里． 17．某中学八年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，已知A，B两地相距10千米，甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发匀速步行到A地．两班同时出发，相向而行．设步行时间为x小时，甲、乙两班离A地的距离分别为，千米，，与x之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)直接写出，与x之间的函数关系式； (2)甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？ (3)甲、乙两班首次相距4千米时，步行了多长时间？ 【答案】(1) (2)小时，离A地千米 (3)小时 【分析】（1）利用待定系数法解答即可． （2）根据相遇时，两个班路程相等，列式计算即可，列式计算乙班离A地距离为10千米减去乙班行驶的路程即可． （3）根据甲、乙两班首次相距4千米，则，解方程即可． 本题考查了图象信息处理，待定系数法求解析式，一次函数与一元一次方程，相遇问题，熟练掌握一次函数的性质，灵活读取图象信息是解题的关键． 【详解】（1）解：设，根据题意， 得， 解得， 故； 设，根据题意， 得， 解得， ∴， 故． （2）解：根据相遇时，两个班路程相等， 得， 解得（小时）； 此时乙班离A地距离为（千米）． （3）解：根据甲、乙两班首次相距4千米， 则， 解得（小时）． 18．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段表示货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系；折线表示轿车离甲地距离（千米）与（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： (1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ (2)求线段对应的函数解析式． (3)求货车从甲地出发后多长时间与轿车相遇． 【答案】(1)千米 (2) (3)小时 【分析】本题考查一元一次函数的图象和应用，求出函数的解析式是解题的关键， （1）先求出货车图象的解析式，根据图象得到轿车到达乙地的时间，代入函数的解析式可求出货车此时距甲地的时间，即可求得答案； （2）根据待定系数法进行求解即可； （3）根据相遇时两车与甲地距离相等建立方程，即可求出答案． 【详解】（1）解：设货车离甲地距离（千米）与时间（小时）之间的函数关系为， 根据题意得， 解得， ∴， 根据图象可得轿车到达乙地时， 此时货车距甲地的距离千米， ∴货车距乙地千米； （2）解：设线段对应的函数解析式为：， 根据题意得， 解方程组得，， ∴线段对应的函数解析式为 ； （3）当货车与轿车距甲地的距离相等时，两车相遇， 故， 解得小时． 19．A，B两地相距16千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线和线段，分别表示甲、乙两人与A地的距离、与他们所行时间之间的函数关系，且与相交于点M． (1)求与x的函数关系式以及两人相遇地点与A地的距离； (2)求线段对应的与x的函数关系式； (3)求经过多少小时，甲、乙两人相距． 【答案】(1)，两人相遇地点与A地的距离是 (2) (3)经过小时或小时时，甲、乙两人相距 【分析】本题考查一次函数的实际应用，理解一次函数图象上的信息，准确利用待定系数法求解解析式是解题关键． （1）设与x的函数关系式是，结合题意利用待定系数法求解即可； （2）设线段对应的与x的函数关系式是，结合（1）的结论利用待定系数法求解即可； （3）令，求解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设与x的函数关系式是， ∵点，在函数的图象上， ∴，解得， 即与x的函数关系式是， 当时，， 即两人相遇地点与A地的距离是； （2）设线段对应的与x的函数关系式是， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得， 即线段对应的与x的函数关系式是； （3）令，即： 解得，，， 即经过小时或小时时，甲、乙两人相距． 20．如图，甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发，设普通列车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系． (1)甲、乙两地相距 千米；两车 小时后相遇；从乙地到甲地，普通列车用了 小时． (2)求直线的解析式． (3)普通列车和动车的速度分别是多少？ (4)求点的坐标，并解释点的实际意义． 【答案】(1)，， (2) (3)普通列车和动车的速度分别是千米时和千米时 (4)点的坐标是，实际意义是：此时动车从甲地到达乙地 【分析】（1）当时，两车之间的距离为甲、乙两地之间的距离；当两车之间的距离为的时刻即两车相遇；普通列车在图象上于点所在的时刻到达乙地； （2）设直线的解析式为，将坐标和代入，利用待定系数法求解即可； （3）先求出普通列车的速度，再根据两车相遇时的条件求出动车的速度； （4）点表示动车从甲地到达乙地，根据动车的速度可求出的值，此时普通列车距离乙地的距离为的值． 本题考查一次函数的应用，通过图象分析两车的行驶过程是正确解答本题的关键． 【详解】（1）当时，两车之间的距离为甲、乙两地之间的距离， 甲、乙两地相距千米． 当时，两车之间的距离为， 两车小时后相遇． 根据函数图象可知，当时，普通列车到达甲地， 从乙地到甲地，普通列车用了小时． 故答案为：，，． （2）设直线的解析式为，将坐标和代入， 得，解得， 直线的解析式为． （3）普通列车的速度是千米时， 动车的速度是千米时． 普通列车和动车的速度分别是千米时和千米时． （4）设． ，， 点的坐标是． 根据图象可知，点的实际意义是：此时动车从甲地到达乙地． 【考点4：利用一次函数解决运输问题】 21．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地__________台，乙厂运往A地__________台，乙厂运往B地__________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了2m百元，其它不变，且，请你探究总费用的最小值． 【答案】(1)，， (2)当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元 (3)见解析 【分析】（1）根据题目中的数量关系填空即可； （2）根据（1）列出运输总费用函数关系式，再确定自变量的取值范围，利用一次函数增减性求解即可； （3）列出总费用函数关系式，对m的值进行分类讨论，利用一次函数增减性求解即可． 【详解】（1）解：从甲厂运往A地的有x台设备，则甲厂运往B地台；乙厂运往A地台；乙厂运往B地台； 故答案为：，， （2）解：设运输费为y百元，依题意得 ， ∵， ∴y随x的增大而增大，当x最小时，y最小， ；； ∴． ∴当时，y有最小值910． ∴当甲厂运往A地30台，B地30台，乙厂将40台都运往A地时，费用最低，最低费用为9万1千元． （3）解： ． 当时，无论怎么安排，运费都是9万7千元； 当时，，y随x的增加而增加，当时，运费最低（百元）； 当时，，y随x增加而减小，当时，运费最低=9万7千元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出函数关系式，掌握并能运用一次函数的性质． 22．面对世界百年未有之大变局和中华民族伟大复兴战略全局，党中央提出构建“国内国际双循环”新发展格局具有重大战略．某物流公司承接、两种出口货物的运输业务，已知月份货物运费单价为元吨，货物运费单价为元吨，共收取运费元；月份由于油价下调，运费单价下降为：货物元吨，货物元吨；该物流公司月承接的两种货物的数量与月份相同，月份共收取运费元． (1)该物流公司3月份运输两种货物各多少吨？ (2)该物流公司预计5月份运输这两种货物共3600吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与4月份相同的情况下，该物流公司5月份最多将收到多少运费？ 【答案】(1)该物流公司月份运输货物吨，运输货物吨 (2)元 【分析】（1）设该物流公司月份运输货物吨，运输货物吨，根据“该物流公司月份共收取运费元，月份共收取运费元”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该物流公司预计月份运输货物吨，则运输货物吨，根据货物的数量不大于货物的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设该物流公司月份共收到元运费，根据总运费每吨的运费运输货物的重量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设该物流公司月份运输货物吨，运输货物吨， 依题意得：， 解得：． 答：该物流公司月份运输货物吨，运输货物吨； （2）解：设该物流公司预计月份运输货物吨，则运输货物吨， 依题意得：， 解得： 设该物流公司月份共收到元运费， 则， ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值 答：该物流公司月份最多将收到运费． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）利用一次函数的性质，解决最值问题． 23．某地爆发新一波的疫情，疫情期间为保障市民正常生活，现要用10辆汽车装运蔬菜和水果到该地，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题： 物资种类 蔬菜 水果 每辆汽车运载量/吨 每吨所需运费/元 100 120 (1)已知1辆车所装蔬菜的重量与2辆车所装水果的重量之和为14吨，求的值； (2)在（1）的条件下，设装运蔬菜的车辆有辆，运输这批物资所需总运费为元，求与之间的函数关系式；并求当装运蔬菜的车辆数不少于装运水果的车辆数的2倍时，总运费至少需要多少元？ 【答案】(1)，见解析 (2)；至少需要总运费5640元 【分析】（1）根据“1辆车所装蔬菜的重量与2辆车所装水果的重量之和为14吨”列一元一次方程即可； （2）先根据条件列出y与x之间的函数关系式，进而根据“装运蔬菜的车辆数不少于装运水果的车辆数的2倍”列不等式求解． 【详解】（1）解：由题意可得：每辆汽车装蔬菜m吨，装水果吨， ∴， 解得：； （2）解：设装运蔬菜的车辆有x辆，则设装运水果的车辆有辆， 由题意得：， 整理得：， ∵， 解得：， ∵， ∴y随x增大而增大， 要使总运费最少，且x需为整数， ∴当时，， ∴至少需要总运费5640元； 【点睛】本题考查了一元一次方程，一元一次函数以及一元一次不等式的综合应用，属于典型的配送问题，准确列出相应的函数关系以及不等式是关键． 24．计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：百元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）． A地 B地 甲厂 7 10 乙厂 10 15 (1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地_________台，乙厂运往A地_________台，乙厂运往B地_________台． (2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？ (3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m百元，从乙到B的运输费用每台减小了百元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)当甲厂运往地30台，地30台，乙厂将40台都运往地时，费用最低，最低费用为91000元； (3) 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）设运输费为百元，根据题意列出关于x的一次函数解析式，求出x的取值范围，根据一次函数的性质可得答案； （3）设运输费为百元，根据题意列出关于x的一次函数解析式，整理后根据费用最低的调运方案不变可得，进而可求m的取值范围． 【详解】（1）解：∵甲厂设备有60台，设从甲厂运往A地的有x台设备， ∴甲厂运往B地台，乙厂运往A地台， ∴乙厂运往B地台， 故答案为：，，； （2）设运输费为百元， 依题意得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当最小时，最小， ∵；；， ∴， ∴当时，有最小值910百元， ∴当甲厂运往地30台，地30台，乙厂将40台都运往地时，费用最低，最低费用为91000元； （3）解：设运输费为百元， 依题意得， ∵使费用最低的调运方案不变， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了列代数式，一次函数的应用，正确理解题意，找出合适的数量关系列出一次函数解析式是解题的关键． 25．我市组织20辆汽车装运A，B，C三种水果共有100吨到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能整吨装运同一种水果，且必须装满． 水果品种 A B C 每辆汽车运载量/吨 6 5 4 每吨水果获利/百元 12 16 10 根据表格中提供的信息，解答以下问题： (1)设有x辆车装运A种水果，有y辆车装运B种水果，求y与x之间的函数关系式； (2)如果装运每种水果的车都不少于4辆，那么可以安排哪几种运输方案? (3)在（2）的条件下，若要此次销售获利最大，应安排哪种方案?求出最大利润． 【答案】(1) (2)见解析 (3)选择（2）中的方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果，获利最多为140800元 【分析】（1）等量关系为：车辆数之和，由此可得出与的关系式； （2）利用装运每种水果的车辆数都不少于4辆可列三个不等式，然后解不等式组，再写出整数的值即可得到方案； （3）根据总利润为：装运A种水果的车辆数装运B种水果的车辆数装运C种水果的车辆数得，由，可知随x的增大而减小，进而可知当时，最大，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得． ∴． （2）解得． ∵为整数，∴可取整数为4，5，6，7，8． 共有五种方案如下： 方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果； 方案二：5辆车装运A种水果，10辆车装运B种水果，5辆车装运C种水果； 方案三：6辆车装运A种水果，8辆车装运B种水果，6辆车装运C种水果； 方案四：7辆车装运A种水果，6辆车装运B种水果，7辆车装运C种水果； 方案五：8辆车装运A种水果，4辆车装运B种水果，8辆车装运C种水果． （3）设获利为元． ． ∵，∴随x的增大而减小． ∴时，最大． ． ∴选择（2）中的方案一：4辆车装运A种水果，12辆车装运B种水果，4辆车装运C种水果，获利最多为140800元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键． 26．某市防疫物资配送站，甲、乙两仓库分别有防疫物资20箱和30箱，A，B两个社区分别需要防疫物资15箱和35箱．已知从甲、乙仓库到A，B两个社区的运价如下表： 到A社区 到B社区 甲仓库 每箱15元 每箱12元 乙仓库 每箱10元 每箱9元 若从甲仓库运到A社区的防疫物资为x箱， (1)用含x的代数式表示：从甲仓库运到B社区的防疫物资为_________箱；从乙仓库运到A社区的防疫物资为_________箱，运到B社区的防疫物资为___________箱； (2)若把全部防疫物资从甲、乙两仓库运到A，B两个社区的总运输费为545元，求x的值； (3)配送站为了减少总运输费用支出，设计了防疫物资运到A，B两个社区的最佳运输方案请你直接写出最佳运输方案，此时最少的总运输费用是多少元？ 【答案】(1)，， (2) (3)从甲仓库运到A社区的防疫物资为0箱，运到B社区的防疫物资为20箱；从乙仓库运到A社区的防疫物资为15箱，运到B社区的防疫物资为15箱时，费用最少，最少为525元． 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据题目中的等量关系列出方程求解即可； （3）设总运输费用为y，根据题意列出y关于x的表达式，根据其增减性，即可进行解答． 【详解】（1）解：从甲仓库运到B社区的防疫物资为箱， 从乙仓库运到A社区的防疫物资为箱， 从乙仓库运到B社区的防疫物资为箱， 故答案为：，，； （2）， 解得：； （3）设总费用为y， ， ， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y有最小值，， ∴从甲仓库运到A社区的防疫物资为0箱，运到B社区的防疫物资为20箱；从乙仓库运到A社区的防疫物资为15箱，运到B社区的防疫物资为15箱时，费用最少，最少为525元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出代数式，方程以及函数表达式解决问题． 27．已知A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现将这些肥料全部运往C，D两乡．C乡需要的肥料比D乡少20吨，从A城运往C，D两乡的费用分别为每吨20元和25元；从B城运往C，D两乡的费用分别为每吨15元和24元． (1)求C，D两乡各需肥料多少吨？ (2)设从B城运往C乡的肥料为x吨，全部肥料运往C，D两乡的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (3)因近期持续暴雨天气，为安全起见，从B城到C乡需要绕道运输，实际运费每吨增加了a元（），其它路线运费不变．此时全部肥料运往C，D两乡所需最少费用为10520元，求a的值． 【答案】(1)C乡需肥料240吨，D需肥料260吨； (2)w＝−4x＋11000（40≤x≤240）； (3)a＝2 【分析】（1）设C乡需肥料m吨，则D乡需肥料（m＋20）吨，根据肥料的总吨数列方程可得答案； （2）设从B城运往C乡的肥料为x吨，根据运费＝运输吨数×运输费用，可得一次函数解析式； （3）根据题意得出一次函数解析式，然后利用一次函数的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：设C乡需肥料m吨，则D乡需肥料（m＋20）吨， 根据题意得：m＋m＋20＝200＋300， 解得：m＝240， 则240＋20＝260（吨）， 答：C乡需肥料240吨，D需肥料260吨； （2）设从B城运往C乡的肥料为x吨，则从A城运往C乡的肥料为（240－x）吨，从B城运往D乡的肥料为（300－x）吨，从A城运往D乡的肥料为260－（300－x）＝（x－40）吨， 由题意得：w＝20（240−x）＋25（x−40）＋15x＋24（300−x）＝−4x＋11000， ∵x－40≥0，且x≤240， ∴x的取值范围为：40≤x≤240； （3）根据题意得，w＝（−4＋a）x＋11000＝10520， 当−4＋a＞0时，w随x的增大而增大， 所以x＝40时，w有最小值，即（−4＋a）×40＋11000＝10520， 解得a＝−8（不合题意）； 当−4＋a＜0时，w随x的增大而减小， 所以x＝240时，w有最小值，即（−4＋a）×240＋11000＝10520， 解得a＝2． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意得出y与x的函数关系式，另外同学们要掌握运用函数的增减性来求解函数的最值问题． 28．一方有难，八方支援，新冠肺炎疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如下表： 甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运物资吨数 第一次 3 4 29 第二次 2 6 31 (1)甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资？ (2)目前有46.4吨物资要运输到武汉，该公司拟安排甲、乙两种货车共10辆，全部物资一次运完其中每辆甲种货车一次运送花费500元，每辆乙种货车一次运送花费300元，那么该公司应如何安排车辆最节省费用？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3.5吨物资 (2)安排甲种货车8辆，乙种货车2辆最节省费用 【分析】（1）甲大货车和乙小货车每次满载可以分别运货吨和吨，结合合计运货吨数得出等式求出即可； （2）货运公司安排甲货车辆，则安排乙货车辆，设运费为元，根据10辆货车需要运输46.4吨货物列出不等式． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每次满载分别能运输x吨和y吨物资．根据题意得，． 解得． 因此，甲、乙两种货车每次满载分别能运输5吨和3.5吨物资． （2）解：设安排甲种货车m辆，则安排乙种货车（10﹣m）辆．根据题意得， 5m＋3.5（10﹣m）≥46.4， 解得m≥7.6. ∵m为整数，且m≤10， ∴m＝8或9或10. 设总运费为w元，根据题意得， w＝500 m＋300（10﹣m）＝200 m＋3000. ∵200＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝8时，，w的值最小，为200×8＋3000＝4600，故该公司应安排甲种货车8辆，乙种货车2辆最节省费用． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数与方案问题，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用函数求解方案问题． 【考点5：一次函数与几何综合】 29．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点A，交轴于点，点是点A关于轴对称的点，过点作轴平行的射线，交直线与点，点是射线上的一个动点． (1)点A的坐标为______，点的坐标为_______； (2)若直线与直线的交点为（不与点重合），连接，当与的面积满足时，请求出对应的点坐标． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论； （2）先求出，，利用三角形面积关系求出点坐标，再联立直线解析式求出交点坐标即可得出结论． 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，轴对称性质，待定系数法求一次函数解析式，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象交轴于点A，交轴于点， ∴令，则； ， 令，则， ， ； 故答案为：，； （2）解：点是点关于轴对称的点， ， 轴， 时，， ， ∵点是射线上的一个动点， 设， ，， ， ， ， 或， 或，如下图所示： ∴设直线的解析式为， 直线的解析式为①， 当时，即为， ∴直线的解析式为②， 故联立①②得， 解得，，， ， 当时，即为， ∴直线解析式为③， 故联立①③得， 解得，， ， 即：满足条件的点或 30．如图，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中． (1)求k的值； (2)若点是第一象限内的直线上的一个动点，当点A运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式； (3)探索： ①点D是直线上的一个动点，当的面积是3时，求点D的坐标； ②在①的条件下，且点D在第一象限，问：x轴上是否存在一点P，使等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3 (2) (3)①或；②存在，P点坐标为，，， 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质， （1）由可得出点坐标，将点的坐标代入直线解析式中即可得出； （2）直接利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）①当的面积是3时，则的高为6，即点到轴距离为6，据此求解即可； ②设出点的坐标，进而利用两点间的距离公式求出，，，分三种情况用两边相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 代入中，得， 解得， ∴， ∴k的值为3； （2）解：∵点是第一象限内的直线上的一个动点， ∴的面积； （3）解：①∵的面积是3， ∴的高为6， ∴点到轴距离为6， ∵点D是直线上的一个动点， ∴时，； 时，； ∴点的坐标为或； ②∵在①的条件下，且点D在第一象限， ∴点的坐标为， 设点， ，，， 为等腰三角形， ∴当时，，即：，解得，此时点坐标为，； 当时，，即：，解得（此时和点重合，所以舍去）或，此时点坐标为； 当时，，即：，解得，此时点坐标为； 即：满足条件的P点坐标为，，，． 31．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．过点B作于点B，交x轴于点C． (1)求点A和点B的坐标； (2)求直线的函数表达式； (3)在直线上是否存在点P，使的面积是面积的2倍？若存在，出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A，B (2) (3)存在，P 或 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质、求一次函数解析式； （1）根据直线与坐标轴交点坐标的求法求出点A和点B坐标即可； （2）根据所给条件先求出点C坐标，再用待定系数法求出直线的解析式； （3）设点P的坐标为，利用面积关系建立方程，求出m值即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． 当时，， 当时，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， , ∴ 设直线表达式为，由题意得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； （3）设点P的坐标为 ∵， ， 解得或， ∴或． 32．如图，在平面直角坐标系中，直线 的图象与轴、轴分别交于D，B两点．直线 的图象与轴交于C．直线与直线交于点．    (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点E在直线上，且的面积为，求点E的坐标； (3)在轴上是否存在点P，使得，若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)点，直线 (2)当点E在点A右侧时，点，当点E在点A左侧时，点 (3)存在，点或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）当点E在点A右侧时，由，列出方程求解，得到点；当点在轴右侧时，同理求解即可； （3）先求出点C的坐标，再在x轴上找点，使得，过点A作轴，再进行分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， 将点的坐标代入函数表达式得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：∵直线， 将代入得：， ∴点， 设直线交y轴于点T， 又∵直线， 将代入得：， ∴点， ∴， ①当点E在点A右侧时，如图     ， ， 解得：， ∴， ∴点； ②当点E在点A左侧时，如图， ，点在轴的左边，   ， ， 解得：， ∴点， 综上所述，点的坐标为：或； （3）解：存在，理由： 直线的表达式为：，令，则， 解得：， 点， 如图，在x轴上找点，使得，过点A作轴，   ， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点， 作点关于的对称点，则点也符合要求， ∵点，， ∴点， 综上，或． 33．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是的上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处．求： (1)求A、B两点坐标； (2)求M坐标； (3)在x轴上找一点P，使得以点P、M、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标； (4)在x轴上找一点N，且N点在A点的右侧，使得，请直接写出N点坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或． (4) 【分析】本题属于一次函数的综合题，主要待定系数法求函数解析式、勾股定理的折叠问题、等腰三角形的性质和判定等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可； （4）如图：作，作垂足为K，根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及已知条件可得；设，则、、，然后运用勾股定理列方程求得x，进而求得的长即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴令，则；令，则, ． （2）解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，解得：， ∴． （3）解：由（2）知，可得， ①以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ∴， ∴； ②以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ∴或1， ∴或； ③如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时， 设，则， 根据勾股定理得，解得∶， ∴． 综合上述，点P的坐标为或或或． （4）解：如图：作，作垂足为K， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：或（不合题意舍弃）， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$