专题05 分式（7基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（山西专用）

专题05 分式 科学计数法 1. （2023秋•汾阳市期末）华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅0.000000028米，这个数用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 2. （2022秋•汾阳市期末）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000000004用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 3. （2023春•长治期末）欢乐六一，多彩童年，每年6月1日这天，孩子们都会用各种形式欢度自己的节日，还记得我们小时候一起玩的吹泡泡吗？已知泡泡的泡壁厚度约为0.000000326米，请你使用科学记数法表示“0.000000326米”这个数　　 A．米 B．米 C．米 D．米 4. （2023春•晋中期末）目前人类已知的地球上体型最小的光合自养生物是原绿球藻，它的直径约为500到700纳米．已知1纳米米，则数据500纳米用科学记数法表示为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 分式有意义的条件 1. （2024春•尧都区期末）若分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 2. （2024春•太原期末）使分式有意义的的取值范围是　　 A． B． C． D． 3. （2023秋•怀仁市期末）若分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4. （2022秋•芮城县期末）若分式有意义，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 5. （2023春•太原期末）分式有意义的条件是　　 A． B． C． D． 6. （2023春•小店区期末）下列的值中，使分式无意义的是　　 A． B． C． D． 7. （2023秋•大同期末）若分式有意义，则的取值范围是 　　． 分式的值为零的条件 1. （2023秋•交口县期末）当式子的值为零时，等于　　 A．4 B． C．或3 D．3或 2. （2022秋•朔州期末）如果分式的值为零，那么的值是　　 A． B． C． D． 3. （2022秋•代县期末）分式的值为0，则的值是　　 A．2 B．3 C．1或3 D．1 4. （2023秋•右玉县期末）如果分式的值为零，那么　　． 5. （2022秋•阳泉期末）分式的值为0，则的值为 　 　． 分式的基本性质 1. （2024春•临汾期末）若将分式中的，都扩大为原来的4倍，则该分式的值　　 A．不变 B．扩大到原来的4倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的16倍 2. （2024春•盐湖区期末）如果把分式中的和的值都扩大为原来的2倍，那么该分式的值　　 A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的2倍 3. （2023秋•应县期末）下列等式中，不成立的是　　 A． B． C． D． 4. （2022秋•怀仁市校级期末）根据分式的基本性质，分式可变形为　　 A． B． C． D． 5. （2022秋•离石区期末）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值　　 A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大6倍 6. （2022秋•临县校级期末）如果把分式中的，都扩大到原来的2倍，那么分式的值　　 A．不变 B．缩小到原来的2倍 C．扩大到原来的2倍 D．无法确定 最简分式 1. （2022秋•朔州期末）下列式子是分式的是　　 A． B． C． D． 2. （2024春•侯马市期末）下列式子中是最简分式的是　　 A． B． C． D． 分式的运算 1. （2023秋•汾阳市期末）化简的结果为　　 A． B． C． D． 2. （2022秋•平城区校级期末）计算的结果是　　 A．1 B． C．2 D． 3. （2023春•洪洞县期末）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像到镜头的距离．已知，，则　　 A． B． C． D． 4. （2022秋•阳泉期末）已知，则式子的值是 　　． 5. （2023春•晋中期末）化简的结果是 　　． 6. （2023秋•兴县期末）如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为 　　． 7. （2023秋•朔州期末）这是白老师在纸条上书写的一道例题：▲，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧盖住了一部分，则盖住部分中▲的内容为 　　． 8. （2022秋•平城区校级期末）（1）计算：； （2）化简：． 9. （2022秋•朔州期末）计算： （1）． （2）． 10. （2023秋•汾阳市期末）下面是小白同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 任务： （1）上述解题过程中，从第 　 　步开始出现错误，错误的原因是 　 　． （2）请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值． 11. （2022秋•离石区期末）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的，的可能值较多，不可能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 请你用上述方法解决问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 12. （2023春•尧都区期末）计算（1）． （2）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步； 第二步； 第三步； 第四步； 第五步； 第六步； 任务一：填空： ①以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 　　； ．整式乘法 ．因式分解 ②以上化简步骤中，第 　　步是进行分式的通分，其依据是 　　； ③第 　　步开始出现错误，出现错误的具体原因是 　　． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果． 13. （2023春•运城期末）（1）化简：． （2）仔细观察以下小明同学解不等式的过程； 解不等式：． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一： 填空：①以上解题过程中，第一步是依据 　 　进行变形的． ②第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　． 任务二：直接写出该不等式的正确解集：　 　． 解分式方程 1. （2023秋•怀仁市期末）解分式方程时，去分母变形正确的是　　 A． B． C． D． 2. （2023秋•忻州期末）小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得：第一步； 解得：第二步； 原分式方程的解是第三步； （1）小丽解答过程从第 　 　步开始出错，正确结果是 　 　，这一步的依据是 　 　． （2）小丽解答过程缺少的步骤是 　　． （3）请写出正确的解题过程． 3. （2024春•曲沃县期末）（1）计算：． （2）下面是小华解分式方程．的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 解：原方程可变形为，第1步 去分母，得，第2步 解，得，第3步 检验：将代入，， 所以，是原方程的解．第4步 任务： ①上述解答过程中第1步变形逆用了 　 　（填运算律）； ②上述解答过程中，从第 　　 步开始出错，请你将这步改正为 　 　； ③写出解原方程的正确结果：　　 ． 分式方程的应用 1. （2023秋•交城县期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设6210文能买株椽，根据题意可列方程　　 A． B． C． D． 2. （2023春•临汾期末）6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有，两款相册比较合适，其中款相册的单价比款相册的单价贵3元，用1000元购买款相册的数量是用425元购买款相册数量的2倍，求款相册的单价．若设款相册的单价为元，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 3. （2023秋•右玉县期末）甲地到乙地的铁路长，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由甲地到乙地的行驶时间缩短了．设原来火车的平均速度为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 4. （2023秋•兴县期末）山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： ①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元． ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成． 计算结果 5. （2022秋•汾阳市期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 6. （2024春•盐湖区期末）洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1392人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 分式的化简求值 1. （2022秋•交城县期末）先化简，再求值：，其中． 2. （2023春•夏县期末）先化简，再求值：，其中，． 3. （2023春•洪洞县期末）先化简，再求值：，其中． 增根与无解 1. （2022秋•朔城区期末）若关于的分式方程无解，则　　 A． B．0 C．1 D． 2. （2022秋•汾阳市期末）若关于的方程无解，则的值为 　 　． 新定义 1. （2023秋•孝义市期末）阅读下列材料，完成相应任务． 探究比例的性质 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数，，，，使得分式成立（即，，，成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）和；（2）和；（3）和 “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：，，，．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当，，，时，，． 猜想：若，则． 证明：，（依据， （2）计算：当，，，时，， 猜想：若，则； 证明：方法一：，（依据， 方法二（作差法），， （依据 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是： 依据　 　；依据　　；依据　　； 任务二：请你对材料中的（3）和进行探究． ①请你再写出一组能使分式成立的数：　　，　　，　　，　　， ②计算：　　，　　； ③猜想：　　； ④证明： 2. （2023春•太原期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 真分式与假分式 将两个整数相除（除数不为零）表示成分数，可能得到真分数，也可能得到假分数； 类似地，分式也有真、假之分．我们规定，在分式中，当分子中整式的次数大于或等于 分母中整式的次数，如，，称为假分式；当分子中整式的次数小于分母中 整式的次数时，如，，称为真分式．一些假分数可以化为带分数，即整数与真分数之和，如：；类似地，我们也可以把一些假分式化为带分式，即整式与真分式之和（或差）的形式．例：；． 任务： （1）下列分式中，　 　是假分式（填序号） ①； ②； ③． （2）小彬将一个假分式化成带分式的结果为请求出原来的假分式； （3）请从下面，两题中任选一题作答，我选择 　　题． ．将假分式化成带分式的结果为 　　． ．将假分式化成带分式的结果为 　　． 3. （2022秋•忻府区期末）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：． 类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． ． 材料2：为了研究字母和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： 0 1 2 3 4 无意义 1 0.5 0.25 请根据上述材料完成下列问题： （1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：　　；　　； （2）当时，随着的增大，分式的值 　　（增大或减小）； （3）当时，随着的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由． 4. （2022秋•平城区校级期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　 　（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：　　　　； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 分式 科学计数法 1. （2023秋•汾阳市期末）华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅0.000000028米，这个数用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据科学记数法的定义作答即可． 【解答】解：． 故选：． 2. （2022秋•汾阳市期末）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据0.0000000004用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：． 故选：． 3. （2023春•长治期末）欢乐六一，多彩童年，每年6月1日这天，孩子们都会用各种形式欢度自己的节日，还记得我们小时候一起玩的吹泡泡吗？已知泡泡的泡壁厚度约为0.000000326米，请你使用科学记数法表示“0.000000326米”这个数　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000000326米米． 故选：． 4. （2023春•晋中期末）目前人类已知的地球上体型最小的光合自养生物是原绿球藻，它的直径约为500到700纳米．已知1纳米米，则数据500纳米用科学记数法表示为　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得到答案． 【解答】解：500纳米米米． 故选：． 分式有意义的条件 1. （2024春•尧都区期末）若分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：要使分式有意义，必须， 解得，， 故选：． 2. （2024春•太原期末）使分式有意义的的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式的分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，， 解得：， 故选：． 3. （2023秋•怀仁市期末）若分式有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式有意义分母不为零可得，再解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故选：． 4. （2022秋•芮城县期末）若分式有意义，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据分式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：分式有意义， ，解得． 故选：． 5. （2023春•太原期末）分式有意义的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分母不能为零，可得答案． 【解答】解：由题意，得 ， 解得， 故选：． 6. （2023春•小店区期末）下列的值中，使分式无意义的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式无意义的条件，即分母为0进行解答即可． 【解答】解：由于分式无意义， 所以， 即， 故选：． 7. （2023秋•大同期末）若分式有意义，则的取值范围是 　　． 【分析】分式有意义，分母不等于零． 【解答】解：依题意得：， 解得． 故答案为：． 分式的值为零的条件 1. （2023秋•交口县期末）当式子的值为零时，等于　　 A．4 B． C．或3 D．3或 【分析】根据分式为零，分子等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，， 解得或， 又， 解得，， 所以，． 故选：． 2. （2022秋•朔州期末）如果分式的值为零，那么的值是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用分式的值为零的条件分析得出答案． 【解答】解：分式的值为零， ，， 解得：． 故选：． 3. （2022秋•代县期末）分式的值为0，则的值是　　 A．2 B．3 C．1或3 D．1 【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 【解答】解：要使分式由分子．解得：或3； 而时，分母； 当时分母，分式没有意义． 所以的值为3． 故选：． 4. （2023秋•右玉县期末）如果分式的值为零，那么　　． 【分析】分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【解答】解：如果分式的值为零，则． 解得或． ，解得， ． 故答案为． 5. （2022秋•阳泉期末）分式的值为0，则的值为 　 　． 【分析】根据分式值为零的条件（分子为零且分母不等于零）列方程和不等式求解． 【解答】解：分式的值为0， ， 解得． 故答案为：4． 分式的基本性质 1. （2024春•临汾期末）若将分式中的，都扩大为原来的4倍，则该分式的值　　 A．不变 B．扩大到原来的4倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的16倍 【分析】根据分式的性质，将，都扩大原来的4倍，在进行化简计算即可． 【解答】解：根据题意得，变形得， ， 该分式的值不变； 故选：． 2. （2024春•盐湖区期末）如果把分式中的和的值都扩大为原来的2倍，那么该分式的值　　 A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的2倍 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故选：． 3. （2023秋•应县期末）下列等式中，不成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：、，故不符合题意． 、，故不符合题意． 、，故符合题意． 、，故不符合题意． 故选：． 4. （2022秋•怀仁市校级期末）根据分式的基本性质，分式可变形为　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：原式， 故选：． 5. （2022秋•离石区期末）如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值　　 A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大6倍 【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： ， 如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍， 故选：． 6. （2022秋•临县校级期末）如果把分式中的，都扩大到原来的2倍，那么分式的值　　 A．不变 B．缩小到原来的2倍 C．扩大到原来的2倍 D．无法确定 【分析】把分式中的，都扩大到原来的2倍，原分式变为，利用分式的基本性质化简得到，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：分式中的，都扩大到原来的2倍， 则原分式变为， 因为， 所以把分式中的，都扩大到原来的2倍，分式的值缩小到原来的2倍． 故选：． 最简分式 1. （2022秋•朔州期末）下列式子是分式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据分式的定义作答． 【解答】解：、是多项式，故本选项不符合题意； 、是多项式，故本选项不符合题意； 、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意； 、是多项式，故本选项不符合题意； 故选：． 2. （2024春•侯马市期末）下列式子中是最简分式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的定义进行解题即可． 【解答】解、不是最简分式，不符合题意； 、不是最简分式，不符合题意； 、不是最简分式，不符合题意； 、是最简分式，符合题意； 故选：． 分式的运算 1. （2023秋•汾阳市期末）化简的结果为　　 A． B． C． D． 【分析】先把能够分解因式的分子分解因式，再约分即可． 【解答】解： ． 故选：． 2. （2022秋•平城区校级期末）计算的结果是　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式， 故选：． 3. （2023春•洪洞县期末）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像到镜头的距离．已知，，则　　 A． B． C． D． 【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含、的代数式表示． 【解答】解：， ， ， ， ． 故选：． 4. （2022秋•阳泉期末）已知，则式子的值是 　　． 【分析】根据题意可知：，然后代入原式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， 原式 ． 故答案为：． 5. （2023春•晋中期末）化简的结果是 　　． 【分析】把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 6. （2023秋•兴县期末）如图，这是白老师在纸条上书写的一道例题，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧撕掉了一部分，则撕掉部分中▲的内容为 　　． 【分析】原等式两边除以再加上1即可得出撕掉部分中▲的内容． 【解答】解： ． 故答案为：． 7. （2023秋•朔州期末）这是白老师在纸条上书写的一道例题：▲，在向同学们展示时，不小心将纸条的左侧盖住了一部分，则盖住部分中▲的内容为 　　． 【分析】原等式两边除以再加上1即可得出撕掉部分中▲的内容． 【解答】解： ． 故答案为：． 8. （2022秋•平城区校级期末）（1）计算：； （2）化简：． 【分析】（1）根据绝对值的性质、立方根的定义、负整数指数幂的意义以及零指数幂的意义即可求出答案． （2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 9. （2022秋•朔州期末）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）先计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减运算可得； （2）先将分子、分母因式分解，再计算乘法，最后计算减法即可得． 【解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 10. （2023秋•汾阳市期末）下面是小白同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 任务： （1）上述解题过程中，从第 　 　步开始出现错误，错误的原因是 　 　． （2）请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值． 【分析】（1）观察发现第三步开始出现错误，去括号出现错误； （2）根据分式的混合运算法则进行化简，再把代入代简结果求值即可． 【解答】解：（1）上述解题过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号出现错误； 故答案为：三，去括号出现错误； （2） ． 当时， 原式． 11. （2022秋•离石区期末）阅读下列文字，并解决问题． 已知，求的值． 分析：考虑到满足的，的可能值较多，不可能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 请你用上述方法解决问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【分析】（1）先将所求式子展开，然后化为的形式，然后将的值整体代入计算即可； （2）根据完全平方公式将变形，然后即可求得所求式子的值． 【解答】解：（1）， ； （2）， ． 12. （2023春•尧都区期末）计算（1）． （2）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步； 第二步； 第三步； 第四步； 第五步； 第六步； 任务一：填空： ①以上化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于 　　； ．整式乘法 ．因式分解 ②以上化简步骤中，第 　　步是进行分式的通分，其依据是 　　； ③第 　　步开始出现错误，出现错误的具体原因是 　　． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果． 【分析】（1）先计算零次幂，负整数指数幂，化简绝对值，二次根式，再合并即可； （2）任务一： ①根据变形的结果可得答案； ②由通分的依据是分式的基本性质可得答案； ③由去括号的法则可得答案； 任务二：先计算括号内的减法运算，再把除法化为乘法运算，约分后可得结果． 【解答】解：（1） ； （2）任务一 ①化简步骤中第一步将原式中的这一项变形为属于因式分解； 故选：． ②化简步骤中，第三步是进行分式的通分，其依据是分式的基本性质， 故答案为：三，分式的基本性质； ③第四步出现错误，错误原因是：括号前面是负号，去括号时，后两项没变号， 故答案为：四，括号前面是负号，去括号时，后两项没变号； 任务二： ． 13. （2023春•运城期末）（1）化简：． （2）仔细观察以下小明同学解不等式的过程； 解不等式：． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一： 填空：①以上解题过程中，第一步是依据 　 　进行变形的． ②第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 　． 任务二：直接写出该不等式的正确解集：　 　． 【分析】（1）先算括号里面的，再算除法即可； （2）任务一：根据不等式的基本性质解答即可； 任务二：根据解题过程直接写出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）①第一步是依据不等式的基本性质2． 故答案为：不等式的基本性质2； ②第五步出现错误，这一步错误的原因是不等号的方向没改变． 故答案为：五，不等号的方向没改变； 任务二：该不等式的正确解集是． 故答案为：． 解分式方程 1. （2023秋•怀仁市期末）解分式方程时，去分母变形正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】原方程两边同乘去分母即可． 【解答】解：原方程两边同乘得， 故选：． 2. （2023秋•忻州期末）小丽解分式方程时，出现了错误，她的解题过程如下： 解：去分母得：第一步； 解得：第二步； 原分式方程的解是第三步； （1）小丽解答过程从第 　 　步开始出错，正确结果是 　 　，这一步的依据是 　 　． （2）小丽解答过程缺少的步骤是 　　． （3）请写出正确的解题过程． 【分析】（1）根据等式的两边同乘，即可判断； （2）根据分式方程一定要验根，即可确定答案； （3）根据解分式方程正确的步骤求解即可． 【解答】解：（1）小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是， 这一步的依据是等式的性质， 故答案为：一，，等式的基本性质； （2）小丽解答过程缺少的步骤是检验， 故答案为：检验； （3）， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原分式方程的解是． 3. （2024春•曲沃县期末）（1）计算：． （2）下面是小华解分式方程．的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 解：原方程可变形为，第1步 去分母，得，第2步 解，得，第3步 检验：将代入，， 所以，是原方程的解．第4步 任务： ①上述解答过程中第1步变形逆用了 　 　（填运算律）； ②上述解答过程中，从第 　　 步开始出错，请你将这步改正为 　 　； ③写出解原方程的正确结果：　　 ． 【分析】（1）利用零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方计算即可； （2）①根据解题步骤即可求得答案； ②根据解题步骤判断哪并改正即可； ③根据②中改正的错误解得正确结果即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）①上述解答过程中第1步变形逆用了乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； ②上述解答过程中，从第2步开始出错，请你将这步改正为， 故答案为：2；； ③由②得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故原方程的解为， 故答案为：． 分式方程的应用 1. （2023秋•交城县期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设6210文能买株椽，根据题意可列方程　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意列出分式方程即可． 【解答】解：根据题意，得， 故选：． 2. （2023春•临汾期末）6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有，两款相册比较合适，其中款相册的单价比款相册的单价贵3元，用1000元购买款相册的数量是用425元购买款相册数量的2倍，求款相册的单价．若设款相册的单价为元，则根据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】根据两款相册单价间的关系，可得出款相册的单价为元，利用数量总价单价，结合用1000元购买款相册的数量是用425元购买款相册数量的2倍，即可列出关于的分式方程，此题得解． 【解答】解：款相册的单价比款相册的单价贵3元，且设款相册的单价为元， 款相册的单价为元． 根据题意得：． 故选：． 3. （2023秋•右玉县期末）甲地到乙地的铁路长，动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，这样由甲地到乙地的行驶时间缩短了．设原来火车的平均速度为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，可得出动车运行后的平均速度为，利用时间路程速度，结合动车运行后由甲地到乙地的行驶时间缩短了，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【解答】解：动车运行后的平均速度是原来火车的1.8倍，且原来火车的平均速度为， 动车运行后的平均速度为． 依题意得：． 故选：． 4. （2023秋•兴县期末）山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用． 课题 劳动基地菜地护栏建设 调查方式 走访调研、实地查看测量 测量过程及计算 调研内容及图示 相关数据及说明： ①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的工人每人当天费用为200元，安装竖杠的工人每人当天费用为240元． ②共招募6名工人，每名工人在相同的时间内安装横杠2根或竖杠3根，且每名工人只完成一项工作，要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成． 计算结果 【分析】设招募安装横杠的工人名，根据题意用表示出两项安装任务所需时间，根据题意列出分式方程，解方程得到答案． 【解答】解：设招募安装横杠的工人名，则安装竖杠的工人 名． 由题意，得， 解得， 经检验， 是原方程的解， 则， 支付给工人师傅的总费用为：（元． 答：支付给工人师傅的总费用为1360元． 5. （2022秋•汾阳市期末）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 【分析】（1）设购买绿萝的单价为元，则购买吊兰的单价为元，由题意：用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆，由题意：资金不超过600元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为元，则购买吊兰的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元； （2）设购买吊兰的数量为盆，则购买绿萝的数量为盆， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为17， 答：购买吊兰的数量最多是17盆． 6. （2024春•盐湖区期末）洋葱是百合科，葱属多年生草本植物，味辛、甘，性温，归肺经，富含钾、维生素、叶酸、锌、硒等纤维质等营养素，具有保护心脑血管、美容养颜的功效．由于临近初二中考，考生物实验，生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用18元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了，生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱． （1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？ （2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共1392人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？ 【分析】（1）设上周生物老师购买洋葱的单价为元斤，则本周所买洋葱的单价为元斤，根据“生物老师花了30元，但只比上周多买了2斤洋葱”列出分式方程，求解即可得出答案； （2）设生物老师还需再购买洋葱斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【解答】解：（1）设上周生物老师购买洋葱的单价为元斤，则本周所买洋葱的单价为元斤， 根据题意可列方程：， 解得， 经检验：是原方程的根且符合题意． 答：上周生物老师购买洋葱的单价为1元斤； （2）设生物老师还需再购买洋葱斤， 则有， 解得， 答：生物老师至少要再购买20斤洋葱． 分式的化简求值 1. （2022秋•交城县期末）先化简，再求值：，其中． 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把代入进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 当时，原式． 2. （2023春•夏县期末）先化简，再求值：，其中，． 【分析】利用异分母分式加减法法则进行计算，然后把，的值代入化简后的式子，进行计算即可解答． 【解答】解： ， 当，时，原式． 3. （2023春•洪洞县期末）先化简，再求值：，其中． 【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案． 【解答】解：原式 ， 当时， 原式． 增根与无解 1. （2022秋•朔城区期末）若关于的分式方程无解，则　　 A． B．0 C．1 D． 【分析】解分式方程，可得，根据题意可知分式方程的增根为，即有，，求解即可获得答案． 【解答】解：， 去分母，得， 合并同类项、系数化为1，得， 由题意可知，分式方程的增根为， 即有，解得． 故选：． 2. （2022秋•汾阳市期末）若关于的方程无解，则的值为 　 　． 【分析】求解方程可得，再由方程无解可得，即可求的值． 【解答】解：， ， ， ， 方程无解，可分为以下两种情况： ①分式方程没有意义时， 或， 此时， ②整式不成立时， ， ， 故答案为：0或4． 新定义 1. （2023秋•孝义市期末）阅读下列材料，完成相应任务． 探究比例的性质 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为0的数，，，，使得分式成立（即，，，成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． （1）和；（2）和；（3）和 “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：，，，．并对（1）（2）进行了探究． （1）计算：当，，，时，，． 猜想：若，则． 证明：，（依据， （2）计算：当，，，时，， 猜想：若，则； 证明：方法一：，（依据， 方法二（作差法），， （依据 任务一：上述材料中，“依据1”“依据2”“依据3”分别指的是： 依据　 　；依据　　；依据　　； 任务二：请你对材料中的（3）和进行探究． ①请你再写出一组能使分式成立的数：　　，　　，　　，　　， ②计算：　　，　　； ③猜想：　　； ④证明： 【分析】任务一：根据等式的性质可解答依据1和依据2，根据分式的性质可解答依据3； 任务二：①任举符合题意的3个数，求出第4个数即可； ②把①中的数代入计算即可； ③根据②的计算猜想即可； ④用作差法根据异分母分式的加减法法则计算即可． 【解答】解：任务一：依据1：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．（或等式的性质 依据2：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（或等式的性质 依据3：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．（或分式的基本性质）． 故答案为：等式的性质2，等式的性质1，分式的基本性质； 任务二：①，，，；（答案不唯一）． ②计算：，；（答案不唯一）． 故答案为：，；（答案不唯一）； ③猜想：若，则． 故答案为：若，则； ④证明：， ， ， ． 2. （2023春•太原期末）阅读下列材料，完成相应的任务． 真分式与假分式 将两个整数相除（除数不为零）表示成分数，可能得到真分数，也可能得到假分数； 类似地，分式也有真、假之分．我们规定，在分式中，当分子中整式的次数大于或等于 分母中整式的次数，如，，称为假分式；当分子中整式的次数小于分母中 整式的次数时，如，，称为真分式．一些假分数可以化为带分数，即整数与真分数之和，如：；类似地，我们也可以把一些假分式化为带分式，即整式与真分式之和（或差）的形式．例：；． 任务： （1）下列分式中，　 　是假分式（填序号） ①； ②； ③． （2）小彬将一个假分式化成带分式的结果为请求出原来的假分式； （3）请从下面，两题中任选一题作答，我选择 　　题． ．将假分式化成带分式的结果为 　　． ．将假分式化成带分式的结果为 　　． 【分析】（1）依据题意，读懂题目后进行分析判断即可得解； （2）依据题意，根据分式的加减法法则进行计算可以得解； （3）依据题意，任选一个进行变形即可得解． 【解答】解：（1）由题意，在分式中，当分子中整式的次数大于或等于 分母中整式的次数，称为假分式；当分子中整式的次数小于分母中 整式的次数时，称为真分式． ①③是假分式，②是真分式． 故答案为：①③． （2）由题意，． （3）由题意，对，； 对于，． 故答案为：、任选一个填写即可；；． 3. （2022秋•忻府区期末）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：． 类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． ． 材料2：为了研究字母和分式值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： 0 1 2 3 4 无意义 1 0.5 0.25 请根据上述材料完成下列问题： （1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：　　；　　； （2）当时，随着的增大，分式的值 　　（增大或减小）； （3）当时，随着的增大，分式的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由． 【分析】（1）先变形得出，再求出答案即可； （2）分别求出，，时，的值，再比较大小即可； （3）得出原式，再求出答案即可． 【解答】解：（1），， 故答案为：，； （2）当时，， 当时，， 当时，， ， ， 当增大时，的值越来越小， 故答案为：减小； （3）2， 理由如下： ， 随着的值的增大，的值逐渐减小， 随着的值的增大，的值无限趋近于2． 4. （2022秋•平城区校级期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　 　（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：　　　　； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 【分析】（1）由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得； （2）由原式可得； （3）将原式变形为，据此得出或，即或或1或，又、1、、，据此可得答案． 【解答】解：（1）①，是和谐分式；③，是和谐分式；④，是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）， 故答案为：，； （3）原式 ， 当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又分式有意义时、1、、， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$