4.5.1函数的零点与方程的根（3知识点+10题型）-2024-2025学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

4.5.1 函数的零点与方程的根 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的零点与方程的解 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 3.理解 (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． (2)求零点可转化为求对应方程的解． (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 4.求函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 知识点2 函数零点存在定理 1.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2.理解 (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件． (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 3.函数零点存在定理的重要推论 (1)推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． (2)推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 4.确定零点区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 知识点3 函数零点个数的问题 1.判断函数零点个数的四种常用方法 (1)方程法：直接求零点，令，利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点． (2)定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． (4)数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 2.已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 (1)直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； (2)数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； (3)分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 思路方法总结 1、零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． （4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 2、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 3、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 典例·举一反三 一、题型一 求函数的零点 1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3) 跟踪训练 1．函数的零点为（    ） A．2 B． C．或 D．2和 2．函数的零点为（    ）. A． B． C．和5 D．和 3．已知函数，则函数的零点为 ． 二、题型二 已知零点求值 2．已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是 ． 2．若是函数的一个零点，则的另一个零点为（    ） A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0） 3．已知x＝3是函数的零点，则 三、题型三 判定零点的所在区间 3．函数零点所在区间为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（    ） x -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A． B． C． D． 2．若等式成立，则大致位于区间（    ） A． B． C． D． 3．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 四、题型四 已知零点区间求参数范围 4．函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 2．设函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的零点，，则 ． 五、题型五 比较零点的大小 5．已知函数，，的零点依次为、、，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 2．已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系是 ． 六、题型六 求零点的和 6．是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 跟踪训练 1．已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 2．设方程的解为，，方程的解为，，则 ． 3．已知函数，记函数（其中）的4个零点分别为，，，，且，则的值为 . 七、题型七 判定零点的个数 7．函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 3．函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 八、题型八 已知零点个数求参数 8．已知函数． (1)当时，求函数的零点； (2)若函数恰好有两个零点，求实数的取值范围． 跟踪训练 1．已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 2．已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是 ． 3．若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 九、题型九 二次函数的零点分布问题 9．函数 (1)当时，求函数零点 (2)函数有两个零点，求m的取值范围； (3)函数在上有两个零点，求m的取值范围； 跟踪训练 1．已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的函数，若此函数有两个零点，则实数的取值范围是 ；若此函数有一个零点为0，则另一个零点是 ． 3．已知函数的两个零点分别在区间与内，求实数的取值范围． 十、题型十 零点的综合问题 10．已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 跟踪训练 1．已知定义在区间上的函数． (1)求函数的零点； (2)若方程有四个不等实根，且，证明． 2．已知是定义在上的偶函数． (1)求的值； (2)画出的图象，并指出其单调减区间； (3)若关于的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围． 3．已知定义在R的奇函数，当时， (1)求的值； (2)求在R上的解析式； (3)若方程有且只有一个实数根，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5.1 函数的零点与方程的根 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数的零点与方程的解 1.概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： 3.理解 (1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标． (2)求零点可转化为求对应方程的解． (3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解． 4.求函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 知识点2 函数零点存在定理 1.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 2.理解 (1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0. (2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件． (3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点． 3.函数零点存在定理的重要推论 (1)推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． (2)推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 4.确定零点区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 知识点3 函数零点个数的问题 1.判断函数零点个数的四种常用方法 (1)方程法：直接求零点，令，利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点． (2)定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． (4)数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． 2.已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 (1)直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； (2)数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； (3)分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 思路方法总结 1、零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． （4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 2、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 3、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 典例·举一反三 一、题型一 求函数的零点 1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)存在零点，零点是和 (2)存在零点，零点是 (3)存在零点，零点为和 【分析】根据零点的概念求解即可. 【详解】（1）令， 得或， 所以函数存在零点，零点是和． （2）令， 得， 所以函数存在零点，零点是． （3）当时，令， 解得（舍去）； 当时，令， 解得． 所以函数存在零点，零点为和． 跟踪训练 1．函数的零点为（    ） A．2 B． C．或 D．2和 【答案】D 【分析】根据零点定义结合对数运算计算即可. 【详解】令，则，解得或． 故选：D. 2．函数的零点为（    ）. A． B． C．和5 D．和 【答案】C 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得或， 所以函数的零点为和5. 故选：C. 3．已知函数，则函数的零点为 ． 【答案】1 【分析】结合函数的单调性及零点的定义求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，所以函数的零点为1. 故答案为：1. 二、题型二已知零点求值 2．已知函数的两个零点分别为，1，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，是方程的两个根，进而可以求. 【详解】依题意，是方程的两个根 代入可得， 解得 所以 故选：B 跟踪训练 1．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是 ． 【答案】1和 【分析】先根据韦达定理求出，进而解方程，得到零点. 【详解】∵函数的两个零点是2和3， ∴，解得， ∴， 令，解得或1 ∴的零点为1和. 故答案为：1和 2．若是函数的一个零点，则的另一个零点为（    ） A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0） 【答案】A 【分析】由是函数的一个零点，可得值，再利用韦达定理列方程解出的另一个零点． 【详解】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1． 故选：A． 3．已知x＝3是函数的零点，则 【答案】21 【分析】由x＝3是函数的零点，即，将x＝3代入函数有，求解即得的值 【详解】∵x＝3是函数的零点，即 ∴，解得 故答案为：21 【点睛】本题考查了函数的零点，根据零点列方程，应用对数的概念求参数值 三、题型三 判定零点的所在区间 3．函数零点所在区间为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用零点存在定理判断零点所在的区间. 【详解】易知在定义域上单调递增，， 则，由零点存在定理知，A错误； 由，可得，B正确； 由，可得，C错误； 由，可得，D错误． 故选：B. 跟踪训练 1．根据表格中的数据，可以判断方程的一个根所在的区间是（    ） x -1 0 1 2 3 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点概念及零点存在定理判断即可. 【详解】设，由表格中的数据得， ，， ，，， 所以， 又的图象是连续不断的， 所以在内有零点． 故选：. 2．若等式成立，则大致位于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，然后使用反证法证明即可. 【详解】由于， 而，故. 假设，则，矛盾； 假设，则 ，矛盾. 故，选项A正确. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用反证法确定的大致区间. 3．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得到函数在上连续且单调递增，再分别计算，根据零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】易知函数的定义域为，且函数在上是连续不断的， 又，， 由函数零点存在性原理可知，在区间上有零点， 又在区间上单调递增，所以在上只有一个零点， 故选：D. 四、题型四 已知零点区间求参数范围 4．函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用零点存在性定理计算即可. 【详解】函数在定义域上连续且单调递增， 已知函数零点在区间内，则，解得. 故选：D. 跟踪训练 1．已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增， 又，且，则，解得. 故选：B 2．设函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令得，由复合函数单调性即可求解. 【详解】令得，令，由复合函数单调性可知，当时，单减，，，故，要使在区间内有零点，即. 故选：C 3．已知函数的零点，，则 ． 【答案】2 【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案. 【详解】因为函数为R上单调减函数， 故函数为R上单调减函数， 又，， 故在上有唯一零点， 结合题意可知， 故答案为：2 五、题型五 比较零点的大小 5．已知函数，，的零点依次为、、，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化函数的零点为方程的根，然后在同一坐标系中画出函数，，和函数的图像，根据图象即可判断、、的大小关系． 【详解】已知函数，，的零点依次为、、， 即， ， ， 在同一坐标系中画出函数，，和函数的图像， 由图可知：． 故选：D 跟踪训练 1．函数，，的零点分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别令、、，根据函数定义域可得的范围，从而求出的范围可得答案. 【详解】令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 令，可得，因为，所以，， 可得，所以； 综上，. 故选：A. 2．已知：的零点，那么a，b，大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设，作出函数的大致图象，结合它们的零点，数形结合，可判断出答案. 【详解】由题意：的零点，则， 令，则， 而，则其图象可由图象向下平移2个单位得到， 故可作出函数的大致图象如图：    由此可知应介于两数之间，结合选项可知可能的结果为， 故B，C，D错误，A正确， 故选：A 3．已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据题意，将函数的零点转化为两个基本函数的交点的横坐标，从而画出函数，，，的图象，观察函数图象，即可判断，，的大小关系. 【详解】解：令，则， 即的零点为函数与交点的横坐标， 令，则， 即的零点为函数与交点的横坐标， 令，则， 即的零点为函数与交点的横坐标， 画出函数，，，的图象，如图所示， 观察图象可知，函数，，的零点依次是点，，的横坐标， 由图象可知. 故答案为：.    六、题型六 求零点的和 6．是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的对称性，即可判断. 【详解】因为函数是上的偶函数，所以函数图象关于轴对称，那么，即有5个实数根，可知其中4个实数根，有两对关于轴对称，另外一个为，所以这些根的和为0. 故选：C 跟踪训练 1．已知函数若互不相等的实数满足，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】首先根据题意画出函数的图象，得到，，即可得到答案. 【详解】函数的图象图所示： 设，因为， 所以， 当时，，时，， 所以，即. 故选：CD 2．设方程的解为，，方程的解为，，则 ． 【答案】10 【分析】在同一坐标系下做出函数、，的图象，设，根据函数与的图象关于对称得点与点、点与点都关于对称，求出的交点坐标再根据中点坐标公式计算可得答案. 【详解】由方程得，由方程得， 在同一坐标系下做出函数、，的图象， 不妨设，如下图， 因为函数与的图象关于对称，即点与点、点与点都关于对称， 由解得，即两直线的交点为，则， 则. 故答案为：. 3．已知函数，记函数（其中）的4个零点分别为，，，，且，则的值为 . 【答案】8 【分析】将函数的零点转化为与图象交点的横坐标，然后根据二次函数的对称性得到，结合的解析式和图象可得，，然后求即可. 【详解】 函数的零点可以看做与图象交点的横坐标，和的图象如上图所示， 根据二次函数的对称性得到， 由图可知，，，则，所以. 故答案为：8. 七、题型七 判定零点的个数 7．函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数与交点个数问题，通过图象观察可得结果. 【详解】令，则， 在同一平面直角坐标系中作出与的图象，如下图所示，    由图象可知：两个函数的图象恰有两个不同的交点， 函数有两个零点． 故选：B. 跟踪训练 1．函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出函数定义域，转化为的交点个数问题，数形结合得到答案. 【详解】由题意知，函数的定义域为．令， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示． 由图得两个函数图象有2个交点，故函数有2个零点. 故选：C． 2．方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 【答案】A 【分析】将方程根的个数转化为函数交点的个数问题，数形结合作出函数图象计算即可. 【详解】方程的解的个数， 等价于函数和函数的图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示． 数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2． 故选：A 3．函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用零点概念，转化为方程，分类讨论计算即可. 【详解】当时，令，即，解得或， 当时，令，即，解得． 综上可知，函数有3个零点． 故选：C. 八、题型八 已知零点个数求参数 8．已知函数． (1)当时，求函数的零点； (2)若函数恰好有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，解方程可求得零点； （2）采用分离参数的方式可得，设，将问题转化为与有两个不同交点，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】（1）当时，， 令，则，解得：，有唯一零点. （2）令，则， 令，，，令， 恰好有两个零点，与图象有两个不同的交点， 的对称轴为，开口向上，， 又当时，，图象如下图所示， 当时，与有两个不同的交点，即恰好有两个零点， 实数的取值范围为. 跟踪训练 1．已知直线与函数的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】． 【分析】依题意，作出函数的图象，要使两者有两个公共点，需使，即可求得参数范围. 【详解】 由，作出函数的图象如图． 由图知，要使直线与该图象有两个公共点，则有，即. 故实数a的取值范围为． 2．已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】把函数有三个零点转化为与的图象有三个交点，数形结合得出参数范围. 【详解】由题得与的图象有三个交点，作出函数的图象如图所示， 当时，，则的取值范围是． 故答案为：. 3．若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围. 【详解】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点， 的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去， 如图数形结合可得 故答案为： 九、题型九 二次函数的零点分布问题 9．函数 (1)当时，求函数零点 (2)函数有两个零点，求m的取值范围； (3)函数在上有两个零点，求m的取值范围； 【答案】(1)1； (2)或； (3). 【分析】（1）把代入，求出零点. （2）利用判别式大于0，解不等式即得. （3）利用一元二次方程实根分布规律，列出不等式组求解即得. 【详解】（1）当时，，由，解得， 所以函数零点为1. （2）由函数有两个零点，得方程有两个不等实根， 因此，解得或， 所以m的取值范围是或. （3）由函数在上有两个零点，得，解得， 所以m的取值范围是. 跟踪训练 1．已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质得到关于的不等式组，求解即可. 【详解】设， 因为二次函数的两个零点都在区间内， 所以，则，即， 故实数的取值范围是：. 故选：C. 2．已知关于的函数，若此函数有两个零点，则实数的取值范围是 ；若此函数有一个零点为0，则另一个零点是 ． 【答案】 【分析】运用函数零点概念，借助根的判别式和韦达定理可解. 【详解】关于的函数，若有两个零点. 等价于方程由两个不同根，则判别式，解得． 且． 当函数有一个零点为0，即方程有一个根为0时，设方程的两个根分别为， ，此时原方程为． ． 故答案为：；. 3．已知函数的两个零点分别在区间与内，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】由函数零点存在定理可得，求解即可. 【详解】由函数零点存在定理以及二次函数图象特征， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是． 十、题型十 零点的综合问题 10．已知函数，其中． (1)直接写出的零点； (2)讨论关于x的方程的解的个数； (3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和． 【答案】(1)－1和3； (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）利用函数零点的定义直接解方程求解即可； （2）将问题转化为与直线的交点个数，画出的图象，结合图象求解即可； （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称，从而可求得结果. 【详解】（1）解方程，即， 解得或， 所以，函数的零点为－1和3； （2）则函数的图象如下图所示： 方程的解的个数等于函数和图象的交点个数，如下图所示： 当时，方程无实根； 当或时，方程有2个实根； 当时，方程有4个实根； 当时，方程有3个实根． （3）由图象可知，函数的图象关于直线对称， 因此． 跟踪训练 1．已知定义在区间上的函数． (1)求函数的零点； (2)若方程有四个不等实根，且，证明． 【答案】(1)和； (2)证明见解析. 【分析】（1）令，解方程即可； （2）根据对勾函数图像结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）令，解得，． 所以函数的零点是和. （2）证明： 易知对勾函数的图像如下图所示： 则的图像如下： 如图，要使有四个根，则， 令，当，则， 由韦达定理知：； 当，则， 由韦达定理知：． ∴． 2．已知是定义在上的偶函数． (1)求的值； (2)画出的图象，并指出其单调减区间； (3)若关于的方程有2个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析；答案见解析 (3) 【分析】（1）由偶函数的定义列方程可求出的值； （2）先对函数化简，然后列表、描点、连线画图象，然后根据图象可求出函数的减区间， （3）将问题转化为与的图象有两个不同的交点，再根据图象可求得结果. 【详解】（1）因为是定义在上的偶函数， 所以，即， 所以， 所以， 因为，所以； （2）由（1）得， 列表： … 0 1 2 3 4 … … 5 2 1 2 5 2 1 2 5 … 描点连线得图象如图所示： 由图象可得单调减区间为和； （3）因为关于的方程有2个不相等的实数根， 所以与的图象有两个不同的交点， 由（2）中的图可知或， 所以或， 所以实数的取值范围为. 3．已知定义在R的奇函数，当时， (1)求的值； (2)求在R上的解析式； (3)若方程有且只有一个实数根，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质即可代入求解， （2）根据奇函数的性质即可求解的解析式，进而可求上的解析式， （3）根据函数图象即可得交点个数，进而列不等式求解即可. 【详解】（1）由于是奇函数，所以 （2）当,则，， 由于是奇函数，所以， 故当时，， 因此 （3）画出的图象如图1，进而可得的图象如图2， 由图知：，解得或， 即实数m的取值范围是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$