课时6.1 圆周运动-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（人教版2019必修第二册）

第六章 圆周运动 课时6.1 圆周运动 2022年课程标准 物理素养 2.2.3 会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动。知道匀速圆周运动向心加速度的大小和方向。通过实验，探究并了解匀速圆周运动向心力大小与半径、角速度、质量的关系。能用牛顿第二定律分 析匀速圆周运动的向心力。了解生产生活中的离心现象及其产生的原因。 物理观念：理解圆周运动及匀速圆周运动的特点，知道圆周运动是曲线运动，因此一定是变速运动；掌握描述圆周运动的基本物理量，包括线速度、角速度、周期和转速等，理解它们的物理意义以及它们之间的关系。 科学思维：能确定线速度和角速度，理解线速度、角速度、周期、转速等各量的相互关系，并能够运用这些关系进行简单的计算；运用物理学原理分析问题，特别是运用圆周运动的原理来理解和解释相关现象。 科学探究：通过观察圆周运动的实例，进行相关的实验，来探究圆周运动的规律；引导学生运用观察、实验等方法。 科学态度与责任：激发学生对物理现象的好奇心和探究欲望，使其在面对未知问题时能积极寻求解决方案；增强学生的环保意识和社会责任感，使其关注科学技术对社会发展的影响。 知识点一、线速度 1.圆周运动 （1）定义：轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动称为圆周运动。 （2）性质：圆周运动是曲线运动，速度方向时刻变化，所以一定是变速运动。 特别提醒 圆周运动是曲线运动的一种特殊情况。和一般的抛物线等曲线运动相比，圆周运动的轨迹是规则的圆形或圆弧。 2.线速度v （1）定义：质点通过的圆弧长s跟所用时间t的比值。 （2）定义式： （3）单位：米/秒（m/s） （4）方向：由于速度是矢量，既有大小，又有方向。线速度的方向为沿圆周某点的切线方向，时刻变化。 （5）物理意义：描述物体做圆周运动快慢的物理量，当△t足够小时，其物理意义与瞬时速度的物理意义相同。 特别提醒 如图所示，物体在△t时间内沿圆弧右A运动到B，通过的弧长为△s，通过的位移为△l，注意当△t足够小时，圆弧AB与线段AB几乎没有差别，此时弧长△s近似等于物体由A到B的位移△l。即当△t→0，为物体过A点的瞬时速度，方向为物体做圆周运动时在A点的切线方向。 3.匀速圆周运动 （1）定义：物体沿着圆周运动，且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。 （2）性质：由于匀速圆周运动的线速度方向时刻都在变化，故匀速圆周运动是一种变速运动。 特别提醒 匀速圆周运动中的“匀速”是指线速度的大小（速率）不变，而匀速直线运动中的“匀速”是指速度的大小和方向都不变，两者意义不同。 线速度中的“线”主要强调且区别于后面讲的圆周运动中的角速度。 知识点二、角速度 周期 1.角速度ω （1）定义：质点所在的半径转过的角度△θ跟所用时间△t的比值,叫作角速度，用ω表示。 （2）公式： （3）单位：弧度/秒（m/s） （4）物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。 特别提醒 角速度是矢量，中学阶段不作研究，匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。角的单位是度，在国际单位制中，角的单位是弧度，若用s表示圆上的某段弧长，r表示该圆的半径，则这段弧度对应的弧度，1π＝180°，2π＝360°。 2.周期 （1）定义：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，叫周期，用“T”表示。 （2）单位：秒（s）。 3.频率 （1）定义：1s内完成圆周运动的圈数，用f表示。 （2）单位：赫兹（Hz） 4.转速 （1）定义：单位时间内转动的圈数，用n表示。 （2）单位：转/秒（r/s）,转/分（r/min）,转/时（r/h）。 特别提醒 对描述匀速圆周运动的物理量的理解 1.线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢,但它们描述的角度不同。线速度v描述质点沿圆周运动的快慢,而角速度ω、周期T、转速n描述质点绕圆心转动的快慢。 2. 要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用某一个物理量是不够的。例如,地球围绕太阳运动的线速度约是3×104m/s,这个数值是较大的,但地球绕太阳转动的角速度却很小,其值约为2×10-7rad/s。因此要想全面准确地描述圆周运动的快慢,既要用线速度也要用角速度。 知识点三、描述圆周运动的各物理量之间的关系 1.圆周运动各物理量之间的关系 （1）线速度与周期的关系： （2）角速度与周期的关系： （3）线速度与角速度的关系： （4）周期与频率的关系： （5）频率与转速的关系：当转速的单位为r/s时，频率与转速相等。 2.关系式v＝ωr的理解 （1）半径r一定时，线速度v与角速度ω成正比，即。 （2）角速度ω一定时，线速度v与半径r成正比，即。 （3）线速度v一定时，角速度ω与半径r成反比，即ω1r1＝ω2r2。 知识点四、常见传动装置及其特点 1.同轴传动 （1）模型：A、B两点在两个同轴的圆盘上。 （2）特点：A、B两点角速度、周期和频率相同，转动方向相同。 （3）规律：线速度与半径成正比。 2.皮带传动 （1）模型：两个轮子用皮带连接（不打滑），A、B两点分别是两个轮子边缘上的点。 甲 乙 丙 丁 （2）特点：A、B两点线速度的大小相等，甲、乙、丙图中转动方向相同，丁图中转动方向相反。 （3）规律： ①角速度与半径成反比。 ②周期与半径成正比 3.齿轮传动 （1）模型：两个齿轮彼此啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点；N1、N2是两齿轮的齿轮数。 （2）特点：A、B两点线速度的大小相等，转动方向相反。 （3）规律： ①角速度与半径成反比，与齿轮数成反比。 ②周期与半径成正比，与齿轮数成正比。 4.摩擦传动 （1）模型：两摩擦轮靠摩擦进行传动，A、B两点分别是两轮边缘上的点。 （2）特点：A、B两点线速度的大小相等，转动方向相反。 （3）规律： ①角速度与半径成反比，与齿轮数成反比。 ②周期与半径成正比，与齿轮数成正比。 特别提醒 分析传动装置问题的方法 1、分析传动装置问题的关键是确定传动过程中相同的物理量。 2.同轴传动中各点的角速度相同;齿轮传动、皮带传动、摩擦传动等传动方式均有接触处的线速度大小相等的特点(皮带传动和摩擦传动时不打滑)。 3.根据描述圆周运动的各物理量之间的关系,确定其他各物理量间的关系。 问题一：线速度和角速度关系的应用 【角度1】已知线速度v、半径r，求角速度 【典例1】（24-25高三上·四川广安·期中）如图所示，MN杆绕M点在竖直平面内匀速转动，并带动套在固定光滑竖直杆OQ上的小环向下运动，某一时刻小环运动到P点时速度正好为v，。已知，则MN杆的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 解法通则 （1）已知线速度v、半径r，根据的变形式可求出角速度ω； （2）若涉及到关联速度问题，可根据运动的合成与分解求出线速度，再依据求出角速度。 【变式1-1】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）如图所示，某遥控玩具车从O点开始沿着竖直圆弧轨道做匀速圆周运动，运动至C点时沿切线抛出，恰能落在A点。已知B为圆弧轨道的圆心三点共线，。轨道半径为。忽略空气阻力，重力加速度为，玩具车的大小相对斜面长度忽略不计，则玩具车做匀速圆周运动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【角度2】已知角速度、半径，求物体的线速度 【典例2】（24-25高三上·山东·阶段练习）如图所示为某简易升降装置的示意图，物体A可沿光滑竖直杆运动，不可伸长的轻绳跨过光滑的定滑轮B一端与物体A相连，另一端与电动机C相连。半径为r的电动机以恒定角速度ω逆时针匀速转动，轻绳始终处于伸直状态。当A、B间的轻绳与竖直杆的夹角为θ时，物体A的瞬时速度大小为（　　） A． B． C． D． （1）已知角速度ω、半径r，根据可求出线速度v； （2）若涉及到关联速度问题，可根据运动的合成与分解再求出其他方向的速度。 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）（多选）塔吊是建筑工地必备的吊装设备，其主要部分由垂直地面的塔体、水平吊臂、起重小车、挂钩等组成，如图所示。某次吊起货物的过程中，起重小车沿着吊臂以速度向塔体靠近，同时吊臂绕塔体匀速转动，转动的角速度为，则下列说法正确的是（　　） A．吊起货物过程中，起重小车做匀速直线运动 B．吊臂转动半周时，起重小车沿吊臂运动的距离为 C．当起重小车距圆心为时，起重小车的速度大小为 D．起重小车沿吊臂运动距离的过程中，吊臂转过的角度为 【变式2-2】（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）如图所示，压缩机通过活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体，活塞的中心A与圆盘在同一平面内，O为圆盘圆心，B为圆盘上一点，A、B处通过铰链连接在轻杆两端，圆盘绕过O点的轴做角速度为的匀速圆周运动。某时刻AB与OA间的夹角为，OB与BA垂直，已知O、B间距离为r，则此时活塞的速度为（　　） A． B． C． D． 问题二：周期和频率（转速）的应用 【角度1】周期的应用 【典例3】（23-24高一下·天津·期末）如图是世界上最大无轴式摩天轮——“渤海之眼”，摩天轮直径180m，高200m，有36个观景舱，在做匀速圆周运动时周期为30min。下列说法正确的是（　　） A．乘客的线速度保持不变 B．乘客做匀变速曲线运动 C．乘客的线速度大小约为0.31m/s D．到达最低处时乘客处于失重状态 【变式3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4m/s，周期为4s，则（　　） A．角速度为0.5rad/s B．转速为0.25r/s C．运动轨迹的半径为1m D．频率为0.5Hz 【角度2】频率的应用 【典例4】关于匀速圆周运动的角速度、线速度、周期和频率的说法，正确的是（ ） A．角速度与线速度成正比 B．角速度与周期成反比 C．线速度与周期成正比 D．角速度与频率成反比 【角度3】转速的应用 【典例5】（23-24高一下·海南·期中）如图所示，车轮半径为0.3m的自行车倒置在地面上，转动脚踏板使自行车的车轮匀速转动。经测量，车轮每5s刚好能转动10圈，则轮胎边缘的线速度大小为（    ） A．1.2m/s B．3m/s C．1.2πm/s D．3πm/s 【变式5-1】（23-24高一下·河北沧州·期中）转速是做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，其国际单位为r/s（转每秒）。走时准确的时钟，其分针的转速为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】某次研究性学习活动中，同学们用如图所示的带有一个白点的黑色圆盘进行自主探究，已知圆盘可绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速为。 （1）白点转动一圈需用时 s； （2）小华同学在暗室中用频闪光源照射圆盘，观察不到白点在运动，则频闪光源的频率f需满足的关系式为 ；（用题中字母表示，如有其它字母，请注明其含义） （3）小军同学在暗室中用不同频率的频闪光源照射圆盘，则下列描述中正确的是 （填答案序号）。 A．若光源闪光频率为，则观察到白点顺时针转动 B．若光源闪光频率为，则观察到白点顺时针转动 C．若光源闪光频率为，则观察到白点转动的周期为 问题三：传动装置问题中的应用 【角度1】同轴转动 【典例6】（24-25高三上·云南昆明·开学考试）如图所示是一个玩具陀螺，、和是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时，下列表述正确的是（　　） A．、、三点的线速度大小相等 B．点的线速度比、点的线速度大 C．、、三点的角速度相等 D．、的角速度比的角速度大 【变式6-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示为某计算机上的硬磁盘的磁道和扇区。电动机使盘面匀速转动，盘面上有A、B两点，则A、B两点周期TA、TB的关系为（　　） A．TA=TB B．TA>TB C．TA＜TB D．无法判断 【变式6-2】（24-25高三上·江苏徐州·期中）如题1图所示的旋转飞椅是一种经典的游乐设施，飞椅未旋转时简化模型如题2图所示。当其以恒定转速运行时，可认为飞椅在水平面内做匀速圆周运动。外侧飞椅与内侧飞椅相比（    ） A．线速度较大 B．线速度较小 C．角速度较大 D．角速度较小 【角度2】皮带（链条）传动 【典例7】（23-24高一下·山东菏泽·期中）随着春天的来临，出门骑行的爱好者越来越多，一边锻炼身体，一边欣赏春天的美景。如图所示为一款变速车的齿轮装置，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有21齿，D轮有12齿，其中A、B轮与脚蹬相连。变速车通过改变齿轮组合来实现变速，若骑行者每秒中驱动A轮或B轮一圈，则下列说法正确的是（　　） A．该变速车可变化两种不同档挡 B．B轮与D轮组合时，变速车的速度最慢 C．该变速车的最快速度与最慢速度之比为2：1 D．当A轮与D轮组合时，B、C两轮周期之比2：1 【变式7-1】（24-25高三上·陕西·期中）一人骑自行车做速度为匀速直线运动，自行车车轮半径为，某时刻后轮气门芯位于车轮最高点，过一段时间该气门芯第二次位于车轮最低点，如图所示，不计轮胎的厚度，车轮不打滑，则下列说法正确的是（　　） A．以地面为参考系，后轮气门芯经过最低点时的速度不为零 B．此过程时间为 C．后轮气门芯相对后轮转轴的线速度大于 D．此过程气门芯的平均速度大小为 【变式7-2】（多选）图示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，角速度为ω，转动过程中皮带不打滑。下列说法中正确的是（　　） A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 C．从动轮的角速度为 D．从动轮的角速度为 【角度3】齿轮传动 【典例8】（23-24高一下·山东·阶段练习）修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，原理可简化为图中的模型，A、B是转动的大小齿轮边缘的两点，C是大轮上的一点，若A、B、C的轨道半径之比为2∶3∶1，则A、B、C的线速度大小之比为（　　） A．1∶3∶3 B．1∶1∶3 C．3∶1∶3 D．3∶3∶1 【变式8-1】（24-25高三上·广东佛山·开学考试）如图所示是《天工开物》中牛力齿轮的图画及其原理简化图，牛拉动横杆驱动半径为R1的大齿轮匀速率转动，大齿轮与半径为R2的中齿轮垂直咬合，中齿轮通过横轴与半径为R3小齿轮相连，小齿轮驱动抽水桶抽水，已知牛拉横杆转一圈需要时间为t，则抽水桶的运动速率约为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图所示，修正带的大小齿轮分别嵌合于固定的大小轴孔中，大小齿轮相互吻合，使用时大齿轮会带动小齿轮转动。点分别位于小、大齿轮的边缘，c点位于大齿轮的半径中点。三点角速度大小分别为，线速度大小分别为，则当修正带在使用的某个时刻，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【角度4】摩擦传动 【典例9】如图所示，两轮通过摩擦传动，图中两轮边缘上A、B两点的线速度的关系是（　　） A．大小相等 B．A点线速度大 C．B点线速度大 D．以上说法都不对 【变式9-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中（　　） A．线速度大小之比为 B．角速度大小之比为 C．转速之比为 D．周期之比为 【变式9-2】（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，A点位于大轮半径的中点，B点位于小轮边缘上，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动、接触而上没有滑动。当两轮匀速转动时，关于A、B两点做圆周运动的周期、线速度及角速度的大小关系，正确的是（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 问题四：多解问题 【典例10】（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）（多选）如图（a）所示的圆盘上有一白点S，盘绕垂直于盘面的中心轴以的频率旋转．如果用频率为f的频闪光去照射该盘，在盘上能稳定地出现如图（b）所示的三个白点。则下列f的大小可能正确的是（　　） A．150Hz B．90Hz C．60Hz D．30Hz 解法通则 解决圆周运动多解问题的方法 1.当圆周运动与其他运动形式结合时,由于圆周运动的周期性,往往会产生多解,解决此类问题的关键是根据等时性和周期性找准物体能转过的圈数(或角度)。 2.明确两个物体参与运动的性质和求解的问题。两个运动虽然独立进行,但一定有联系点,其联系点一般是时间或位移,寻求联系点是解题的突破点。 【变式10-1】（23-24高一下·福建福州·期末）如图所示，直径的纸筒以转速绕轴O逆时针匀速转动，从玩具枪枪口发射的子弹（可视为质点）沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒上只留下一个弹孔，则圆桶转动的角速度为 rad/s；子弹穿过纸筒的最大平均速度为 m/s。（） 【变式10-2】（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，水平放置的圆盘半径为，在其边缘C点固定一个高度不计的小桶，在圆盘直径CD的正上方放置一条水平滑道AB，滑道与CD平行。滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，其高度差为。在滑道左端静止放置质量为的物块（可视为质点），物块与滑道间的动摩擦因数为。当用一大小为的水平拉力向右拉动物块的同时，圆盘从图示位置以角速度绕穿过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用一段时间后撤掉，物块在滑道上继续滑行，过B点水平抛出恰好落入小桶内，重力加速度g取。求： (1)物块到达B点时的速度大小； (2)水平滑道AB的最小长度。 【基础强化】 1．（23-24高一下·北京西城·期中）一个质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，角速度为，则它的线速度为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州·期中）地球可以看成巨大的球体，位于赤道与位于贵阳的物体，随地球自转做匀速圆周运动的角速度分别为、，线速度大小分别为、，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列运动不属于匀变速运动的是（　　） A．自由落体运动 B．平抛运动 C．斜上抛运动 D．匀速圆周运动 4．（22-23高一下·重庆万州·期中）一个圆柱形小物块放在水平转盘上，随着转盘一起绕O点匀速转动。通过频闪照相技术对其进行研究，从转盘的正上方向下拍照，得到的频闪照片如图所示，已知频闪仪的闪光频率为24Hz，则转盘转动的最小转速是（　　） A．4r/s B．8r/s C．12r/s D．16r/s 5．（23-24高一上·江苏扬州·期末）走时准确的石英钟如图所示， A、B分别为时针和秒针上的两点，它们到转轴O的距离相等。A、B两点转动的角速度大小为、，线速度大小为、，则（　　） A． 　 B． 　 C． 　 D． 　 6．如图，A、B是摩擦传动的两个大小轮，半径为，则A、B两轮边缘上两点的线速度比vA：vB为（　　） A．2︰1 B．1︰2 C．1︰1 D．无法确定 7.（2024高二上·湖北·学业考试）如图所示，用扳手拧螺母时，扳手上P、Q两点的角速度大小分别为、，线速度大小分别为、，则（　　） A．， B．， C．， D．， 8．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，A、B两轮通过皮带传动，A、C两轮通过摩擦传动，半径，各接触面均不打滑，则A、B、C三个轮的边缘点的线速度大小和角速度之比分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 9．（2024·陕西安康·一模）（多选）一卷帘由帘布和底杆组成，帘布和轻质塑料拉珠套在半径不同的共轴定滑轮上，定滑轮固定在窗户顶端，侧视结构简图如图所示。已知拉珠所在的滑轮1的半径为，帘布所在的滑轮2的半径为（）。现在用手向下缓慢匀速拉动拉珠，帘布上升，拉珠、帘布均与滑轮无相对滑动，下列说法正确的是（　　） A．帘布上升的速度与拉珠向下运动的速度之比为 B．帘布上升的速度与拉珠向下运动的速度大小相等 C．滑轮1转动的角速度与滑轮2转动的角速度之比为 D．两滑轮转动的角速度相等 10．（2025·福建·模拟预测）如图所示为地球的理想示意图，地球环绕过南北极的轴自转，O点为地心，P、Q分别为地球表面上的点，分别位于北纬60°和北纬30°。则P、Q的线速度大小之比为 ，P、Q的转速之比为 。 11．（2024高二·全国·专题练习）常见的传动装置及特点 项目 装置 特点 转动方向 规律 同轴转动 A、B两点在同轴的一个圆盘上 A、B两点角速度、周期 (填“相同”或“相反”) 线速度与半径成 ：＝ 皮带传动 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 A、B两点线速度大小 (填“相同”或“相反”) 角速度与半径成 ：＝ 周期与半径成 ：＝ 齿轮传动 两个齿轮轮齿吻合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点，N1、N2分别为大齿轮和小齿轮的齿数 A、B两点线速度大小 (填“相同”或“相反”) 角速度与半径成 ，与齿轮齿数成 ：＝ ＝ 周期与半径成 ，与齿轮齿数成 ：＝ ＝ 摩擦传动 两摩擦轮靠摩擦进行传动(两轮不打滑)，A点和B点分别是两轮边缘上的点 A、B两点线速度大小 (填“相同”或“相反”) 角速度与半径成 ：＝ 周期与半径成 ：＝ 12．（24-25高一上·浙江·期中）抛石机是古代远程攻击的一种重型武器，某同学制作了一个简易模型。如图所示，支架固定在地面上，O为转轴，长为L的轻质硬杆A端的凹槽内放置一石块，B端固定一重物，，。石块发射时，在重物上施加一向下的作用力，使杆绕O点在竖直平面内转动。杆转动到竖直位置时，石块立即被水平抛出，此时重物的速度大小为，石块直接击中前方倾角为15°的斜坡，且击中斜坡时的速度方向与斜坡成60°角，重力加速度为g，忽略空气阻力影响，求： (1)石块被水平抛出时的速度大小； (2)石块击中斜坡时的速度大小； (3)石块被抛出后至击中斜坡，石块在空中运动的水平位移大小。 【素养提升】 13.（24-25高三上·山东青岛·期中）如图为曲柄连杆机构的结构示意图，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。曲轴可绕固定的O点做匀速圆周运动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，已知转速为2400r/min，OA=40cm，AB=1m。下列说法正确的是（　　） A．OA从竖直方向转到水平方向的过程中，活塞的速度逐渐增大 B．当OA在竖直方向时，活塞的速度大小为32πm/s C．当OA与AB垂直时，活塞的速度大小为32πm/s D．当OA与AB共线时，活塞的速度大小为32πm/s 14.（24-25高三上·河南·阶段练习）钓鱼时常有一种说法为“放长线、钓大鱼”，放长线时需要甩竿。钓鱼者在a位置开始甩竿，至竖直位置时立刻停下，鱼钩（含鱼饵）从竿的末端b被水平甩出，最后落在距b位置水平距离为s的水面上。甩竿过程可视为竿在竖直平面内绕O点转过了角，O点离水面高度为h、到竿末端的距离为L。鱼钩从b点被水平甩出后做平抛运动。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．鱼钩在b点抛出时的速度大小为 B．鱼钩在b点抛出时的速度大小为 C．竿到达竖直位置前瞬间的角速度为 D．竿到达竖直位置前瞬间的角速度为 【能力培优】 15.（2022·河北·高考真题）（多选）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以为圆心、和为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用、、和、、表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同 D．若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 圆周运动 课时6.1 圆周运动 2022年课程标准 物理素养 2.2.3 会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动。知道匀速圆周运动向心加速度的大小和方向。通过实验，探究并了解匀速圆周运动向心力大小与半径、角速度、质量的关系。能用牛顿第二定律分 析匀速圆周运动的向心力。了解生产生活中的离心现象及其产生的原因。 物理观念：理解圆周运动及匀速圆周运动的特点，知道圆周运动是曲线运动，因此一定是变速运动；掌握描述圆周运动的基本物理量，包括线速度、角速度、周期和转速等，理解它们的物理意义以及它们之间的关系。 科学思维：能确定线速度和角速度，理解线速度、角速度、周期、转速等各量的相互关系，并能够运用这些关系进行简单的计算；运用物理学原理分析问题，特别是运用圆周运动的原理来理解和解释相关现象。 科学探究：通过观察圆周运动的实例，进行相关的实验，来探究圆周运动的规律；引导学生运用观察、实验等方法。 科学态度与责任：激发学生对物理现象的好奇心和探究欲望，使其在面对未知问题时能积极寻求解决方案；增强学生的环保意识和社会责任感，使其关注科学技术对社会发展的影响。 知识点一、线速度 1.圆周运动 （1）定义：轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动称为圆周运动。 （2）性质：圆周运动是曲线运动，速度方向时刻变化，所以一定是变速运动。 特别提醒 圆周运动是曲线运动的一种特殊情况。和一般的抛物线等曲线运动相比，圆周运动的轨迹是规则的圆形或圆弧。 2.线速度v （1）定义：质点通过的圆弧长s跟所用时间t的比值。 （2）定义式： （3）单位：米/秒（m/s） （4）方向：由于速度是矢量，既有大小，又有方向。线速度的方向为沿圆周某点的切线方向，时刻变化。 （5）物理意义：描述物体做圆周运动快慢的物理量，当△t足够小时，其物理意义与瞬时速度的物理意义相同。 特别提醒 如图所示，物体在△t时间内沿圆弧右A运动到B，通过的弧长为△s，通过的位移为△l，注意当△t足够小时，圆弧AB与线段AB几乎没有差别，此时弧长△s近似等于物体由A到B的位移△l。即当△t→0，为物体过A点的瞬时速度，方向为物体做圆周运动时在A点的切线方向。 3.匀速圆周运动 （1）定义：物体沿着圆周运动，且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。 （2）性质：由于匀速圆周运动的线速度方向时刻都在变化，故匀速圆周运动是一种变速运动。 特别提醒 匀速圆周运动中的“匀速”是指线速度的大小（速率）不变，而匀速直线运动中的“匀速”是指速度的大小和方向都不变，两者意义不同。 线速度中的“线”主要强调且区别于后面讲的圆周运动中的角速度。 知识点二、角速度 周期 1.角速度ω （1）定义：质点所在的半径转过的角度△θ跟所用时间△t的比值,叫作角速度，用ω表示。 （2）公式： （3）单位：弧度/秒（m/s） （4）物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。 特别提醒 角速度是矢量，中学阶段不作研究，匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。角的单位是度，在国际单位制中，角的单位是弧度，若用s表示圆上的某段弧长，r表示该圆的半径，则这段弧度对应的弧度，1π＝180°，2π＝360°。 2.周期 （1）定义：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，叫周期，用“T”表示。 （2）单位：秒（s）。 3.频率 （1）定义：1s内完成圆周运动的圈数，用f表示。 （2）单位：赫兹（Hz） 4.转速 （1）定义：单位时间内转动的圈数，用n表示。 （2）单位：转/秒（r/s）,转/分（r/min）,转/时（r/h）。 特别提醒 对描述匀速圆周运动的物理量的理解 1.线速度、角速度、周期、转速都能描述圆周运动的快慢,但它们描述的角度不同。线速度v描述质点沿圆周运动的快慢,而角速度ω、周期T、转速n描述质点绕圆心转动的快慢。 2. 要准确全面地描述匀速圆周运动的快慢仅用某一个物理量是不够的。例如,地球围绕太阳运动的线速度约是3×104m/s,这个数值是较大的,但地球绕太阳转动的角速度却很小,其值约为2×10-7rad/s。因此要想全面准确地描述圆周运动的快慢,既要用线速度也要用角速度。 知识点三、描述圆周运动的各物理量之间的关系 1.圆周运动各物理量之间的关系 （1）线速度与周期的关系： （2）角速度与周期的关系： （3）线速度与角速度的关系： （4）周期与频率的关系： （5）频率与转速的关系：当转速的单位为r/s时，频率与转速相等。 2.关系式v＝ωr的理解 （1）半径r一定时，线速度v与角速度ω成正比，即。 （2）角速度ω一定时，线速度v与半径r成正比，即。 （3）线速度v一定时，角速度ω与半径r成反比，即ω1r1＝ω2r2。 知识点四、常见传动装置及其特点 1.同轴传动 （1）模型：A、B两点在两个同轴的圆盘上。 （2）特点：A、B两点角速度、周期和频率相同，转动方向相同。 （3）规律：线速度与半径成正比。 2.皮带传动 （1）模型：两个轮子用皮带连接（不打滑），A、B两点分别是两个轮子边缘上的点。 甲 乙 丙 丁 （2）特点：A、B两点线速度的大小相等，甲、乙、丙图中转动方向相同，丁图中转动方向相反。 （3）规律： ①角速度与半径成反比。 ②周期与半径成正比 3.齿轮传动 （1）模型：两个齿轮彼此啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点；N1、N2是两齿轮的齿轮数。 （2）特点：A、B两点线速度的大小相等，转动方向相反。 （3）规律： ①角速度与半径成反比，与齿轮数成反比。 ②周期与半径成正比，与齿轮数成正比。 4.摩擦传动 （1）模型：两摩擦轮靠摩擦进行传动，A、B两点分别是两轮边缘上的点。 （2）特点：A、B两点线速度的大小相等，转动方向相反。 （3）规律： ①角速度与半径成反比，与齿轮数成反比。 ②周期与半径成正比，与齿轮数成正比。 特别提醒 分析传动装置问题的方法 1、分析传动装置问题的关键是确定传动过程中相同的物理量。 2.同轴传动中各点的角速度相同;齿轮传动、皮带传动、摩擦传动等传动方式均有接触处的线速度大小相等的特点(皮带传动和摩擦传动时不打滑)。 3.根据描述圆周运动的各物理量之间的关系,确定其他各物理量间的关系。 问题一：线速度和角速度关系的应用 【角度1】已知线速度v、半径r，求角速度 【典例1】（24-25高三上·四川广安·期中）如图所示，MN杆绕M点在竖直平面内匀速转动，并带动套在固定光滑竖直杆OQ上的小环向下运动，某一时刻小环运动到P点时速度正好为v，。已知，则MN杆的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设MN杆的角速度为，如图所示 把速度v沿着MN杆和垂直MN杆分解，根据几何关系， ，， 联立，解得 故选A。 解法通则 （1）已知线速度v、半径r，根据的变形式可求出角速度ω； （2）若涉及到关联速度问题，可根据运动的合成与分解求出线速度，再依据求出角速度。 【变式1-1】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）如图所示，某遥控玩具车从O点开始沿着竖直圆弧轨道做匀速圆周运动，运动至C点时沿切线抛出，恰能落在A点。已知B为圆弧轨道的圆心三点共线，。轨道半径为。忽略空气阻力，重力加速度为，玩具车的大小相对斜面长度忽略不计，则玩具车做匀速圆周运动的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】斜抛运动与圆周运动综合 【解析】设轨道在C点处的切线为l，将重力加速度分解为平行于l斜向下的分量和垂直于l斜向下的分量，设玩具车从C点抛出时的速度为，由几何关系可知玩具车从C点到A点的运动过程中，在平行于l方向的位移为0，由题意可知玩具车离开C点时的速度方向也平行于l方向，因此玩具车从C点出发到达A点所需时间 由几何关系可得，玩具车落到A点时，沿垂直于l方向位移大小为R，可知 联立解得 玩具车做匀速圆周运动的角速度大小 故选B。 【另解】从C点抛出后，玩具车在竖直方向做竖直上抛运动，则有 在水平方向做匀速直线运动，则有 解得 玩具车做匀速圆周运动的角速度大小 故选B。 【角度2】已知角速度、半径，求物体的线速度 【典例2】（24-25高三上·山东·阶段练习）如图所示为某简易升降装置的示意图，物体A可沿光滑竖直杆运动，不可伸长的轻绳跨过光滑的定滑轮B一端与物体A相连，另一端与电动机C相连。半径为r的电动机以恒定角速度ω逆时针匀速转动，轻绳始终处于伸直状态。当A、B间的轻绳与竖直杆的夹角为θ时，物体A的瞬时速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得 将A的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向，则 所以 故选B。 （1）已知角速度ω、半径r，根据可求出线速度v； （2）若涉及到关联速度问题，可根据运动的合成与分解再求出其他方向的速度。 【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）（多选）塔吊是建筑工地必备的吊装设备，其主要部分由垂直地面的塔体、水平吊臂、起重小车、挂钩等组成，如图所示。某次吊起货物的过程中，起重小车沿着吊臂以速度向塔体靠近，同时吊臂绕塔体匀速转动，转动的角速度为，则下列说法正确的是（　　） A．吊起货物过程中，起重小车做匀速直线运动 B．吊臂转动半周时，起重小车沿吊臂运动的距离为 C．当起重小车距圆心为时，起重小车的速度大小为 D．起重小车沿吊臂运动距离的过程中，吊臂转过的角度为 【答案】CD 【解析】A．起重小车参与两个运动，沿吊臂的匀速直线运动与随吊臂转动的圆周运动，故起重小车的运动不是匀速直线运动，故A错误； B．吊臂转动半周的时间为 起重小车沿吊臂运动的距离为 故B错误； C．当起重小车距圆心为时，起重小车转动的速度为，根据勾股定理有 故C正确； D．起重小车沿吊臂运动距离时，所用时间为 则转过的角度为 故D正确。 故选CD。 【变式2-2】（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）如图所示，压缩机通过活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体，活塞的中心A与圆盘在同一平面内，O为圆盘圆心，B为圆盘上一点，A、B处通过铰链连接在轻杆两端，圆盘绕过O点的轴做角速度为的匀速圆周运动。某时刻AB与OA间的夹角为，OB与BA垂直，已知O、B间距离为r，则此时活塞的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】OB与BA垂直，则此时点的速度与杆的速度相等，设活塞速度为，满足 解得 故选A。 问题二：周期和频率（转速）的应用 【角度1】周期的应用 【典例3】（23-24高一下·天津·期末）如图是世界上最大无轴式摩天轮——“渤海之眼”，摩天轮直径180m，高200m，有36个观景舱，在做匀速圆周运动时周期为30min。下列说法正确的是（　　） A．乘客的线速度保持不变 B．乘客做匀变速曲线运动 C．乘客的线速度大小约为0.31m/s D．到达最低处时乘客处于失重状态 【答案】C 【解析】A．乘客匀速圆周运动，线速度大小不变，方向时刻发生变化，故A错误； B．乘客匀速圆周运动，加速度大小不变，方向总是指向圆心，所以乘客不是做匀变速曲线运动，故B错误； C．乘客的线速度大小为 故C正确； D．到达最低处时，乘客具有向上的加速度，处于超重状态，故D错误。 故选C。 【变式3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4m/s，周期为4s，则（　　） A．角速度为0.5rad/s B．转速为0.25r/s C．运动轨迹的半径为1m D．频率为0.5Hz 【答案】B 【解析】A．质点做匀速圆周运动，角速度 故A错误； C．运动轨迹的半径 故C错误； B．转速 故B正确； D．频率 故D错误。 故选B。 【角度2】频率的应用 【典例4】关于匀速圆周运动的角速度、线速度、周期和频率的说法，正确的是（ ） A．角速度与线速度成正比 B．角速度与周期成反比 C．线速度与周期成正比 D．角速度与频率成反比 【答案】B 【解析】A．根据 知，线速度大，角速度不一定大，还与半径有关，故A错误； B．根据 知，角速度与周期成反比；角速度大，周期小，故B正确； C．线速度 知，周期小，线速度不一定大，还与半径有关，故C错误； D．角速度 角速度与频率成正比，故D错误。 故选B。 【角度3】转速的应用 【典例5】（23-24高一下·海南·期中）如图所示，车轮半径为0.3m的自行车倒置在地面上，转动脚踏板使自行车的车轮匀速转动。经测量，车轮每5s刚好能转动10圈，则轮胎边缘的线速度大小为（    ） A．1.2m/s B．3m/s C．1.2πm/s D．3πm/s 【答案】C 【解析】车轮每5s刚好能转动10圈，则周期为 则轮胎边缘的线速度大小为 故选C。 【变式5-1】（23-24高一下·河北沧州·期中）转速是做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，其国际单位为r/s（转每秒）。走时准确的时钟，其分针的转速为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分针周期为60min，由圆周运动的基本规律可得 故选C。 【变式5-2】某次研究性学习活动中，同学们用如图所示的带有一个白点的黑色圆盘进行自主探究，已知圆盘可绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速为。 （1）白点转动一圈需用时 s； （2）小华同学在暗室中用频闪光源照射圆盘，观察不到白点在运动，则频闪光源的频率f需满足的关系式为 ；（用题中字母表示，如有其它字母，请注明其含义） （3）小军同学在暗室中用不同频率的频闪光源照射圆盘，则下列描述中正确的是 （填答案序号）。 A．若光源闪光频率为，则观察到白点顺时针转动 B．若光源闪光频率为，则观察到白点顺时针转动 C．若光源闪光频率为，则观察到白点转动的周期为 【答案】 0.05/ AC/CA 【解析】（1）[1]白点转动一圈需用时为 （2）[2]小华同学在暗室中用频闪光源照射圆盘，观察不到白点运动，说明每次闪光时白点刚好位于同一位置，则闪光周期为 频闪光源的频率为 （3）[3]白点转动的频率为 AB．若光源闪光频率为，即闪光周期大于白点转动周期，每次闪光时，白点出现的位置都比上次闪光时沿顺时针转动一定角度，所以观察到白点顺时针转动；同理可知若光源闪光频率为，则观察到白点逆时针转动，故A正确，B错误； C．若光源闪光频率为，则每次闪光时，观察到白点逆时针转动的圈数为 观察到白点转动的周期为 故C正确。 故选AC。 问题三：传动装置问题中的应用 【角度1】同轴转动 【典例6】（24-25高三上·云南昆明·开学考试）如图所示是一个玩具陀螺，、和是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度稳定旋转时，下列表述正确的是（　　） A．、、三点的线速度大小相等 B．点的线速度比、点的线速度大 C．、、三点的角速度相等 D．、的角速度比的角速度大 【答案】C 【解析】、、三点同轴转动，所以、、三点的角速度相等；根据 ， 可得、、三点的线速度大小关系为 故选C。 【变式6-1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示为某计算机上的硬磁盘的磁道和扇区。电动机使盘面匀速转动，盘面上有A、B两点，则A、B两点周期TA、TB的关系为（　　） A．TA=TB B．TA>TB C．TA＜TB D．无法判断 【答案】A 【解析】盘面上有A、B两点，属于共轴传动，有 由 可知 故选A。 【变式6-2】（24-25高三上·江苏徐州·期中）如题1图所示的旋转飞椅是一种经典的游乐设施，飞椅未旋转时简化模型如题2图所示。当其以恒定转速运行时，可认为飞椅在水平面内做匀速圆周运动。外侧飞椅与内侧飞椅相比（    ） A．线速度较大 B．线速度较小 C．角速度较大 D．角速度较小 【答案】A 【解析】CD．外侧飞椅与内侧飞椅绕同一个轴转动，具有相同的周期，根据可知，角速度相同，故CD错误； AB．外侧飞椅与内侧飞椅相比转动的半径较大，根据可知，外侧飞椅比内侧飞椅的线速度大，故A正确，B错误。 故选A。 【角度2】皮带（链条）传动 【典例7】（23-24高一下·山东菏泽·期中）随着春天的来临，出门骑行的爱好者越来越多，一边锻炼身体，一边欣赏春天的美景。如图所示为一款变速车的齿轮装置，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有21齿，D轮有12齿，其中A、B轮与脚蹬相连。变速车通过改变齿轮组合来实现变速，若骑行者每秒中驱动A轮或B轮一圈，则下列说法正确的是（　　） A．该变速车可变化两种不同档挡 B．B轮与D轮组合时，变速车的速度最慢 C．该变速车的最快速度与最慢速度之比为2：1 D．当A轮与D轮组合时，B、C两轮周期之比2：1 【答案】C 【解析】A. 该变速车可变化四种不同档挡，即AC、AD、BC和BD组合，选项A错误； B. B轮与C轮组合时，变速车的速度最慢，选项B错误； C. A轮与D轮组合时，变速车的速度最快，当A轮转动1圈时，D轮转动4圈，车轮转动4圈；B轮与C轮组合时，变速车的速度最慢，当B轮转动1圈时，C轮转动2圈，车轮转动2圈；该变速车的最快速度与最慢速度之比为2：1，选项C正确； D. 当A轮与D轮组合时，AD两轮的周期比为4:1，因AB周期相同，CD周期相同，则B、C两轮周期之比4：1，选项D错误。 故选C。 【变式7-1】（24-25高三上·陕西·期中）一人骑自行车做速度为匀速直线运动，自行车车轮半径为，某时刻后轮气门芯位于车轮最高点，过一段时间该气门芯第二次位于车轮最低点，如图所示，不计轮胎的厚度，车轮不打滑，则下列说法正确的是（　　） A．以地面为参考系，后轮气门芯经过最低点时的速度不为零 B．此过程时间为 C．后轮气门芯相对后轮转轴的线速度大于 D．此过程气门芯的平均速度大小为 【答案】D 【解析】A．由于车轮不打滑，则后轮气门芯经过最低点时，气门芯与地面相对静止，则以地面为参考系，后轮气门芯经过最低点时的速度为零，故A错误； B．从后轮气门芯位于车轮最高点到该气门芯第二次位于车轮最低点，后轮转动了一圈半，则自行车前进的位移为 所以此过程时间为 故B错误； C．由于此过程后轮转动了一圈半，则有 可得，后轮边缘转动的线速度大小为 则后轮气门芯相对后轮转轴的线速度大小等于自行车前进的速度，故C错误； D．气门芯的位移大小为 则气门芯的平均速度大小为 故D正确。 故选D。 【变式7-2】（多选）图示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，角速度为ω，转动过程中皮带不打滑。下列说法中正确的是（　　） A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 C．从动轮的角速度为 D．从动轮的角速度为 【答案】BC 【解析】AB．由于皮带交叉连接，则从动轮做逆时针转动，故A错误，B正确； CD．同一皮带上线速度相等，有 则从动轮的角速度为 故C正确，D错误。 故选BC。 【角度3】齿轮传动 【典例8】（23-24高一下·山东·阶段练习）修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，原理可简化为图中的模型，A、B是转动的大小齿轮边缘的两点，C是大轮上的一点，若A、B、C的轨道半径之比为2∶3∶1，则A、B、C的线速度大小之比为（　　） A．1∶3∶3 B．1∶1∶3 C．3∶1∶3 D．3∶3∶1 【答案】D 【解析】修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，边缘点的线速度大小相等，即 B、C两点为同轴转动，角速度相等 根据，，可得A、B、C的线速度大小之比为3∶3∶1。 故选D。 【变式8-1】（24-25高三上·广东佛山·开学考试）如图所示是《天工开物》中牛力齿轮的图画及其原理简化图，牛拉动横杆驱动半径为R1的大齿轮匀速率转动，大齿轮与半径为R2的中齿轮垂直咬合，中齿轮通过横轴与半径为R3小齿轮相连，小齿轮驱动抽水桶抽水，已知牛拉横杆转一圈需要时间为t，则抽水桶的运动速率约为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】大齿轮的线速度大小为 由题意可知，大齿轮和中齿轮的线速度大小相等，即 中齿轮和小齿轮是同轴传动，具有的角速度，根据可知 解得 故选A。 【变式8-2】（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图所示，修正带的大小齿轮分别嵌合于固定的大小轴孔中，大小齿轮相互吻合，使用时大齿轮会带动小齿轮转动。点分别位于小、大齿轮的边缘，c点位于大齿轮的半径中点。三点角速度大小分别为，线速度大小分别为，则当修正带在使用的某个时刻，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】B．b、c两点同轴转动，角速度相等，即 故B错误； C．大小齿轮边缘点的线速度大小相等，所以 故C错误； A．根据 得 故A错误； D．根据 得 故D正确。 故选D。 【角度4】摩擦传动 【典例9】如图所示，两轮通过摩擦传动，图中两轮边缘上A、B两点的线速度的关系是（　　） A．大小相等 B．A点线速度大 C．B点线速度大 D．以上说法都不对 【答案】A 【解析】A、B两点通过摩擦传动，轮子边缘上的点线速度大小相等。 故选A。 【变式9-1】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中（　　） A．线速度大小之比为 B．角速度大小之比为 C．转速之比为 D．周期之比为 【答案】A 【解析】A轮、B轮靠摩擦传动，边缘上的点的线速度大小相等，故 根据 有 根据 有 根据 可得 B轮、C轮是同轴传动，角速度相等，故 同理，可得 ，， 联立，解得 ，，， 故选A。 【变式9-2】（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，A点位于大轮半径的中点，B点位于小轮边缘上，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动、接触而上没有滑动。当两轮匀速转动时，关于A、B两点做圆周运动的周期、线速度及角速度的大小关系，正确的是（　　） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】A 【解析】两轮摩擦传动，则轮边缘上的点线速度相等，设为。A与大轮边缘点角速度相等，则线速度比等于半径比，即 故 又 ， 故 根据，可知 故选A。 问题四：多解问题 【典例10】（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）（多选）如图（a）所示的圆盘上有一白点S，盘绕垂直于盘面的中心轴以的频率旋转．如果用频率为f的频闪光去照射该盘，在盘上能稳定地出现如图（b）所示的三个白点。则下列f的大小可能正确的是（　　） A．150Hz B．90Hz C．60Hz D．30Hz 【答案】AD 【解析】如图所示 将已被观察到的三个白点位置分别记为A、B和C，时白点在A位置，那么白点在B或C位置的时刻应分别为： ， ， 其中圆盘旋转周期是 假设时频闪光第一次照亮圆盘时A处，有两种可能，若闪光第二次照亮时白点在B位置，则要求频闪周期 满足 ， 后在时在C位置出现白点，在圆盘上稳定地出现图示的三个白点，则 当 时 当时 当时 若闪光第二次照亮时白点在C位置，则T须满足 ， 同理，也在圆盘上稳定地出现图示的三个白点，则 当 时 当时 故AD正确，BC错误。 故选AD。 解法通则 解决圆周运动多解问题的方法 1.当圆周运动与其他运动形式结合时,由于圆周运动的周期性,往往会产生多解,解决此类问题的关键是根据等时性和周期性找准物体能转过的圈数(或角度)。 2.明确两个物体参与运动的性质和求解的问题。两个运动虽然独立进行,但一定有联系点,其联系点一般是时间或位移,寻求联系点是解题的突破点。 【变式10-1】（23-24高一下·福建福州·期末）如图所示，直径的纸筒以转速绕轴O逆时针匀速转动，从玩具枪枪口发射的子弹（可视为质点）沿直径穿过圆筒。若子弹在圆筒上只留下一个弹孔，则圆桶转动的角速度为 rad/s；子弹穿过纸筒的最大平均速度为 m/s。（） 【答案】 62.8 10 【解析】[1] 匀速圆周运动的角速度为 [2]在子弹飞行的时间内，圆筒转动的角度为 时间 可得 时子弹的平均速度最大 【变式10-2】（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，水平放置的圆盘半径为，在其边缘C点固定一个高度不计的小桶，在圆盘直径CD的正上方放置一条水平滑道AB，滑道与CD平行。滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，其高度差为。在滑道左端静止放置质量为的物块（可视为质点），物块与滑道间的动摩擦因数为。当用一大小为的水平拉力向右拉动物块的同时，圆盘从图示位置以角速度绕穿过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用一段时间后撤掉，物块在滑道上继续滑行，过B点水平抛出恰好落入小桶内，重力加速度g取。求： (1)物块到达B点时的速度大小； (2)水平滑道AB的最小长度。 【答案】(1)2m/s (2)0.8m 【解析】（1）物块做平抛运动，设物块离开滑道时的速度为v，落入小桶所用时间为t，则水平方向上有 竖直方向上有 解得 ， （2）设拉动物块时的加速度为，所用时间为，由牛顿第二定律得 解得 撤去拉力后，设物块的加速度为，所用时间为，由牛顿第二定律得 解得 圆盘转过一圈时物块落入小桶内，拉力作用时间最短，水平滑道AB长度最小，圆盘转过一圈的时间 物块在滑道上先加速后减速，则有 物块滑行时间、抛出后在空中运动时间与圆盘转动周期关系为 解得 ， 加速位移 加速的末速度为 减速位移 AB的最小长度 【基础强化】 1．（23-24高一下·北京西城·期中）一个质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，角速度为，则它的线速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据线速度、角速度的关系可知 故选B。 2．（24-25高二上·贵州·期中）地球可以看成巨大的球体，位于赤道与位于贵阳的物体，随地球自转做匀速圆周运动的角速度分别为、，线速度大小分别为、，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】AB．地球上各点绕地轴转动，具有相同的角速度，即 故AB错误； CD．根据可知，位于赤道上的物体的转动半径大，所以 故C错误，D正确。 故选D。 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列运动不属于匀变速运动的是（　　） A．自由落体运动 B．平抛运动 C．斜上抛运动 D．匀速圆周运动 【答案】D 【解析】自由落体运动、平抛运动以及斜上抛运动，加速度都是恒定的g，都属于匀变速运动；而匀速圆周运动的加速度大小不变，方向不断变化，属于非匀变速运动。 故选D。 4．（22-23高一下·重庆万州·期中）一个圆柱形小物块放在水平转盘上，随着转盘一起绕O点匀速转动。通过频闪照相技术对其进行研究，从转盘的正上方向下拍照，得到的频闪照片如图所示，已知频闪仪的闪光频率为24Hz，则转盘转动的最小转速是（　　） A．4r/s B．8r/s C．12r/s D．16r/s 【答案】A 【解析】频闪仪的闪光频率是24Hz，转速最小时，转动周期最大为 则转速为 故选A。 5．（23-24高一上·江苏扬州·期末）走时准确的石英钟如图所示， A、B分别为时针和秒针上的两点，它们到转轴O的距离相等。A、B两点转动的角速度大小为、，线速度大小为、，则（　　） A． 　 B． 　 C． 　 D． 　 【答案】A 【解析】根据生活常识可知秒针的周期小，根据可知 根据可知 故选A。 6．如图，A、B是摩擦传动的两个大小轮，半径为，则A、B两轮边缘上两点的线速度比vA：vB为（　　） A．2︰1 B．1︰2 C．1︰1 D．无法确定 【答案】C 【解析】A、B两个轮子摩擦传动，则两个轮子边缘上的点线速度大小相等，即 故选C。 7.（2024高二上·湖北·学业考试）如图所示，用扳手拧螺母时，扳手上P、Q两点的角速度大小分别为、，线速度大小分别为、，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】扳手上P、Q两点同轴转动，所以角速度相等，即有 根据 ， 可得 故选B。 8．（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，A、B两轮通过皮带传动，A、C两轮通过摩擦传动，半径，各接触面均不打滑，则A、B、C三个轮的边缘点的线速度大小和角速度之比分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】A、B两轮通过皮带传动，A、C两轮通过摩擦传动，可知A、B、C三个轮的边缘点的线速度大小相等，则有 根据 可知 则有 故选C。 9．（2024·陕西安康·一模）（多选）一卷帘由帘布和底杆组成，帘布和轻质塑料拉珠套在半径不同的共轴定滑轮上，定滑轮固定在窗户顶端，侧视结构简图如图所示。已知拉珠所在的滑轮1的半径为，帘布所在的滑轮2的半径为（）。现在用手向下缓慢匀速拉动拉珠，帘布上升，拉珠、帘布均与滑轮无相对滑动，下列说法正确的是（　　） A．帘布上升的速度与拉珠向下运动的速度之比为 B．帘布上升的速度与拉珠向下运动的速度大小相等 C．滑轮1转动的角速度与滑轮2转动的角速度之比为 D．两滑轮转动的角速度相等 【答案】AD 【解析】拉珠和帘布上对应的滑轮属于同轴转动，他们的角速度相等，帘布上升的速度与拉珠向下运动的速度之比为，AD正确，BC错误； 故选AD。 10．（2025·福建·模拟预测）如图所示为地球的理想示意图，地球环绕过南北极的轴自转，O点为地心，P、Q分别为地球表面上的点，分别位于北纬60°和北纬30°。则P、Q的线速度大小之比为 ，P、Q的转速之比为 。 【答案】 【解析】[1]P、Q的角速度相等，轨迹半径为 由可得 [2]P、Q的角速度相等，由可知P、Q的转速之比为。 11．（2024高二·全国·专题练习）常见的传动装置及特点 项目 装置 特点 转动方向 规律 同轴转动 A、B两点在同轴的一个圆盘上 A、B两点角速度、周期 (填“相同”或“相反”) 线速度与半径成 ：＝ 皮带传动 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 A、B两点线速度大小 (填“相同”或“相反”) 角速度与半径成 ：＝ 周期与半径成 ：＝ 齿轮传动 两个齿轮轮齿吻合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点，N1、N2分别为大齿轮和小齿轮的齿数 A、B两点线速度大小 (填“相同”或“相反”) 角速度与半径成 ，与齿轮齿数成 ：＝ ＝ 周期与半径成 ，与齿轮齿数成 ：＝ ＝ 摩擦传动 两摩擦轮靠摩擦进行传动(两轮不打滑)，A点和B点分别是两轮边缘上的点 A、B两点线速度大小 (填“相同”或“相反”) 角速度与半径成 ：＝ 周期与半径成 ：＝ 【答案】 相同 相同 正比 相等 相同 反比 正比 相等 相反 反比 反比 正比 正比 相等 相反 反比 正比 【解析】[1] [2] A、B两点在同轴的一个圆盘上，A、B两点角速度、周期相同；转动方向相同 [3] [4]A、B两点在同轴的一个圆盘上，角速度相同，由 线速度与半径成正比 [5] [6] 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点，A、B两点线速度大小相等，转动方向相同。 [7] [8] 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点，两点线速度大小相等，角速度与半径成反比，由 得 [9][10] 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点，两点线速度大小相等，由 周期与半径成正比，故 [11][12] 两个齿轮轮齿吻合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点，A、B两点线速度大小相等，转动方向相反； [13][14][15] [16]两个齿轮轮齿吻合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点，A、B两点线速度大小相等，由 得角速度与半径成反比，与齿轮齿数成反比，故 [17][18][19][20] 两个齿轮轮齿吻合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点，A、B两点线速度大小相等，由 周期与半径成正比，与齿轮齿数成正比 [21][22] 两摩擦轮靠摩擦进行传动(两轮不打滑)，A点和B点分别是两轮边缘上的点，A、B两点线速度大小相等，转动方向相反； [23][24] 两摩擦轮靠摩擦进行传动(两轮不打滑)，A点和B点分别是两轮边缘上的点，两点线速度大小相等，角速度与半径成反比，由 得 [25][26] 两摩擦轮靠摩擦进行传动(两轮不打滑)，A点和B点分别是两轮边缘上的点，两点线速度大小相等，由 周期与半径成正比，故 12．（24-25高一上·浙江·期中）抛石机是古代远程攻击的一种重型武器，某同学制作了一个简易模型。如图所示，支架固定在地面上，O为转轴，长为L的轻质硬杆A端的凹槽内放置一石块，B端固定一重物，，。石块发射时，在重物上施加一向下的作用力，使杆绕O点在竖直平面内转动。杆转动到竖直位置时，石块立即被水平抛出，此时重物的速度大小为，石块直接击中前方倾角为15°的斜坡，且击中斜坡时的速度方向与斜坡成60°角，重力加速度为g，忽略空气阻力影响，求： (1)石块被水平抛出时的速度大小； (2)石块击中斜坡时的速度大小； (3)石块被抛出后至击中斜坡，石块在空中运动的水平位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）由得 所以 （2）根据击中斜坡时的速度方向与斜坡成60°角可知 解得 （3）在击中点 竖直方向 水平方向 得 【素养提升】 13.（24-25高三上·山东青岛·期中）如图为曲柄连杆机构的结构示意图，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动。曲轴可绕固定的O点做匀速圆周运动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，已知转速为2400r/min，OA=40cm，AB=1m。下列说法正确的是（　　） A．OA从竖直方向转到水平方向的过程中，活塞的速度逐渐增大 B．当OA在竖直方向时，活塞的速度大小为32πm/s C．当OA与AB垂直时，活塞的速度大小为32πm/s D．当OA与AB共线时，活塞的速度大小为32πm/s 【答案】B 【解析】A．根据题意，活塞可沿水平方向往复运动，所以，OA从竖直方向转到水平方向的过程中，活塞的速度先增大后减小，故A错误； B．由公式可得，A点线速度为 将A点和活塞的速度沿杆和垂直杆分解，如图所示 由几何关系有可得 故B正确； C．同理可知，A点的速度沿杆方向，活塞的速度分解如图 所以 由几何关系得 可得 故C错误； D．同理可知，A点在沿杆方向的分速度是0，所以活塞的速度为0，故D错误。 故选B。 14.（24-25高三上·河南·阶段练习）钓鱼时常有一种说法为“放长线、钓大鱼”，放长线时需要甩竿。钓鱼者在a位置开始甩竿，至竖直位置时立刻停下，鱼钩（含鱼饵）从竿的末端b被水平甩出，最后落在距b位置水平距离为s的水面上。甩竿过程可视为竿在竖直平面内绕O点转过了角，O点离水面高度为h、到竿末端的距离为L。鱼钩从b点被水平甩出后做平抛运动。已知重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．鱼钩在b点抛出时的速度大小为 B．鱼钩在b点抛出时的速度大小为 C．竿到达竖直位置前瞬间的角速度为 D．竿到达竖直位置前瞬间的角速度为 【答案】D 【解析】AB．鱼钩从抛出后做平抛运动，竖直方向 水平方向 联立解得鱼钩在b点抛出时的速度大小 故AB错误； CD．根据可得竿到达竖直位置前瞬间的角速度 故D正确，C错误。 故选D。 【能力培优】 15.（2022·河北·高考真题）（多选）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以为圆心、和为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用、、和、、表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同 D．若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则 【答案】BD 【解析】AB．根据平抛运动的规律 解得 可知若h1=h2，则 v1:v2 =R1:R2 若v1=v2，则 选项A错误，B正确； C．若，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1=v2，出水口的截面积相同，可知单位时间喷出水的质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，可知得到的水量较多，选项C错误； D．设出水口横截面积为S0，喷水速度为v，若，则喷水管转动一周的时间相等，因h相等，则水落地的时间相等，则 相等；在圆周上单位时间内单位长度的水量为 相等，即一周中每个花盆中的水量相同，选项D正确。 故选BD。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$