5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

5.6 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用 教学设计 1、 教学目标 1. 通过本节课的学习,掌握用 “五点法”画函数 的图象的方法. 达到直观想象核心素养学业 质量水平一的层次. 2. 通过本节的学习, 进一步体会从特殊到一般, 再从 一般到特殊的思想方法; 进一步体会数形结合的思想方 法, 特别是会提取图象提供的信息. 达到直观想象和逻辑 推理核心素养学业质量水平二的层次. 3. 能够应用函数 的图象解决实际问 题. 达到数学建模和数学运算核心素养学业质量水平二的 层次. 2、 重点难点 教学重点：用“五点法”画函数 的图象,函数 的有关性质和应用. 教学难点：函数 的有关性质和应用. 3、 学情分析&教材分析 本节内容所涉及的主要数学核心素养有:直观想象、数学抽象、数学运算等. 对学生而言,前面已经学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质,对三角函数的图象可以说已经有了初步的了解.在前面的内容中学习的是的问题,与比较,相当于,是函数的特例,有了前面的基础,相信学生学习起来还是比较感兴趣的. 4、 学习目标 1.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤． 2.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 5、 导入新知 一、导入新课 做简谐运动的单摆对平衡位置的位移 与时间 的 关系、交流电的电流 与时间 的关系等都是形如 的函数,这种函数我们称为正弦型函数. 那 么怎样画正弦型函数的图象呢? 正弦型函数又有什么性 质呢? 这节课我们来学习相关内容. 二、新知探究 思考 你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到图象的过程与方法吗？ 一般地，函数的图象，可以用下面的方法得到：先画出函数的图象，再把正弦曲线向左(或右)平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数的图象． 这一过程的步骤如下： x y O x O y 步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 归纳总结:用“五点法”画出 的图象的步骤: (1) 列表. 先由 分别求出 ,再 由 的值求出 的值,列出下表: 0 2元 0 A 0 0 (2) 在直角坐标系中描出各点. (3) 用光滑曲线连接这些点, 得到一个周期内的图象. (4) 利用函数的周期性, 通过左右平移得到整个图象. 6、 应用新知 例2 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图5.6-9，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min． (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动min后距离地面的高度为m，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式; (2)求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地 的高度差(单位：m)关于的函数解析式，并求高度差的最大值(精确到0.1) 分析：摩天轮上的座舱运近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转．在旋转过程中，游客距离地面的高度呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画． 解： 如图5.6-10，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． (1) 设min时，游客甲位于点，以为终边的角为，根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约为rad/min，由题意可得 (2)当时， 所以，游客甲在开始转动min后距离地面的高度约为37.5m (3) 如图5.6-10，甲、乙两人的位置分别用点表示，则．经过min后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后rad，此时乙距离地面的高度为．则甲、乙距离地面的高度差 ， 利用，可得， 当 (或)，即 (或)时，的最大值为． 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m． 设计意图：通过对典型问题的分析解决，发展学生数 学建模、逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算等核心 素养. 【变式】 如图，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为 ． （1）求，，，的值（精确到）； （2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点（精确到）？ 解析(1)，，，， 当时，，，． (2) 令，，， ． 即盛水筒出水后至少经过15.24 s就可到达最高点 7、 能力提升 题型一　求三角函数的解析式 【练习1】已知函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据图象求出的解析式，再根据图象的平移法则即可得答案. 【详解】解：由题意可得， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以只需将的图象向左平移个单位，即可得的解析式. 故选：C. 【感悟提升】求函数y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ. (1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|. (2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω. (3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中φ的值的两种方法： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知，最好是代入图象与x轴的交点)求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”为ωx＋φ＝2π. 题型二　三角函数图象与性质的综合应用 【练习2】已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函数解析式； （2）由求出的范围，再求出的取值范围，即可求得函数的取值范围. 【详解】（1）由图象可知，，， 设最小正周期为，，∴， ∴， 又∵，且， ∴，，∴， ∴函数的解析式为. （2）当时，，， ∴函数的取值范围是. 【感悟提升】三角函数图象与性质综合问题的解题技巧 (1)单调区间的求解技巧 ①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间； ②确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间进而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间． (2)奇偶性的求解技巧 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． (3)最值的求解技巧 当ωx＋φ＝2kπ±(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值或最小值． (4)对称性的求解技巧 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出，其对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出；同理y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，对称中心的横坐标由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出． 题型三　y＝Asin(ωx＋φ)在匀速圆周运动中的应用 【练习3】某挂钟秒针的端点A到中心点O的距离为20 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，A与B两点距离地面的高度差h(cm)与t(s)存在函数关系式，则解析式h(t)＝________，其中t∈[0，60]，一圈内A与B两点距离地面的高度差不低于30 cm的时长为________ s. 答案：20－20cost　20 解析：经过t s，秒针转过的圆心角为－t，得h(t)＝20－20sin＝20－20cost.由20－20cost≥30，得cost≤－，又0≤t≤60，故0≤t≤2π，得≤t≤，解得20≤t≤40，故一圈内A与B两点距离地面的高度差h不低于30 cm的时长为20 s. 【感悟提升】匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响．还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系． 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)平移变换． (2)伸缩变换． (3)图象的画法． 2．方法归纳：五点法、数形结合法． 3．常见误区：忽视先平移和先伸缩作图时平移的量不一样． 1.你能说一说怎样用“五点法”画函数 的图象吗? 2.你能根据函数的图象写出其解析式吗? 3.你能总结一下本节用到的数学思想 方法吗? 【设计意图】教师提出问题,学生讨论. 学生小组合作总结,选出代表 表述. 学生回答后教师加以点评、补充. 本节蕴含的数学思想方法:数形 结合,从特殊到一般,从一般到特殊, 转化与化归等. 9、 作业设计 1. 教材第 241 页习题 5.6 第 4 ,5 题. 2. 选做题 教材第 241 页习题 5.6 第 7 题. 10、 板书设计 第 2 课时 函数 的 3.三角函数图象变换的综合应用 4.三角函数的实际应用 小结 图象变换和应用 例 3 例 4 作业 1.用“五点法”画函数图象 例 1 练习 巩固训练 2. 根据函数图象求解析式 例 2 练习（第239页） 1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 1．解析： 各函数在长度为一个周期的闭区间上的简图分别如下图（1）~（4） 2．已知函数的图象为． （1）为了得到函数的图象，只需把上所有的点（ ） （A）向右平行移动个单位长度 （B）向左平行移动个单位长度 （C）向右平行移动个单位长度 （D）向左平行移动个单位长度 （2）为了得到函数的图象，只需把上所有的点（ ） （A）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 （B）横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 （C）纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 （D）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 （3）为了得到函数的图象，只需把上所有的点（ ） （A）横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 （B）横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 （C）纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变 （D）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 2．答案(1)C (2)B (3)C 解析(1)图象向右平移个单位长度，得到的图象 (2) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变)，得到图象． (3) 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到的图象．(要分清到底是哪个发生了变化，才能得出正确的结论) 3．函数的图象与正弦曲线有什么关系？ 3．解析：，振幅为，周期，频率． 图象与的图象的关系：先将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象；然后在纵坐标保持不变的情况下将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象；最后在横坐标保持不变的情况下将各点的纵坐标缩短到原来的得到的图象． 4．函数的图象与正弦曲线有什么关系？ 4．解析：将正弦曲线在区间内的所有点向左平移个单位长度，就得到的图象 习题5.6（第240页） 复习巩固 1．选择题 （1）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ） （A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 （C）向左平行移动个单位长度 （D）向右平行移动个单位长度 （2）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ） （A）横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 （B）横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 （C）纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 （D）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 （3）为了得到函数的图像，只需把余弦曲线上所有的点（ ） （A）横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 （B）横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 （C）纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 （D）纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 1．答案(1)C (2)A (3)D 2．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．解析：各个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图分别如下图(1)~(4)． 3．说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到（注意定义域）： （1），； （2），． 3．解析(1)先将正弦曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到的图象；然后将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到的图象；再将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的8倍(横坐标不变)，得到的图象；最后将所得函数的图象把轴左侧的部分抹去，就得到的图象． (2)先将正弦曲线上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象；然后将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象；再将所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的横坐标不变)，得到的图象；最后将所得函数的图象把轴左侧的部分抹去，就得到的图象． 综合运用 4．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 ． 4．答案 解析：由题图易知，，， ， ， ， ，又，． 5．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，求的解析式． 5．解析： 6．某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合．将，两点间的距离（单位：cm）表示成（单位：s）的函数，则 ，． 6．答案： 解析：， ． 7．如图，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为 ． （1）求，，，的值（精确到）； （2）盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点（精确到）？ 7．解析(1)，，，， 当时，，，． (3) 令，，， ． 即盛水筒出水后至少经过15.24 s就可到达最高点 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$