专题05 圆（考题猜想，易错必刷65题23种题型）（期末复习专项训练）九年级数学上学期鲁教版

专题05圆 （易错必刷65题23种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 圆的相关概念和性质 · 垂径定理 · 垂径定理的应用 · 利用弧、弦和圆心角的关系求解 · 利用圆周角定理及推论求解 · 利用圆内接四边形的性质求解 · 确定圆心 · 尺规画圆 · 判断直线和圆的位置关系 · 切线的性质和判定综合 · 尺规作圆的切线 · 利用切线长定理求解 · 利用三角形内切圆的性质求解 · 利用三角形外接圆的性质求解 · 三角形内切圆和外接圆的综合 · 圆的综合问题——与三角形综合 · 圆的综合问题——与四边形综合 · 圆的综合问题——与函数综合 · 圆的综合问题——其他问题综合 · 利用正多边形公式求解 · 利用弧长和扇形公式求解 · 求不规则阴影图形的面积 · 利用圆锥公式求解 1. 圆的相关概念和性质（共3小题） 1. （24-25九年级上·四川德阳·期中）下列说法：其中正确的说法有（   ） ①圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形； ②三角形的外心到三角形三边的距离相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④长度相等的弧是等弧； ⑤相等的圆心角所对的弦相等． A．1 B．2 C．3 D．4 2. （24-25九年级上·河北唐山·期中）下列命题中，不正确的是（   ） A．直径是经过圆心的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 D．经过不共线三点必作一个圆 3. （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，为的两条弦，连接，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2. 垂径定理（共3小题） 1. （2024九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，弦，垂足为点，，，则的长为（　　） A．5 B． C．8 D．10 2. （24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，是的直径，弦于点，若，． (1)求线段的长； (2)求弦的长． 3. （24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，交于点是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 3. 垂径定理的应用（共3小题） 1. （24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（   ） A． B． C． D． 2. （24-25九年级上·山东日照·期中）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升的高度为 ． 3. （24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图，点P表示简车的一个盛水桶，如图2．当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，简车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．则圆的半径为 ． 4. 利用弧、弦和圆心角的关系求解（共3小题） 1. （24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为 ． 2. （24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为 ． 3. （23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．相等圆周角所对的弧相等 D．同弧所对的圆周角相等 5. 利用圆周角定理及推论求解（共3小题） 1. （24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在上，点是的中点，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 2. （2023·海南海口·一模）如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 3. （19-20九年级上·河南南阳·期末）如图，的弦相交于点，求证：． 六. 圆内接四边形的性质求解（共2小题） 1. （23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为 ． 2. （24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 七. 确定圆心（共3小题） 1. （24-25九年级上·浙江·期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为 ． 2. （24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______； (2)求该圆的半径． 3. （23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，某零件的截面为弓形． (1)请用直尺和圆规作出该弓形的圆心； (2)若，弓形的高为1．求弓形的半径． 八. 尺规画圆（共2小题） 1. （24-25九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 2. （24-25九年级上·全国·期末）请作答： (1)用直尺和圆规作出 的外接圆 ；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若 ，，求 ⊙ 的半径长． 九. 判断直线和圆的位置关系（共3小题） 1. （24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）中，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则 和直线公共点有（   ） 个 A． B．2 C．无数 D．3 2. （24-25九年级上·全国·期末）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l和的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 3. （24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 十. 切线的性质和判定综合（共3小题） 1. （24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 2. （24-25九年级上·山东日照·期中）如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 3. （2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，直线切于点于点F，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 十一. 利用切线长定理求解（共3小题） 1. （24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 2. （24-25九年级上·广东广州·期中）如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 3. （24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 十二. 尺规作圆的切线（共1小题） 1. （2024·广东深圳·二模）如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A．  作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B．  以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C．  先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D．  以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 十三. 利用三角形内切圆的性质求解（共3小题） 1. （24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为 ． 2. （24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则 ． 3. （24-25九年级上·北京·期中）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 十四. 利用三角形外接圆的性质求解（共3小题） 1. （23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 2. （24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 3. （24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 十五. 三角形内切圆和外接圆的综合（共3小题） 1. （2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2. （23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，则这个三角形周长是（　　） A．32 B．34 C．27 D．28 3. （2024·山东聊城·一模）如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 十六. 圆的综合问题——与三角形综合（共3小题） 1. （2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点A到所在直线的距离为3，则面积的最小值为 ．    2. （2024·河南周口·三模）已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为 ． 3. （2024·湖南衡阳·一模）如图，内接，点A为的中点，D为边上一点，，是的切线，，连接．    (1)求证：； (2)当点A到弦的距离为1时，求的值． 十七. 圆的综合问题——与四边形综合（共3小题） 1. （24-25九年级上·四川广元·期中）如图，O为正方形对角线上一点，以O为圆心，长为半径的与相切于点M． (1)求证：与相切； (2)若的半径为1，求正方形的边长． 2. （24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 3. （2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设交于点，若，，是的中点，求的值． 十八. 圆的综合问题——与函数综合（共3小题） 1. （2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 2. （20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．    3. （24-25九年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系中的点P和图形W，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．给出如下定义：若在图形W上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于，则称P为图形W的“伴随关联点”． (1)如图1，图形W是半径为2的． ①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 ； ②在点，，中，的“伴随关联点”是 ； (2)如图2，图形W是中心在原点的正方形，点．若直线上存在正方形的“伴随关联点”，求t的取值范围； (3)点为x轴上的动点，直线与x轴、y轴分别交于两点，点P为线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”，直接写出t的取值范围． 十九. 圆的综合问题——其他问题综合（共3小题） 1. （24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，以点为圆心，2为半径画圆，过点作的一条切线，切点为，连接．将绕点按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为． (1)当弧的长为时，求的度数，并求出此时线段扫过的面积； (2)如图，当时，求证：是的切线； (3)直接写出的最大值与最小值的差． 2. （2023·广东阳江·一模）如图，在矩形中，，，连接，点E为上一个动点，点F为上一个动点，连接，且始终满足，则线段的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 3. （2021九年级·全国·专题练习）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二十. 利用正多边形公式求解（共3小题） 1. （2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 2. （24-25九年级上·云南楚雄·期中）若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是（    ） A．正八边形 B．正七边形 C．正六边形 D．正五边形 3. （24-25九年级上·河南新乡·期中）正六边形的周长为6，则它的面积为（  ） A． B． C． D． 二十一. 利用弧长和扇形公式求解（共3小题） 1. （23-24九年级下·四川绵阳·期中）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 2. （2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 3. （2023·河南洛阳·模拟预测）若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 二十二. 求不规则阴影图形的面积（共3小题） 1. （24-25九年级上·云南红河·期中）如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 2.（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）如图，正方形内接于半径为2的中，过点作的切线交的延长线于点，过点作的切线交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 3. （24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，半径为6的沿弦折叠，弧恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为 ． 二十三. 利用圆锥公式求解（共3小题） 1. （24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 2. （24-25九年级上·全国·期末）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 3. （24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． $$专题05圆 （易错必刷65题23种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 圆的相关概念和性质 · 垂径定理 · 垂径定理的应用 · 利用弧、弦和圆心角的关系求解 · 利用圆周角定理及推论求解 · 利用圆内接四边形的性质求解 · 确定圆心 · 尺规画圆 · 判断直线和圆的位置关系 · 切线的性质和判定综合 · 尺规作圆的切线 · 利用切线长定理求解 · 利用三角形内切圆的性质求解 · 利用三角形外接圆的性质求解 · 三角形内切圆和外接圆的综合 · 圆的综合问题——与三角形综合 · 圆的综合问题——与四边形综合 · 圆的综合问题——与函数综合 · 圆的综合问题——其他问题综合 · 利用正多边形公式求解 · 利用弧长和扇形公式求解 · 求不规则阴影图形的面积 · 利用圆锥公式求解 1. 圆的相关概念和性质（共3小题） 1. （24-25九年级上·四川德阳·期中）下列说法：其中正确的说法有（   ） ①圆是到定点的距离等于定长的所有点组成的图形； ②三角形的外心到三角形三边的距离相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④长度相等的弧是等弧； ⑤相等的圆心角所对的弦相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据圆相关定义判断①是正确的，根据三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，而不是“三角形的外心到三角形的三边距离相等”，可判断②错误；根据垂径定理的推论内容可判断③是错误的；结合完全重合的弧是等弧，可判断④是错误的；根据圆周角定理判断⑤是错误的；逐项分析判断即可求解．本题考查了外接圆的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 【详解】解：①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确； ②三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故②错误； ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故③错误； ④完全重合的弧是等弧，故④错误； ⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故⑤错误； 故选：A． 2. （24-25九年级上·河北唐山·期中）下列命题中，不正确的是（   ） A．直径是经过圆心的弦 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 D．经过不共线三点必作一个圆 【答案】C 【分析】本题考查了圆的相关知识，三角形的内心，确定圆的条件；根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 直径是经过圆心的弦，故该选项正确，不符合题意； B. 半径相等的两个半圆是等弧，故该选项正确，不符合题意； C. 三角形的内心到三角形各边的距离相等，故该选项不正确，符合题意； D. 经过不共线三点必作一个圆，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 3. （24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，为的两条弦，连接，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆，等边对等角．熟练掌握圆，等边对等角是解题的关键． 如图，连接，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2. 垂径定理（共3小题） 1. （2024九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，弦，垂足为点，，，则的长为（　　） A．5 B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据垂径定理可得，，由线段的和与差可得，根据勾股定理可得，进而可得，然后根据即可得解． 【详解】解：为的直径，且弦， ，， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，垂线的性质，线段的和与差，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 2. （24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图，是的直径，弦于点，若，． (1)求线段的长； (2)求弦的长． 【答案】(1)线段的长为； (2)线段的长为． 【分析】（）根据，，则，故有，然后利用线段和差即可求解； （）由得，，然后由勾股定理求出的长即可； 本题考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为； （2）解：由（）得，， ∵， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴线段的长为． 3. （24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，交于点是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 3. 垂径定理的应用（共3小题） 1. （24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理；设该桨轮船的轮子半径为，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设该桨轮船的轮子半径为， 在中， 即， 解得：， ∴该桨轮船的轮子直径为 故选：C． 2. （24-25九年级上·山东日照·期中）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为，油面宽为，如果再注入一些油后，油面宽变为，则油面上升的高度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用．分两种情况，由垂径定理和勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：当油面没超过圆心，油面宽为时， 过作于，交于，连接，， 则， ，， 截面半径为， ， ，， 即弦的弦心距是，弦的弦心距是， 则， 即当油面没超过圆心时，油上升了； 当油面超过圆心时， 同理得， 则， 即油面上升了； 故答案为：或． 3. （24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图，点P表示简车的一个盛水桶，如图2．当简车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，简车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．则圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．过O点作半径于E，如图，利用垂径定理得到，设半径为，根据题意得，再利用勾股定理列关于的方程，解方程即可． 【详解】解：过O点作半径于E，如图， ∴， 由题意得，， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴圆的半径为， 故答案为：． 4. 利用弧、弦和圆心角的关系求解（共3小题） 1. （24-25九年级上·山西吕梁·期中）如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定．如图，连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为；即可求解． 【详解】解：如图，连接、． 是的直径，四边形内接于，若， ， ． 又， 是等边三角形， ， 的直径为 故答案为：． 2. （24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得，再由计算的度数即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3. （23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直弦且平分弦所对的弧 B．三点确定一个圆 C．相等圆周角所对的弧相等 D．同弧所对的圆周角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理，弧与圆周角，圆心角的关系，熟知圆的相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故原说法错误，不符合题意； B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误，不符合题意； D、同弧或等弧所对的圆周角相等，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 利用圆周角定理及推论求解（共3小题） 1. （24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，点在上，点是的中点，连接．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，由圆心角、弧、弦的关系定理得到，由圆周角定理得到，因此，即可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2. （2023·海南海口·一模）如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（    ） A．3 B．2 C．4 D．4 【答案】B 【分析】连接交于点F，证明四边形是矩形，点O圆心且，可得是的中位线，可得F为的中点，由勾股定理的，即可求出的长． 【详解】解：连接交于点F点， 为直径， ， ∴， 又为切线， ， ∴， 四边形是矩形， ，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查圆知识的综合应用，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、矩形的判定、垂径定理． 3. （19-20九年级上·河南南阳·期末）如图，的弦相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形全等的判定与性质、弧与弦的关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ∴， ． 六. 圆内接四边形的性质求解（共2小题） 1. （23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，正方形内接于．点E为上一点，连接、，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接、、，由圆内接正方形的性质可得到，，，进而证得是等边三角形，得到，根据勾股定理求出，即可得到． 【详解】解：如图，连接、、， ∵正方形内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，证得是等边三角形是解决问题的关键． 2. （24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，求出的度数，根据等腰三角形的性质求出的度数，再由三角形外角的性质计算的度数即可； （2）延长交圆于点，在中利用勾股定理求出，设，用将表示出来，证明，根据相似三角形的性质，列出关系式并求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接． ，， ， ， ， ， 的度数 （2）延长交圆于点．连接， ， ，， ， 在， 设，则 四边形是圆内接四边形， 又 又， ， ，即 解得：， 即的长为． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 七. 确定圆心（共3小题） 1. （24-25九年级上·浙江·期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本概念，网格与勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图找出圆心，再运用网格与勾股定理性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接， 结合网格特征，得出， ∴， ∴该圆弧所在圆的半径为， 故答案为：． 2. （24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． (1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______； (2)求该圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，确定圆的条件，坐标与图形性质． （1）连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心； （2）根据勾股定理即可求得半径． 【详解】（1）解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心， 由图可得该圆弧所在圆的圆心坐标， 故答案为：； （2）解：连接，设的中点为D， ，， ， ∴圆的半径为． 3. （23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，某零件的截面为弓形． (1)请用直尺和圆规作出该弓形的圆心； (2)若，弓形的高为1．求弓形的半径． 【答案】(1)见解析； (2)2． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、垂径定理的应用、勾股定理， （1）在弧上任取点，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为该弓形的圆心； （2）设线段的垂直平分线交弧于点，交于点，连接，则，．设弓形的半径为，则，．由勾股定理得，，代入求出的值即可． 【详解】（1）解：如图，在弧上任取点，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求； （2）解：设线段的垂直平分线交弧于点，交于点，连接， 则，， 设弓形的半径为， 则，． 由勾股定理得，， 即， 解得， 弓形的半径为2． 八. 尺规画圆（共2小题） 1. （24-25九年级上·河南许昌·期中）如图所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D． (1)求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：，．求（1）中所作圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2)此残片所在圆的半径为10． 【分析】本题考查圆的垂径定理，勾股定理，熟练掌握通过垂径定理找圆心，通过勾股定理构造方程求边长是解题的关键． （1）由于是弦的垂直平分线，则圆心在直线上，因此连接，圆心在的垂直平分线上，故作的垂直平分线，交于点O，则点O就是所求的圆心； （2）连接，设半径为x，即，则，根据是的垂直平分线，得到，，因此在中，根据勾股定理构造方程，即可求出x的值，即为此残片所在圆的半径． 【详解】（1）解：如图，点O为所求的圆心． （2）解：连接，    设半径为x，即， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴此残片所在圆的半径为10． 2. （24-25九年级上·全国·期末）请作答： (1)用直尺和圆规作出 的外接圆 ；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若 ，，求 ⊙ 的半径长． 【答案】(1)图形见详解 (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的作图原理、圆周角定理，明确三角形外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点是解决第一问的关键．能够综合运用圆周角定理及三角函数求解半径是解决第二问的关键． （1）分别作线段，的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作⊙，⊙即为所求． （2）根据圆周角定理由的度数得到，再根据等腰三角形‘三线合一’得到与的值，最后利用三角函数求得⊙的半径长即可． 【详解】（1）如图，⊙即为所求． （2）设的垂直平分线交于点，连接，． ． ． ，是的垂直平分线． ，． ． 即⊙ 的半径长为． 九. 判断直线和圆的位置关系（共3小题） 1. （24-25九年级上·甘肃平凉·阶段练习）中，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则 和直线公共点有（   ） 个 A． B．2 C．无数 D．3 【答案】B 【分析】题目主要考查直线与圆的位置关系，根据直线与圆心之间的距离与半径比较即可得出结果 【详解】解：∵圆的半径为， 圆心到直线的距离为， ∴， ∴与直线的位置关系是相交，有2个公共点， 故选B． 2. （24-25九年级上·全国·期末）已知的直径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l和的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，由的直径为，得出圆的半径是，圆心O到直线l的距离为，即，得出，即可得出直线l与的位置关系是相切． 【详解】解：∵的直径为， ∴半径， ∵圆心O到直线l的距离为， ∴， ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：C． 3. （24-25九年级上·江苏盐城·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 十. 切线的性质和判定综合（共3小题） 1. （24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过C点作的切线，与延长线交于点D，M为的中点，连接，，且与相交于点N． (1)求证：与相切； (2)当时，在的圆上取点F，使，补全图形，并求点F到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，点F到直线的距离为： 或 【分析】（1）根据三角形的中位线性质可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证； （2）分点F在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵M为的中点，O是中点， ， 是的直径， ， ， ， ， 又， ， ， 是切线 ， ， ，又是的半径， 是切线； （2）解：如图所示，当点F在上时，连接，交于点G， ， ， ， ， ， ∵直径， ， ， ， ； 当点F在半圆上时，过点作，垂足为点H，，垂足为点N， ∴四边形是矩形， 在中，， ， ，， ， ， ， ∴ 综上：点F到直线的距离为：或． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线性质，含30度角的直角三角形的性质，圆周角定理等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 2. （24-25九年级上·山东日照·期中）如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2． 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明与相切； （2）先求得，得到，求得，再利用含30度角的直角三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切； （2）解：延长到点，使，连接，，设的半径为， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为2． 3. （2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，直线切于点于点F，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直线切于点C，得出，证明，得出，即可证明是的切线； （2）延长交于点E，连接．作于点G，根据为的直径，得出．证出四边形为矩形，再证明，得出，证出矩形为正方形．延长交于点M，根据垂径定理得出，根据三角形中位线定理得出．设，则．．在中，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：连接， 直线切于点C， ， ， ． ， ． ， ， ， 是的切线； （2）解：延长交于点E，连接．作于点G， 为的直径， ． ， 四边形为矩形， ． 是的切线， ， ． ， ， ， 矩形为正方形． 延长交于点M， ， ， ， ． 设，则． ， ， ． 在中，， 解得：（舍去）， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，垂径定理，三角形中位线定理，矩形和正方形的性质和判定以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 十一. 利用切线长定理求解（共3小题） 1. （24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，与它的内切圆分别相切于点D、E、F．若周长为20，，则长为（   ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理，可知：，进而推出，即：，求解即可． 【详解】解：∵与它的内切圆分别相切于点D、E、F， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故选D． 2. （24-25九年级上·广东广州·期中）如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了切线长定理，由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：根据切线长定理可得：，，， ∴的周长， ， ， ， 故选：C． 3. （24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 十二. 尺规作圆的切线（共1小题） 1. （2024·广东深圳·二模）如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A．  作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B．  以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C．  先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D．  以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 【答案】D 【分析】利用圆周角性质定理，中位线性质定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质进行分析，从而判断出结果． 【详解】解：A、连接，   为直径， ，可得到为切线． B、过点O作，垂足为E，为以为圆的直径，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径，可得到为切线． C、先用尺规过点作垂线，再以为圆心，为半径画弧交垂线于，再以为圆心，为半径画弧交圆于点，连接， ， ，可得到为切线．    D、以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，是等边三角形，连接交圆于点，连接，如果为切线，则，必须为中点，    故选：D． 【点睛】本题主要考查的是圆的切线的作法，包含了圆周角的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线性质定理，相似三角形的判定与性质，熟悉性质是本题的关键． 十三. 利用三角形内切圆的性质求解（共3小题） 1. （24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键； 连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可， 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为， ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， ∴四边形是正方形， ， ， ， ； 故答案为： 2. （24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理、三角形外角与内角的关系．首先连接、、，根据三角形内切圆的性质可知：，，平分，平分，在中，，根据，可以求出，从而可以求出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可得． 【详解】解：如下图所示，连接、、， 是的内切圆， ，，平分，平分， ， ， ，， 在中，， ， 又， ， 是的外角， ， ． 故答案为：． 3. （24-25九年级上·北京·期中）如图，为的内切圆，点为切点，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，连接，根据内切圆的性质可得四边形是正方形，则，根据切线的性质可得，，设的半径为，则，运用勾股定理可得，则有，，由几何图形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是直角三角形的内切圆，点为切点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形形是正方形， ∴， ∵点为切点， ∴，， 设的半径为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，切线长定理，特殊四边形的判定和性质，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 十四. 利用三角形外接圆的性质求解（共3小题） 1. （23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ，的长度的最小值是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，求线段长的最大值，圆周角定理，勾股定理，关键是延长到使，连接构造△的中位线，并应用相关定理，结合题目条件即可求得长的最小值． 连接并延长交于E，连接，则，，得到延长到E，使，作于H，连接，，，根据三角形的中位线定理得到，当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接并延长交于E，连接， 则，， ， ， 即的半径为6， 当时，的长度的最小， D是的中点， 延长到，使，作于H，连接，，， D是的中点， 是△的中位线， ， 当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度的最小值是， 故答案为：6，． 2. （24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，是它的外心，，到的距离是，求的外接圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心的性质和勾股定理等知识的综合应用，根据外心的性质可知垂直平分，可知为直角三角形，，，由勾股定理可求半径． 【详解】解：为外心，， ，又， 由勾股定理，得 ， 的外接圆的半径是． 3. （24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆． (1)求的半径； (2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解； （2）分点在点的上方和下方，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）过点作，垂足为，连接、， ，， 垂直平分， ， 点在的垂直平分线上，即在上， ， ， 在中，，， ， 设，则． 在中，， ，即． 解得， 即的半径为； （2）当也经过、两点，且，如图： 设， ∵，则或， ∵， 或． ∴的半径的长为或． 【点睛】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置． 十五. 三角形内切圆和外接圆的综合（共3小题） 1. （2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2. （23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，则这个三角形周长是（　　） A．32 B．34 C．27 D．28 【答案】D 【分析】 此题重点考查三角形的外接圆的定义、三角形的内切圆的定义、切线长定理、正方形的判定与性质、三角形的周长等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 设中，，是的外接圆，与分别相切于点E、F、G，则，求得，连接，则，可证明四边形是正方形，则，求得，进而得出答案． 【详解】解：如图，中，，是的外接圆，与分别相切于点E、F、G， 的半径是6，是的直径， 连接，则， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 这个三角形的周长是28， 故选：D． 3. （2024·山东聊城·一模）如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的内心、外心，连接，证明是等边三角形，即可求解，牢记“等边三角形的内心与外接圆的圆心重合”是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ， 点为等边的内心， ， ， 等边三角形的内心与外接圆的圆心重合， 点为的外接圆的圆心， ， 是等边三角形， ， 故选A． 十六. 圆的综合问题——与三角形综合（共3小题） 1. （2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点A到所在直线的距离为3，则面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合运用，作的外接圆，连接，过点O作于点E，过点A作于点D，则，设，则，，当三点共线时，面积最小，由此即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，过点O作于点E，过点A作于点D，则，    ∴，设，则， ∴， ， ， ， ， 当三点共线时，面积的最小值为， 故答案为：． 2. （2024·河南周口·三模）已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键； 根据勾股定理求出，设与其垂直平分线的交点为E，分和两种情况讨论，根据直角三角形的勾股定理分别求解即可． 【详解】以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点 D 在AB 的垂直平分线上． ∵ ，， ， 如图，    设与其垂直平分线的交点为E， 则 ， 当的长为2时，如图， 即 ， ①在中， ， ②在中， ， 综上， 的长为或． 故答案为：或 3. （2024·湖南衡阳·一模）如图，内接，点A为的中点，D为边上一点，，是的切线，，连接．    (1)求证：； (2)当点A到弦的距离为1时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据点A为的中点，与相切，证明，得到，由，得到，证明四边形为平行四边形，即可证明结论； （2）由，得到，在中， ，求出，进而求出，根据四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点M，    ∵点A为的中点， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵点A到弦的距离为1，即， 在中， ， ∴， ∴|， ， 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查了圆与四边形综合，切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键． 十七. 圆的综合问题——与四边形综合（共3小题） 1. （24-25九年级上·四川广元·期中）如图，O为正方形对角线上一点，以O为圆心，长为半径的与相切于点M． (1)求证：与相切； (2)若的半径为1，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形的边为． 【分析】（1）连接，过点O作，垂足为N，根据正方形性质推出，根据角平分线性质推出即可； （2）设正方形的边长为a，证得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1）证明：连接，过点O作，垂足为N，    ∵与相切于， ∴， ∵正方形中，平分， 又∵， ∴， ∴与相切； （2）解：设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴正方形的边为． 【点睛】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质及判定定理． 2. （24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 【答案】 【分析】如图所示，延长交于点M，连接，先证明，得到，设，则，，在中，由勾股定理得，求得x的值，进而可得的值，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点M，连接， 四边形是正方形， ， 是边的中点， ， 由折叠的性质可得：，，， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 如图所示，连接， 分别与相切，切点分别为， ，，，， ， ， ， 的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3. （2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设交于点，若，，是的中点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）直接利用圆周角定理得出，再利用线段垂直平分线的性质得出； （2）利用圆内接四边形的性质得出，进而得出，即可得出答案； （3）根据得出的长，即可求出的长，再判断，求出的值． 【详解】（1）证明：是的直径， ，即， ， 垂直平分， ； （2）解：四边形是的内接四边形， ， 又， ， 又， ； （3）解：连接， ， ， 在中， ， 是的中点， ， ， 是的中点， ， ， 即． 【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出，的长是解题关键． 十八. 圆的综合问题——与函数综合（共3小题） 1. （2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)，. (2)存在， (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】解：（1）， 点坐标为， 将，代入， 得，， 解得， （2）设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则，， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 2. （20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 3. （24-25九年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系中的点P和图形W，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．给出如下定义：若在图形W上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于，则称P为图形W的“伴随关联点”． (1)如图1，图形W是半径为2的． ①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 ； ②在点，，中，的“伴随关联点”是 ； (2)如图2，图形W是中心在原点的正方形，点．若直线上存在正方形的“伴随关联点”，求t的取值范围； (3)点为x轴上的动点，直线与x轴、y轴分别交于两点，点P为线段MN上的任意一点，均为半径为4的的“伴随关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】（1）①根据圆的特点，找出最大值即可； ②根据“伴随关联点”的定义，对每一个点进行判断即可； （2）由题意可得，过点作垂直直线，交于点， 当或时，，则时，直线，上存在点，使点为正方形的“关联点”； （3）分别令当点在轴负半轴上时，和点在轴正半轴上时，根据“伴随关联点”的定义，求出的临界值即可． 【详解】（1）解：①图形W是半径为2的， 图形W上任意两点间的距离的最大值为直径的长， ， ②到圆心的距离为， 的半径为2， 的最小值为， 是的“伴随关联点”， 到圆心的距离为， 的半径为2， 的最小值为， 不是的“伴随关联点”， 到圆心的距离为， 的半径为2， 的最小值为， 不是的“伴随关联点”， 在点，，中，的“伴随关联点”是． （2）解：图形W是中心在原点的正方形，且， 正方形的边长为， 正方形中任意两点的距离最值为或的长， ， 过点作垂直直线，交于点， ①    如图，设直线与轴正半轴交于点 当时，， ， ，此时； ②    如图设直线与轴负半轴交于点， 当时，， ， ，此时， 若直线上存在正方形的“伴随关联点”， 则， （3）解：的圆心为，半径为4， ， 直线与x轴、y轴分别交于两点， 令时，，令， ， 当点在轴负半轴上时， 点为线段上离最远的点， 使点到的距离为， 则， 此时， 当点在轴正半轴上时， 点为线段上离最远的点， 使点到的距离为， 则， ， ， t的取值范围为． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，弄清定义，能够根据定义，结合正方形的性质，圆的性质，数形结合是解题的关键． 十九. 圆的综合问题——其他问题综合（共3小题） 1. （24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，以点为圆心，2为半径画圆，过点作的一条切线，切点为，连接．将绕点按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为． (1)当弧的长为时，求的度数，并求出此时线段扫过的面积； (2)如图，当时，求证：是的切线； (3)直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由弧长公式及扇形面积公式代值求解即可得到答案； （2）由是的切线，可得，证明，则，即，进而结论得证； （3）由勾股定理得，，如图3，过作，交圆于，如图所示，根据的最大值与最小值的差为，计算求解即可． 【详解】（1）解：的半径是，弧的长为， ，解得； 线段扫过的面积； （2）证明：∵是的切线， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； （3）解：由勾股定理得，， 过作，交圆于，如图所示： ∴的最大值与最小值的差为， ∴的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等知识．熟练掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 2. （2023·广东阳江·一模）如图，在矩形中，，，连接，点E为上一个动点，点F为上一个动点，连接，且始终满足，则线段的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先利用矩形的性质及已知条件得出的长，再由勾股定理得出的长，然后利用三角函数得出，从而，再证得，取中点O，E在以为直径的圆上，则当时，最短，设，则，，根据题意得出关于x的一元一次方程，解得x的值，则答案可求． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴取中点O，E在以为直径的圆上， ∴， ∴当取最小值时，也为最小值， ∵E为上的动点， ∴当时，OE最短， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用、圆的定义及一元一次方程在几何问题中的应用，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 3. （2021九年级·全国·专题练习）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【详解】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴， 又， ∴， ∴， 故选D． 二十. 利用正多边形公式求解（共3小题） 1. （2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 2. （24-25九年级上·云南楚雄·期中）若一个圆内接正多边形的中心角是60°，则这个正多边形是（    ） A．正八边形 B．正七边形 C．正六边形 D．正五边形 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键． 根据正多边形的中心角的计算公式计算即可． 【详解】解：， 即这个多边形的边数是6，是正六边形． 故选：C． 3. （24-25九年级上·河南新乡·期中）正六边形的周长为6，则它的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的计算，把正多边形的面积转化为包含中心角的三角形的面积计算是解题的关键． 利用正多边形与圆的关系，把图形的面积转化中心角三角形的面积和计算即可． 【详解】解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，作，垂足为C， ∵正六边形的周长为6， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为， 故选B． 二十一. 利用弧长和扇形公式求解（共3小题） 1. （23-24九年级下·四川绵阳·期中）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长的计算，正确理解弧长的计算公式是解题的关键．已知，，根据弧长的计算公式，即可求出答案． 【详解】已知，， ， ， 解得． 故选：D． 2. （2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中的长度为米，裙长米，圆心角，则的长为（    ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．由题意知，，求得，得到米即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∵裙长为米， ∴米， 故选：B． 3. （2023·河南洛阳·模拟预测）若扇形面积为，圆心角为，则它的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查扇形的面积公式，弧长公式等知识，利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式计算即可．解题的关键是记住扇形的面积公式以及弧长公式． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意：， 解得， ∴扇形的弧长， 故选：C． 二十二. 求不规则阴影图形的面积（共3小题） 1. （24-25九年级上·云南红河·期中）如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2，1，，则阴影部分面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中角所对的扇形的面积减去小圆中角所对的面积来求得． 【详解】解：， ∴阴影部分面积是． 故选：A． 2.（22-23九年级上·山西大同·阶段练习）如图，正方形内接于半径为2的中，过点作的切线交的延长线于点，过点作的切线交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正多边形与圆的性质，以及切线的性质判定出四边形是正方形，是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出，根据图形中面积之间的关系进行计算即可． 【详解】解：如图，连接、、， 正方形是的内接正方形， ， 与相切于点，与相切于点， ，， 四边形是正方形， 是等腰直角三角形， ， 由对称性以及图形中阴影部分面积之间的关系可得， ， 故选：D．    【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质是正确计算的前提，判定四边形是正方形，是等腰直角三角形是解决问题的关键． 3. （24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，半径为6的沿弦折叠，弧恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】连接，，过点作于交于．解直角三角形求出，勾股定理求出，然后求出，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】解：连接，，过点作于交于．    由题意垂直平分线段，， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二十三. 利用圆锥公式求解（共3小题） 1. （24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积=底面周长×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积 故选：B． 2. （24-25九年级上·全国·期末）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的底面周长及侧面展开图，勾股定理．根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可求解． 【详解】解：∵小正方形方格的边长为， ∴母线长为：，圆心角为， ∴扇形的弧长为：， ∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长， ∴， 解得：， 故选：C． 3. （24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得． 【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是， 由题意得：， 解得， 则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是， 故选：B． $$