专题05 概率与统计（9大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019）

专题05 概率与统计 条件概率 1(23-24高二上·北京昌平·期末)已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为(    ) A．22.5% B．30% C．40% D．75% 2(23-24高二上·陕西汉中·期末)袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为(    ) A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6 3(23-24高二上·广东广州·期末)现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”． (1)求； (2)求． 乘法公式与全概率公式 1(23-24高二上·江西萍乡·期末)某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为(    ) A． B． C． D． 2(23-24高二上·河南南阳·期末)长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为(    ) A． B． C． D． 3(23-24高二上·江西鹰潭·期末)若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球()､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 4(多选)(23-24高二上·黑龙江·期末)已知编号为的三个盒子，其中1号盒子内装有一个1号球，一个2号球和两个3号球；2号盒子内装有一个1号球，两个3号球；3号盒子内装有两个1号球，三个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是(    ) A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为 B．第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为 C．第二次抽到2号球的概率为 D．如果第二次抽到的是2号球，则它来自1号盒子的概率最大 独立性与条件概率的关系 1(23-24高二上·四川宜宾·期末)甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为则密码被成功破译的概率为(    ) A． B． C． D． 2(23-24高二上·广东汕尾·期末)若事件满足，，，则下列说法不正确的是(    ) A． B． C． D． 3(23-24高二上·四川成都·期末)连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上面的点数.事件“第一次得到的数字是2”；事件“第二次得到的数字是奇数”；事件“两次得到数字的乘积是奇数”；事件“两次得到数字的和是6”.则(    ) A．事件和事件对立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件相互独立 D． 离散型随机变量的分布列 1(23-24高二上·辽宁·期末)设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则(    ) A． B． C． D． 2(多选)(23-24高二上·江西·期末)设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则(    ) A． B． C． D． 3(23-24高二上·吉林·期末)随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则 . 4(23-24高二上·河南·期末)学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平局.已知甲赢乙的概率为0.3，乙赢丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7. (1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数的概率分布列； (2)求甲成为优胜者的概率. 5(23-24高二上·辽宁朝阳·期末)甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，若甲赢而乙输，则甲得2分；若甲输而乙赢，则甲得分；若甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢教练的概率为0.4，乙赢教练的概率为0.5，每轮比赛结果相互独立. (1)求在一轮比赛中，甲得分X的分布列； (2)求前两轮比赛中甲得分之和为0的概率. 二项式分布与超几何分布 1(23-24高二上·广西桂林·期末)已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则(    ) A． B． C． D． 2(23-24高二上·北京昌平·期末)某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是(    ) A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2% 3(23-24高二上·陕西渭南·期末)若随机变量，则(    ) A．2 B．4 C．8 D．32 4(23-24高二上·江西·期末)设随机变量，若，则的最大值为(    ) A．4 B．3 C． D． 5(23-24高二上·江西南昌·期末)在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则 ． 6(23-24高二上·辽宁·期末)某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则 . 7(23-24高二上·辽宁抚顺·期末)某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛. (1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？ (2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列. 8(23-24高二上·陕西西安·期末)某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)从 个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？ (2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？ (3)当 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 9(22-23高二上·上海虹口·期末)某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验. (1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (3)(1)、(2)分别对应哪种分布，并结合(1)(2)探究两种分布之间的联系. 随机变量的数字特征 1(23-24高二上·陕西渭南·期末)若随机变量，则(    ) A．2 B．4 C．8 D．32 2(23-24高二下·江苏连云港·期中)随机变量X的分布列如表所示，若，则(   ) X 0 1 P a b A．3 B． C．5 D．9 3(23-24高二上·黑龙江·期末)设随机变量，则(    ) A．2 B．3 C．6 D．7 4(多选)(23-24高二上·江西上饶·期末)若随机变量，下列说法中正确的有(    ) A． B．期望 C．期望 D．方差 正态分布 1(23-24高二上·山东日照·期末)若随机变量，且，则(    ) A． B． C． D． 2(23-24高二上·江西·期末)若随机变量X服从正态分布，，则(    ) A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9 3(23-24高二上·山东德州·期末)某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中错误的是(    ) A．该物理量在一次测量中大于100的概率为0.5 B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 C．该物理量在一次测量中小于99.9与大于100.1的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 4(23-24高二上·河南南阳·期末)为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取罐咖啡，并测量其质量(单位：).由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的罐咖啡中质量在之外的罐数，若的数学期望，则的最小值为(    ) 附：若随机变量服从正态分布，则. A．10 B．11 C．12 D．13 5(多选)(23-24高二上·广西桂林·期末)某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是(    ) A．该正态分布的均值为 B． C． D． 6(23-24高二上·黑龙江·期末)已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .参考数据：若，则 7(23-24高二上·江西·期末)某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 一元线性回归模型 1(23-24高二上·江西·期末)根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则(    ) A．11 B．10 C．9 D．8 2(多选)(23-24高二上·安徽六安·期末)下列说法正确的是(   ) A．若回归方程为，则变量x与y负相关 B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心 C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 3(多选)(23-24高二上·山东日照·期末)下列结论中正确的是(    ) A．若变量与之间的相关系数，则与正相关 B．由样本数据得到的线性回归方程必过点 C．已知，，则 D．已知随机变量，则 4(23-24高二上·安徽马鞍山·期末)新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平(单位：，即：百万国际单位/毫升)，现测得某志愿者的相关数据如下表所示： 天数 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与(a，b，c，d均为大于0的实数)哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； (3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望. 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87 其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；. 独立性检验 1(23-24高二上·江西九江·期末)假设有两个变量和，它们的取值分别为和，其列联表为(    ) 根据以下选项中的数据计算的值，其中最大的一组为(    ) A． B． C． D． 2(23-24高二上·浙江·期末)某市对高三年级学生进行数学学能检测(简称检测)，现随机抽取了1600名学生的检测结果等级(“良好以下”或“良好及以上”)进行分析，并制成下图所示的列联表. 良好以下 良好及以上 合计 男 800 1100 女 100 合计 1200 1600 (1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关； (2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望. 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中，. 概率与函数 1(23-24高二上·四川眉山·期末)随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． (1)求一次数据能被软件准确分析的概率； (2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 2(23-24高二上·山东日照·期末)普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分． (1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率； (2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛． 概率与数列 1(23-24高二上·浙江·期末)某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为(例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率)． (1)若，且每个元件正常工作的概率． ①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望； ②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率． (2)请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率． 新定义问题 1(23-24高二上·上海·期末)在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 概率与统计 条件概率 1（23-24高二上·北京昌平·期末）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．75% 【答案】C 【分析】由条件概率的公式计算即可得. 【详解】设事件为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件为“抽到喜欢科普阅读的学生”， 则，， 则， 即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为. 故选：C. 2（23-24高二上·陕西汉中·期末）袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（    ） A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【分析】分别设事件“第一次取得白球”和“第二次取得红球”，由条件概率计算公式求解即可求解. 【详解】设第一次取得白球为事件，第二次取得红球为事件， 所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为： . 故选：B. 3（23-24高二上·广东广州·期末）现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产．这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，．现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”． (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)0.81. 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得. （2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】（1）依题意，. （2）依题意，， 由（1）知， 由全概率公式得 . 乘法公式与全概率公式 1（23-24高二上·江西萍乡·期末）某一地区患有癌症的人占0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.05.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件某人是癌症患者，事件化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以 ， 现在某人的化验结果呈阳性，则此人是癌症患者的概率为：. 故选：D 2（23-24高二上·河南南阳·期末）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合全概率公式列式求解作答. 【详解】令=“玩手机时间超过1小时的学生”，=“玩手机时间不超过1小时的学生”，=“任意调查一人，此人近视”， ，且互斥，， 依题意有，解得 从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为. 故选：C 3（23-24高二上·江西鹰潭·期末）若甲盒中有2个白球､2个红球､1个黑球，乙盒中有x个白球（）､3个红球､2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由全概率公式即可得解. 【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ， 解得，则的最大值为6． 故选：C. 4（多选）（23-24高二上·黑龙江·期末）已知编号为的三个盒子，其中1号盒子内装有一个1号球，一个2号球和两个3号球；2号盒子内装有一个1号球，两个3号球；3号盒子内装有两个1号球，三个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为 B．第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为 C．第二次抽到2号球的概率为 D．如果第二次抽到的是2号球，则它来自1号盒子的概率最大 【答案】AB 【分析】根据古典概型、条件概率、概率乘法公式逐一求解可得. 【详解】记第一次取得号球为事件，则，在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为，即正确； 第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为，即B正确； 记第二次在第i号盒子内抽到2号球的事件分别为，而两两互斥，和为，且， 记第二次抽到2号球的事件为，则，即C错误； 由于原先2号盒子没有2号球，如果第二次取到的是2号球， 则它来自1号盒子的概率为， 它来自3号盒子的概率， 即如果第二次抽到的是2号球，则它来自3号盒子的概率最大，故D错误. 故选：AB 独立性与条件概率的关系 1（23-24高二上·四川宜宾·期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为则密码被成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】密码被成功破译的对立事件是两人都没有破译，利用概率公式计算即可. 【详解】设甲破译密码为事件A，乙破译密码为事件B，则有， 则密码被成功破译的概率. 故选：D 2（23-24高二上·广东汕尾·期末）若事件满足，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合概率的计算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B错误； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中，由， 所以，所以D正确. 故选：B. 3（23-24高二上·四川成都·期末）连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上面的点数.事件“第一次得到的数字是2”；事件“第二次得到的数字是奇数”；事件“两次得到数字的乘积是奇数”；事件“两次得到数字的和是6”.则（    ） A．事件和事件对立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件相互独立 D． 【答案】D 【分析】对于A，由互斥事件、对立事件的概念即可判断；对于B，由事件发生时，事件也有可能发生，即可判断；对于C，判断是否成立即可；对于D，判断是否成立即可. 【详解】对于A，事件“第二次得到的数字是奇数”= “第二次得到的数字是1，3，5”，所以事件和事件互斥但不对立； 对于B，事件发生时，即“第二次得到的数字是1，3，5”，若“两次得到数字的和是6”也发生，则此时只需“第一次得到的数字是5，3，1”， 即事件发生时，事件也有可能发生，故B错误； 对于C，由题意，     “两次得到数字的和是6”可能有：五种情况，即， 而事件和事件同时发生即为一种情况，所以， 但，故C错误； 对于D，由题意， 而事件和事件同时发生的概率， 所以. 故选：D. 离散型随机变量的分布列 1（23-24高二上·辽宁·期末）设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分布列的性质，列式计算即得. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 2（多选）（23-24高二上·江西·期末）设离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用分布列的性质求得，从而利用期望与方差公式与性质即可得解. 【详解】由分布列的性质知，则， 故，故A正确； ，故C错误； 则，故B正确； 所以，故D正确． 故选：ABD． 3（23-24高二上·吉林·期末）随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则 . 【答案】0.7/ 【分析】利用分布列的性质求出的值，然后由概率的分布列求解概率即可． 【详解】由分布列的性质可得，，可得， 所以． 故答案为：0.7 4（23-24高二上·河南·期末）学校羽毛球社团中的甲､乙､丙三名社员进行羽毛球比赛，约定如下：先从甲､乙､丙三人中随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，率先获胜两局者为优胜者，比赛结束，且每局比赛均无平局.已知甲赢乙的概率为0.3，乙赢丙的概率为0.5，丙赢甲的概率为0.7. (1)若甲､乙二人率先开局比赛，求比赛局数的概率分布列； (2)求甲成为优胜者的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)0.132 【分析】（1）根据题意比赛局数的可能取值为，，，根据对应的事件求其概率即可； （2）分别求甲乙、甲丙、乙丙开局时甲成为优胜者的概率，再根据全概率公式可得. 【详解】（1）比赛局数的可能取值为. 比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以， 比赛三局结束，则第二局､第三局丙连胜，所以， 比赛四局结束，所以， 所以的分布列为： 2 3 4 0.44 0.35 0.21 （2）记甲､乙比赛第一局为事件，甲､丙比赛第一局为事件，乙､丙比赛第一局为事件，甲成为优胜者为事件.第一局比赛双方可能是甲乙､甲丙､乙丙共三种情况， 则， 所以， . 所以 . 所以甲成为优胜者的概率为0.132. 5（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，若甲赢而乙输，则甲得2分；若甲输而乙赢，则甲得分；若甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢教练的概率为0.4，乙赢教练的概率为0.5，每轮比赛结果相互独立. (1)求在一轮比赛中，甲得分X的分布列； (2)求前两轮比赛中甲得分之和为0的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2)0.37 【分析】（1）由甲、乙与教练比赛的结果相互独立，分别计算随机变量X取，0，2时的概率，从而得出分布列； （2）设第一轮比赛中甲得分为x，第二轮比赛中甲得分为y，前两轮比赛中甲得分之和为0分解为三个两两互斥的事件：，计算它们的概率和即可. 【详解】（1）由题设，X的可能取值为，0，2， ， ， . X的概率分布为 X 0 2 P 0.3 0.5 0.2 （2）设第一轮比赛中甲得分为x，第二轮比赛中甲得分为y，前两轮比赛中甲得分之和为0为事件A，则事件A包含三个事件：， 三个事件两两互斥， 又每轮比赛结果相互独立， 所以， ， 即前两轮比赛中甲得分之和为0的概率为0.37. 二项式分布与超几何分布 1（23-24高二上·广西桂林·期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得. 【详解】由题意可知，件产品中有件次品，件正品， 从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数， 表示要从件次品中抽取件，从件正品中抽取件， 故. 故选：B. 2（23-24高二上·北京昌平·期末）某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（    ） A．9.6% B．10.4% C．80% D．99.2% 【答案】A 【分析】根据独立重复实验的概率公式可求出结果. 【详解】由天气预报的准确率为80%， 则3次预报中恰有1次预报准确的概率为： ，即. 故选：A. 3（23-24高二上·陕西渭南·期末）若随机变量，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．32 【答案】B 【分析】由二项分布的方差公式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：B. 4（23-24高二上·江西·期末）设随机变量，若，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的数学期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的单调性求得的最大值. 【详解】随机变量，由得，解得. ， 易知二次函数的开口向下，对称轴为，所以在上单调递增， 于是时取得最大值，即最大值为. 故选：C. 5（23-24高二上·江西南昌·期末）在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，可知X服从二项分布，由二项分布的期望公式可求出m，进而可得. 【详解】由题意知． 因为，所以，解得， 所以． 故答案为： . 6（23-24高二上·辽宁·期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则 . 【答案】/0.5 【分析】因抽取的4人中女同学的人数为，每个女同学被抽到的可能性相同，结果有限，故符合超几何分布概率模型，利用包括的情形分别求概率再求和即得. 【详解】因 . 故答案为：. 7（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛. (1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？ (2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列. 【答案】(1)种 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据分步计数原理即可求解； （2）求出男运动员与女运动员的人数之差为的可能取值，并得到其概率，最后写出分布列即可. 【详解】（1）共有种选派方法. （2）由题意知，的取值范围为， ， 所以的分布列为 -3 -1 1 8（23-24高二上·陕西西安·期末）某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)从 个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？ (2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？ (3)当 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】（1）不相邻问题插空法； （2）单独一个坑需要补播种的情况有两种，分别计算两粒种子不发芽的概率和三粒种子不发芽的概率，两者概率之和即是答案； （3）由（2）可得个坑要补播种的概率为，应用不等式法求最大概率并确定对应值即可. 【详解】（1）先把个坑排好共个空，再把剩下的2个坑往空里放，共有种方案； （2）一个坑需要补播种有两种可能：两粒种子不发芽和三粒种子不发芽 两粒种子发芽的概率 三粒种子发芽的概率 所以一个坑需要补播种的概率 （3）3个坑要补播种的概率为，要想有3个坑要补播种概率最大，即满足不等式组 解得：，又，所以或时，3个坑要补播种的概率最大，此时. 9（22-23高二上·上海虹口·期末）某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验. (1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？ (3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系. 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析. 【分析】（1）当时，如果放回，是二项分布，计算概率值； （2）如果不放回，是超几何分布，分别计算概率值； （3）对超几何分布与二项分布关系的认识从共同点、不同点和联系三个方面进行说明． 【详解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取时都是从这件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为， 可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数， 恰好抽到1件次品的概率为. （2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品数是随机变量，服从超几何分布，的分布与产品的总数有关， 所以需要分3种情况分别计算： ①时，产品的总数为500件，其中次品的件数为件，合格品的件数为490件， 从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. ②时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为4900件， 从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. ③时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为49000件， 从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为. （3）对超几何分布与二项分布关系的认识： 共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败． 不同点： 1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取； 2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”； 联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布． 随机变量的数字特征 1（23-24高二上·陕西渭南·期末）若随机变量，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．32 【答案】B 【分析】由二项分布的方差公式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：B. 2（23-24高二下·江苏连云港·期中）随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ） X 0 1 P a b A．3 B． C．5 D．9 【答案】C 【分析】由，利用随机变量X的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果． 【详解】，由随机变量X的分布列得： ，解得， ， . 故选：C． 3（23-24高二上·黑龙江·期末）设随机变量，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据二项分布的方差公式及性质进行计算即可. 【详解】由题意得， 故. 故选：C. 4（多选）（23-24高二上·江西上饶·期末）若随机变量，下列说法中正确的有（    ） A． B．期望 C．期望 D．方差 【答案】AC 【分析】利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用二项分布的期望公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】因为随机变量，则，， ， 由期望的性质可得， 由方差的性质可得，AC对，BD错. 故选：AC. 正态分布 1（23-24高二上·山东日照·期末）若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：C. 2（23-24高二上·江西·期末）若随机变量X服从正态分布，，则（    ） A．0.45 B．0.55 C．0.1 D．0.9 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性可求答案. 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以； 所以. 故选：B. 3（23-24高二上·山东德州·期末）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中错误的是（    ） A．该物理量在一次测量中大于100的概率为0.5 B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大 C．该物理量在一次测量中小于99.9与大于100.1的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解. 【详解】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量大于100的概率为0.5，故A正确； 对于B，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故B正确； 对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于100.1的概率与小于99.9的概率相等，故C正确； 对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误. 故选：D 4（23-24高二上·河南南阳·期末）为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取罐咖啡，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的罐咖啡中质量在之外的罐数，若的数学期望，则的最小值为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据已知可推得，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以， 故， 所以，解得， 因为，故的最小值为11. 故选：B. 5（多选）（23-24高二上·广西桂林·期末）某市对历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重，则下列结论正确的是（    ） A．该正态分布的均值为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据可得出该正态分布的均值，可判断A选项；利用正态密度曲线的性质可判断BCD选项. 【详解】因为， 对于A选项，该正态分布的均值为，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，由正态密度曲线的对称性可知，，D错. 故选：AB. 6（23-24高二上·黑龙江·期末）已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为 .参考数据：若，则 【答案】0.84/ 【分析】根据题意确定，根据正态分布的对称性结合已知区间的概率，即可求得答案. 【详解】由题意知，该产品服从，则， 所以 ， 即抽到“可用产品”的概率为0.84. 故答案为：0.84. 7（23-24高二上·江西·期末）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)人 【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果； （2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案. 【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量， 则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人． 一元线性回归模型 1（23-24高二上·江西·期末）根据3对数据，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】由回归方程比过样本中心点即可列方程求解. 【详解】由已知，得，，又经过点，所以，解得． 故选：B． 2（多选）（23-24高二上·安徽六安·期末）下列说法正确的是（   ） A．若回归方程为，则变量x与y负相关 B．运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心 C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数 D．若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好 【答案】ABD 【分析】利用正负相关的意义判断A；利用回归直线的性质判断B；利用相关系数、决定系数意义判断CD. 【详解】对于A，回归方程为的斜率为负，则变量x与y负相关，A正确； 对于B，回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确； 对于C，散点图中所有点都在直线上，则相关系数，C错误； 对于D，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确. 故选：ABD 3（多选）（23-24高二上·山东日照·期末）下列结论中正确的是（    ） A．若变量与之间的相关系数，则与正相关 B．由样本数据得到的线性回归方程必过点 C．已知，，则 D．已知随机变量，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由相关系数的符号意义即可判断，对于B，由回归直线的特点即可判断，对于C，由条件概率即可验算，对于D，由二项分布均值公式即可验算. 【详解】对于A，若变量与之间的相关系数，则与正相关，故A正确； 对于B，回归直线方程必过样本点的中心，故B正确； 对于C，已知，，则，故C错误； 对于D，已知随机变量，则，故D正确. 故选：ABD. 4（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示： 天数 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； (3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望. 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87 其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；. 【答案】(1) (2)，40 (3)分布列见解析， 【分析】（1）由于这些点分布在一条曲线的附近，从而可选出回归方程； （2）设，，则建立w关于x的回归方程，然后根据公式和表中的数据求解回归方程即可，再将代入回归方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； （3）由题意可知x的可能取值为0，1，2，然后求对应的概率，从而可求出分布列和期望. 【详解】（1）根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型. （2）设，变换后可得， 设，建立w关于x的回归方程， ， 所以 所以w关于x的回归方程为， 所以， 当时，， 即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87. （3）由表格数据可知，第5，6天的y值大于50， 故x的可能取值为0，1，2， ， ， ， X的分布列为 0 1 2 . 独立性检验 1（23-24高二上·江西九江·期末）假设有两个变量和，它们的取值分别为和，其列联表为（    ） 根据以下选项中的数据计算的值，其中最大的一组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出四个选项中，比较大小即可得解． 【详解】对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，， 显然最大，故C正确. 故选：C. 2（23-24高二上·浙江·期末）某市对高三年级学生进行数学学能检测（简称检测），现随机抽取了1600名学生的检测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行分析，并制成下图所示的列联表. 良好以下 良好及以上 合计 男 800 1100 女 100 合计 1200 1600 (1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关； (2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市高三所有学生中，采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的检测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望. 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中，. 【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为本次检测结果等级与性别有关 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据条件可完善表格，然后计算出的值即可； （2）由条件可得，然后算出答案即可. 【详解】（1）由题中的数据补充列联表可得： 良好以下 良好及以上 合计 男 800 300 1100 女 400 100 500 合计 1200 400 1600 ， 故有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系. （2）根据题意，体测结果等级为“良好及以上”的频率为. 可知的取值有0，1，2，3，4，，记为的概率， 则， ， ， ； ； 则的分布列为： 0 1 2 3 4 P 所以的数学期望. 概率与函数 1（23-24高二上·四川眉山·期末）随着信息技术的飞速进步，大数据的应用领域正日益扩大，它正成为推动社会进步的关键力量．某研究机构开发了一款数据分析软件，该软件能够精准地从海量数据中提取有价值的信息．在软件测试阶段，若输入的数据集质量高，则软件分析准确的概率为0.8；若数据集质量低，则分析准确的概率为0.3．已知每次输入的数据集质量低的概率为0.1． (1)求一次数据能被软件准确分析的概率； (2)在连续次测试中，每次输入一个数据集，每个数据集的分析结果相互独立．设软件准确分析的数据集个数为X． ①求X的方差； ②当n为何值时，的值最大? 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解； （2）由题意可知：，①直接由二项分别的方差公式求解； ②，结合数列单调性分析求解. 【详解】（1）记“输入的数据集质量高”为事件，“一次数据能被软件准确分析”为事件，由题意可知：，则， 所以． 所以一次数据能被软件准确分析的概率0.75． （2）由（1）可知：， ①依题意，，所以的方差； ②可知， 令，则， 令，解得，可知当，可得； 令，解得，可知当，可得； 于是 所以当时，最大，即时，的值最大． 2（23-24高二上·山东日照·期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分． (1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率； (2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛． 【答案】(1) (2)该同学没有希望进入决赛 【分析】（1）由题意分析出超过8分的题型，求出对应的概率，相加即可求解； （2）设强化训练后法律文书题超过8分的概率为，案例分析题的为，则，求得强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为，结合二次函数的性质求得，令，利用换元法可得，由二次函数的性质和二项分布的数学期望计算公式可得，即可下结论. 【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有： ①超过8分的是1道法律文书题，2道案例分析题，， ②超过8分的是2道法律文书题，1道案例分析题，， ③超过8分的是2道法律文书题，2道案例分析题，， 故所求的概率； （2）设强化训练后，法律文书题超过8分的概率为，案例分析题超过8分的概率为， 则， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为： ， ，且，，即，， 则，， 故可得：，， ， ， 令，则在上单调递减， ． 该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数， ， 故该同学没有希望进入决赛． 概率与数列 1（23-24高二上·浙江·期末）某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． (1)若，且每个元件正常工作的概率． ①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望； ②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率． (2)请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率． 【答案】(1)①分布列见解析，；② (2)详见解析. 【分析】（1）①由题意可知，利用二项分布可得分布列进而可求得期望，②根据条件概率的公式求解在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率； （2）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论. 【详解】（1）①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3； 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为， 所以， 所以， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， ②设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件 则在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率为， （2）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件， 则设备正常运行有三种情况， 第一类：原系统中至少有个元件正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为； 所以 ， 即； 则， 所以，当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率， 当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率. 新定义问题 1（23-24高二上·上海·期末）在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量为所取两点间的曼哈顿距离，则 . 【答案】 【分析】先确定样本点总数，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望. 【详解】对于维坐标，其中.即有两种选择， 故共有种选择，即维“立方体”的顶点个数是个顶点； 当时，在坐标与中有个坐标值不同，即有个坐标值满足，剩下个坐标值满足， 则满足的个数为. 所以. 故分布列为： 则. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$