5.1.1变化率问题课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

变化率问题 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关： ①求物体在任意时刻的速度与加速度等； ②求曲线的切线； ③求已知函数的最大值与最小值； ④求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一. 牛顿(1623~1727) 莱布尼兹(1646~1716) 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。 新知引入 2 在一次高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=﹣4.9t²＋4.8t＋11. 思考1：你能否根据经验描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度？ 分析：在上升阶段越来越慢，在下降阶段越来越快 可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态. 问题1 高台跳水问题 新知探究 在一次高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=﹣4.9t²＋4.8t＋11. 问题1 高台跳水问题 新知探究 思考2：如何求运动员起跳后t1≤t≤t2这段时间的平均速度？ 思考3：计算运动员在0≤t≤秒内的平均速度？你发现了什么？ 但运动员在这段时间里并不处于静止状态. 即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态. 瞬时速度 思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区别？ 你能否利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？ 瞬时速度是某一时刻的速度； 平均速度是某一时间段内的速度. 设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是， 若不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度. 新知探究 为了求运动员在t=1时的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+ Δt ， Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是，若不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在t0时刻的瞬时速度. 思考5：你能否利用上述关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？ 新知探究 探究：你能否利用上述关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？ v(1)=﹣5m/s 我们发现，当△t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于﹣5. 新知探究 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格. 新知探究 观察上表，我们发现当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？ 从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.因此，运动员在时的瞬时速度. 在数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为. 我们发现，当△t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于﹣5. 逼近(极限)思想 新知探究 (1)瞬时速度：物体在_________的速度称为瞬时速度.(2)瞬时速度的计算：设物体运动的时间与位移的函数关系式为y＝h(t)，则物体在t0时刻的瞬时速度为______________________. 某一时刻 瞬时速度 新知生成 平均速度与瞬时速度的关系： 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 2. 瞬时速度： 无限逼近 取极限 物体运动的平均速度 物体运动的瞬时速度 新知探究 思考：求运动员在t=2s时的瞬时速度. 思考：求运动员在t=t0s时的瞬时速度. 新知探究 解析：A　Δs＝(3＋Δt)2＋3－(32＋3)＝6·Δt＋(Δt)2. 新知应用 追问2：若求在t=3时的瞬时速度，则等于多少？ 追问1：若求在这个时间段的平均速度，则等于多少？ 求运动物体瞬时速度的步骤: 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下： ①写出时间改变量Δt，位移改变量Δs,Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0); ②求平均速度： ； ③求瞬时速度v：当Δt→0时， →v是常数. 新知应用 1. 求问题1中高台跳水运动员在t=0.5 s时的瞬时速度. 课本练习P61 新知应用 15 2. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 课本练习P61 新知应用 16 3. 一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时间t (单位: s) 之间的关系为 y(t)=－4.9t2 . 求t =1 s时小球的瞬时速度. 课本练习P62 新知应用 17 问题2.抛物线的切线斜率 如果一条直线与一个圆只有1个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 如果一条直线与一条抛物线只有1个公共点，那么这条直线与抛物线相切吗？ 问题：对于一般的曲线，如何定义它的切线呢？ 下面以抛物线 f(x)=x2为例进行研究. 在点P0(1, 1)附近任取一点P(1+△x, (1+△x)2) 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T， 故把直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线. 思考6：如何定义抛物线 f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？ 新知探究 切线位置 割线位置 无限逼近 思考7：如何求抛物线 f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0？ 切线位置 割线位置 无限逼近 本质：切线斜率是割线斜率的极限 切线斜率 割线斜率 无限逼近 取极限 新知探究 思考8：如何求抛物线 f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0？ 切线斜率 割线斜率 无限逼近 新知探究 1、你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线?如何求该点处的切线斜率呢？ 故抛物线在点P0(x0，x02)处的切线斜率为2x0. 课本练习P64 新知应用 2、求抛物线y=x2+1在点(0,1)处的切线切线方程. 课本练习P64 新知应用 求函数在某点处的切线方程的步骤： 3、试计算曲线y=x2+2x在点(2,8)处的切线斜率，并求该切线方程. Lavf58.46.101 Lavf58.46.101 Lavf58.46.101 $$