7.1.2弧度制（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

7.1.2弧度制 复习导入 复习导入 生活中在度量时，会用到不同的单位制.比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制; 度量质量可以用千克、磅等不同的单位制. 问题：角的度量单位是什么？换算的进制是多少？它是否也能用不同的单位制呢？是否可以用十进制的实数来度量角的大小？ 新知探究 活动1：准备一张半圆纸板、一把刻度直尺、若干细线。通过小组合作,试试运用现有的实验用具, 在这张半圆纸上标出的角. 先用细线度量半圆弧长, 然后再用刻度尺，将细线分成 5 份, 其中一份弧长所对的角就是 的角. 思考：通过弧长，我们可以量出的角，那我们可以直接用弧长来衡量角的大小吗? 新知探究 问题1：观察这三个扇形, 同学们发现什么? 追问1：完成下表，并观察，你发现什么？ 半径r r=1 r=2 r=3 r=4 圆弧长l 结果：若，则 弧长之比=所对圆心角之比 (为圆心角度数) 新知探究 追问2：其它角是否也有这一规律呢？ α=45° 半径r r=1 r=2 r=3 r=4 圆弧长l 结果：若，则 弧长之比=所对圆心角之比 (为圆心角度数) 当圆心角确定后，所对的圆弧的长与圆的半径的比值是一个定值. 新知探究 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为， 追问：角度制中，1度角的大小是怎么规定的？ 古巴比伦人发现地球公转周期大约为360天 新知探究 活动2：在单位圆中画出下列角度，并换算为弧度制。 2 新知探究 练习1：把下列角度化为弧度： (1)144°； (2)300°； (3)-210°； (4)22°30 解：(1) (2) (3) (4)22°30 新知探究 变式1-1：把下列弧度化为角度： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）. （2）. （3）. （4）. 练习巩固 变式1-2：把下列角度与弧度进行互化. (1)120°； (2)-32°； (3)； (4)； (5)112°30 解：(1) (2) (3) (4) (5)112°30 练习巩固 变式1-3：把下列各角化成的形式，并指出它们是哪个象限的角： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1），是第四象限角； （2），是第二象限角； （3），是第三象限角； （4），是第一象限角. 练习巩固 活动2：写利用弧度制证明下列关于扇形的公式： (1) (2) (3) 其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积. 证明：由公式可得：.下面证明(2)(3). 半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是： 将转换为弧度制，得：，于是，. 将代入上式，即得 显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利. 练习巩固 弧长公式：； 扇形面积公式 练习2：已知扇形的周长为10，面积为，求扇形圆心角的弧度数. 解：设扇形圆心角的弧度数为，弧长为半径为，据题意有： 解得， 当时，此时，舍去. 当时，此时，. 综上所述，扇形圆心角的弧度数为. 练习巩固 变式2-1：已知一扇形的圆心角是150°，半径为12，求扇形的面积. 解：设扇形的弧长为 ∵圆心角150° ∴扇形弧长 于是，扇形的面积 练习巩固 变式2-2：扇形圆心角为，周长为，面积为，所在圆半径为. （1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积 （2）若，，求的值. 解：（1）设弧长为，弓形面积为，则，，， ； （2）由已知得，解得或， 或 练习巩固 练习3：已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l． (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 解：（1）因为，，所以扇形的弧长； （2）由扇形面积，得，则 扇形周长为，当且仅当，即时，取等号， 此时，，所以， 所以扇形周长的最小值为，此时. 小结 $$