专题04 排列、组合与二项式定理（6大基础题+2大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019）

专题04 排列、组合与二项式定理 基本计数原理 1（23-24高二上·陕西渭南·期末）一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（    ） A．3种 B．504种 C．24种 D．12种 2（23-24高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 3（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 4（22-23高二上·广东深圳·期末）某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5（23-24高二上·河南焦作·期末）已知为正整数，且，则 . 排列数与组合数的计算 1（23-24高二上·福建龙岩·期末）计算（　　） A．34 B．35 C．36 D．37 2（23-24高二上·江苏常州·期末）（    ） A．63 B．10 C．21 D．0 3（多选）（23-24高二上·江苏南通·期末）下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：． （2）已知，求x． 排列与组合问题 1（23-24高二上·福建龙岩·期末）某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 2（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地.京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行.某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是（    ） A．144 B．240 C．576 D．1440 3（23-24高二上·河南驻马店·期末）2023年杭州亚运会是疫情之后我国举办的一项重大赛事，它不仅向世界展示了我国强大的综合实力，更体现了我国青年的奉献精神和志愿力量．运动会期间甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ）种． A．24 B．32 C．36 D．40 4（23-24高二上·山东青岛·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（    ） A．24种 B．54种 C．96种 D．120种 5（23-24高二上·江西宜春·期末）某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到不同的社区的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 6（多选）（23-24高二上·山东德州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（    ） A．不同的站队方式共有120种 B．若甲和乙不相邻，则不同的站队方式共有36种 C．若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有60种 D．若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有36种 7（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期末）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（   ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 指定项的二项式系数 1（23-24高二上·北京西城·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2（23-24高二上·四川德阳·期末）已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（    ） A． B．4 C． D．2 3（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 4（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）的展开式中的常数项为 . 5（23-24高二上·江西·期末）若的展开式中的系数为70，则实数 ． 6（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）在二项式展开式中，前三项的二项式系数之和为79. (1)求的值； (2)若展开式中的常数项为，求实数的值. 二项式系数的增减性和最值 1（多选）（23-24高二上·吉林长春·期末）二项式的展开式中（    ） A．前三项的系数之和为22 B．二项式系数最大的项是第4项 C．常数项为15 D．所有项的系数之和为64 2（多选）（23-24高二上·江西九江·期末）已知二项式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则展开式中的常数项为15 B．展开式中有理项的个数为4 C．若展开式中各项系数之和为64，则 D．展开式中二项式系数最大的项为第3项 3（23-24高二上·河南南阳·期末）已知的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的乘积为64. (1)求 的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 二项式的几项系数和 1（23-24高二上·湖南长沙·期末），则（    ） A． B．0 C．32 D．64 2（多选）（23-24高二上·山东潍坊·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3（多选）（23-24高二下·广东深圳·期中）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·江苏·假期作业）已知且满足各项的二项式系数之和为256． (1)求的值； (2)求的值． 5（23-24高二上·山东德州·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 利用组合数性质证明 1（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 二项式定理的应用 1（23-24高二上·江西九江·期末）实数精确到的近似值为 . 2（23-24高二上·江西九江·期末）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数） 3（23-24高二上·江西吉安·期末）判断是否能被8整除？并推理证明． 4（23-24高二上·福建龙岩·期末）在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题. 在的展开式中， (1)求n； (2)证明：能被6整除. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 5（23-24高二上·上海·期末）（1）求证：； （2）利用等式可以化简： ；类比上述方法，化简下式：. （3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 排列、组合与二项式定理 基本计数原理 1（23-24高二上·陕西渭南·期末）一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物8本，英语类读物9本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有（    ） A．3种 B．504种 C．24种 D．12种 【答案】C 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】从书架上取一本书，由分类加法计数原理可知，不同的取法共有种. 故选：C. 2（23-24高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（    ） A．30个 B．42个 C．41个 D．39个 【答案】D 【分析】分是否取两类，当不取时，排除重复的即可得解. 【详解】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为， 当不取时，底数有种，真数有种， 其中， 故此时有个， 所以共有个. 故选：D. 3（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（    ） A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】D 【分析】根据分类加法、分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】由题意知可以按上、下两条线路分为两类， 上线路中有条，下线路中有条. 根据分类计数原理，不同的线路可以有条. 故选：D 4（22-23高二上·广东深圳·期末）某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分步计数乘法原理即可求解. 【详解】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择， 故共有种选择方法. 故选：D. 5（23-24高二上·河南焦作·期末）已知为正整数，且，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，结合排列数和组合数的公式，准确计算，即可求解. 【详解】由，根据排列数和组合数的公式，可得，解得. 故答案为：. 排列数与组合数的计算 1（23-24高二上·福建龙岩·期末）计算（　　） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】A 【分析】直接由组合数公式计算即可. 【详解】由题意. 故选：A. 2（23-24高二上·江苏常州·期末）（    ） A．63 B．10 C．21 D．0 【答案】C 【分析】根据排列数公式及组合数公式计算可得. 【详解】由题意得，故C正确. 故选：C. 3（多选）（23-24高二上·江苏南通·期末）下列等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据排列数公式和组合数公式验证． 【详解】对于A，，，A错； 对于B，，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，， ∴，D正确． 故选：BCD． 4（23-24高二上·江西南昌·期末）（1）求值：． （2）已知，求x． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用组合数性质，即可求出结果. （2）利用组合数性质，即可求出结果. 【详解】（1）因为， （2）由，得到或，解得或， 经验证，符合题意，所以或. 排列与组合问题 1（23-24高二上·福建龙岩·期末）某学校高二（1）班上午安排语文、数学、英语、体育、物理门课，要求第一节不安排体育，语文和数学必须相邻，则不同的排课方法共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻的排法种数，接下来考虑语文和数学必须相邻的情形，求出两种情况下不同的排课方法种数，结合间接法可得结果. 【详解】先考虑第一节安排体育课，语文和数学必须相邻，则将数学与语文捆绑，形成一个大元素， 将这个大元素与英语、物理课进行排序，共有种排法； 接下来只考虑语文和数学必须相邻的情形，只需将数学与语文捆绑，形成一个大元素， 将这个大元素与其余门课进行排序，共有种排法. 由间接法可知，不同的排法种数为种. 故选：B. 2（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）京剧，又称平剧、京戏等，中国国粹之一，是中国影响最大的戏曲剧种，分布地以北京为中心，遍及全国各地.京剧班社有“七行七科”之说：七行即生行、旦行(亦称占行)、净行、丑行、杂行、武行、流行.某次京剧表演结束后7个表演者(七行中每行1人)排成一排合影留念，其中净行、丑行、杂行互不相邻，则不同的排法总数是（    ） A．144 B．240 C．576 D．1440 【答案】D 【分析】先将生行、旦行、武行、流行这4人全排列，再将剩下三人插入4人产生的3个空中，据此可得答案. 【详解】先将生行、旦行、武行、流行这4人全排列，有种，产生5个空，再将净行、丑行、杂行这3人插入5个空中，有种， 所以不同的排法总数是. 故选：D 3（23-24高二上·河南驻马店·期末）2023年杭州亚运会是疫情之后我国举办的一项重大赛事，它不仅向世界展示了我国强大的综合实力，更体现了我国青年的奉献精神和志愿力量．运动会期间甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（    ）种． A．24 B．32 C．36 D．40 【答案】C 【分析】相邻问题借助捆绑法，不相邻问题借助插空法计算即可得. 【详解】甲和乙相邻，则甲乙有种排法，则甲、乙、丁、戊共有种排法， 此时甲、乙、丁、戊间共有五个位置可排， 但甲和丙不相邻，故只能在三个位置中选一个，故共有种排法. 故选：C. 4（23-24高二上·山东青岛·期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（    ） A．24种 B．54种 C．96种 D．120种 【答案】B 【分析】根据题意，分2种情况讨论： ①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次， ②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名， 分2种情况讨论： ①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； ②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有种情况， 剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况， 此时有种名次排列情况； 则一共有种不同的名次情况， 故选：B． 5（23-24高二上·江西宜春·期末）某校有甲、乙等5名同学到4个社区参加志愿服务活动，要求每名同学只能去1个社区，每个社区至少安排1名同学，则甲、乙2人被分配到不同的社区的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据捆绑法和分步计数乘法原理求得分法的种数，再结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】先在5名同学中选出2名同学分配到一个社区，有（种）分配方法， 再将另外3人分配到3个社区且每个社区各1人，则共有（种）分配方法， 其中甲、乙2人被分配到同一个社区的分法有（种）， 则甲、乙2人被分配到同1个社区的概率. 故甲、乙2人被分配到不同的社区的概率为. 故选：B. 6（多选）（23-24高二上·山东德州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（    ） A．不同的站队方式共有120种 B．若甲和乙不相邻，则不同的站队方式共有36种 C．若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有60种 D．若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有36种 【答案】ACD 【分析】根据全排列数计算判断A；利用插空法求解判断B；定序问题采用倍缩法进行求解判断C；先使用捆绑法求解，再去掉甲在两端情形即可判断D. 【详解】对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有种，A正确； 对于B，甲和乙不相邻的站队方式有种，B错误； 对于C，甲在乙的左边的不同的站队方式有种，C正确； 对于D，将甲与乙捆绑看做一个整体，再与其他三人站成一排，有种站队方式， 其中甲站在两端的情形有种，所以符合题意的站队方式共有种，D正确. 故选：ACD 7（多选）（23-24高二上·江苏镇江·期末）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（   ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 【答案】ABD 【分析】利用组合的概念进行计算即可判断A；分类讨论物理和化学只选一门，物理化学都选然后进行计算判断B；利用间接法进行分析判断即可判断C，将问题分三类讨论：只选物理，只选化学，同时选物理和化学，由此进行计算和判断D. 【详解】对于A：若任意选择三门课程，选法总数为，故A错误； 对于B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种选法； 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，而，故B错误； 对于C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确； 对于D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法； ②选化学，不选物理，有种选法； ③物理与化学都选，有种选法. 故总数，故D错误. 故选：ABD 指定项的二项式系数 1（23-24高二上·北京西城·期末）在的展开式中，的系数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】写出每一项的表达式，即可得出的系数. 【详解】由题意， 在中，每一项为， 当即时，， 故选：D. 2（23-24高二上·四川德阳·期末）已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】由二项式定理可列方程求解参数. 【详解】因为二项式的展开式中的系数是， 所以，解得. 故选：C. 3（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出二项式的通项公式，将分为两项，由的系数求解参数即可. 【详解】二项式的通项公式为． 的展开式中， 的系数为，解得． 故选：B． 4（23-24高二上·辽宁朝阳·期末）的展开式中的常数项为 . 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式计算,即可得出答案. 【详解】的展开式的通项公式， 当即时， 故的展开式中的常数项为. 故答案为： 5（23-24高二上·江西·期末）若的展开式中的系数为70，则实数 ． 【答案】2 【分析】先得到的通项公式，进而得到的展开式中含的项为，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的通项公式为， 当时，，当时，， 故的展开式中含的项为， 由题意知，解得． 故答案为：2 6（22-23高二上·辽宁鞍山·期末）在二项式展开式中，前三项的二项式系数之和为79. (1)求的值； (2)若展开式中的常数项为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二项式定理求前三项的二项式系数，列方程即可求得； （2）由二项式定理求的通项，由此可求常数项，由条件列方程求即可. 【详解】（1）二项式的展开式的前三项的二项式系数依次为， 因为展开式中的前三项的二项式系数之和等于79， 所以有， 即， 解得或. 因为，所以. （2）因为展开式的通项为 ， 令，得，所以常数项为， 由已知 整理得， 所以. 二项式系数的增减性和最值 1（多选）（23-24高二上·吉林长春·期末）二项式的展开式中（    ） A．前三项的系数之和为22 B．二项式系数最大的项是第4项 C．常数项为15 D．所有项的系数之和为64 【答案】BC 【分析】 首先写出二项式展开式的通项，选项A中根据通项求前三项系数之和即可；选项B中二项式系数 中最大的是；选项C，常数项满足通项中的指数为，可得；选项D中将代入即可. 【详解】二项式展开式的通项为： ； 对于选项A，前三项的系数之和为：，A错误； 对于选项B，二项式系数 中最大的是，恰好是第4项，B正确； 对于选项C，常数项时，通项公式中满足，得，即 ，C正确； 对于选项D，将代入，可得所有项的系数之和，结果为，D错误； 故选：BC. 2（多选）（23-24高二上·江西九江·期末）已知二项式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则展开式中的常数项为15 B．展开式中有理项的个数为4 C．若展开式中各项系数之和为64，则 D．展开式中二项式系数最大的项为第3项 【答案】AB 【分析】先将利用二项式定理展开并化简，根据展开式可判断AB；利用赋值法求得的值判断C；利用的二项式系数的性质判断D. 【详解】因为 . 对于A：若，则展开式中的常数项为，故A正确； 对于B：展开式中有理项的个数为4，故B正确； 对于C：若展开式中各项系数之和为64， 则令，有，或，故C错误； 对于D：展开式中的二项式系数最大的为，对应第4项，故D错误； 故选：AB. 3（23-24高二上·河南南阳·期末）已知的展开式中二项式系数之和与各项系数之和的乘积为64. (1)求 的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为，由题意列方程求解； （2）根据二项式系数的性质可知第4项的二项式系数最大，再根据二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】（1）令，得展开式中各项系数之和为， 且二项式系数之和为， 由题意可得：，解得. （2）由（1）知，展开式共有7项，则第4项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大的项为. 二项式的几项系数和 1（23-24高二上·湖南长沙·期末），则（    ） A． B．0 C．32 D．64 【答案】C 【分析】利用赋值法即可得解. 【详解】因为， 令，可得， 令，可得， 所以. 故选：C 2（多选）（23-24高二上·山东潍坊·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合赋值法逐项计算判断即得. 【详解】令， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，因此，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 3（多选）（23-24高二下·广东深圳·期中）若，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，令，则原式转化为，结合赋值法，以及二项展开式的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 令，则原式转化为， 对于A中，令，可得，所以A正确； 对于B中，由二项式定理的展开式，可得，所以B不正确； 对于C和D中，令，可得， 令，得， 所以，所以， 所以C、D 正确． 故选：ACD. 4（24-25高二上·江苏·假期作业）已知且满足各项的二项式系数之和为256． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)448 (2)255 【分析】（1）先由各项的二项式系数之和为256．可得，求得，再利用通项求解即可； （2）利用赋值法令，得，再令，得，再减去即可． 【详解】（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以， 二项式展开式的通项为， 所以； （2）令，得， 令，得， 所以． 5（23-24高二上·山东德州·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2187 【分析】（1）求即求的系数，利用通项公式求解； （2）采用赋值法，令和，可解. 【详解】（1）求即求的系数． ． 当，即项时，． （2）由展开式可知均为正值，均为负值， 故 当时，， 当时，， 所以， ， 故． 利用组合数性质证明 1（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由组合数公式计算即可； （2）由组合数公式计算即可. 【详解】（1）因为， ， 所以； （2）因为， ， 所以． 二项式定理的应用 1（23-24高二上·江西九江·期末）实数精确到的近似值为 . 【答案】 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解. 【详解】因为 ， 将精确到，故近似值为. 故答案为：. 2（23-24高二上·江西九江·期末）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，当比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算的近似值，可以这样操作：.用这样的方法，估计的近似值约为 .（精确到小数点后两位数） 【答案】3.07 【分析】变形，然后根据题中的方法计算即可. 【详解】. 故答案为：3.07 3（23-24高二上·江西吉安·期末）判断是否能被8整除？并推理证明． 【答案】能被8整除，证明见解析 【分析】根据题意结合二项展开式分析证明. 【详解】能被8整除，证明如下： 因为 ， 注意到最终所得的式子中每一项都能被8整除， 所以能被8整除． 4（23-24高二上·福建龙岩·期末）在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题. 在的展开式中， (1)求n； (2)证明：能被6整除. （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由所选条件，利用展开式系数与系数和的性质，列方程求n； （2），利用二项式定理，证明数据是6的倍数. 【详解】（1）选条件①各项系数之和为，取，则，解得； 选条件②常数项为，由，则常数项为，解得； 选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，则，解得. （2） ， 所以能被6整除. 5（23-24高二上·上海·期末）（1）求证：； （2）利用等式可以化简： ；类比上述方法，化简下式：. （3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）利用组合数公式可证得结论成立； （2）推导出，利用二项式定理可化简所求代数式； （3）由已知可得出，计算得出，利用二项式定理化简函数的解析式，即可证得结论成立. 【详解】证明：（1）因为、，， 由组合数公式可得，故结论成立； 解：（2）因为、，， 则， 则 ； （3）因为等差数列的首项为，公差为，则， 则 ， 所以， 总是关于的一次函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$