第06讲 图上距离与实际距离（3考点&题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第06讲 图上距离与实际距离 课程标准 学习目标 1 理解图上距离与实际距离的概念，掌握比例尺的定义与计算方法。 2 能运用比例尺进行图上距离与实际距离的相互换算，解决简单的实际问题，如地图测距。 3 培养学生通过比例关系解决地理、建筑等多领域中涉及图上与实际距离问题的能力，增强数学应用意识。 1. 清楚图上距离、实际距离、比例尺的含义及相互关系。 2. 会根据已知条件准确计算图上距离或实际距离，能利用比例尺进行图形缩放相关分析。 3. 体会数学在测量与图形变换中的实用性，提高运用数学知识解决实际问题的积极性。 知识点一、比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； （3）线段的比，最终要化成最简整数比. 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 知识点二、比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 知识点三、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的比例中项. 题型01 比例尺 1．甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（　　） A．1：200 B．1：20000 C．20000：1 D．1：4000 【分析】先把1600米化成160000厘米，再根据比例尺的定义求出答案即可． 【解答】解：∵1600米＝160000厘米， ∴这幅地图的比例尺是8：160000＝1：20000， 故选：B． 【点评】本题考查比例尺的定义，正确理解比例定义是解题关键． 2．在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　） A．17km B．34km C．170km D．340km 【分析】要求3.4厘米表示的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可求解． 【解答】解：3.4 ＝3.4×5000000 ＝17000000（厘米）， 17000000厘米＝170千米． 答：上海到杭州的实际距离是170千米． 故选：C． 【点评】考查了比例线段，解答此题的关键是根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论． 3．在一幅地图上，用2厘米表示实际距离90千米，这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例尺的定义解决问题即可． 【解答】解：比例尺， 故选：D． 【点评】本题考查比例线段，比例尺等知识，解题的关键是掌握比例尺的定义，注意统一单位． 4．在比例尺是1：500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是 　　平方米． 【分析】根据比例尺分别求出实际的长和宽，利用面积公式计算即可． 【解答】解：实际的长为：52500（cm）＝25（m）， 实际的宽为：42000（cm）＝20（m）， ∴这块地的实际面积是：25×20＝500（m2）． 故答案为：500． 【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例尺求得实际距离． 题型02 成比例线段 1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　） A．a＝4，b＝3，c＝5， B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 【分析】根据比例线段的定义得到，即ad＝bc，据此分别验证四个选项中ad与bc是否相等即可． 【解答】解：由题意可知：，即ad＝bc， A选项中，，ad≠bc，故A不正确，不符合题意； B选项中，ad＝4，cd＝6，ad≠bc，故B不正确，不符合题意； C选项中，ad＝10，cd＝12，ad≠bc，故C不正确，不符合题意； D选项中，ad＝12，cd＝12，ad＝bc，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了比例线段，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．下列四组线段中，不构成比例线段的一组是（　　） A．1cm，2cm，3cm，6cm B．2cm，3cm，4cm，6cm C．1cm，cm，cm，cm D．1cm，2cm，3cm，4cm 【分析】若a，b，c，d成比例，即有a：b＝c：d．代入验证即可． 【解答】解：A、1：2＝3：6，故本选项构成比例线段， B、2：3＝4：6，故本选项构成比例线段， C、1：：，故本选项构成比例线段， D、四条线段中，任意两条的比都不相等，因而不成比例，故本选项不构成比例线段， 故选：D． 【点评】本题主要考查了比例线段，若a，b，c，d成比例，则a：b＝c：d，注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序． 3．若1、2、3、x是成比例线段，则x＝　　． 【分析】利用比例线段的定义得到1：2＝3：x，然后根据比例的性质求x即可． 【解答】解：根据题意得1：2＝3：x， 解得x＝6． 故答案为6． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 题型03 比例中项 1．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（　　） A．4：3 B．3：4 C．3：2 D．2：3 【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b＝3：2，即可求得答案． 【解答】解：∵b是a、c的比例中项， ∴b2＝ac，即， ∵a：b＝3：2， ∴b：c＝3：2． 故选：C． 【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2．已知线段a＝2cm，线段b＝8cm，则线段a、b的比例中项是（　　） A．16cm B．10cm C．4cm D．±4cm 【分析】根据比例中项的定义进行计算即可． 【解答】解：由题知， 设它们的比例中项是x cm， 则根据x2＝ab得， x2＝2×8， 解得x1＝4，x2＝﹣4（舍去）， 所以线段a、b的比例中项是4cm． 故选：C． 【点评】本题主要考查了比例线段，熟知比例中项的定义是解题的关键． 3．已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 　　． 【分析】根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【解答】解：设a，b的比例中项线段为x， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比例线段，正确列出算式是解题关键． 4．已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝42． （1）求线段a、b的长； （2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 【分析】（1）利用a：b＝3：2，可设a＝3k，b＝2k，则3k+4k＝42，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到c2＝ab，即c2＝216，然后根据算术平方根的定义求解． 【解答】解：（1）∵a：b＝3：2， ∴设a＝3k，b＝2k， ∵a+2b＝42， ∴3k+4k＝42， ∴k＝6， ∴a＝18，b＝12； （2）∵c是a：b的比例中项， ∴c2＝ab＝216， ∵c是线段，c＞0， ∴c6． 【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． 1．已知线段a、b、c，当a＝4，b＝5时，则a、b的比例中项c等于（　　） A． B． C．±6 D．6 【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出c． 【解答】解：根据比例中项的概念，得c2＝ab＝20， 所以c＝±2， 又线段不能是负数，﹣2应舍去， 所以c＝2． 故选：B． 【点评】此题考查了比例线段，理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 2．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝9cm，b＝4cm，则线段c长（　　） A．6cm B．5cm C．18cm D．±6cm 【分析】根据比例中项的定义，求解即可． 【解答】解：∵c是a、b的比例中项， ∴c2＝ab， ∵a＝9cm，b＝4cm， ∴c2＝36， ∵c＞0， ∴c＝6cm． 故选：A． 【点评】本题考查比例线段，比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握比例中项的性质，属于中考常考题型． 3．若a+3b＝0，且ab≠0，则的值等于（　　） A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6 【分析】直接利用已知代入分式化简得出答案． 【解答】解：∵a+3b＝0，且ab≠0， ∴a＝﹣3b， 则分式． 故选：B． 【点评】此题主要考查了分式化简求值，正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用． 4．若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（　　） A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形 【分析】根据比例线段和三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：∵三条线段a、b、c的长满足， 设a＝（1）k，b＝2k， 则c＝（1）k， ∵， ∴不能围成三角形， 故选：D． 【点评】此题考查比例线段，关键是根据比例线段和三角形的三边关系解答． 5．有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm．经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（　　） A．100m2 B．270m2 C．2700m2 D．90000m2 【分析】实际图形与设计图是相似图形，相似比是5：1500＝1：300，相似多边形面积的比等于相似比的平方，就可求出这块草坪的实际面积． 【解答】解：设草坪的实际面积是x平方米， 则有， 解得x＝2700m2． 故选：C． 【点评】实际图形与设计图是相似图形，本题实际就是考查相似多边形的性质．注意单位的转换． 6．在比例尺是1：20000的地图上，若某条道路长约为3cm，则它的实际长度约为 　0.6　km． 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可． 【解答】解：设它的实际长度约为x cm，则 ， 解得x＝60000， 60000cm＝0.6km． ∴它的实际长度约为0.6km． 故答案为：0.6． 【点评】本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换． 7．若2x﹣5y＝0，则　　． 【分析】根据已知条件，可得2x＝5y，由比例的基本性质，得出x：y的值．根据等式的基本性质，可求得的值． 【解答】解：∵2x﹣5y＝0， ∴2x＝5y， ∴x：y＝5：2， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了比例的基本性质，熟练根据比例的基本性质进行比例式和等积式的相互转换和比例式的计算是解答此题的关键． 8．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝3cm，b＝12cm，则线段c＝　6　cm． 【分析】根据比例中项的定义，列出方程c2＝ab，代值计算即可． 【解答】解；∵c是a、b的比例中项， ∴c2＝ab， ∵a＝3cm，b＝12cm， ∴c2＝3×12＝36， ∴c＝6（负值舍去）， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查线段的比例中项定义，根据比例中项的定义，列出方程c2＝ab，代值计算即可． 9．若线段a、b、c、d是成比例，若a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，则d＝　12　cm． 【分析】根据比例线段的定义得到a：b＝c：d，然后把a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，代入进行计算即可． 【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例， ∴a：b＝c：d， ∵a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm， ∴2：4＝6：d， 解得：d＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了比例线段的定义：若四条线段a、b、c、d有a：b＝c：d，那么就说这四条线段成比例． 10．若（b+d+f≠0），则　　． 【分析】根据已知，用b表示a、c表示d、f表示e，代入分式计算即可． 【解答】解：∵， ∴ab，cd，ef． ∴ ． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，掌握比例的基本变形是解决本题的关键． 11．已知x：y＝3：5，y：z＝2：3，求的值． 【分析】根据比例的性质，可用y表示x，用y表示z，根据分式的性质，可得答案． 【解答】解：∵x：y＝3：5，y：z＝2：3， ∴xy，zy， ∴． 【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出xy，zy是解题关键． 12．若x：y：z＝2：7：5，且x﹣2y+3z＝6，求：x+y+z的值． 【分析】根据题意，设x＝2k，y＝7k，z＝5k，又因为x﹣2y+3z＝6，可得k的值，则x+y+z可求． 【解答】解：根据题意，可设x＝2k，y＝7k，z＝5k， ∵x﹣2y+3z＝6， ∴2k﹣14k+15k＝6，解得k＝2 ∴x＝4，y＝14，z＝10． ∴x+y+z＝28． 【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 13．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，，求△ABC三边的长． 【分析】根据等式的性质，可用x表示a，b，c，根据解方程，可得答案． 【解答】解：设x， 得a＝4x，b＝5x，c＝7x． ∵a+b+c＝48， ∴4x+5x+7x＝48， 解得x＝3， ∴a＝4x＝12，b＝5x＝15，c＝7x＝21． 【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出a＝4x，b＝5x，c＝7x是解题关键． 14．我们知道：选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说两条线段的比AB：CD＝m：n，如果把表示成比值k，那么k或AB＝k•CD．请完成以下问题： （1）四条线段a，b，c，d中，如果 　a：b＝c：d　，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段． （2）已知，那么成立吗？请说明理由． （3）如果m，求m的值． 【分析】（1）根据成比例线段的定义作答； （2）利用等式的性质两边减去1即可证明； （3）可分x+y+z＝0和x+y+z≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解． 【解答】解：（1）四条线段a，b，c，d中，如果a：b＝c：d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段． 故答案为：a：b＝c：d； （2）如果，那么成立． 理由：∵， ∴11，即， ∴； （3）①当x+y+z＝0时， y+z＝﹣x，z+x＝y，x+y＝﹣z， ∴m为其中任何一个比值，即m1； ②x+y+z≠0时， m2． 所以m＝2或﹣1． 【点评】本题考查比例线段，解题的关键是掌握比例线段的性质，灵活运用所学知识解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 图上距离与实际距离 课程标准 学习目标 1 理解图上距离与实际距离的概念，掌握比例尺的定义与计算方法。 2 能运用比例尺进行图上距离与实际距离的相互换算，解决简单的实际问题，如地图测距。 3 培养学生通过比例关系解决地理、建筑等多领域中涉及图上与实际距离问题的能力，增强数学应用意识。 1. 清楚图上距离、实际距离、比例尺的含义及相互关系。 2. 会根据已知条件准确计算图上距离或实际距离，能利用比例尺进行图形缩放相关分析。 3. 体会数学在测量与图形变换中的实用性，提高运用数学知识解决实际问题的积极性。 知识点一、比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； （3）线段的比，最终要化成最简整数比. 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 知识点二、比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 知识点三、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的比例中项. 题型01 比例尺 1．甲、乙两地相距1600米，在地图上，用8厘米表示这两地的距离，那么这幅地图的比例尺是（　　） A．1：200 B．1：20000 C．20000：1 D．1：4000 2．在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm．那么上海到杭州的实际距离是（　　） A．17km B．34km C．170km D．340km 3．在一幅地图上，用2厘米表示实际距离90千米，这幅地图的比例尺是（　　） A． B． C． D． 4．在比例尺是1：500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是 　　平方米． 题型02 成比例线段 1．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　） A．a＝4，b＝3，c＝5， B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4 C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝6 2．下列四组线段中，不构成比例线段的一组是（　　） A．1cm，2cm，3cm，6cm B．2cm，3cm，4cm，6cm C．1cm，cm，cm，cm D．1cm，2cm，3cm，4cm 3．若1、2、3、x是成比例线段，则x＝　　． 题型03 比例中项 1．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（　　） A．4：3 B．3：4 C．3：2 D．2：3 2．已知线段a＝2cm，线段b＝8cm，则线段a、b的比例中项是（　　） A．16cm B．10cm C．4cm D．±4cm 3．已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 　　． 4．已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a+2b＝42． （1）求线段a、b的长； （2）若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长． 1．已知线段a、b、c，当a＝4，b＝5时，则a、b的比例中项c等于（　　） A． B． C．±6 D．6 2．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝9cm，b＝4cm，则线段c长（　　） A．6cm B．5cm C．18cm D．±6cm 3．若a+3b＝0，且ab≠0，则的值等于（　　） A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6 4．若三条线段a、b、c的长满足，则将这三条线段首尾顺次相连（　　） A．能围成锐角三角形 B．能围成直角三角形 C．能围成钝角三角形 D．不能围成三角形 5．有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm．经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是（　　） A．100m2 B．270m2 C．2700m2 D．90000m2 6．在比例尺是1：20000的地图上，若某条道路长约为3cm，则它的实际长度约为 　 　km． 7．若2x﹣5y＝0，则　 　． 8．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝3cm，b＝12cm，则线段c＝　 　cm． 9．若线段a、b、c、d是成比例，若a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，则d＝　 　cm． 10．若（b+d+f≠0），则　 　． 11．已知x：y＝3：5，y：z＝2：3，求的值． 12．若x：y：z＝2：7：5，且x﹣2y+3z＝6，求：x+y+z的值． 13．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c＝48，，求△ABC三边的长． 14．我们知道：选用同一长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说两条线段的比AB：CD＝m：n，如果把表示成比值k，那么k或AB＝k•CD．请完成以下问题： （1）四条线段a，b，c，d中，如果 　 　，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段． （2）已知，那么成立吗？请说明理由． （3）如果m，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$