12.4全等三角形同步练习 2024-2025学年北京版数学八年级上册

12.4全等三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，已知，，则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，已知，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中正确的有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 3．已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A． B． C． D． 4．如图，，，，则AC为（      ）    A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④PC平分∠APB；⑤∠APD＝60°，其中正确结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．如下图，已知，点恰好在的延长线上，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，若两个三角形全等，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，和是两个直角三角形，且点B，C，D在同一条直线上，若，则线段和线段的关系是（   ） A．既不相等又不互相垂直 B．相等但不互相垂直 C．互相垂直但不相等 D．相等且互相垂直 9．下列各项中，两个图形属于全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   10．如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 12．如图，已知，点在上．则下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中正确结论的个数是（    ）    A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 13．如图，用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件为 ． 14．如图，，垂足为点A，厘米，厘米，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以0.5厘米/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E离开点A后，运动 秒时，与全等．（将选择与填空题的答案填在答题纸对应的位置上）    15．全等三角形不能重合. ( ) 16．能够完全重合的两个图形叫做 ．如果两个图形全等．它们的形状和大小一定 ． 17．如图，，且点B，C，E共线，若的面积为6，，则 ． 三、解答题 18．综合与探究 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则___________． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．      19．把如图所示的各个图形分别分割成两个全等的图形． 20．综合与实践 问题情境： 如图1，学校有一块三角形空地，其中米，米，米．点在边上，点在边上，米，米，在范围内种植谷物． 思考探究： （1）种植谷物的面积为_________平方米． 方案设计： 现需要在剩余空地上分割出一块三角形空地种植玉米（为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同． （2）可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案． ①欣欣的方案：如图2，在边上选取一点，在边上选取点，当时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同，求此时的长． ②彤彤认为还有其他全等情况也符合设计要求，请直接写出其他符合设计要求的方案中的长．（点在边上，点在边上） （3）畅畅想到了利用中线分割的方法，如图3，选取的中点，连接，选取的中点，连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地．请说明畅畅的想法是否正确，并说明理由． 21．在校运动会上，某校七年级⑴班的同学为了给参加比赛的同学加油助威，每人提前制作了一面同一规格的直角三角形彩旗．小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角（如图1），他想用如图2所示的长方形彩纸重新制作一面彩旗．请你帮助小明，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 22．如图，已知BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线，在BE的延长线上取点P，使PB＝AC，在CF的延长线上取点Q，使CQ＝AB．求证：AQ⊥AP. 23．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． (1)判断FC与AD的数量关系，并说明理由； (2)若∠D=90°，AE平分∠BAD，求证：BE平分∠ABC． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C B C A D C D 题号 11 12 答案 D D 1．B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由全等三角形的性质得到即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ． 故选B． 2．C 【分析】利用得到对应边和对应角相等可以推出①③，根据对应角相等、对应边相等可推出②④⑦，再根据全等三角形面积相等可推出⑤，正确；根据已知条件不能推出⑥． 【详解】解：①∵ ∴故①正确； ②∵ ∴即：，故②正确； ③∵ ∴； ∴即：，故③正确； ④∵ ∴； ∴，故④正确； ⑤∵ ∴，故⑤正确； ⑥根据已知条件不能证得，故⑥错误； ⑦∵ ∴； ∴，故⑦正确； 故①②③④⑤⑦，正确的6个． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解答此题的关键． 3．D 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据三角形内角和定理求得，然后由全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：全等三角形的对应角相等． 【详解】解：如图， ， ∵图中的两个三角形全等， ∴． 故选：D． 4．C 【分析】根据全等三角形的性质得出，进而根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴, ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 5．B 【分析】利用边角边即可证明△ACE与△DCB全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠CAM＝∠CDN，再利用角边角证明△ACM≌△DCN，根据全等三角形对应边相等可得CM＝CN，DN＝AM，同理可证明△BCN≌△ECM，根据全等三角形对应边相等可得BN＝EM，根据三角形面积公式求出CQ＝CH，即可判断④，根据三角形外角性质推出∠APD＝60°． 【详解】∵△DAC和△EBC都是等边三角形， ∴∠ACD＝∠BCE＝60°， ∴∠ACE＝∠DCB＝120°， 在△ACE与△DCB中， AC＝DC，∠ACE＝∠DCB，CB＝CE， ∴△ACE≌△DCB(SAS)，故①正确； ∴∠CAM＝∠CDN， 在△ACM与△DCN中 ∠CAM＝∠CDN，AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°， ∴△ACM≌△DCN(ASA)， ∴CM＝CN，故②正确； DN＝AM， 在△AMC中，AC＞AM， ∴AC≠DN，故③错误； 过C作CQ⊥DB于Q，CH⊥AE于H， ∵△ACM≌△DCN， ∴△ACM和△DCN的面积相等， ∵DN＝AM， ∴由三角形面积公式得：CQ＝CH， ∴CP平分∠APB，∴④正确； ∵△ACE≌△DCB， ∴∠AEC＝∠DBC， ∵∠ECB＝60°， ∴∠EAC＋∠AEC＝∠ECB＝60°， ∴∠APD＝∠EAC＋∠ABP＝∠EAC＋∠AEC＝60° ∴⑤正确； 故选B. 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形是解题的关键. 6．C 【分析】本题考查了三角形内角和，以及全等三角形性质，根据三角形内角和得到，再利用全等三角形性质推出，最后各角平角的定义，即可解题． 【详解】解：，， ， ， ， 点恰好在的延长线上， ， 故选：C． 7．A 【分析】三角形内角和定理求出的度数，全等三角形的性质，得到，即可得解． 【详解】解：如图，    由三角形的内角和定理，得：， ∵两个三角形全等，由图可知，为对应角， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等． 8．D 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据得到，，，结合直角三角形的性质即可得到答案 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∴， ∴线段和线段相等且互相垂直， 故选：D． 9．C 【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题． 10．D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，在根据线段和差即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 11．D 【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可． 【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键． 12．D 【分析】根据全等三角形的性质，即可． 【详解】∵， ∴，，， ∴①正确； ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵， ∴是等腰三角形， ∴③正确； ∵绕点旋转得到， ∴， ∴， ∴④正确； ∴正确的有：①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转，全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，旋转的性质． 13．∠BAC=∠DAE. 【分析】根据题目中给出的条件AB=AD，AC=AE，要用“SAS”还缺少条件是夹角：∠BAC=∠DAE． 【详解】还需条件∠BAC=∠DAE．理由如下： 在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS）． 故答案为∠BAC=∠DAE． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：SSS，SAS，AAS，ASA． 14．12或32或44 【分析】分两种情况：①当E在线段上时，②当E在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当E在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为秒； ②当E在上，时， ∵， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为秒； ③当E在线段上，时，， 这时E在A点未动，因此时间为0秒； ④当E在上，时，， ， 点E的运动时间为秒． 故答案为：12或32或44． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想分析三角形全等是解决问题的关键． 15．错 【分析】根据全等三角形的性质判断即可. 【详解】解：根据全等三角形的性质可知，两个三角形全等，则对应角、对应边相等，故两个三角形重合. 故答案为错. 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角、对应边相等是解题的关键． 16． 全等形 相等 【解析】略 17．1 【分析】设，且，根据得，，则，由的面积为6得进一步得到，即可得到答案． 【详解】解：设，且， ∵， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：1 【点睛】此题考查了全等三角形的性质、完全平方公式、算术平方根等知识，数形结合是解题的关键． 18．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据完全平方公式变形即可求解． （2）将看成，进而根据，即可求解； （3）设，，根据可得，而，进而根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：（1） 又 ， ； （2）∵，则 故答案为：； （3）∵两块直角三角板全等， ，， 点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上， ，． 设，． ， 又， ， ， ， ， 答：一块直角三角板的面积为16． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 19．见解析 【分析】此题考查全等图形，关键是根据全等图形的性质解答． 根据全等图形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 20．（1）6；（2）①米；②当时，米；（3）正确，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形中线的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． （1）利用三角形的面积公式计算即可； （2）①当时，米，进而可求出的长； ②当时，米，进而可求出的长； （3）根据中线的性质求出的面积，即可判断畅畅的想法是否正确． 【详解】解：（1）∵，米，米， ∴种植谷物的面积平方米． 故答案为：6； （2）①∵， ∴米， ∴米； ②当时， 则米， ∴米； （3）∵米，米， ∴平方米． ∵P是的中点， ∴平方米． ∵Q是的中点， ∴平方米． ∴， ∴畅畅的想法正确． 21．作图见详解 【分析】由题意根据作三角形全等于已知三角形的方法利用ASA，在矩形的较短的边上截取线段等于彩旗的短直角边，再作一角等于彩旗的顶角即可． 【详解】解：如图所示： 　 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及应用与设计作图，熟练并正确利用全等三角形的判定进行分析是解题的关键． 22．见解析 【分析】由垂直定义得∠AEB＝∠AFC＝90°，通过△ABP≌△QCA，根据全等三角形的性质得到∠APB＝∠QAC，由于∠APB＋∠PAE＝∠QAC＋∠PAE，故得到∠PAQ＝90°，可得出结论. 【详解】∵BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线， ∴∠AEB＝∠AFC＝90°， ∴∠ABP＋∠EAF＝90°，∠ACQ＋∠EAF＝90°， ∴∠ABP＝∠ACQ. 在△ABP和△QCA中， ∵ ∴△ABP≌△QCA(SAS)． ∴∠APB＝∠QAC. ∴∠APB＋∠PAE＝∠QAC＋∠PAE， 即180°－∠AEP＝∠PAQ. ∴∠PAQ＝90°， 即AQ⊥AP. 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的SAS、ASA及SSS定理是解答此题的关键. 23．(1)FC＝AD，见解析 (2)见解析 【详解】（1）（1）解：结论：CF=AD． 理由：∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠ECF， ∵E是CD的中点， ∴DE=EC， ∵在△ADE与△FCE中 ∴△ADE≌△FCE（ASA） ∴FC=AD； （2）（2）证明：过点E作EH⊥AB，垂足为H． ∵AD∥BC，∠D＝90°， ∴∠DCB＝90°． ∵AE平分∠BAD，∠D＝90°，EH⊥AB于H， ∴DE＝EH． ∵E是CD的中点， ∴DE＝EC， ∴EH＝EC， ∵∠DCB＝90°，EH⊥AB于H， ∴BE平分∠ABC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$