5.1.2数据的数字特征课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第五章 统计与概率 5.1.2 数据的数字特征 人教B版（2019） 2.能结合实际情境选择合适的数字特征反映数据的相应特点，能够对数据进行灵活处理，简化运算. 学习目标： 1.结合具体实例能正确求解数据的平均数，众数，中位数，百分位数等数字特征. 情境与问题 如下是某学校高一（1）班和高一（2）班某一次期中考试的语文成绩，试从不同的角度对两班成绩进行对比. 高一（1）班期中考试语文成绩 69 84 69 80 75 70 75 71 87 70 80 84 73 81 81 73 66 78 68 79 73 75 76 76 70 74 71 86 63 88 高一（2）班期中考试语文成绩 76 86 74 82 77 68 62 82 72 82 76 81 84 79 67 78 70 72 81 89 81 77 72 77 67 67 72 79 81 75 75 84 当面对一组数据时，相比每一个观测值，有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值． 例如，上述情境中的两个班的成绩，我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较． 1.最值 概念形成： 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况. 一般地，最大值用 max 表示，最小值用 min 表示. 如果给定的一组数是 x1，x2，···，xn，则这组数的平均数为 简记为： ， 其中“ ”表示求和，读作“西格玛”， “i”表示求和的范围，其最小值和最大值分别写在 的下面与上面. 如： ， . 2.平均数 作用：刻画一组数据的平均水平 问题 1：某武术比赛中，共有 7 个评委，计分的规则是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，然后把其他分数的平均数作为选手的最后得分，按照这样的规则，根据以下数据，计算三位选手的最后得分： 选手 评委 1 评委 2 评委 3 评委 4 评委 5 评委 6 评委 7 最后得分 甲 90 88 93 93 92 92 96 乙 92 96 95 92 89 92 95 丙 91 91 88 91 98 93 92 甲：去除最高分 96，最低分 88，剩余分数平均分为： 同理可得， ， . 92 93.2 91.6 尝试与发现 问题2：从数学的角度讨论，说说为什么要去掉一个最高分与最低分后再计算平均数？并说说平均数有什么特点？ 平均数会受每一个数的影响，尤其是最大值、最小值. 为避免过于极端的值影响结果太大等，会去掉最低分与最高分后再计算平均数. 思考：若把最高分与最低分之外的分数总分作为选手的最后得分，这样的计分规则与前面的规则是否有本质上的区别. 计算甲最后得分时，去掉 88、96 之后，可先把其余数都减去 92，得到新的数为 -2，1，1，0，0，因为这组新数的平均数为 0，所以可知甲的最后得分为 92. 拓展：如果 x1，x2，···，xn 的平均数为 ，且 a，b 为常数， 则 ax1 + b， ax2 + b，···， axn + b 的平均数为 . 尝试与发现 有甲、乙两个组，每组有 6 名成员，他们暑假读书的本数分别如下： 甲组：1，2，3，3，4，5； 乙组：0，0，1，2，3，12. （1）分别求出两组数的平均数； （2）平均数是否很好地表示了每一组数的中心位置？如果没有，可以选择什么数来表示？ 3.中位数、百分位数 中位数：一组数据从小到大或从大到小的顺序排列 （1）当数据个数为奇数时,中位数指的是中间位置的数值； 即从小到大排列后为x1, x2··· x2n+1 ,则中位数为xn+1. （2）当数据个数为偶数时,中位数指的是中间两个数的平均值； 即从小到大排列后为 x1, x2··· x2n ,则中位数为 尝试与发现 指出甲乙两组数的中位数，并思考：中位数是否能比较全面地体现数据的分布特点？如果不能，有什么补救的办法？ 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13 乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15 当数据个数较多时，如果仅仅知道中位数，是不足以了解这组数的分布特点的，可借助多个百分位数来了解数据的分布.． 百分位数：一组数的p%(p∈(0,100)) 分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值,且至少有(100-p)%的数据不小于该值. 直观来，一组数的p%(p∈(0,100)) 分位数指的是：将这组数据从小到大排序后，处于p%位置的数.（如中位数是一个 50% 分位数） （3）经常使用25%分位数（简称为第一四分位数）、75%分位数 （简称为第三四位分位数）与50%分位数（中位数） 注：（1）p%可能不唯一. （2）0分位数是,最小值,100%分位数是最大值. 确定p％分位数的步骤： ①排序：一组数从小到大排序后为 , ②计算：求i=np%的值, ③判断：如果i不是整数,设为大于i 的最小整数,取为p%分位数, 如果i是整数,取为p%分位数. 情境与问题 某班级准备利用暑假去进行研学旅行，为了便于识别，他们准备定做一批容量一致的双肩包，为此，活动负责人征求了班内同学的意向，得到了如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 频数 3 2 5 21 2 2 你认为应该定做什么容量的双肩包？为什么？ 为了照顾到绝大多数人的需求，此时应该定做容量为29 L的双肩包，这里的29就是上述数据的众数． 一组数据中,某个数据出现的次数称为频数,出现频数最多的数据称为这组数据的众数. 四、众数 [解]　(1)将甲按从小到大的顺序排列为：18.8,18.9,19,19.2,19.5,19.5,19.5. 则甲组数众数为19.5，中位数为19.2，平均数为＝19.2. 乙组数众数为5，中位数为4，平均数为＝4. (2)∵7×25%＝1.75,甲的25%分位数是第2个数18.9, 7×75%＝5.25,甲的75%分位数是第6个数19.5, 7×90%＝6.3，甲的90%分位数是第7个数19.5, ∵20×25%＝5,20×75%＝15,20×90%＝18， 故乙的25%分位数为3, 75%分位数为5, 90%分位数为5.5. 8.一家鞋店在一段时间里销售了某种女鞋20双，其中各种尺码的鞋的销量如表所示： 鞋的尺码（cm） 30 28 20 23 21 25 销售量（双） 5 1 2 3 5 4 指出鞋的尺码这组数据的众数、中位数、平均数. 解：众数是21，30； 先排序：20,20,21,21,21,21,21,23,23,23,25,25,25,25,28,30,30,30,30,30. 总共2个数，中间两个数是23，25，中位数是 (23+25)÷2=24 根据今天所学，回答下列问题： 1. 简述一组数据中最值、平均数、中位数、百分位数、众数的概念及它们的数字特征； 2. 如何求解一组数据中的平均数、平均数、中位数、百分位数？ 课堂总结 $$