专题03 圆锥曲线（5大基础题+4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019）

专题03 圆锥曲线 三种圆锥曲线的定义 1（23-24高二上·广东佛山·期末）已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（    ） A． B．4 C． D．8 2（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 3（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 4（多选）（23-24高二上·河北保定·期末）平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点轨迹为椭圆 B．若，则点轨迹为双曲线 C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的 D．若，则点轨迹为圆 三种圆锥曲线的方程 1（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·四川达州·期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程所表示的曲线为C，则（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C不一定是椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则 三种圆锥曲线的几何性质 1（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·河北沧州·期末）若焦点为F的抛物线上一点P的纵坐标为，则原点O到直线PF的距离（    ） A． B． C．1 D． 3（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 4（23-24高二上·河北邢台·期末）已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 6（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知曲线E：，则下列结论中错误的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E与直线无公共点 C．曲线E上的点到直线的最大距离是 D．曲线E与圆有三个公共点 7（23-24高二上·广西玉林·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 8（多选）（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（    ） A．的短轴长为7 B．的最大值为 C．的长轴长为6 D．的离心率为 9（多选）（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线的焦距为，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的有（    ） A．C的离心率为 B．C的标准方程为 C．C的渐近线方程为 D．C的虚半轴长为 椭圆与双曲线的离心率 1（23-24高二上·河南漯河·期末）双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 2（23-24高二上·河南南阳·期末）已知O为坐标原点，，是椭圆C：（）的焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·河北唐山·期末）直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆与椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 5（23-24高二上·河北唐山·期末）已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 直线与圆锥曲线的位置关系 1（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线 与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题： （i）求弦长； （ii）求证：. 3（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，． (1)求的值； (2)求的面积． 最值或范围问题 1（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·宁夏固原·期末）已知抛物线与椭圆有一个公共的焦点为上的任意一点，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 3（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆，定点，D是圆A上的一动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E． (1)求点E的轨迹方程； (2)若直线m与点E的轨迹交于M，N两点，与圆相交于P，Q两点，且，求面积的最大值． 定点定值问题 1（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 （    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标． 3（23-24高二上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值． 轨迹方程 1（23-24高二上·广东佛山·期末）长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·北京平谷·期末）已知四棱锥中，侧面底面，，底面是边长为的正方形，是四边形及其内部的动点，且满足，则动点构成的区域面积为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二上·福建福州·期末）已知边长为的正方体，点为内一个动点，且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 新定义问题 1（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身；平面曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，则下列命题： ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 真命题的序号是______. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2（23-24高二上·山东青岛·期末）加斯帕尔·蒙日（图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为 3（23-24高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点O是坐标原点，点P在圆上，点Q在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点P的横坐标为，则；      ②的最大值是 ③的最小值是2；                      ④的最小值是 其中，所有正确结论的序号是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆锥曲线 三种圆锥曲线的定义 1（23-24高二上·广东佛山·期末）已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解即得. 【详解】椭圆的长半轴长，由点在椭圆上，分别为的左、右焦点， 得，所以平行四边形的周长为. 故选：D 2（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（    ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 3（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是. 故选：B. 4（多选）（23-24高二上·河北保定·期末）平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点轨迹为椭圆 B．若，则点轨迹为双曲线 C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的 D．若，则点轨迹为圆 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合椭圆、双曲线，以及轨迹方程的求法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为， 由椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆，所以A正确； 对于B中，由双曲线的定义可得时，点的轨迹为双曲线， 所以B不正确； 对于C中，设，由，可得， 整理得，可得曲线关于轴对称，所以C正确； 对于D中，因为，可得， 整理得，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以D正确. 故选：ACD. 三种圆锥曲线的方程 1（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，得到答案. 【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为， 故，解得，抛物线的标准方程为． 故选：D． 2（23-24高二上·四川达州·期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 3（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）若方程所表示的曲线为C，则（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C不一定是椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为双曲线，且焦点在y轴上，则 【答案】ABC 【分析】令即可判断AB；由方程表示椭圆、双曲线的条件即可判断CD. 【详解】对于AB，当时，曲线C的方程为，所以曲线C可能是圆，不一定是椭圆故AB正确； 对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故C正确； 对于D，若C为双曲线，且焦点在y轴上，则，解得，故D错误. 故选：ABC. 三种圆锥曲线的几何性质 1（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率公式首先求得参数的值，进一步可得以及长轴长. 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 从而，解得， 所以，则椭圆的长轴长为. 故选：C. 2（23-24高二上·河北沧州·期末）若焦点为F的抛物线上一点P的纵坐标为，则原点O到直线PF的距离（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求出点P的坐标，然后利用焦半径公式求出，再根据等面积法列式求解即可. 【详解】由已知可得点P的横坐标为，由抛物线定义知， 因为且 ， 所以，解得. 故选：B． 3（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知为坐标原点，是椭圆：上位于轴上方的点，为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】结合题意和椭圆的性质，将边长全部用a表示出来，勾股定理列出方程求解即可. 【详解】 如图，设椭圆的左焦点为，连接， 因为，结合椭圆的对称性可知，四边形为矩形， 设，则，，， 在中，， 化简整理得，所以，， 在中，， 所以， 故选：B. 4（23-24高二上·河北邢台·期末）已知为双曲线的一个焦点，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由关系列方程得参数的值，由此即可得解. 【详解】由题意得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 5（23-24高二上·安徽淮北·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 【答案】C 【分析】由得或，利用平面向量坐标的线性运算可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】依题意，焦点，准线，设点,， 由得或， ， 当时，，即，则； 当时，，，即，则. . 综上所述，的值为或. 故选：C. 6（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知曲线E：，则下列结论中错误的是（    ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E与直线无公共点 C．曲线E上的点到直线的最大距离是 D．曲线E与圆有三个公共点 【答案】C 【分析】分类讨论求出曲线的方程，画出图象，结合图象逐项分析即可. 【详解】因为曲线E的方程为， 当，时，曲线E的方程为， 当，时，曲线E的方程为， 是焦点在上的等轴双曲线右支的一部分. 当，时，曲线E的方程为， 是焦点在上的等轴双曲线上支的一部分. 作出曲线E的图象如图： 由图象可知曲线E关于直线对称，曲线E与直线无公共点，故A，B正确； 作的平行线与曲线E切于点， 曲线E上的点到直线的最大距离是圆的半径为，故C错误； 圆的圆心为：， 曲线E上的点到圆心的最大距离为. 圆过点，如图： 曲线E与圆有三个公共点，故D正确. 故选：C. 7（23-24高二上·广西玉林·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求出抛物线焦点、准线，过点作于，结合抛物线定义及图形可得，再设出点即可计算得解. 【详解】抛物线的焦点，准线，过点作，垂足为， 由，得，于是， 设，则，解得， 所以的面积. 故选：B 8（多选）（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的一个焦点为为上一动点，则（    ） A．的短轴长为7 B．的最大值为 C．的长轴长为6 D．的离心率为 【答案】CD 【分析】根据椭圆的几何性质可分别判断ACD，再利用椭圆性质即可判断B选项，进而得出结果. 【详解】由标准方程可知，，， 所以，，． 所以短轴长为，长轴长为，即选项C正确，A错误； 离心率，即D正确； 由椭圆性质得， 故选项B错误. 故选：CD. 9（多选）（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知双曲线的焦距为，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的有（    ） A．C的离心率为 B．C的标准方程为 C．C的渐近线方程为 D．C的虚半轴长为 【答案】BC 【分析】由双曲线的焦距可求出，再由两条渐近线的夹角可得，然后依次判断个选项即可. 【详解】由题意知，焦距，，又因为双曲线的渐近线方程为，且两条渐近线的夹角为，所以，又，所以， 所以双曲线C的离心率为，故A错误； 双曲线C的标准方程为，故B正确； 双曲线C的渐近线方程为，故C正确；虚半轴长，故D错误； 故选：BC. 椭圆与双曲线的离心率 1（23-24高二上·河南漯河·期末）双曲线（）的一条渐近线为，则其离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到，再由离心率公式计算可得. 【详解】双曲线（）的渐近线为， 依题意可得，则双曲线的离心率. 故选：B 2（23-24高二上·河南南阳·期末）已知O为坐标原点，，是椭圆C：（）的焦点，过右焦点且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用题给条件列出关于的齐次式，解之即可求得C的离心率. 【详解】由，，可得， 又由，可得，故， 由得， 整理得，即， 解之得或（舍）. 故选：A 3（23-24高二下·河北唐山·期末）直线l过双曲线E：的左顶点A，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且，则E的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意求出直线的方程，分别与两条渐近线方程联立求出两点的纵坐标，再由可求出的关系，从而可求出双曲线的离心率. 【详解】由题意得直线为，双曲线的渐近线方程为， 由，得，即， 由，得，即， 因为，所以， 所以，化简得， 所以， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 4（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆与椭圆的离心率分别为，若，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】由椭圆的离心率，结合椭圆的性质及对勾函数的单调性求解． 【详解】已知椭圆与椭圆的离心率分别为，， 又， 则，， 则， 设，， 则根据对勾函数知在为减函数，在为增函数， 则,， 则， 即的最大值为，无最小值． 故选：D． 5（23-24高二上·河北唐山·期末）已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据点在椭圆上结合得到方程组，解出即可得到离心率. 【详解】设，则，， ，， 因为，即， 整理得，即，即， 由题可知，则，即， 则，则，则， 故选：B. 6（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆，点是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取线段的中点为，结合条件可得，再根据 及椭圆的定义，即可得到结果. 【详解】取线段的中点为，点分别为边,上的切点，如图所示： 则，∵， ∴， ∴,,三点共线，，，则点为边上的切点， ∴. ∴， ∵ ，则， ∴， ∴，又，则， ∴，则. 故选：D. 直线与圆锥曲线的位置关系 1（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别于抛物线交于点，．设直线，的斜率分别为，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】因为，设，，，，的方程为，通过联立直线与抛物线解得的纵坐标，同理得到的纵坐标，再根据斜率公式得到，整理得，设直线为，联立方程结合韦达定理可得答案. 【详解】抛物线的焦点为， 由题意可知：可知直线与抛物线必相交， 设，，，， 则， 设的方程为， 联立方程，消去并整理得， 根据韦达定理得，即， 同理可得，则， 可得， 设直线为， 联立方程，消去并整理得， 根据韦达定理得，所以. 故选：A. 2（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是双曲线的右顶点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线 与抛物线相交于A、B两点，解决下列问题： （i）求弦长； （ii）求证：. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出双曲线右顶点，再求出抛物线的方程即得. （2）把直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合弦长公式及数量积的坐标表示求解即得. 【详解】（1）双曲线，即，其右顶点为，则抛物线的焦点为， 而抛物线的顶点是坐标原点，所以抛物线的方程：. （2）（i）设，， 由消去x得：，则，， 于是， 所以. （ii）显然，， 则，显然，即， 所以.    3（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，． (1)求的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程，利用韦达定理求点的坐标，结合两点间距离公式运算求解； （2）根据（1）中韦达定理可得，且直线与轴的交点为椭圆的右焦点，进而可求面积. 【详解】（1）设两点的坐标分别为， 联立方程，消去得． 由，且，可得， 则， 可得点的坐标为， 又因为，解得或（舍去）， 所以的值为. （2）由（1）可知：， 则， 可得， 由椭圆方程可知：， 由直线与轴的交点为椭圆的右焦点， 则， 所以的面积为． 最值或范围问题 1（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由椭圆性质和已知条件得，由两点间的距离公式得，然后化简、换元结合二次函数单调性可求 【详解】由题意，设， 由于A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点， 所以，又, 令，因为，所以， 所以， 由于对称轴为，所以在单调递减， 所以，又， 即，所以 故选：D    2（23-24高二上·宁夏固原·期末）已知抛物线与椭圆有一个公共的焦点为上的任意一点，，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求椭圆的焦点，再求抛物线方程，利用坐标表示，最后根据基本不等式求最值. 【详解】因为椭圆方程为：，因此双曲线焦点为. 因为抛物线与双曲线有一个公共的焦点， 所以，所以，， 设，则， 当时， ， 当且仅当时取等号； 当时，. 故选：B. 3（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知圆，定点，D是圆A上的一动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E． (1)求点E的轨迹方程； (2)若直线m与点E的轨迹交于M，N两点，与圆相交于P，Q两点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意分析可知，结合椭圆的定义求轨迹方程； （2）由题意分析可知圆心到直线m的距离，设直线m的方程为，，联立方程结合韦达定理求，进而可求的面积，并利用基本不等式求最大值. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为4． 因为D是圆上的一个动点，线段DB的垂直平分线交半径DA于点E，    则，可得， 因此E点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其中， 所以点E的轨迹方程为． （2）圆的圆心为，半径为2， 由题意可知：圆心到直线m的距离，    结合点E的轨迹方程可知：直线m的斜率可以不存在，但不为0， 设直线m的方程为，， 可得，整理得，即， 联立方程，消去x得， 则， 可得， 则， 所以△OMN面积为， 且，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以△OMN面积的最大值为1. 定点定值问题 1（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程得出韦达定理结合抛物线焦半径计算即可. 【详解】由题意，直线的斜率不为0，设过焦点的直线方程为，， 直线方程与抛物线方程联立，消去并整理得， 由韦达定理得， ， ，故C正确． 故选:C． 2（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知圆，圆动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设不经过点的直线与曲线相交于两点，直线与直线的斜率均存在且斜率之和为，直线是否过定点，若过定点，写出定点坐标． 【答案】(1)； (2)直线过定点. 【分析】（1）由圆，可知圆心为，半径为1，圆，圆心为，半径为3．设动圆的半径为，根据动圆与圆外切并与圆内切，可得，由椭圆的定义即可求解； （2）①当直线斜率存在时,设直线:，设，与椭圆方程联立可得，根据，可得，代入，可得，可求直线所过的定点.同理，当直线斜率不存在时,设直线:,且，根据求出即可得直线所过的定点，综合即可求解. 【详解】（1）设动圆的半径为， 因为动圆与圆外切,所以. 因为动圆于圆外切,所以, 则 , 由椭圆的定义可知,曲线是以为左、右焦点，长轴长为4的椭圆. 设椭圆方程为, 则，故, 所以曲线的方程为. （2）①当直线斜率存在时,设直线:， 联立，消去可得, 则，化简得. 设，则. 由题意知，因为, 所以, 所以, 所以, 即, ， 即， 即. 因为，所以，即， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. ②当直线斜率不存在时，设直线:，且, 则点. 所以 ,解得, 所以直线的方程为，也过定点. 综上所述, 直线过定点. 3（23-24高二上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2． (1)求抛物线的方程； (2)点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可. （2）利用焦半径公式结合两点间距离公式求解边长，建立方程求解参数即可. 【详解】（1）因为点到焦点F的距离为2， 所以点到抛物线准线的距离为2， 抛物线的准线方程为，点的横坐标为， ，解得， 抛物线的方程为． （2）如图，易知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为， 联立，消得， 设， 又， ∵，则直线OP的方程为， 联立，消得， 令，则， ，故的值为． 【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用焦半径公式结合距离公式表示边长，然后建立方程，得到所要求的参数值即可． 轨迹方程 1（23-24高二上·广东佛山·期末）长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、、，由已知条件可得出，分析可知，为的中点，可得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程. 【详解】设点、、，则，可得， 因为点关于点的对称点为，则为的中点， 所以，，可得， 将代入可得，即， 因此，点的轨迹方程为. 故选：C. 2（23-24高二上·北京平谷·期末）已知四棱锥中，侧面底面，，底面是边长为的正方形，是四边形及其内部的动点，且满足，则动点构成的区域面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点，连接、，推导出平面，可知点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆及其内部，结合圆的面积公式可求得结果. 【详解】取线段的中点，连接、， 因为，为的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为四边形是边长为的正方形，则， 所以，，， 所以，点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆及其内部， 因此，动点构成的区域面积为. 故选：B. 3（23-24高二上·福建福州·期末）已知边长为的正方体，点为内一个动点，且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则点在以点为球心，为半径的球面与平面的交线；结合点到平面的距离判断球面与平面的相交的小圆的半径与内切圆半径的大小，结合圆的性质即可求解. 【详解】设点到平面的距离为， 由，则，又易知为等边三角形，且边长为， 所以，得到， 所以以点为球心，为半径的球面与平面相交的圆半径为； 设等边的内切圆半径为，则有，得到， 设的中心为轨迹与分别交于两点，如图，弧长的三倍即为所求， 在中，，所以， 可得，故， 所以交线长为， 故选：B. 新定义问题 1（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身；平面曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，则下列命题： ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 真命题的序号是______. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】对①，由定义求得的“伴随点”，化简即可判断；对②，任取单位圆上一点，则为单位圆上的点，的轨迹为单位圆；对③，任取曲线关于轴对称的两点，判断其伴随点是否关于y轴对称；对④，任取不过原点的直线上的三点，验证其对应的伴随点不在一条线上. 【详解】对①，设点，则，则的 “伴随点”为，即，不为点A，①错； 对②，任取单位圆上一点，则为单位圆上的点，的轨迹为单位圆，②对； 对③，任取曲线关于轴对称的两点，则伴随点为，关于y轴对称，③对； 对④，不妨取直线上的三个点，对应的伴随点为， 由，故对应的伴随点不在一条线上，故一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线，④错. 故选：B 2（23-24高二上·山东青岛·期末）加斯帕尔·蒙日（图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆的蒙日圆的半径为 【答案】3 【分析】根据“蒙日圆”的定义，结合两条切线中的一条经过椭圆长轴顶点，另一条经过短轴顶点时的情况，即可求出圆的半径. 【详解】由题意可知，椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上， 故当两条切线中的一条经过椭圆长轴顶点，另一条经过短轴顶点时，如图： 此时，两切线垂直，交点M在“蒙日圆”上， 由椭圆可知， 故“蒙日圆”的半径为， 故答案为：3 3（23-24高二上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点O是坐标原点，点P在圆上，点Q在直线上．在这个定义下，给出下列结论： ①若点P的横坐标为，则；      ②的最大值是 ③的最小值是2；                      ④的最小值是 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】对于①，求出点P的纵坐标，利用“折线距离”的定义即可判断；对于②，结合基本不等式即可判断；对于③，设，表示出，分段讨论，去掉绝对值，可求得最小值，即可判断；对于④，利用直线和圆的方程设出点的坐标，表示出，然后分类讨论，脱掉绝对值符号，结合三角函数的辅助角公式，即可判断. 【详解】对于①，若点P的横坐标为，点P在圆上， 则点P的纵坐标为，则，①正确； 对于②，设点，则， ，因为， 故，当且仅当时等号成立， 即的最大值是，②正确； 对于③，设直线上的一点为，则； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，d取得最小值，即的最小值为，故③错误； 对于④，设，，    则， 当时，， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 当时， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 当时， ，（为辅助角，）， 当时取得等号； 综上可知的最小值是，④正确， 故答案为：①②④ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$