清单03 一次方程（组）（考点清单，13个考点梳理+12个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材湘教版

清单03 一次方程（组）(13个考点梳理+12个题型解读+提升训练) 【清单01】一元一次方程的定义 方程:含有未知数的等式叫做方程.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程。 条件:(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1;(3)分母中不含有未知数,即必须是整式方程。 【清单02】 建立一元一次方程模型 把所要求的量用字母x(或y,…)表示,根据问题中的等量关系列出方程,这一过程叫做建立方程. 【清单03】方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值,叫做方程的解. 【清单04】等式的性质 (1)等式性质1 内容:等式两边都加上(或减去)同一个数(或式),所得结果仍是等式. 式子:如果 a=b,那么 a±c=b±c (2)等式性质2 内容:等式两边都乘(或除以)同一个数(或式)(除数或除式不能为0),所得结果仍是等式. 式子:如果 a=b,那么 ac=bc. 如果 a=b,那么“”：(d≠0). 【清单05】移项 定义：把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项 注意,移项须星从方程的一边移到另边,而不是在方程同一边交换位置,要把从方程的一边移到另一边的项变号,而在方程同一边交换位置的项,不能变号. 【清单06】利用移项、合并同类项解一元一次方程 解方程:求方程的解的过程叫做解方程.解形如 mx+p=nx+q 的一元一次方程的步骤如下: (1)移项.根据等式性质1,将含未知数的项移到方程的一边,常数项移到方程的另一边. (2)合并同类项.化方程为ax=b(a,b为已知数,且 a≠0)的形式. (3)系数化为1.根据等式性质2,将方程ax=b(a≠0)化为 【清单07】去括号解方程 步骤:(1)去括号: (2)移项: (3)合并同类项: (4)系数化为1.注意:去括号时,一是要看清括号前面的符号,是“一”号时,去掉括号和它前面的符号，括号内的各项都要改变符号;二是括号前面的系数要与括号里面的每一项相乘,不能漏乘任何一项. 【清单08】一次方程（组）的应用 销售问题 (1) 利润=售价一进价. (2) 本息和=本金十利息. (3) 利息=本金×年利率×年数 相遇问题与追及问题 基本关系:路程=速度X时间.相遇问题:甲走的路程十乙走的路程一两地之间的距离. 追及问题:(1)同时不同地出发:若甲的速度较快,则被追赶的路程一甲走的路程一乙走的路程; (2) 同地不同时出发:甲走的路程=乙走的路程 航行问题 (1)顺水(风)速度一静水(风)速度+水流(风)速度; (2)逆水(风)速度-静水(风)速度一水流(风)速度. 【清单09】二元一次方程组的定义 只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫二元一次方程组. 【清单10】 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 【清单11】 二元一次方程方程组的解法——代入消元法 把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后这个代数式代人另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程就可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代人前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值，至此就求出了二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法 【清单12】 二元一次方程方程组的解法——加减消元法 把一个方程进行适当变形后，再加上(或减去)另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原一元一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法. 【清单13】三元一次方程方程组的解法 解三元一次方程维时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解，消元的方法仍是代入消元法或加臧消元法. 【考点题型一】一元一次方程的定义 【例1】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据定义即可求出答案． 【详解】解：A、不是方程，不是一元一次方程，本选项不符合题意； B、是一元一次方程，本选项符合题意； C、未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，本选项不符合题意； D、有两个未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义进行判定． 【详解】解：①是二元一次方程，不符合题意； ②是一元二次方程，不符合题意； ③是一元一次方程，符合题意； ④是分式方程，不符合题意； ⑤是代数式，不是方程，不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值．熟练掌握一元一次方程的定义，绝对值是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得，， ∴， ∴k的值为． 【考点题型二】等式的性质 【例2】下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】此题主要考查等式的性质，解题的关键是熟知移项的特点．根据等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式两边仍相等；等式两边同时乘以或除以一个不为0的数，等式两边仍相等．作相应变形进而判断． 【详解】解：A、根据等式的性质1，等式两边都加1，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； B、根据等式的性质1，等式两边都加上，可得，原变形错误，故此选项符合题意； C、等式两边都都加上3，得，再减去y，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； D、等式两边都减去4，得，再减去，可得，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质运算即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，且，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：若，因为等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， ∴，故A正确，不符合题意； 若，当时，不一定成立，故B错误，符合题意； 若，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴，故C正确，不符合题意； 若，且，因为等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：B 【变式2-4】在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是（　 　） A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分数的基本性质 D．去括号法则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质：等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立．根据等式的性质2可得答案． 【详解】解：，去分母得， 其变形的依据是等式的性质2， 故选：B． 【考点题型三】解一元一次方程 【例3】若与互为相反数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相反数的定义，一元一次方程的应用，掌握互为相反数的两个数的和为0是解题关键．根据相反数的意义列出方程，解出方程即可． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3-1】解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了将小数化为分数，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）按照解一元一次方程的一般步骤求解：先移项，再合并同类项，最后系数化为，即可求出答案； （2）将方程右边进行化简，把除法转化为乘法，然后系数化为，即可求出答案； （3）先将方程中的小数化为分数，然后把方程两边的除法转化为乘法，最后系数化为，即可求出答案． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （2）解：， 整理，得：， 即：， 系数化为，得：； （3）解：， 将小数化为分数，得：， 即：， 整理，得：， 系数化为，得：． 【变式3-2】解方程： ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式3-3】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键. （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）原方程利用分数的基本性质变形后，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可. 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 原方程可化为： 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式3-4】小丽做作业时解方程的步骤如下： 解：①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． (1)小丽的解答过程正确吗？答：______（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是______．（填序号） (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)不正确，①； (2)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）根据小丽的解题过程分析即可； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：小丽的解答过程不正确，最早出现错误的步骤是①， 故答案为：不正确，①； （2）解： 去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． 【考点题型四】一元一次方程的应用 【例4】某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列方程是解题关键．设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母，根据“1个螺栓需要配2个螺母”列方程即可． 【详解】解：设安排x名工人生产螺栓，则安排名工人生产螺母， 由题意得：， 故选：C． 【变式4-1】金湖水域面积420.08平方千米，陆地面积是水域面积的2.3倍，陆地面积比水域面积多多少平方千米？ 【答案】约平方千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设水域面积为平方米，则陆地面积是平方米，则利用金湖水域面积列方程得，然后解方程，最后计算即可． 【详解】设水域面积为平方米，则陆地面积是平方米， 根据题意得， 解得， 所以， 即陆地面积比水域面积多约平方千米． 【变式4-2】奇思家到妙想家的距离是960米，两人同时从家出发相向而行，奇思每分走70米，妙想每分走50米，几分钟后两人相遇？（用方程解决） 【答案】8分钟后两人相遇 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分钟后两人相遇，利用两家之间的距离两人的速度之和时间，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设x分钟后两人相遇 答：8分钟后两人相遇． 【变式4-3】修一条路，甲队单独修要18天完成，乙队单独修要9天完成．两队合作多少天可以修完这条路的一半？ 【答案】两队合作3天可以修完这条路的一半． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设两队合作天可以修完这条路的一半，根据工作量工作效率时间列方程可解得答案． 【详解】解：设两队合作天可以修完这条路的一半， 根据题意得：， 解得， 答：两队合作3天可以修完这条路的一半． 【变式4-4】（鸡兔同笼）某小学举行了一次数学竞赛，共道题．每做对道题得分，每做错道题倒扣分，小苗把道题全做了共得了分．她做对了多少道题？ 【答案】她做对了道题 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，根据题意，设对了题，则错了题，由此列方程即可求解． 【详解】解：根据题意，设对了题，则错了题， ∴， 解得，， ∴她做对了道题． 【变式4-5】下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【答案】(1)小明是星期二出发的 (2)的值不能等于74，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是10月的第x天，可得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 【详解】（1）解：设小明出发的日期是10月的第x天， 根据题意得：， 解得， ∴小明出发的日期是10月的第3天， 由月历表可知，10月3号为星期二， 答：小明是星期二出发的； （2）解：的值不能等于74，理由如下： ∵“S型”阴影覆盖的最小数字为m， ∴另外三个数为， 若，则， ∵10月15日在第一列， ∴此时不能出现“S型” ∴的值不能等于74． 【变式4-6】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； (2)若8表示的点与表示的点重合，回答下列问题： ①数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示数分别为 ， ． ②在①的条件下，点C为数轴上的一个动点，从点O出发，以2个单位每秒的速度向右运动，求当时间t为多少秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 【答案】(1) (2)①；；②170秒或1518秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解绝对值方程： （1）先根据题意可求出折叠中心表示的数为，再根据折叠后互相重合的两点到折叠中心的距离相等进行求解即可； （2）①先求出折叠中心表示的数为，再求出点A和点B到折叠中心的距离都为1011，据此根据数轴上两点距离计算公式求出点A和点B表示的数即可；②点C表示的数为，则，，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵折叠数轴1表示的点与表示的点重合， ∴折叠中心表示的数为， ∴表示的点与的点重合， 故答案为：； （2）解：①∵折叠数轴8表示的点与表示的点重合， ∴折叠中心表示的数为， ∵数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， ∴点A和点B到折叠中心的距离都为1011， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， 故答案为：；； ②由题意得，点C表示的数为， ∴，， ∵之间的距离恰好是之间距离的2倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时间t为170秒或1518秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 【考点题型五】二元一次方程组的定义 【例5】已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【答案】4 【分析】由二元一次方程的定义（含有两个未知数并且未知数的次数都是1的整式方程）进行解答即可．本题主要考查二元一次方程的定义，有理数的乘方，掌握二元一次方程的未知项的次数为1是解题的关键． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ，， 解得：，， 故． 故答案为：4． 【变式5-1】下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 【答案】⑤ 【分析】本题考查二元一次方程的识别，根据二元一次方程的定义逐项判断即可．解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：①，不是方程； ②，仅含有一个未知数，不是二元一次方程； ③整理得：，不是二元一次方程； ④中含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程； ⑤整理得：，是二元一次方程； 综上，是二元一次方程的有：⑤， 故答案为：⑤． 【变式5-2】已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程的解，解题的关键在于熟知形如（a、b、c为常数且）的方程叫做二元一次方程，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据二元一次方程的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求可得原方程为，把代入该方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ． （2）解：由（1）知，， ∴原方程可化为． 当时，， 解得． 【考点题型六】二元一次方程组的解法 【例6】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法即可解方程求解； （2）利用代入消元法即可解方程求解； 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得， 所以原方程组的解为． （2）解：， 由①，得③． 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为． 【变式6-1】已知与是同类项，则的值是（   ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，解二元一次方程组，解题的关键熟练运用同类项的定义． 先根据同类项的定义列出方程组，求出的值，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：， 所以． 故选：A． 【变式6-2】解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到x的值为 ，这时 ． 【答案】 2 3 【分析】此题考查了方程组的解法，关键是熟练掌握代入消元法解方程组的方法； 先将第一个方程代入第二个方程消去，从而可得关于的方程，解方程可得的值；然后把的值代入求y的值即可． 【详解】解：， 把①代入②得，， 解得：， 把代入①，得． 故答案为：2，3． 【变式6-3】用加减消元法解得方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的步骤是解题的关键． 消去，可解得的值，将x的值代入①中可得y的值，据此求解． 【详解】解：， ，得：， 将代入①中，， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式6-4】解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 则方程组的解为； （2）解：由②，得， 整理，得，③ ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 则方程组的解为． 【考点题型七】二元一次方程组的特殊解法 【例7】整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式7-1】利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键． （1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值； （2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 【变式7-2】学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 【考点题型八】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例8】关于，的方程组的解满足，则的值为 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解本题的关键．由可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：3 【变式8-1】若关于x，y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，先联立两个已知的方程求出x和y的值，然后代入求出m的值即可． 【详解】解：解方程组得：， 把代入得， 故选C． 【变式8-2】若方程组的解中，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用可得：，代入求解即可． 【详解】解：， 可得：， ∴同除可得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 【考点题型九】同解方程组 【例9】已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中没有参数的两个方程，组成新的方程，求出未知数的方程，再代入带参数的方程中，求出参数的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与的解相同， ∴，得，解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为：， ∴， ∴，． 【变式9-1】已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的定义和解法，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．解方程组求出、的值，把、的值代入含有、的方程，解方程组即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 将代入，得， 解得：． 【变式9-2】已知方程组与方程组的解相同，则 ， ． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 联立不含a与b的方程组成新方程组，求出x与y的值，再把x与y的值代入含a与b的方程组成方程组，求出a与b的值即可． 【详解】解：由已知可得解得 把代入方程组得 解得： 故答案为：；． 【考点题型十】二元一次方程组的应用 【例10】超市一次用7000元购进两种“冬奥会”吉祥物挂件，其中“冰墩墩”的个数是“雪容融”个数的2倍，“冰墩墩”和“雪容融”的金价和售价如下表：（注：获利售价进价） “冰墩墩” “雪容融” 进价（元/个） 20 30 售价（元/个） 25 40 (1)该超市购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件各多少个？ (2)该超市将第一次购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件全部卖完后一共可以获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进两种挂件，其中“冰墩墩”的个数不变，“雪容融”的个数是第一次的3倍；“冰墩墩”按原价销售，“雪容融”打折销售，第二次两种挂件都售完以后获得的总利润比第一次的总利润多800元，求第二次“雪容融”是按原价打几折销售？ 【答案】(1)该超市购进“冰墩墩”200个，购进“雪容融”100个； (2)2000元 (3)第二次“雪容融”是按原价打9折销售 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设该超市购进“冰墩墩”x个，购进“雪容融”y个，根据总进价为7000元以及“冰墩墩”的个数是“雪容融”个数的2倍列出方程组求解即可； （2）根据（1）所求结合获利售价进价列式求解即可； （3）设第二次“雪容融”是按原价打m折销售，根据第二次总利润比第一次的总利润多800列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该超市购进“冰墩墩”x个，购进“雪容融”y个， 由题意得， ， 解得， 答：该超市购进“冰墩墩”200个，购进“雪容融”100个； （2）解：元， 答：该超市将第一次购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件全部卖完后一共可以获得利润2000元； （3）解：设第二次“雪容融”是按原价打m折销售， 由题意得，， 解得， 答：第二次“雪容融”是按原价打9折销售． 【变式10-1】小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次 6 5 1140 第二次 3 7 1110 第三次 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第____________次购物打了折扣； (2)求出商品A，B的标价； (3)若商品A，B的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)三 (2)商品A的标价为90元，商品B的标价为120元 (3)商店是打六折出售这两种商品 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）根据图表可得小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值； （3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据表格可知，小林以折扣价购买商品A，B是第三次购物． 故答案为：三； （2）解：设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元． 根据题意，得， 解得：， 故商品A的标价为90元，商品B的标价为120元． （3）解：设商店打a折出售这两种商品． 根据题意得：， 解得：． 故商店是打六折出售这两种商品的． 【变式10-2】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【答案】甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出结果． 【详解】解：设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方， 乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方， 根据题意，得 解得： 所以，甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方，乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方． 【变式10-3】小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，已知小明在上坡路上的平均速度为4.8千米时，而他在下坡路上的平均速度为12千米时，那么小明在上坡路上用了多少分钟？（温馨提示：计算时请注意单位） 【答案】11分钟 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小明在上坡路上用了分钟，在下坡路上用了分钟，根据小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：4.8千米时米分，12千米时米分， 设小明在上坡路上用了分钟，在下坡路上用了分钟， 由题意得：， 解得：， 答：小明在上坡路上用了11分钟． 【变式10-4】《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 【答案】甲有钱 ，乙有钱25 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出等量关系是解题的关键． 设甲有钱x，乙有钱y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲有钱x，乙有钱y， 由题意得： 解得： 答：甲有钱 乙有钱25． 【考点题型十一】 三元一次方程组的解法 【例11】三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解三元一次方程组，将三个式子相加求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式11-1】解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【答案】B 【分析】观察方程组各未知数的系数，消去的计算量比较小， 本题考查了，消元法解方程组，解题的关键是：熟练掌握，消元法解方程组． 【详解】解：， ②③，即可消去，转化成关于、的二元一次方程组， 故选：． 【变式11-2】已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程的解法，解题的关键是读懂题目． 首先利用将三个方程看出三元一次方程组求出x，z的值，然后代入所求代数式即可求解． 【详解】解：，， 得：， ， 而， 得， ， 把代入得：， ． 故选：C． 【变式11-3】已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 【考点题型十二】三元一次方程组的应用 【例12】某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套． 【答案】衣袖、衣身、衣领：120人，40人，50人 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中优越性；可设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，根据等量关系：①一共210名工人；②每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个；依此列出方程组求解即可． 【详解】解设个人缝制衣袖，个人缝制衣身，个人缝制衣领． 则有， 解得： 答：衣袖、衣身、衣领：120人，40人，50人． 【变式12-1】某个商店出售三种生日贺卡，已知种贺卡每张0.5元，种贺卡每张1元，种贺卡每张2.5元．营业员统计三月份的经营情况如下：三种贺卡共卖出150张，收入合计180元，则该商店3月份出售种贺卡至少多少张？ 【答案】20张 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，难度较大，对于本题的解答，列示比较简单，难点在与通过加减消元法得到与，与的关系，根据、判定的最小值．首先假设、、三种贺卡售出的张数分别为，，．根据题意列方程组得：然后通过加减消元法得到，根据的取值判定的最小值． 【详解】解：设、、三种贺卡售出的张数分别为，，， 则由题意得组得：， 由①②得，，即， ②①得，，即， 由，得， 由，得， ， 答：该商店3月份出售种贺卡至少20张． 【变式12-2】某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？ 【答案】45千米小时 【分析】本题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题目的具体说明，列出方程组，求得数字、的关系．另外注意隐含条件数字、满足，．假设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时．那么这个两位数数值就是，1小时后站牌数值是，又经过1小时，他看到第三块里程牌上数值是；因而列方程与，求得与的比例关系．通过数字、满足，，确定出、的取值，代入求得的值． 【详解】解：设这个两位数的个位数字是，十位数字是，汽车的速度为千米小时． 由题意得， 整理得： 由①②得，即 又， 只能取6， 答：汽车的速度是45千米小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 一次方程（组）(13个考点梳理+12个题型解读+提升训练) 【清单01】一元一次方程的定义 方程:含有未知数的等式叫做方程.一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程。 条件:(1)只含有一个未知数；(2)未知数的次数是1;(3)分母中不含有未知数,即必须是整式方程。 【清单02】 建立一元一次方程模型 把所要求的量用字母x(或y,…)表示,根据问题中的等量关系列出方程,这一过程叫做建立方程. 【清单03】方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值,叫做方程的解. 【清单04】等式的性质 (1)等式性质1 内容:等式两边都加上(或减去)同一个数(或式),所得结果仍是等式. 式子:如果 a=b,那么 a±c=b±c (2)等式性质2 内容:等式两边都乘(或除以)同一个数(或式)(除数或除式不能为0),所得结果仍是等式. 式子:如果 a=b,那么 ac=bc. 如果 a=b,那么“”：(d≠0). 【清单05】移项 定义：把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项 注意,移项须星从方程的一边移到另边,而不是在方程同一边交换位置,要把从方程的一边移到另一边的项变号,而在方程同一边交换位置的项,不能变号. 【清单06】利用移项、合并同类项解一元一次方程 解方程:求方程的解的过程叫做解方程.解形如 mx+p=nx+q 的一元一次方程的步骤如下: (1)移项.根据等式性质1,将含未知数的项移到方程的一边,常数项移到方程的另一边. (2)合并同类项.化方程为ax=b(a,b为已知数,且 a≠0)的形式. (3)系数化为1.根据等式性质2,将方程ax=b(a≠0)化为 【清单07】去括号解方程 步骤:(1)去括号: (2)移项: (3)合并同类项: (4)系数化为1.注意:去括号时,一是要看清括号前面的符号,是“一”号时,去掉括号和它前面的符号，括号内的各项都要改变符号;二是括号前面的系数要与括号里面的每一项相乘,不能漏乘任何一项. 【清单08】一次方程（组）的应用 销售问题 (1) 利润=售价一进价. (2) 本息和=本金十利息. (3) 利息=本金×年利率×年数 相遇问题与追及问题 基本关系:路程=速度X时间.相遇问题:甲走的路程十乙走的路程一两地之间的距离. 追及问题:(1)同时不同地出发:若甲的速度较快,则被追赶的路程一甲走的路程一乙走的路程; (2) 同地不同时出发:甲走的路程=乙走的路程 航行问题 (1)顺水(风)速度一静水(风)速度+水流(风)速度; (2)逆水(风)速度-静水(风)速度一水流(风)速度. 【清单09】二元一次方程组的定义 只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫二元一次方程组. 【清单10】 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 【清单11】 二元一次方程方程组的解法——代入消元法 把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后这个代数式代人另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程就可以求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代人前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值，至此就求出了二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法 【清单12】 二元一次方程方程组的解法——加减消元法 把一个方程进行适当变形后，再加上(或减去)另一个方程，消去其中一个未知数，得到只含另一个未知数的一元一次方程，解这个一元一次方程求出另一个未知数的值，再把这个值代入原一元一次方程组的任意一个方程，就可以求出被消去的未知数的值，从而得到原二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法. 【清单13】三元一次方程方程组的解法 解三元一次方程维时，应先消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，然后利用解二元一次方程组的方法求解，消元的方法仍是代入消元法或加臧消元法. 【考点题型一】一元一次方程的定义 【例1】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式：①；②；③；④；⑤．其中，一元一次方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】已知关于x的方程是一元一次方程，求k的值． 【考点题型二】等式的性质 【例2】下列等式变形错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】将方程变形为用含的式子表示，那么 ； 【变式2-3】下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．，且，则 【变式2-4】在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：，去分母得，那么其变形的依据是（　 　） A．等式的基本性质1 B．等式的基本性质2 C．分数的基本性质 D．去括号法则 【考点题型三】解一元一次方程 【例3】若与互为相反数，则 ． 【变式3-1】解方程． (1) (2) (3) 【变式3-2】解方程： ． 【变式3-3】解下列方程： (1) (2) 【变式3-4】小丽做作业时解方程的步骤如下： 解：①去分母，得； ②去括号，得； ③移项，得； ④合并同类项，得； ⑤系数化为1，得． (1)小丽的解答过程正确吗？答：______（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是______．（填序号） (2)请写出正确的解答过程． 【考点题型四】一元一次方程的应用 【例4】某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺栓或1000个螺母，1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，设安排x名工人生产螺栓，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】金湖水域面积420.08平方千米，陆地面积是水域面积的2.3倍，陆地面积比水域面积多多少平方千米？ 【变式4-2】奇思家到妙想家的距离是960米，两人同时从家出发相向而行，奇思每分走70米，妙想每分走50米，几分钟后两人相遇？（用方程解决） 【变式4-3】修一条路，甲队单独修要18天完成，乙队单独修要9天完成．两队合作多少天可以修完这条路的一半？ 【变式4-4】（鸡兔同笼）某小学举行了一次数学竞赛，共道题．每做对道题得分，每做错道题倒扣分，小苗把道题全做了共得了分．她做对了多少道题？ 【变式4-5】下图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“S型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“S型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，S的值能否等于74？若能，求m的值；若不能，说明理由； 【变式4-6】已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； (2)若8表示的点与表示的点重合，回答下列问题： ①数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示数分别为 ， ． ②在①的条件下，点C为数轴上的一个动点，从点O出发，以2个单位每秒的速度向右运动，求当时间t为多少秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 【考点题型五】二元一次方程组的定义 【例5】已知是关于x、y的二元一次方程，则 ． 【变式5-1】下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序号）． 【变式5-2】已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【考点题型六】二元一次方程组的解法 【例6】解方程组： (1) (2) 【变式6-1】已知与是同类项，则的值是（   ） A．4 B．1 C． D． 【变式6-2】解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到x的值为 ，这时 ． 【变式6-3】用加减消元法解得方程组的解为 ． 【变式6-4】解下列方程组： (1) (2) 【考点题型七】二元一次方程组的特殊解法 【例7】整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【变式7-1】利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【变式7-2】学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【考点题型八】已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例8】关于，的方程组的解满足，则的值为 【变式8-1】若关于x，y的二元一次方程组的解与方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】若方程组的解中，则等于（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【考点题型九】同解方程组 【例9】已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值． 【变式9-1】已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值． 【变式9-2】已知方程组与方程组的解相同，则 ， ． 【考点题型十】二元一次方程组的应用 【例10】超市一次用7000元购进两种“冬奥会”吉祥物挂件，其中“冰墩墩”的个数是“雪容融”个数的2倍，“冰墩墩”和“雪容融”的金价和售价如下表：（注：获利售价进价） “冰墩墩” “雪容融” 进价（元/个） 20 30 售价（元/个） 25 40 (1)该超市购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件各多少个？ (2)该超市将第一次购进“冰墩墩”和“雪容融”两种挂件全部卖完后一共可以获得多少利润？ (3)该超市第二次以第一次的进价又购进两种挂件，其中“冰墩墩”的个数不变，“雪容融”的个数是第一次的3倍；“冰墩墩”按原价销售，“雪容融”打折销售，第二次两种挂件都售完以后获得的总利润比第一次的总利润多800元，求第二次“雪容融”是按原价打几折销售？ 【变式10-1】小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次 6 5 1140 第二次 3 7 1110 第三次 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第____________次购物打了折扣； (2)求出商品A，B的标价； (3)若商品A，B的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？ 【变式10-2】某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？ 【变式10-3】小明家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了16分钟，已知小明在上坡路上的平均速度为4.8千米时，而他在下坡路上的平均速度为12千米时，那么小明在上坡路上用了多少分钟？（温馨提示：计算时请注意单位） 【变式10-4】《九章算术》中有这样一道题，原文如下： 今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何?大意为：今有甲、乙两人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；若甲把其 的钱给乙，则乙的钱数也能为50问甲、乙各有多少钱? 请解答上述问题． 【考点题型十一】 三元一次方程组的解法 【例11】三个整数a，b，c满足，则a的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【变式11-1】解方程组时，要使解法较为简便，应（    ） A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数 【变式11-2】已知，，，则代数式的值是（　　） A．32 B．64 C．96 D．128 【变式11-3】已知，且，求的值． 【考点题型十二】三元一次方程组的应用 【例12】某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套． 【变式12-1】某个商店出售三种生日贺卡，已知种贺卡每张0.5元，种贺卡每张1元，种贺卡每张2.5元．营业员统计三月份的经营情况如下：三种贺卡共卖出150张，收入合计180元，则该商店3月份出售种贺卡至少多少张？ 【变式12-2】某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数（表示千米）；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$