精品解析：湖南省宁远县第一中学崇德校区2024—2025学年高一上学期12月月考数学试题

宁远一中崇德校区高一年级数学12月份月考 满分：150分；考试时间：120分钟（考试时间12月15周日下午）； 命题人：欧广华；审题人：崔婷、刘昌旻 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. “函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过求解函数和符合条件的的取值，即可得出结论. 【详解】由题意，在中， 当函数在上单调递减时，， 在中，函数是偶函数， ∴，解得：， ∴“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值． 【详解】根据题意， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C 4. 下列函数中，值域为的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果. 【详解】选项：值域为，错误 选项：值域为，正确 选项：值域为，错误 选项：值域为，错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查初等函数的值域问题，属于基础题. 5. 角的终边经过点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出，然后根据三角函数的定义即可得出 【详解】由点得 所以 故选：D 【点睛】本题考查的是三角函数的定义，属于基础题. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由题设得，化弦为切求目标式的值. 【详解】由题设，又. 故选：D 7. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A：利用基本不等式即可判断； 对于选项B：利用“1”的妙用，即可判断； 对于选项C：利用基本不等式即可判断； 对于选项D：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断； 【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当， 即时取等号，故选项A正确； 对于选项B：， 当且仅当，即时取等号，故选项B错误； 对于选项C：由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，故选项C正确； 对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误. 故选：AC. 10. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，由单调性排除A，由奇偶性排除D，BC选项，先求出定义域，可利用函数奇偶性定义判断出为偶函数，进而判断出函数的单调性，得到答案. 【详解】在上单调递减，A错误； 定义域为R，且，故为偶函数， 且的对称轴为轴，且在上单调递增，B正确； 的定义域为，且， 故为偶函数， 又当时，单调递增，故C正确； 因为，故不是偶函数，D错误. 故选：BC 11. 已知定义在上的奇函数满足，若，则（ ） A. 4为的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，即可得出答案. 【详解】对于A：函数为奇函数，则， 则， 则的一个周期为4，故A正确； 对于B：，则函数关于对称，故B正确； 对于C：的一个周期为4， ， 令中的，则， 函数为定义在上奇函数， ， ，故C正确； 对于D：的一个周期为4， ， 函数为奇函数， ， ，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，，则“”是“”的______条件 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】利用必要不充分条件判断即可. 【详解】若，取，，但是无意义， 所以由“”推不出“”， 若“”，则，所以可得， 所以由“”可推出“ ”， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 13. 已知命题：“”为真命题，则的取值范围是______． 【答案】（] 【解析】 【分析】先讨论成立，然后讨论时，利用二次函数的图像求解即可. 【详解】因为命题“”为真命题，当时，成立， 当时，则，解得，故的取值范围是， 故答案为： 14. 已知函数，且时，，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合对数的运算性质求出，根据二次函数的对称性求出，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 因为时，， 由图可知，， 则， 即，所以，所以， 由函数关于对称，可得， 所以， 因为，所以， 即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，结合对数的运算性质求出，根据二次函数的对称性求出，是解决本题的关键. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合．设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】由是成立的必要不充分条件，可知集合是集合的真子集，利用集合的包含关系列不等式求解即可. 【详解】因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，得, 当时，解得，经验证，时符合题意， 综上实数的取值范围是， 16. 已知集合， （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，解对数不等式求集合B，再应用集合交运算求结果； （2）由包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题设，， 所以； 【小问2详解】 由，若，则满足题设； 若，则，即； 综上，. 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据两角和的正切公式运算求解； （2）根据诱导公式结合齐次式问题运算求解. 【小问1详解】 ∵，则， ∴. 【小问2详解】 由（1）可得：， 故. 18. 已知函数 （1）若的值域为，求实数的取值范围； （2）若在内为单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的值域为能取的一切值，建立不等式求解即可； （2）函数在内为单调函数，即在内也为单调函数，注意对数函数定义域，建立不等式求解即可. 【小问1详解】 令，. 的值域为能取的一切值， 所以. 【小问2详解】 因为在内为单调函数，且在定义域内单调递减， 所以在内也为单调函数，且时， 当在内单调递增时，即函数的对称轴且，解得； 当在内单调递减时，即函数的对称轴且，此时无解； 综上所诉：实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：1.的值域为等价于能取的一切值； 2.若在内为单调函数，根据复合函数单调性可知，在内也为单调函数，解题时还需注意函数定义域. 19. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数. （2）在上是单调递增函数. 证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是单调递增函数. （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ①当时，不等式为，这时解集为； ②当时，解不等式得到； ③当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁远一中崇德校区高一年级数学12月份月考 满分：150分；考试时间：120分钟（考试时间12月15周日下午）； 命题人：欧广华；审题人：崔婷、刘昌旻 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 4. 下列函数中，值域为的是 A. B. C. D. 5. 角的终边经过点，则 A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知正数满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在上的奇函数满足，若，则（ ） A. 4为的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，，则“”是“”的______条件 13. 已知命题：“”为真命题，则的取值范围是______． 14. 已知函数，且时，，则的取值范围为____________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合．设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知集合， （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知函数 （1）若的值域为，求实数的取值范围； （2）若在内为单调函数，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $