1.1 第1课时 锐角三角函数的概念 课件 2024－2025学年浙教版数学九年级下册

第1章 解直角三角形 1.1 第1课时 锐角三角函数的概念 直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出各条边的名称吗？ ┓ C 斜边 c 邻边 对边 a b C ┓ A B 知识回顾 小红出发地 小强出发地 小红、小强两位同学星期天去爬山。 情景导入 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 3 A 30° B C 45° D 西坡 东坡 小红 小强 小红在上山过程中，下列哪些量是变量，哪些量是常量(倾斜角，上升高度，所走路程)？ 如果小红从山脚开始走，走到斜坡上任意位置时，这时上升的高度和所走路程的比值变化吗？ (山顶) 小强呢? 本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 4 根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 获取新知 一起探究 A 30° B C * 西坡 A 30° B C H D 当锐角为30°时，上升高度 与所走路程的比值是 ． (山顶) 获取新知 一起探究 根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 . 6 45° B C D 东坡 E F (山顶) 当锐角为45°时，上升高度 与所走路程的比值是 ． 由∠C=90°，∠D = 45°，得DC=BC 由勾股定理得：BD2=BC2+DC2=2BC2 得BD=BC， 因此== 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 7 dell (d) - 根据从特殊到一般的认知规律，让学生初步感知角度与比值的一一对应关系，从而化解本课的难点. 已知一个50o的∠MAN,在边AM上任意取一点B，作BC⊥AN于点C.用刻度尺先量出BC,AB的长度(精确到１毫米),再计算 的值(结果保留2个有效数字),并将所得的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？ A M N 50O 一起探究 8 所以　　 ＝ ＝ Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3 观察右图中的Rt△AB1C1，Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的对边与斜边有什么关系？ 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值. 锐角的正弦揭示的两边的比值，这个比值是有这个锐角决定的，和相关的两边没有单独的关系；可以和物理中的电阻做类似对比有助于理解. Administrator (A) - 本页揭示了一个锐角的正弦是一个唯一的比值；也可以说明一个锐角对应唯一的正弦，所以相似三角形的对应角的正弦值是相等的 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即 A B C c a b 对边 斜边 归 纳 ∠A的对边 斜边 sin A = 一个角的正弦表示定值、比值、正值． 在直角三角形中， 对于锐角A的每一个确定的值，其邻边与斜边、对边与邻边的比值也是唯一确定的吗？ 获取新知 如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 证明：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°， ∴∠B=∠E， 从而 sinB = sinE， 因此 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 如图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 归 纳 A B C 斜边 邻边 ∠A的邻边 斜边 cos A = 如图所示， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F ∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF 即 BC · DF = AC · EF ， ∠A=∠D ，∠C =∠F = 90°， 证明：∵ ∴ ∴ 由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 　　如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即 ∠A的对边 ∠A的邻边 tan A = A B C 邻边 对边 归 纳 如果∠A是Rt△ABC的一个锐角（如图），则有 sinA= cosA= tanA= 你能求出sinA与cosA的取值范围吗？ 0<sinA<1，0<cosA<1. 总 结 ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A 的三角函数. 16 1．sinA，cosA，tanA 是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)． 2．sinA， cosA，tanA 是一个比值（数值）． 3．sinA， cosA， tanA 的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关． 注 意 ∴sinA= cosA= tanA= 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，BC=3．求∠A的正弦、余弦和正切． 解： 如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=3， ∴AC= 例题讲解 在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值 通过本例让学生进一步熟悉直角三角中边角之间的关系以及互余角之间的三角函数关系。对三角函数定义实现由模糊到清晰的转变。对难点的突破起一定的分散作用，并进一步落实教学目标，激发学生对下一组练习的期待。 A B C 6 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sinA = ，求 cosA、tanB 的值. 解：∵ 又 ∴ 在直角三角形中，如果已知一边长 及一个锐角的某个三角函数值，即可求 出其它的所有锐角三角函数值。 例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． A B C 2 3 延伸：由上面的计算，你能猜想∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？ 结论：一个锐角的正弦等于它余角的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角的正弦. ★归纳求三角函数值的一般步骤：1.构图2.找到对、邻、斜（隐含勾股定理）3.利用边角关系求值 * Administrator (A) - 本题揭示了互余锐角的三角函数间的关系，为利用转化解决三角函数问题提供了一种新的思路，老师在此处应当点明这样的结论 1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13. sinA=______，cosA=______，tanA=____， sinB=______，cosB=______，tanB=____。 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3. sinA=_______，cosA=_______，tanA=_____， sinB=_______，cosB=_______，tanB=_____. 随堂演练 A B C 8 解：∵ 3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tanA= ， 求sinA，cosB 的值. ∴ ∴ ∴ 4.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8.求 tanB 的值. 解: ∵ ∠ACB＝ ∠ADC =90°， ∴∠B+ ∠A=90°， ∠ACD+ ∠A =90°， ∴∠B = ∠ACD， ∴ tan∠B = tan∠ACD = 5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，求 sinA、tanA 的值． 解： A B C 设 AC = 15k，则 AB = 17k. ∴ ∴ 6.如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：过点P作PA⊥x轴，P (3，4)， ∴A (3，0) A (0，3) 在△APO中，由勾股定理得 因此 α 方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 7. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及tanB 的值. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D. ∵ AB = AC， ∴ BD = CD = 3， 在 Rt△ABD 中 ∴ tanB = A B C ∴ D 【方法点拨】求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形. 锐角三角函数 在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦 ∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关 在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切 余弦 正切 性质 课堂小结 正弦 在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦 应用 已知边长求锐角函数值 已知锐角函数值求边长 $$