第07讲 黄金分割（2大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第07讲 黄金分割 课程标准 学习目标 1 理解黄金比例的概念，了解其数学表达式及数值特征。 2 能识别生活中体现黄金比例的实例，如建筑、艺术作品等，并进行简单分析。 3 培养学生运用黄金比例知识进行审美判断、设计创作以及解决相关数学问题的能力。 1. 牢记黄金比例的定义与近似数值，知晓其在数学历史中的地位。 2. 能够在给定图形或物体中判断是否存在黄金比例关系，尝试运用黄金比例进行简单创意设计。 3. 感受黄金比例所蕴含的美学价值与数学奥秘，提升对数学文化的欣赏与探索热情。 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 题型01 黄金分割的定义 1．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB＝（　　） A．1）：2 B．1）：2 C．）：2 D．）：2 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 【解答】解：根据黄金分割的定义，知AC：AB＝（1）：2． 故选：A． 【点评】此题主要考查了黄金分割比的概念． 2．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6，则AD的长是（　　） A．3 B． C． D． 【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【解答】解：∵点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6， ∴ADAB6＝33， 故选：D． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 3．已知线段MN的长是10cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是 　　cm． 【分析】根据黄金分割点的定义即可进行解答． 【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，线段MN的长是10cm，线段MP为较长线段， ∴MP＝10（55）cm， 故答案为：（55）． 【点评】本题考查的是黄金比例，解题的关键清楚黄金比例概念以及黄金分割比为． 题型02 黄金分割的应用 1．如图在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，在OB上截取BC＝AB，在AO上截取OP＝OC，OA在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理求出OB，进而求出OC的长即可解答． 【解答】解：∵∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1， ∴， ∵BC＝AB＝1， ∴， ∴， ∴P点对应的实数是． 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，由勾股定理求出OB的长是解题的关键． 2．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得ab＝1，记（n取正整数），则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】化简Sn为n（n+1），代入算式计算即可． 【解答】解：Sn ， ∵ab＝1， ∴anbn＝1， ∴Sn ＝n（n+1）， ∴，，...，， ∴ ． 故选：D． 【点评】本题考查了分式化简求值，正确的化简计算是本题的解题关键． 3．如图，乐器上的一根弦AB的长度为100cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段AC的长度为 　　cm．（结果保留根号，参考数据：黄金分割数：） 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵点C是弦靠近点B的黄金分割点，AB＝100cm， ∴ACAB＝（5050）cm， ∴线段AC的长度为（5050）cm， 故答案为：（5050）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 1．线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（　　） A．44 B．88 C．88 D．44 【分析】根据黄金分割的定义解决问题即可． 【解答】解：∵线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP， ∴BPAB8＝44． 故选：A． 【点评】本题考查黄金分割的定义，解题的关键是记住把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB． 2．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（　　） A．1 B．3 C． D．1或3 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比． 【解答】解：根据黄金分割点的概念得：ACAB1． 故选：A． 【点评】考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值． 3．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为（　　） A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm 【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解． 【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6＝96cm， 设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：0.618， 解得：y≈8cm． 故选：D． 【点评】本题主要考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比，难度适中． 4．我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠C＝72°，再利用角平分线的定义可得∠DBC＝36°，从而利用三角形内角和定理可得∠BDC＝72°，进而可得∠C＝∠BDC＝72°，然后利用等角对等边可得BC＝BD，从而可得△BDC是“黄金三角形”，最后进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°， ∴∠C＝∠BDC＝72°， ∴BC＝BD， ∴△BDC是“黄金三角形”， ∴， ∵BC＝2， ∴DC1， 故选：A． 【点评】本题考查了黄金分割，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握黄金分割，以及等腰三角形的判定是解题的关键． 5．如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形HICB的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定 【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求出S1与S2即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EAB＝90°， 设正方形ABCD的边长为2a， ∵E为AD的中点， ∴AE＝a， 在Rt△EAB中，由勾股定理得：， ∵EF＝BE， ∴， ∴， 即， ∴，， 即S1＝S2， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理和正方形的性质，能熟记正方形的性质是解此题的关键，注意：正方形的每个角都是90°，正方形的四边都相等． 6．已知点C是AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4cm，则BC的长为 　（22）　cm． 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．BC＝42（1）． 【解答】解：由题意知：BCAB＝42（1）＝（22）cm． 故答案为：（22）． 【点评】考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算． 7．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 　　． 【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解． 【解答】解：弦AB＝80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC＝x，则AC＝80﹣x， ∴，解方程得，， 点D是靠近点A的黄金分割点，设AD＝y，则BD＝80﹣y， ∴，解方程得，， ∴C，D之间的距离为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键． 8．新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，△ABC是“精准三角形”，AB＝AC＝2，CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为 　　． 【分析】作△ABC的中线CM，由精准三角形的定义得到，求出CM的长，由线段中点定义得到AM＝MBAB＝1，令DM＝x，由勾股定理得到x2＝22﹣（x+1）2，求出x，得到DM即可求出BD的长． 【解答】解：作△ABC的中线CM， ∵△ABC是“精准三角形”， ∴， ∵AB＝2， ∴CM1， ∵M是AB中点， ∴AM＝MBAB＝1， 令DM＝x，则AD＝x+1， ∵CD2＝CM2﹣MD2＝AC2﹣AD2， ∴x2＝22﹣（x+1）2， ∴x， ∴DM， ∴BD＝MB﹣DM． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，黄金分割，等腰三角形的性质，关键是由精准三角形的定义求出CM的长，由勾股定理列出关于x方程． 9．如图，线段AB＝1，P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，S1表示以PA为边长的正方形面积，S2表示以AB为长、PB为宽的矩形面积，则S1﹣S2＝　0　． 【分析】根据黄金分割的定义得到PA2＝PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝PA2，S2＝PB•AB，那么S1＝S2，即S1﹣S2＝0． 【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB， ∴PA2＝PB•AB， 又∵S1表示以PA为边长的正方形的面积，S2表示以AB为长、PB为宽的矩形面积， ∴S1＝PA2，S2＝PB•AB， ∴S1＝S2， ∴S1﹣S2＝0 故答案为0． 【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 10．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，，且C，D两点都是AB的黄金分割点，则CD的长为 　1　． 【分析】根据黄金分割的定义得到，继而将，代入得：，解之即可求解． 【解答】解：∵C，D两点都是的黄金分割点， ∴， ∵AB＝AD+CD+BC，， ∴， 将，代入， 得：， ∴， 整理得：， ∴CD＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查黄金分割比例：把线段AB分成两条线段AC和BC，（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即）叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中，并且线段AB的黄金分割点有两个，解题的关键是熟练掌握黄金分割比例． 11．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）： 第一步：作一个正方形ABCD； 第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN； 第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E； 第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F． 请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形． 【分析】此题首先设出正方形的边长是2a，然后根据作图中的方法分别用a表示出矩形的长和宽，再进一步求得它们的比值，根据黄金矩形的概念即可判断． 【解答】证明：在正方形ABCD中，取AB＝2a， ∵N为BC的中点， ∴NCBC＝a． 在Rt△DNC中，． 又∵NE＝ND， ∴CE＝NE﹣NC＝（1）a． ∴． 故矩形DCEF为黄金矩形． 【点评】考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值． 12．再读教材： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中AB＝　　（保留根号）； （2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由； （3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 【分析】（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度． （2）由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，结合平行线的性质可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四边形BADQ为菱形； （3）首先求出CD，ND，再由黄金矩形的定义即可作出判断． 【解答】解：（1）∵四边形MNCB是正方形， ∴NC＝MN＝2， 由折叠的性质得：ACNC＝1， 在Rt△ABC中，AB； 故答案为； （2）四边形BADQ是菱形． 证明：由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ， ∵BQ∥AD， ∴∠AQB＝∠DAQ， ∴∠AQB＝∠BAQ， ∴AB＝BQ， 即AD＝AB＝BQ＝BD， ∴四边形BADQ为菱形； （3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE； 理由：∵AD＝AB，AN＝AC＝1， ∴CD，ND， ∴， 故矩形BCDE是黄金矩形； ∴， 故矩形MNDE是黄金矩形． 【点评】本题主要考查黄金分割，黄金矩形，菱形的判定，折叠与对称的性质，掌握黄金分割的概念是解题的关键． 13．阅读理解： 如图1，点C将线段AB分成两部分，若，则点C为线段AB的黄金分割点． 某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线． 问题解决： 如图2，在△ABC中，若点D是AB的黄金分割点． （1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由． 【分析】（1）根据黄金分割的定义得，再根据三角形面积公式得到，，所以，然后根据黄金直线的定义得直线CD是△ABC的黄金分割线； （2）根据三角形中线的性质和三角形面积公式得到1，而1，由此可根据黄金直线的定义判断三角形的中线不是该三角形的黄金分割线； （3）根据两平行线之间的距离定值，得到S△FDE＝S△FDC，S△DEC＝S△FEC，则S△AEF＝S△ADC，S四边形BEFC＝S△BDC，然后由得到，则可根据黄金直线的定义判断直线EF也是△ABC的黄金分割线． 【解答】解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下： ∵点D是AB的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴直线CD是△ABC的黄金分割线； （2）∵三角形的中线把AB分成相等的两条线段，即AD＝BD， ∴，1， ∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线； （3）∵DF∥CE， ∴S△FDE＝S△FDC，S△DEC＝S△FEC， ∴S△AEF＝S△ADC，S四边形BEFC＝S△BDC， ∵， ∴， ∴直线EF是△ABC的黄金分割线． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 黄金分割 课程标准 学习目标 1 理解黄金比例的概念，了解其数学表达式及数值特征。 2 能识别生活中体现黄金比例的实例，如建筑、艺术作品等，并进行简单分析。 3 培养学生运用黄金比例知识进行审美判断、设计创作以及解决相关数学问题的能力。 1. 牢记黄金比例的定义与近似数值，知晓其在数学历史中的地位。 2. 能够在给定图形或物体中判断是否存在黄金比例关系，尝试运用黄金比例进行简单创意设计。 3. 感受黄金比例所蕴含的美学价值与数学奥秘，提升对数学文化的欣赏与探索热情。 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 题型01 黄金分割的定义 1．已知C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则AC：AB＝（　　） A．1）：2 B．1）：2 C．）：2 D．）：2 2．如图，若点D是线段AB的黄金分割点（AD＞BD），AB＝6，则AD的长是（　　） A．3 B． C． D． 3．已知线段MN的长是10cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是 　　cm． 题型02 黄金分割的应用 1．如图在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，在OB上截取BC＝AB，在AO上截取OP＝OC，OA在数轴上，O为原点，则P点对应的实数是（　　） A． B． C． D． 2．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，，得ab＝1，记（n取正整数），则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，乐器上的一根弦AB的长度为100cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段AC的长度为 　　cm．（结果保留根号，参考数据：黄金分割数：） 1．线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（　　） A．44 B．88 C．88 D．44 2．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（　　） A．1 B．3 C． D．1或3 3．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为（　　） A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm 4．我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形HICB的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定 6．已知点C是AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4cm，则BC的长为 　 　cm． 7．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 　 　． 8．新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，△ABC是“精准三角形”，AB＝AC＝2，CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为 　 　． 9．如图，线段AB＝1，P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，S1表示以PA为边长的正方形面积，S2表示以AB为长、PB为宽的矩形面积，则S1﹣S2＝　 　． 10．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，，且C，D两点都是AB的黄金分割点，则CD的长为 　 　． 11．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）： 第一步：作一个正方形ABCD； 第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN； 第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E； 第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F． 请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形． 12．再读教材： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中AB＝　 　（保留根号）； （2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由； （3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 13．阅读理解： 如图1，点C将线段AB分成两部分，若，则点C为线段AB的黄金分割点． 某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线． 问题解决： 如图2，在△ABC中，若点D是AB的黄金分割点． （1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$