13.1.2 线段垂直平分线的性质 课件 2024--2025学年人教版八年级数学上册

人教版（新课标）八年级上册 13.1.2《线段垂直平分线的性质》 （ 2课时 ） 日 期：2024年10月16日（第10周） 学习目标 学习目标：1.熟练掌握线段垂直平分线、过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作法；（直观想象） 2.理解与掌握线段垂直平分线的性质定理与判定定理，并能灵活运用其求解相关的实际问题.（逻辑推理、数学运算） 教学重点：线段垂直平分线的性质定理与判定定理，及其实际运用. 教学难点：线段垂直平分线的性质定理与判定定理的实际运用. 一 复习旧知——线段垂直平分线的定义（导学） 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(或中垂线). 中点 如图，已知线段，点为线段的中点，过点作直线 , 则直线 即为线段的垂直平分线（或中垂线）. 直线 即为线段的垂直平分线 Administrator (A) - 二 探究新知1——线段垂直平分线的尺规作法（互学） 已知：如图，点和点关于某条直线成轴对称， 求作：点和点的对称轴. 作法： (1)分别以点 和点 为圆心，大于的长为半径作弧(想一想为什么)，两弧相交于两点; (2)作直线. 就是点和点的对称轴 注：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点. （一）线段垂直平分线的尺规作法 Administrator (A) - 二 探究新知1——线段垂直平分线的尺规作法（互学） （二）利用尺规求作轴对称图形的对称轴 例如，对于图中的五角星， （1）找出它的一对对应点 和 ； （2）连接； （3）作出线段的垂直平分线， 则图中就是这个五角星的一条对称轴. 利用线段垂直平分线的尺规作法，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. Administrator (A) - 三 探究新知2——线段垂直平分线的性质（互学） （一）探究 如图，直线垂直平分线段，…是上的点，分别量一量点…到点与点的距离，你有什么发现? 分析： 可以发现，点 …到点 的距离与它们到点的距离分别相等. 如果把线段沿直线对折，线段与、线段、线段……都是重合的，因此它们也分别相等. Administrator (A) - 三 （二）线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 用数学语言表述为： ∵已知直线为线段的垂直平分线， 点为直线上一点, ∴. 思考：你能利用三角形全等的相关知识，来证明线段垂直平分线的性质成立吗？ 探究新知2——线段垂直平分线的性质（互学） Administrator (A) - 三 探究新知2——线段垂直平分线的性质（互学） （三）证明 已知：如图，直线为线段的垂直平分线，且与线段相交于点,点为直线上一点, 求证：. 证明： ∵直线为线段的垂直平分线， ∴且, ∴, 又∵在与中，满足 ， ∴, ∴即“ 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”成立. Administrator (A) - 四 小组合作、讨论交流1(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这道题考察了线段垂直平分线的尺规作法及性质. 例1．如图， （1）作的垂直平分线，交于点，交于点；（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法） （2）连接，，，求的周长． 五 成果展示1(迁移变通) 例1．如图， （1）作的垂直平分线，交于点，交于点；（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法） （2）连接，，，求的周长． 解： （1）如图所示; （2）∵垂直平分, ∴,（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.） ∴的周长 答：的周长为18. 六 探究新知3——线段垂直平分线的判定（互学） （一）探究 如图，已知, 试问：点是否在线段 的垂直平分线上?如果在，你能说明理由吗 ？ 分析： 点在线段 的垂直平分线上，理由如下： 如图，过点作,垂足为点, ∵， ∴, 即为直角三角形， 又∵在中，满足 ， ∴ ∴, 又∵,垂足为点， ∴为线段 的垂直平分线， 故点在线段 的垂直平分线上. Administrator (A) - 六 探究新知3——线段垂直平分线的判定（互学） （二）线段垂直平分线的判定定理 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 用数学语言表述为： ∵， ∴点在线段 的垂直平分线上. Administrator (A) - 七 小组合作、讨论交流2(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这两道题考察了线段垂直平分线的判定与尺规作图. 例2 如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 例3 尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 八 成果展示2(迁移变通) 例2 如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 证明： ∵是的平分线， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴，两点都在线段的垂直平分线上，（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上） ∴是线段的垂直平分线．（两点确定一条直线） 八 成果展示2(迁移变通) 例3 尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知:直线和 外一点. 求作:的垂线，使它经过点. 作法: (1)任意取一点，使点和点在的两旁. (2)以点为圆心，长为半径作弧，交于点和. (3)分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点. (4)作直线. 答：图中直线就是所求作的垂线. 九 提升演练(检测实践) 例4 如图，，线段经过线段的中点， 求证：． 证明： ∵， ∴点在线段的垂直平分线上，（线段垂直平分线的判定） 又∵为的中点， ∴， （线段垂直平分线的判定） ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，（两点确定一条直线） 又∵线段经过点， 即垂直平分， ∴． (线段垂直平分线的性质) 注：理由做题时可省略不写. 课堂小结 十 今天我们学习了哪些内容？ 1.熟练掌握了线段垂直平分线、过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作法；（直观想象） 2.理解与掌握了线段垂直平分线的性质定理与判定定理，并能灵活运用其求解相关的实际问题.（逻辑推理、数学运算） 十一 学生自评 请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价 十二 家庭作业 1.整理导学案中本节课知识点并记背； 2.完成导学案上相关题型. $$