清单06 二次函数（考点清单，13个考点梳理+16个题型解读+提升训练）（期末复习知识清单）九年级数学上学期湘教版

清单06 二次函数（13个考点梳理+16个题型解读+提升训练） 【清单01】二次函数的定义 1）定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 2）一般形式：y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0，a、b、c是常数） 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项． 3）方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断． 除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0）外，还有其特殊形式如y＝ax2，y＝ax2＋bx， y＝ax2＋c等． 【清单02】待定系数法求二次函数的解析式 思路：分别将已知的x值对应的y值到代入到二次函数的一般形式当中，通过解方程组求出a，b，c的值，即可得到二次函数的一般形式解析式。 二次函数的值 在求出字母参数的前提下，得到的函数解析式，通过代入法将x代入其中，求出y的值 【清单03】二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 【清单04】二次函数y＝ax2（a≠0）的特征 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 【清单05】y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 【清单06】y=ax²+c的图象的性质 总结：y=ax²+c（a≠0）与y=ax²（a≠0）的联系 二次函数y=ax²+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c < 0 时,向下平移c个单位长度得到. 【清单07】y=a（x-h）²的图象的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 总结： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【清单07】二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 总结：一般地,函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,可以由函数y=ax2的图象先向右(当h>0)或向左(当h<0)平移|h|个单位,再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移|k|个单位得到,顶点是(h,k),对称轴是直线 x=h. 【清单08】二次函数 y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的性质 对于二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a ≠ 0）,我们通过变形,可以将其转化为 y=a(x+)2+（a ≠ 0）.由此可见,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象与函数y=ax2（a ≠ 0）的图象的形状、开口方向均相同,只是位置不同,可以通过平移y=ax2（a ≠ 0）的图象得到. 一般地,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象有以下性质:二次函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=－,顶点坐标是（－，)当a>0时,抛物线的开4C口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点. 【清单09】列二次函数解决实际问题的步骤： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 【清单10】实际问题中自变量的取值 （1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值， ①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y= ②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y= （2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑． 【清单11】利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价． 【清单12】求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出． 【清单13】利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 （1）实际问题；（2）建立二次函数模型；（3）利用二次函数的图象和性质求解；（4）确定实际问题的解． 【考点题型一】二次函数的基本概念 【例1】下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数与一次函数定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用二次函数以及一次函数的定义分别判断得出答案． 【详解】解：A、，是一次函数，不符合题意； B、，当时，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先把关系式整理成一般形式，再根据二次函数的定义判定即可解答． 本题考查了二次函数的定义，若两个变量x、y之间的关系可以表示成（a、b、c是常数，）的形式，则称y是x的二次函数．解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义． 【详解】解：①，是二次函数； ②，没有说，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； 故选：B． 【变式1-2】线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，二次函数的定义，一次函数的定义等知识点，熟练掌握二次函数的定义和一次函数的定义是解题的关键． 根据题意可得出与，与的函数关系式，然后根据二次函数的定义和一次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， ，属于二次函数关系， ，属于一次函数关系， 故选：． 【变式1-3】若是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴． 【考点题型二】二次函数的图像与性质 【例2】二次函数y＝2（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3） 【分析】根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：二次函数y＝2（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式2-1】对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，下列判断正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标是（﹣2，5） D．当x＞2时，y随x的增大而增大 【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【解答】解：A、∵﹣1＜0，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线x＝2，本选项符合题意； C、抛物线的顶点坐标是（2，5），本选项不符合题意； D、因为开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝2，所以当x＞2时，y随x的增大而减小，本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【变式2-2】已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C2：y＝x2的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3 【分析】根据抛物线性质直接可得答案． 【解答】解：由知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），设抛物线C1的解析式为y＝a（x﹣2）2+3， ∵抛物线C1的抛物线C2：y＝x2的开口方向、形状大小完全相同， ∴a＝1， ∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣2）2+3； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握抛物线顶点，开口方向，形状与系数的关系． 【变式2-3】若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．先确定抛物线的对称轴，再确定抛物线开口向上，此时离对称轴越远，函数值越大，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点离对称轴最远，点在对称轴上， ∴． 故选：B． 【变式2-4】对于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减少 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线的图象和性质．根据抛物线的图象和性质依次进行判断即可． 【详解】解： ， ∴开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而减小， ∴当时，随的增大而减少，选项D符合题意． 故选：D． 【考点题型三】二次函数图像的平移 【例3】把抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+3）2+2 B．y＝﹣2（x﹣3）2+2 C．y＝﹣2（x+3）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2 【分析】按“上加下减，左加右减”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【解答】解：由上加下减，左加右减的法则可知，抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，得y＝﹣2（x+3）2﹣2． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线x＝1的抛物线y＝mx2+nx+m﹣2（m＞2）向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（　　） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【分析】利用对称轴求得n＝﹣2m，可得抛物线解析式为y＝mx2﹣2mx+m﹣2＝m（x﹣1）2﹣2，得到抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），根据平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点可得平移后的抛物线顶点在x轴上，据此即可求解． 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴， ∴n＝﹣2m， ∴抛物线的解析式为y＝mx2﹣2mx+m﹣2＝m（x﹣1）2﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）， ∵平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点， ∴平移后的抛物线顶点在x轴上， ∴抛物线应向上平移2个单位长度， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式3-2】将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x﹣1）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝3x向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：y＝3（x﹣2）2+1． 故选：C． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 【变式3-3】将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到二次函数 的图象． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律求解即可得． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到二次函数的表达式为，即为， 故答案为：． 【考点题型四】二次函数与一次函数/反比例函数图像判断 【例4】若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，二次函数的图象及性质．根据一次函数的图象经过的象限确定，，进而根据二次函数的图象的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧， 故选：C． 【变式4-1】如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和双曲线的图象，先根据抛物线图象确定a与0的大小，再判断双曲线图象是否满足条件即可． 【详解】解：， ∴对称轴为， A、由抛物线图象可知，对称轴，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项A符合题意； B、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第二、四象限，故选项B不符合题意； C、由抛物线图象可知，对称轴，故选项C不符合题意； D、由抛物线图象可知，所以双曲线的图象应该在第一、三象限，故选项D不符合题意； 故选：A． 【变式4-2】二次函数y＝ax2﹣2a与一次函数y＝ax+2a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】一次函数从左到右上升a＞0，反之a＜0，与y轴交于（0，2a）；二次函数的图象开口向上a＞0，反之a＜0，与y轴交于（0，﹣2a）． 【解答】解：当a＞0时，y＝ax2﹣2a的图象开口向上，与y轴交于负半轴， y＝ax+2a（a≠0）的图象y随x的增大而增大， 与y轴交于正半轴，故排除A； 当a＜0时，y＝ax2﹣2a图象开口向下， 与y轴交于正半轴， y＝ax+2a（a≠0）图象y随x的增大而减小， 与y轴交于负半轴，故排除C、D， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式4-3】若正比例函数满足y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，根据正比例函数的增减性得到，据此可得正比例函数图象经过第二、四象限，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于负半轴，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数满足y随x的增大而减小， ∴， ∴该正比例函数图象经过第二、四象限， ∴二次函数的图象开口向下，且与y轴交于负半轴， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 【变式4-4】抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，本题中首先根据一次函数的图像确定、的取值范围，再根据、的取值范围确定抛物线的开口方向和对称轴的大致位置． 【详解】解：A选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 故选：D． 【考点题型五】求二次函数的解析式 【例5】已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】(1)次函数的表达式为，对称轴为直线 (2)最大值为8，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 【变式5-1】抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 【分析】（1）把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． （2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可． 【解答】解：（1）将（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）代入抛物线y＝ax2+bx+c中得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+12x﹣8． （2）∵y＝﹣2x2+12x﹣8＝﹣2（x﹣3）2+10， ∴顶点坐标为（3，10）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法． 【变式5-2】已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）． （1）求此函数解析式； （2）求出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积． 【分析】（1）将点A（0，4）与B（1，﹣2）代入解析式求解可得； （2）将解析式配方成顶点式得其顶点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【解答】解：（1）将点A（0，4）与B（1，﹣2）代入解析式，得： ， 解得：， 则此函数解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4； （2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4＝﹣2（x+1）2+6， ∴顶点C坐标为（﹣1，6）， ∵A（0，4）， ∴OA＝4， 则S△CAO•OA•|xC|4×1＝2． 【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【变式5-3】如图，已知抛物线y＝x2﹣mx+n过点A与B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴l对称． （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴； （2）求△BCD的面积． 【分析】（1）将（2，0），（0，﹣2）代入y＝x2﹣mx+n，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点D的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣mx+n过点B（2，0），C（0，﹣2）， ∴将（2，0），（0，﹣2）代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2， ∴， 即抛物线的对称轴l为； （2）∵点D与点C关于对称轴l对称，点C（0，﹣2）， ∴点D的坐标为（1，﹣2）， ∴CD＝1，且CD∥x轴． ∴． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． 【变式5-4】已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围； （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，然后将点（1，﹣3）代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式． （2）根据二次函数的性质易得当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值， ∴抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2， ∵抛物线过点（1，﹣3）， ∴﹣3＝a（1﹣2）2， ∴解得a＝﹣3， ∴此抛物线的解析式y＝﹣3（x﹣2）2． （2）因为抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下， 所以当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）当x＝0时，y＝﹣3（x﹣2）2＝﹣12， 所以抛物线y＝﹣3（x﹣2）2与y轴的交点坐标为（0，﹣12）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【考点题型六】二次函数与x轴的交点 【例6】二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，分别令，求出的值，令，求出的值，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴令时，则， ∴二次函数经过， ∴令时，则， ∴， 解得 ∴二次函数经过， 则二次函数与坐标轴的交点个数是有两个交点， 故选：B． 【变式6-1】二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数是常数，，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点，根据二次函数的定义得到，根据决定抛物线与x轴的交点个数可得到，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】 解：二次函数的图象与x轴有交点，且， 且， 故选：A 【变式6-2】若令抛物线在轴的下方，则所要满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口方向，与轴交点的判定方法是解题的关键． 根据抛物线在轴的下方，则开口向下，抛物线与无交点，即，由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线在轴的下方， ∴抛物线的开口向下，且与无交点， ∴， 故选：A ． 【变式6-31】抛物线交x轴于A，B两点，则长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x轴相交时，．根据抛物线与x轴分别交于A、B两点，令求得点A、B的坐标，从而可以求得的长． 【详解】解：∵， ∴时，， 解得，，． ∵抛物线与x轴分别交于A、B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴的长为：． 故答案为：6． 【变式6-41】已知抛物线与轴的一个交点为． (1)求的值； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题， （1）把已知点的坐标代入抛物线解析式可求出k的值； （2）先确定抛物线解析式为，然后解方程可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标； 熟练掌握将求二次函数（是常数， 0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）根据题意得，， ∴； （2）∵， ∴抛物线解析式为， ， 解得， 抛物线与轴的另一个交点坐标． 【考点题型七】二次函数与二次方程的关系 【例7】若二次函数的图象与轴交于点，则代数式的值是（   ） A．9 B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题．由题意得到方程的一个根为，得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴方程的一个根为， ∴，即， ∴， 故选：A． 【变式7-1】如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握由二次函数的图象确定二次函数中的符号是解题的关键．根据二次函数的图象确定二次函数中的符号，由与x轴的交点，确定方程的根，以及观察图象确定函数的增减性，再逐项分析即可． 【详解】①由二次函数的图象开口向上，可知， 与轴交于负半轴， ， ，故①正确； ②二次函数的图象，与x轴交于、点， 方程的根是；故②正确 ③二次函数的图象，与x轴交于， 由图象可知，当时，故③错误； ④观察图象可知，对称轴为， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大， 即当时，y随x的增大而增大． 所以正确的有①②④3个． 故选：C． 【变式7-2】如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由抛物线与轴有两个交点可判断②，由当时函数取最大值可判断③，由函数最大值大于2且抛物线开口向下可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ，②正确； 时函数取最大值， ， ，即，③正确． 由图象可得函数最大值大于2， 有两个不相等的实数根，， 有两个不相等的实数根，， 图象对称轴为直线， ，． ， ∴关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4； ④错误． 故答案为：②③ 【变式7-3】如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴的一个交点坐标为，与y轴交点为，其部分图象如图所示．现给以下结论：①；②；③当 时，x的取值范围是；④；⑤ 方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，对称轴方程，与坐标轴的交点情况可判断①②③④，由图象可得直线与抛物线有两个交点，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由题意及图象得：，， 对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与 x 轴的一个交点坐标为， ∴当时，可得：，故②正确； ∵抛物线的对称性及对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴当时，x的取值范围是，故③错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 即，故④正确， ∵由图象可得直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； 所以正确的个数有4个； 故选：C． 【变式7-4】已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数图象与x轴的交点，正确理解不等式和函数的关系是解题的关键． 根据函数图象中的数据，即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，该函数的顶点坐标是，即当时，， 故一元二次方程的解为； 该函数与轴的交点为和， 故当时，轴的取值范围为或， 故答案为：；或． 【变式7-5】已知关于x的二次函数，当取互为相反数的任意两个实数时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等，可以得到该函数的对称轴为轴，从而可以得到的值，然后即可求得该函数与轴的交点，即可得到一元二次方程的两根，再将这两个根相乘，即可解答本题． 【详解】解：二次函数，当取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值总相等， ∴该函数的对称轴为直线， 解得， ∴二次函数， ∴当时，，解得，， ∴一元二次方程的两根是，， ∴一元二次方程的两根之积是， 故答案为：． 【考点题型八】二次函数与不等式的关系 【例8】如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图象法求不等式的解集，结合函数图象找到一次函数图像在二次函数图象上方自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，， 故选：A． 【变式8-1】如图，抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是利用了数形结合的思想，首先根据与的图象关于轴对称，所以点、与点、关于轴对称，根据点、的坐标得到点、的坐标，再根据函数图像的位置关系得到不等式的解集． 【详解】 解：与的图象关于轴对称， 直线与抛物线的交点、与点、也关于轴对称， 如下图所示： ，， ，， 从函数图象上可得：不等式的解集是， 故答案为：． 【变式8-2】已知抛物线的顶点为C，与x轴交于A，B两点（设点A在B的左侧），其中B点的横坐标为4，一次函数经过A、C两点，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．根据抛物线的顶点式即可求得点的坐标，利用抛物线的对称性求得点的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线，顶点为， 抛物线与轴交于，两点在的左侧，其中点的横坐标为， ， 如图， 由图可得：，则的取值范围是． 故答案为： 【变式8-3】如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)___________，___________； (2)当时，x的取值范围是___________ (3)当时，的取值范围是___________． (4)当时，x的取值范围是___________． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合．利用数形结合的思想是解题关键． （1）由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为，从而可知，．再将代入，即可求出a的值； （2）由（1）知函数解析式，令，求出x的值，得到函数图象与x轴的另一个交点，再根据函数图象即可解答； （3）由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下，从而得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，进而得出的最大值为．求出当时，的值和当时，的值，再比较，即可得出当时，的取值范围； （4）根据求时，x的取值范围，即求函数的图象在的图象下方时，x的取值范围，再结合图象即可得解． 【详解】（1）解：由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为， ∴． 将代入，得：， 解得：． ∴，，； （2）解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线开口向下， 令，则，即， 解得：， 则改抛物线与x轴的另一个交点为， ∴时，； （3）解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，的最大值为． ∵当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是； （4）解：对于，令，则， ∴． 求时，x的取值范围，即求函数的图象在的图象下方时，x的取值范围． 由图象可知当或时，函数的图象在的图象下方， ∴当时，x的取值范围是或． 【考点题型九】二次函数的图像与系数的关系 【例9】二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（　　） ①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a﹣3b+c＝0． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【解答】解：由抛物线开口向下，即a＜0；对称轴0，则b＜0，c＝3＞0， ∴abc＞0，选项①正确 ∵对称轴x1， ∴b＝2a， ∴2a﹣b＝0，选项②正确； ∵当x＝﹣1时，函数的值最大， ∴a﹣b+c≥am2+bm+c，选项③正确； ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0）， ∴抛物线另一个与x轴的交点为（﹣3，0）， ∴9a﹣3b+c＝0，选项⑤正确； ∵图象与x轴的交点（﹣3，0）和（1，0）知﹣3＜x＜1时，y＞0，选项④错误； 故选：B． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴的交点的确定是解题的关键． 【变式9-1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0． 抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0． 抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0， 所以abc＜0． 故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0， 故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最小值为：a+b+c， ∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c， 故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧， ∴当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 故④正确； ⑤∵bx1bx2， ∴bx1bx2＝0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， 而x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2， ∵b＝﹣2a， ∴x1+x2＝2， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②③④⑤． 故选：D． 【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 【变式9-2】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b≥m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据所给二次函数图象，得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：由所给函数图象可知， a＜0，b＞0，c＞0， 所以abc＜0． 故①错误． 因为抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以， 即2a+b＝0． 故②正确． 因为抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝1， 所以当x＝1时，函数取得最大值为a+b+c， 则对应抛物线上的任意一点（横坐标为m），总有a+b+c≥am2+bm+c， 所以a+b≥m（am+b）． 故③正确． 由函数图象可知， 抛物线的对称轴为直线x＝1，且x＝3时函数值小于零， 所以当x＝﹣1时函数值小于零， 即a﹣b+c＜0． 故④错误． 由bx1bx2得， bx1+cbx2+c， 即抛物线上横坐标为x1和x2的点，其函数值相等． 又因为x1≠x2， 所以这两个点关于直线x＝1对称， 所以， 即x1+x2＝2． 故⑤正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质及巧用数形集合的数学思想是解题的关键． 【变式9-3】如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 【答案】①③⑥ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①②⑤，根据时的值判定③，由抛物线图象和性质判定④，利用因式分解可判定⑥． 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交于点和点， 对称轴为直线， 则， ，即，故②不正确； 抛物线开口向上， ∴， ， 抛物线与轴的交点在负半轴，则， ，故①正确； 抛物线过点， 又 ，即，故③正确； 抛物线与轴交于点和点， 当时，由图象可得或，故④不正确； 对称轴为直线，， 当时，抛物线有最小值， 当为任意实数，则， 即，故⑤不正确； 若，且， ∴， ， 整理得， ∵， ∴， ∴，故⑥正确． 综上，正确的有①③⑥． 故答案为：①③⑥． 【考点题型十】二次函数的应用——构建二次函数解决实际问题 【例10】为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系，理解在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上增长2次得到y是解题的关键． 在第一个月投放1500辆电动自行车的基础上，增长2次即可得到y，据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：第二个月投放单车数量， 第三个月投放单车数量． 故选A． 【变式10-1】某超市购进了一批纪念品进行销售，购进价为7元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y（个）与每个的销售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为15元时，该超市可获得最大利润，最大利润是160元 【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用． （1）设y与x之间的函数关系式为，用待定系数法可得y与x之间的函数关系式为； （2）根据题意得，又时，根据二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，将，代入得： ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意知：， ∵，对称轴为直线， ∴时，随x的增大而增大， ∴时，取最大值，最大值为（元）， 答：当销售单价为15元时，该超市可获得最大利润，最大利润是160元． 【变式10-2】如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设垂直于墙的一边的长为，矩形的面积为． (1)求与之间的函数关系式；（不要求写自变量取值范围） (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）根据长方形的面积公式即可求得S与x的函数关系式； （2）将代入即可求解，注意舍解． 【详解】（1）解：若垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴矩形的面积， ∴S与x的函数解析式． （2）解：当，则， 解得：， 由题意得，解得， ∴舍， ∴． 【变式10-3】如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点P作直线的垂线交于点D，当点P与A、C不重合时，作点A关于点D的对称点Q，设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积是． (1)的长为______； (2)当点Q与点C重合，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)4cm (2)当时，点Q与点C重合 (3)当时，，当时；；当时， 【分析】对于（1），根据直角三角形的性质解答； 对于（2），当点Q与点C重合时，即，再求出，进而得出答案； 对于（3），分，，三种情况，再根据面积公式求出答案． 【详解】（1）在中，， ∴， 故答案为：； （2）点Q与点C重合时，即， 根据勾股定理，得， ∴． 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）当时，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， ∴； 当时， 根据题意可知，则， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴； 当时， 根据题意可知， ∴． 【点睛】这是一道关于动点问题在几何图形的应用，考查了一次函数，二次函数的应用，直角三角形的性质，特殊角三角函数，勾股定理，注意多种情况讨论． 【变式10-4】一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 100 110 120 130 … 销售量（件） 180 160 140 120 … (1)由表知，每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为______； (2)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 【答案】(1)； (2)售价定为128元时，月销售利润达到最大． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，求一次函数解析式，读懂题意正确列出对应的二次函数关系是解题的关键． （1）设与的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设利润为，根据利润（售价进价）数量，列出关于的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设与的解析式为 把，代入，得 解得：， 设与的解析式为 故答案为：． （2）解：设利润为元，则， 当时，取最大值， 获利不得高于进价的，即售价不得高于（元）， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，最大， 答：售价定为128元时，月销售利润达到最大． 【变式10-5】某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数（辆）与定价（元）（取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）． (1)求与之间的函数表达式； (2)若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？ 【答案】(1) (2)17元或18元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，熟知待定系数法的一般步骤是解决（1）的关键，根据题意列出利润与定价的函数关系式是解决（2）的关键． （1）利用待定系数法即可求出y与x的函数表达式； （2）列出利润W关于定价x的函数关系式，然后根据二次函数的性质及自变量x的范围即可求出最大利润． 【详解】（1）解：依题意，设与的函数关系式为 则：， 解得： 即与的函数关系式为：； （2）解：设利润为元， 则由题意知： ∵ ∴抛物线开口向下 ∵，且是整数 ∴或18 即当定价为17元或18元，汽车清洗店每天获利最大． 【考点题型十一】二次函数的应用——抛物线类问题 【例11】根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为． 素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高． 【答案】任务1：；任务2：4.5米 【分析】本题考查的是二次函数应用，理解题意，求出函数表达式是解题的关键． 任务1：由待定系数法求解即可； 任务2：由待定系数法求出函数表达式，进而求解； 【详解】解：任务1：以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 可设抛物线为． 又由题意，， ． ， 顶棚部分抛物线的表达式； 任务2：如图， ∵从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同， ∴从喷水口喷出的水流看成的抛物线为， 由题意，点， 把，代入，得 ，解得：， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵ ∴当时，抛物线有最大值为3.05米， 即处喷出的水流在距离点水平距离为4.5米时达到最高． 【变式11-1】如图是一座抛物线形石拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面． (1)如图平面直角坐标系中，求该抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点在图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求二次函数的应用； （1）由函数图象可设该抛物线的解析式是，再结合图象，只需把代入求出的值即可； （2）将代入解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式是，由图象知，在抛物线上， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：∵点在图象上， ∴， 解得：． 【变式11-2】2023年10月5日，杭州亚运会女篮决赛，中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军，女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．以为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地面的距离，最高点的坐标为，篮筐中心距离地面的竖直高度是． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离为时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)这次投篮训练能成功，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数解析等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，然后点代入求得即可解答； （2）令，求y的值，然后与比较即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：抛物线过点，顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入可得：，解得：， 所以抛物线的函数表达式． （2）解：这次投篮训练能成功，理由如下： 令，则， ∵， ∴这次投篮训练能成功． 【变式11-3】打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； (2)若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 【答案】(1) (2)水漂能不能飞过8米宽的河面 【分析】本题考查了二次函数的应用；利用顶点式得到所求抛物线解析式是解决本题的突破点；得到水漂第二次飞越时的函数解析式是解决本题的难点． （1）设水漂第一次飞越时的函数解析式为，由经过点，求出，再设水漂第二次飞越时的函数解析式为，求解即可得相应抛物线； （2）由飞越距离，可得 ，从而求出，再求出总共飞越距离为，最后再比较即可． 【详解】（1）解：由题意，水漂第一次飞越时，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起． 设水漂第一次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得， 水漂第一次飞越时的函数解析式为 水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． 设水漂第二次飞越时的函数解析式为， 经过点， ， 解得或（舍去）， 水漂第二次飞越时的函数解析式为； （2）解：飞越两次，飞越距离， ， ， 总共飞越距离为， ， 水漂能不能飞过8米宽的河面． 【变式11-4】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式； （2）令可得或，故，；再比较，的大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得：， ， 方案一中抛物线的函数表达式为； （2）在中，令得：； 解得或， ， ， ， ． 【变式11-5】护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【答案】(1)； (2)喷到处的水柱距出水口的水平距离为； (3)水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，代入求解即可； （2）联立抛物线与直线，解出点C坐标即可解答； （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度，设平移后的抛物线表达式为，又由直线得出，并代入平移后的抛物线求解的值即可． 【详解】（1）解：由题意，可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， 水柱所在抛物线的函数表达式为． （2）联立， 解得：或， ， 喷到处的水柱距出水口的水平距离为． （3）设安装的支架高度为米，即抛物线向上平移个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 对于，当时，， 解得：， ， 将代入， 得， 解得：． 水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为米． 【考点题型十二】二次函数与几何综合——线段周长问题 【例12】如图，拋物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求拋物线的解析式和点的坐标； (2)请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)拋物线的解析式为，点的坐标为 (2)的最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值．将线段的最值转化为二次函数的最值问题是解题的关键． （1）把、两点代入抛物线的解析式中列方程组可求得、的值，即可得抛物线的解析式；令，解方程即可求得的坐标； （2）线待定系数法求出直线的解析式，根据解析式分别表示、两点的坐标，其纵坐标的差就是的长，配方后求最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过、两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 令可得，， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴点坐标为． （2）解：设直线解析式为， 把、代入可得， 解得， ∴直线解析式为； ∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交y轴于点，经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．    (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键. （1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程组即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次和二次函数解析式设出M点坐标和N的坐标，再表示出，然后根据解方程可得答案． 【详解】（1）解：抛物线过点和， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）一次函数经过点和点， ， 解得， 一次函数解析式为， 轴， 设，，其中， 当M在N点的上方时，如图： ， 解得： ，（舍去）， ， 当M在N点下方时， ， 解得：，， ，， 综上，满足条件的点M的坐标有三个或或． 【变式12-2】如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值和点Q的坐标 【答案】(1) (2)，， (3)有最大值，此时点的坐标为 【分析】（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，解方程组即可得到结论； （2）设P点坐标为，根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标； （3）先求出直线的解析式为，再设Q点坐标为，则D点坐标为，然后用含x的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值． 【详解】（1）解：把，代入， 得：，解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）由（1）知，该抛物线的解析式为， 当时，即，解得：，，则， 设P点坐标为， ∵， ∴， 整理，得或， 解得或， 则符合条件的点P的坐标为：，，； （3）设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 即直线的解析式为． 设Q点坐标为，（），则D点坐标为， ， ∴当时，有最大值，此时点的坐标为． 【点睛】考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想． 【考点题型十三】二次函数与几何综合——面积问题 【例13】如图，抛物线与直线交轴、轴于、两点，与轴的另一个交点为，是直线上方抛物线上的一动点，轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)连接、，求四边形面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）设点，点，则点，可得，，列出方程解答即可求解； （）设，则，即得，再根据可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值和几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点，点，则点， ∴，， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； （3）解：设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，取最大值，最大值为． 【变式13-1】综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 【答案】(1)； (2)，； (3)见解析． 【分析】利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； 过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； 设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． 【考点题型十四】二次函数与几何综合——角度问题 【例14】已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在， 【分析】（1）根据题意得出，，代入函数解析式得：，得出； （2）设，则，，则，，得出，故当时，的最大值为； （3）取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， 把，，代入函数解析式得， 解得， ； （2）解：，， 设直线的解析式为，把代入，得， ， 设，则，， ，，， ，， ， 当时，的最大值为； （3）解：令，解得：，， ， ，点为的中点， ， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ，， ，， ， ， 取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，如图所示：    则，， 设的解析式为， ，解得， ， 联立，解得（舍去）或， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 【变式14-1】已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)存在， 【分析】（1）根据题意得出，，代入函数解析式得：，得出； （2）设，则，，则，，得出，故当时，的最大值为； （3）取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， 把，，代入函数解析式得， 解得， ； （2）解：，， 设直线的解析式为，把代入，得， ， 设，则，， ，，， ，， ， 当时，的最大值为； （3）解：令，解得：，， ， ，点为的中点， ， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ，， ，， ， ， 取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，如图所示：    则，， 设的解析式为， ，解得， ， 联立，解得（舍去）或， ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 【考点题型十五】二次函数与几何综合——特殊三角形问题 【例15】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大面积为，此时点； (3)点的坐标为：或或或 【分析】本题为二次函数的综合应用，面积问题，特殊三角形问题； （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当，，为斜边时，勾股定理建立方程解方程即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式，当时，，则， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则的面积， 即的最大面积为，此时点； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； ∴点 ； 当为斜边时，则， 解得：， 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 【变式15-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点为和，与y轴的交点为C，顶点为点D． (1)求出抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； (3)若点M是y轴上一点，使得是以BD为斜边的直角三角形，求点M坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为； (3)点M的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，设，根据勾股定理得出，，进而解方程即可求解； （3）设点为的中点，则，如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将和代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由，令，解得：， ∴， ∵，顶点坐标为，对称轴为直线， 点为该抛物线对称轴上的一个动点， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （3）解：∵，， ∴， 设点，使得是以为斜边的直角三角形， 设点为的中点，则， 如图所示，以为圆心为半径作圆，交轴于点， ∴， 即， 解得：或． ∴点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，线段问题，特殊三角形问题，直径所对的圆周角是直角，掌握以上知识是解题的关键． 【考点题型十六】二次函数与几何综合——四边形问题 【例16】如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，分为矩形的对角线、为矩形的对角线和为矩形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， ①当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∴ ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ②当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴； ③当为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴， 整理得，， 解得，， ∴或， ∵对角线交点的坐标为， ∴当时，，， ∴，， ∴； 当时，，， ∴，， ∴； 综上，存在，或，或，或，，使得以为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【变式16-1】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)点或或或 (3)点F坐标为或或 【分析】（1）根据待定系数法直接将，两点待入求解即可； （2）根据题意先求出点C坐标，是设点，根据可得，求解即可； （3）根据平行四边形的性质分别讨论若为边，且四边形是平行四边形时，若为边，且四边形是平行四边形时，若为对角线，则四边形是平行四边形时三种情况即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点， ， 设点， ， ， 或， ∴点或或或； （3）解：若为边，且四边形是平行四边形， ， ∴点F与点C纵坐标相等， ， ，， ∴点， 若为边，且四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3， ∴点F的纵坐标为， ， ， ∴点或； 若为对角线，则四边形是平行四边形， 与互相平分， 中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0， ∴点F的纵坐标为3， ∴点， 综上所述，点F坐标或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数综合，坐标与图形，二次函数图象与性质，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，并利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式16-2】如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）将三点坐标分别代入抛物线中即可求出的值，从而得出抛物线的解析式； （2）根据（1）中求出的抛物线解析式得出的坐标，通过两点间距离公式可求出的值，计算发现，根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形； （3）利用平行四边形的性质：对角线互相平分，则对角线的中点为固定值进行分类讨论：两条对角线为时；两条对角线为，时；两条对角线为时，即可得出符合条件的的坐标． 【详解】（1）解：将代入抛物线中， 得， 可解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：应为直角三角形， 证明如下： 由（1）得：抛物线的解析式为， 且是抛物线的顶点， ， 又， ， ， ， ， 故根据勾股定理逆定理可得，为直角三角形． （3）解：存在，均可满足条件． ∵要使以为顶点的四边形为平行四边形， 且平行四边形中对角线互相平分， ∴对角线的中点为固定值． ∵在抛物线对称轴上，在抛物线上， ∴可设， 则可分为以下三种情况进行讨论：①两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ②两条对角线为时， 有， 解得， 即此时； ③两条对角线为时， 有， 解得， 即此时． 故满足条件的点有3个，分别为． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理及平行四边形的性质，解题的关键是掌握平面内两点间距离公式及对角线互相平分，则对角线的中点为固定值，易错点是第（3）题中可能存在考虑不全面的情况，导致符合条件的点未写全． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 二次函数（13个考点梳理+16个题型解读+提升训练） 【清单01】二次函数的定义 1）定义：形如y＝ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项． 2）一般形式：y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0，a、b、c是常数） 注意： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项． 3）方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断． 除此之外，二次函数除有一般形式y＝ax²＋bx＋c（a≠ 0）外，还有其特殊形式如y＝ax2，y＝ax2＋bx， y＝ax2＋c等． 【清单02】待定系数法求二次函数的解析式 思路：分别将已知的x值对应的y值到代入到二次函数的一般形式当中，通过解方程组求出a，b，c的值，即可得到二次函数的一般形式解析式。 二次函数的值 在求出字母参数的前提下，得到的函数解析式，通过代入法将x代入其中，求出y的值 【清单03】二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 【清单04】二次函数y＝ax2（a≠0）的特征 二次函数y＝ax2（a≠0）的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点，当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 【清单05】y=ax²的图像的性质 小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax²来说， 越大，抛物线的开口越小 【清单06】y=ax²+c的图象的性质 总结：y=ax²+c（a≠0）与y=ax²（a≠0）的联系 二次函数y=ax²+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.当c < 0 时,向下平移c个单位长度得到. 【清单07】y=a（x-h）²的图象的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 总结： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【清单07】二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 图象形状 抛物线形状 开口大小 a的绝对值越大，开口越小 总结：一般地,函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象,可以由函数y=ax2的图象先向右(当h>0)或向左(当h<0)平移|h|个单位,再向上(当k>0)或向下(当k<0)平移|k|个单位得到,顶点是(h,k),对称轴是直线 x=h. 【清单08】二次函数 y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的性质 对于二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a ≠ 0）,我们通过变形,可以将其转化为 y=a(x+)2+（a ≠ 0）.由此可见,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象与函数y=ax2（a ≠ 0）的图象的形状、开口方向均相同,只是位置不同,可以通过平移y=ax2（a ≠ 0）的图象得到. 一般地,函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象有以下性质:二次函数y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=－,顶点坐标是（－，)当a>0时,抛物线的开4C口向上,顶点是抛物线上的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线上的最高点. 【清单09】列二次函数解决实际问题的步骤： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设出2个变量，注意区分自变量和因变量（与一元二次方程不同的地方）； ③依据等量关系式和变量建立函数关系式，转化为二次函数问题； ④解决二次函数，并解答。 【清单10】实际问题中自变量的取值 （1）根据二次函数的性质知：函数的顶点为，故当时，函数取得最值， ①当a＞0时，时函数有最小值，最小值y= ②当a＜0时，时函数有最大值，最大值y= （2）在实际问题中，由于受自变量取值的限制，自变量有可能无法取到，这是就需要根据二次函数的性质进一步分析了。因此，在解决实际问题中，自变量的取值范围非常重要，必须要着重考虑． 【清单11】利润问题中的数量关系 （1）销售额= 售价×销售量；（2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量；（3）单件利润=售价-进价． 【清单12】求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出． 【清单13】利用二次函数解决实物抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤 （1）实际问题；（2）建立二次函数模型；（3）利用二次函数的图象和性质求解；（4）确定实际问题的解． 【考点题型一】二次函数的基本概念 【例1】下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 【变式1-3】若是关于的二次函数，求的值． 【考点题型二】二次函数的图像与性质 【例2】二次函数y＝2（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3） 【变式2-1】对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+5，下列判断正确的是（　　） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标是（﹣2，5） D．当x＞2时，y随x的增大而增大 【变式2-2】已知抛物线C1的顶点坐标为（2，3），且与抛物线C2：y＝x2的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线C1的解析式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2+3 【变式2-3】若是抛物线上的三点，则为的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】对于抛物线，下列结论正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减少 【考点题型三】二次函数图像的平移 【例3】把抛物线y＝﹣2x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+3）2+2 B．y＝﹣2（x﹣3）2+2 C．y＝﹣2（x+3）2﹣2 D．y＝﹣2（x﹣3）2﹣2 【变式3-1】在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线x＝1的抛物线y＝mx2+nx+m﹣2（m＞2）向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（　　） A．向上平移1个单位长度 B．向上平移2个单位长度 C．向上平移3个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【变式3-2】将抛物线y＝3x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（　　） A．y＝3（x+1）2+2 B．y＝3（x﹣1）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1 【变式3-3】将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可以得到二次函数 的图象． 【考点题型四】二次函数与一次函数/反比例函数图像判断 【例4】若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，同一平面直角坐标系中，抛物线与双曲线的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】二次函数y＝ax2﹣2a与一次函数y＝ax+2a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】若正比例函数满足y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】求二次函数的解析式 【例5】已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【变式5-1】抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 【变式5-2】已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）． （1）求此函数解析式； （2）求出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积． 【变式5-3】如图，已知抛物线y＝x2﹣mx+n过点A与B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴l对称． （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴； （2）求△BCD的面积． 【变式5-4】已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围； （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 【考点题型六】二次函数与x轴的交点 【例6】二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．有三个交点 B．有两个交点 C．有一个交点 D．没有交点 【变式6-1】二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（） A．且 B．且 C． D． 【变式6-2】若令抛物线在轴的下方，则所要满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-3】抛物线交x轴于A，B两点，则长是 ． 【变式6-4】已知抛物线与轴的一个交点为． (1)求的值； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标． 【考点题型七】二次函数与二次方程的关系 【例7】若二次函数的图象与轴交于点，则代数式的值是（   ） A．9 B． C．5 D．10 【变式7-1】如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-2】如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）． 【变式7-3】如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴的一个交点坐标为，与y轴交点为，其部分图象如图所示．现给以下结论：①；②；③当 时，x的取值范围是；④；⑤ 方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式7-4】已知抛物线的图象如图所示，则一元二次方程的解为 ，当时，的取值范围为 ． 【变式7-5】已知关于x的二次函数，当取互为相反数的任意两个实数时，对应的函数值总相等，则关于的一元二次方程的两根之积为 ． 【考点题型八】二次函数与不等式的关系 【例8】如图，直线与抛物线交于，两点，那么当时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】如图，抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是 ． 【变式8-2】已知抛物线的顶点为C，与x轴交于A，B两点（设点A在B的左侧），其中B点的横坐标为4，一次函数经过A、C两点，若，则x的取值范围是 ． 【变式8-3】如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． (1)___________，___________； (2)当时，x的取值范围是___________ (3)当时，的取值范围是___________． (4)当时，x的取值范围是___________． 【考点题型九】二次函数的图像与系数的关系 【例9】二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，则下列说法正确的有（　　） ①abc＞0；②2a﹣b＝0；③a﹣b+c≥am2+bm+c；④当x＜1时，y＞0；⑤9a﹣3b+c＝0． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式9-1】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-2】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b≥m（am+b）；④a﹣b+c＞0；⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-3】如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 【考点题型十】二次函数的应用——构建二次函数解决实际问题 【例10】为方便市民出行，某公司第一个月在市内投放了1500辆电动自行车，计划第三个月投放电动自行车辆，设该公司第二、三两个月投放电动自行车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】某超市购进了一批纪念品进行销售，购进价为7元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y（个）与每个的销售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【变式10-2】如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设垂直于墙的一边的长为，矩形的面积为． (1)求与之间的函数关系式；（不要求写自变量取值范围） (2)当时，求的值． 【变式10-3】如图，在中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向终点C运动，过点P作直线的垂线交于点D，当点P与A、C不重合时，作点A关于点D的对称点Q，设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积是． (1)的长为______； (2)当点Q与点C重合，求x的值； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【变式10-4】一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量（件）与售价（元）的相关信息如下： 售价（元） 100 110 120 130 … 销售量（件） 180 160 140 120 … (1)由表知，每月的销售量（件）与售价（元）成一次函数，请直接写出这个一次函数的解析式为______； (2)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 【变式10-5】某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数（辆）与定价（元）（取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）． (1)求与之间的函数表达式； (2)若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？ 【考点题型十一】二次函数的应用——抛物线类问题 【例11】根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为． 素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高． 【变式11-1】如图是一座抛物线形石拱桥，正常水位时桥下水面宽度为，拱顶距离水面． (1)如图平面直角坐标系中，求该抛物线的解析式； (2)在（1）条件下，点在图象上，求的值． 【变式11-2】2023年10月5日，杭州亚运会女篮决赛，中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军，女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．以为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地面的距离，最高点的坐标为，篮筐中心距离地面的竖直高度是． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离为时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由． 【变式11-3】打水漂是小伙伴们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点O）第一次飞起，飞行的最大高度为0.5米，第二次从距离O点4米的A处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式； (2)若此次水漂可以在水面上飞越2次，且第一次击打水面时距离河岸1米，问水漂能否飞过8米宽的河面． 【变式11-4】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 【变式11-5】护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知该装置最大功率的情况下，水柱在距出水口A的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．设喷出的水柱距出水口的水平距离为，距地面的竖直高度为，以坡底所在的水平方向为轴，A处所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，原点为，如图所示．经过测量，可知斜坡的函数表达式近似为． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为点，求喷到处的水柱距出水口的水平距离． (3)给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地时，安装的支架的高度为多少米？ 【考点题型十二】二次函数与几何综合——线段周长问题 【例12】如图，拋物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线，动点在线段上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求拋物线的解析式和点的坐标； (2)请直接写出线段的最大值． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交y轴于点，经过原点O的抛物线交直线于点A，C，抛物线的顶点为D．    (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标． 【变式12-2】如图，抛物线交x轴于点和点B，交y轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)如图b，设点Q是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值和点Q的坐标 【考点题型十三】二次函数与几何综合——面积问题 【例13】如图，抛物线与直线交轴、轴于、两点，与轴的另一个交点为，是直线上方抛物线上的一动点，轴于点，交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点的坐标； (3)连接、，求四边形面积最大值． 【变式13-1】综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 【考点题型十四】二次函数与几何综合——角度问题 【例14】已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式14-1】已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，且．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．在第三象限的抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【考点题型十五】二次函数与几何综合——特殊三角形问题 【例15】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． (3)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式15-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点为和，与y轴的交点为C，顶点为点D． (1)求出抛物线的解析式； (2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当时，求点P的坐标； (3)若点M是y轴上一点，使得是以BD为斜边的直角三角形，求点M坐标． 【考点题型十六】二次函数与几何综合——四边形问题 【例16】如图，抛物线与轴交于，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，当时，求点坐标； (3)点是轴上的一个动点，点是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点、，使得以为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出的坐标；若不存在说明理由． 【变式16-1】如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 【变式16-2】如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$