5.1.2导数的概念及几何意义课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

导数的概念及其几何意义 物理问题： 跳水运动员起跳后的速度问题 几何问题： 抛物线的切线斜率问题 切线斜率 割线斜率 瞬时速度 平均速度 瞬时变化率 平均变化率 取极限 取极限 取极限 逼近 知识回顾 探究：对于函数 y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法研究其在某点 (如 x ＝ x0）处的瞬时变化率吗？ 追问1：自变量x从x0变化到x0＋∆x，函数值的平均变化率如何表示？ 自变量 x ： 函数值 y ： 函数 y＝f (x) 从 x0 到 的平均变化率： 函数 y＝f (x) ∆y ∆x 可正、可负、不能为0 新知探究 一、导数(瞬时变化率)的定义 若∆x→0时，平均变化率无限趋近于唯一一个确定的值， 即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导， 并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)， 记作或， 即= 新知探究 导数的概念 如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率)，记作或， 即 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 新知生成 1、对导数概念的理解 1. f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 2. f′(x0)与∆x的具体取值无关，f′(x0)是一个常数； 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 新知生成 2、用导数定义求函数y=f(x)在x=x0的导数的基本步骤： ①计算函数的平均变化率并化简； ②求极限，若极限值存在，则导数f '(x0)= 一差、二比、三极限 利用导数的定义求导数 新知应用 理解可导的含义 思考：根据导数的定义判断，函数f(x)=|x|在x=0处是否可导? 新知应用 l 例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度(单位：)为.计算第与第时，原油温度的瞬时变化率. l 新知应用 思考：= 和 在这个实际问题中的意义是什么？ 在第和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和. 意义：在第附近，原油温度大约以的速率下降； 在第附近，原油温度大约以的速率上升. 3.一质点A沿直线运动，位移s(单位: m)与时间t(单位: s)之间的关系为s(t)=2t2+1，求质点A在t =2.7 s时的瞬时速度. 故质点在2.7 s时的瞬时速度为10.8 m/s. ①若位移关于时间的函数为s(t)，则s'(t0)表示函数s(t)在t＝t0时刻的瞬时速度，v(t0)=s'(t0). ②若速度关于时间的函数v(t)，则v'(t0)表示函数v(t)在t＝t0时刻的瞬时加速度，a(t0)=v'(t0). 课本练习P66 新知应用 课本练习P66 新知应用 反映了函数 y＝f (x) 在 x＝x0 附近的变化情况 知识回顾 我们知道，导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况. 探究：导数的几何意义是什么？ 新知探究 问题1：观察函数的图象，平均变化率表示什么？ 容易发现，平均变化率表示割线的斜率. 平均变化率的几何意义 新知探究 问题2：观察右图，当点 P 沿着曲线y=f(x)趋近于点 P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？ 在P沿着曲线y=f(x)趋近于点 P0 时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线. x f (x) 新知探究 问题3：瞬时变化率表示什么？ 割线的斜率.记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数. 因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即 . 这就是导数的几何意义. 新知探究 点 P → 点 P0 割线 P0 P 的斜率 k 切线 P0 T 的斜率 k0 函数 y＝f (x) 在 x＝x0 处的导数 曲线 y＝f (x) 在点 P0 (x0，f (x0)) 处切线的斜率 k0 数形 转化 新知探究 1、已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则曲线 y＝f(x)在点P处的切线方程是(　　) A．x＋y－1＝0　　B．x－y－1＝0 C．x＋y－2＝0 　 D．x－y－2＝0 3、 求曲线点(1,-1)处的切线方程. 解： 导函数的定义 思考： y=f ′(x)与y=f ′(x0)有什么区别与联系 ？ l （3）函数在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是导函数 f ′(x) 在 x = x0 处的函数值，这也是 求函数在点 x0 处的导数的方法之一。 问题：函数在点x =x0处的导数f ′(x0)、导函数 y = f ′(x)、导数之间有什么区别与联系呢？ （1）函数在一点x0处的导数 f ′(x0) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，是一个确定的值。 （2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数 f (x)的导函数 f ′(x)，它是一个变量，是函数 。 l l 方法总结 1.导数的概念; 2.导数的几何意义; 3.导函数的概念. 是函数 在 处切线的斜率. 1、已知函数f(x)＝x2－eq \f(1,2)x.求导函数f′(x). 解：∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－eq \f(1,2)Δx， ∴eq \f(Δy,Δx)＝2x＋Δx－eq \f(1,2). ∴f′(x)＝eq \o(lim,\s\do16(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝2x－eq \f(1,2). 由导数的定义可知，求函数y＝f(x)的导数的一般方法是： (1)求函数的变化量Δy＝f(x＋Δx)－f(x). (2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx). (3)取极限，得导数y′＝eq \o(lim,\s\do16(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx). $$