第四章一次函数期末复习题全 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第四章一次函数期末复习题全 2024-2025学年北师大版数学八上 一、单选题 1．若关于x的函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．若一次函数的图像与轴分别交于两点，则的面积为（    ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 4．在实验课上，小亮利用同一块木板，测得小车从不同高度h（cm）下滑的时间t（s），得到如下数据： 支撑物高h（cm） 10 20 30 40 50 … 下滑时间t（s） 3.25 3.01 2.81 2.66 2.56 … 以下结论错误的是（　　） A．当h＝10时，t为3.25秒 B．随支撑物高度增加，下滑时间越来越短 C．估计当h＝80时，t一定小于2.56秒 D．高度每增加10cm，下滑时间就会减少0.24秒 5．在平面直角坐标系中，将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象与轴的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 6．函数，，的共同特点是（    ） A．图像位于同样的象限 B．图象都过原点 C．y随x的增大而增大 D．y随x的增大而减小 7．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 8．已知一次函数的图象交轴于正半轴，若随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 9．已知一次函数y=mx＋n的图象如图所示，则m，n的取值范围是    A．m＞0，n＜0 B．m＞0，n＞0 C．m＜0，n＜0 D．m＜0，n＞0 10．公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量之间是一次函数关系，其图象如图所示，由图中信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（    ） A．1000元 B．1500元 C．2000元 D．2500元 二、填空题 11．如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论： ① ； ② ； ③ 当时，； ④． 其中正确的是 （只填写序号）． 12．已知直线与直线平行，若直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则线段AB的长为 ． 13．直线与坐标轴围成的三角形的面积是 ． 14．如果函数y＝ax＋b（，）和y＝kx（）的图像交于点P，那么点P位于第 象限． 15．一次函数的图象与轴交点坐标是 ，与轴交点坐标是 ，与坐标轴围成的三角形面积是 ． 16．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是 °C． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/°C 10 25 40 55 70 85 17．函数和的图象相交于点，则方程的解为 ． 18．已知f（x）＝，那么f（5）的值是 ． 19．已知函数，当时，y有最大值6，则 ． 三、解答题 20．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积： (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 21．某茶叶专卖店经销一种海青绿茶，每千克成本为80元.据销售人员调查发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律.求每月销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式. 22．随着国家对原产台湾地区的某些水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售．某经销商销售了台湾水果凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系： 每千克售价（元） 38 37 36 35 … 20 每天销量（千克） 50 52 54 56 … 86 设当单价从38元/千克下调了x元时，销售量为y千克； （1）写出y与x间的函数关系式； （2）当售价为28元/千克，问这天的销售量是多少？ （3）如果凤梨的进价是20元/千克，销售价定为30元/千克，问这天的销售利润是多少？ 23．为确保广大居民家庭基本用水需求的同时鼓励家庭节约用水，对居民家庭每户每月用水量采用分档递增收费的方式，每户每月用水量不超过基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费.为对基本用水量进行决策，随机抽查2000户居民家庭每户每月用水量的数据，整理绘制出下面的统计表： 用户每月用水量（） 32及其以下 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43及其以上 户数（户） 200 160 180 220 240 210 190 100 170 120 100 110 （1）为确保70%的居民家庭每户每月的基本用水量需求，那么每户每月的基本用水量最低应确定为多少立方米？ （2）若将（1）中确定的基本用水量及其以内的部分按每立方米1.8元交费，超过基本用水量的部分按每立方米2.5元交费.设x表示每户每月用水量（单位：），y表示每户每月应交水费（单位：元），求y与x的函数关系式； （3）某户家庭某月交水费80.9元，请按以上收费方式计算该家庭当月用水量是多少立方米？ 24．如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴的负半轴交于点C，与y轴交于点A．直线AB与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求直线AB的函数表达式； （2）若，求点C的坐标． 25．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象． （1）求s2与t之间的函数关系式； （2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？ 26．在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所用的时间分别是________； （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； （3）燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛的高度相同？（不考虑都燃尽时的情况） 27．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点C在x轴的正半轴上，AB边交y轴于点H，OC＝4，∠BCO＝60°． （1）求点A的坐标 （2）动点P从点A出发，沿折线A﹣B一C的方向以2个单位长度秒的速度向终点C匀速运动，设△POC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，直接写出当t为何值时△POC为直角三角形． 28．如图,已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,0),且把△AOB分成两部分. (1)若△AOB被分成的两部分面积相等,求k和b的值; (2)若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5,求k和b的值. 29．定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“友好函数”． 例如：图是函数的图象，则它关于点的“友好函数”的图象如图所示，且它的“友好函数”的解析式为． (1)直接写出函数关于点的“友好函数”的解析式． (2)如图，点M是函数的图象上的一点，设点的横坐标为，是函数关于点的“友好函数”． 当时，若函数的函数值取值范围是，直接写出自变量的取值范围________； 如图，当以点、、、为顶点的矩形与函数的图象只有个公共点时，直接写出的取值范围________． (3)当中的函数的图象与矩形有且仅有一个公共点时，在函数上是存在一点，使是以为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标________； 当中“主题干”中的函数的对称轴左侧图象与中矩形的边所围成的三角形图形中，其面积为时，直接写出点的坐标________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D C B C C D B 1．B 【解析】略 2．C 【分析】根据一次函数和正比例函数的性质逐一判断即可得答案． 【详解】A.∵一次函数经过一、二、三象限， ∴a＞0，b＞0， ∴-b＜0， ∴正比例函数应经过二、四象限，故本选项不符合题意， B.∵一次函数经过一、三、四象限， ∴a＞0，b＜0， ∴-b＞0， ∴正比例函数应经过一、三象限，故本选项不符合题意， C.∵一次函数经过二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴-b＞0， ∴正比例函数应经过一、三象限，故本选项符合题意， D.∵一次函数经过二、三、四象限， ∴a＜0，b＜0， ∴-b＞0， ∴正比例函数经过一、三象限，故本选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数和正比例函数的性质，对于一次函数y=kx+b，当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过二、四象限；当b＞0时，图象与y轴交于正半轴；当b＜0时，图象与y轴交于负半轴；熟练掌握相关性质是解题关键． 3．A 【分析】先求出点A、B的坐标，然后利用三角形的面积公式计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵， 令，则；令，则， ∴点A为（，0），点B为（0，）， ∴OA=2，OB=4， ∴的面积为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积公式，解题的关键是正确的求出一次函数与坐标轴的交点坐标． 4．D 【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可． 【详解】解：由表格知：h＝10，t＝3.25． 故A结论正确． 由表格知：随着高度的增加，下滑时间越来越短． 故B，C结论正确． 当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s， 从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s， 从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s， 从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s， 因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”的说法是错误的， 故选项D结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的概念，函数的定义：设x和y是两个变量，对于每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数．本题理解表格中两个变量之间的变化关系是正确判断的前提． 5．C 【分析】先求出该函数图象向左平移个单位长度后的直线解析式，再令，求出的值即可． 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度的解析式为， 当时，， 平移后与轴的交点坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键． 6．B 【分析】三个函数都是正比例函数，正比例函数图象是经过原点的一条直线，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 【详解】解：A. y=2x的图象位于一、三象限，y=-3x的图象位于二、四象限，y=-x的图象位于二、四象限，故选项A不符合题意； B. ，，的图象都过原点，故B正确，符合题意； C. y=2x的y值随x的增大而增大，y=-3x的y值随x的增大而减小，y=-x的y值随x的增大而减小，故选项C不符合题意； D. y=2x的y值随x的增大而增大，y=-3x的y值随x的增大而减小，y=-x的y值随x的增大而减小，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查正比例函数图象的性质，需要熟练掌握：正比例函数图象是经过原点的一条直线，当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 7．C 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．由此即可得出结论． 【详解】解：若是的函数，那么当取一个值时，有唯一的一个值与对应，选项A、B、D都符合； C选项图象中，在轴上取一点（图象与轴交点除外），即确定一个的值，这个对应图象上两个点，即一个的值有两个值与之对应，故此图象不是与的函数图象． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的概念，对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 8．C 【分析】根据一次函数的图像和性质，即可得到答案. 【详解】解：∵随的增大而减小， . ∴. ∵一次函数图象交轴于正半轴， ， 解得：， ∴. 故选：C. 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质进行解题. 错因分析：容易题.选错的原因是一次函数的图象与性质没有掌握，不能由题干正确得出关于 的不等关系，从而无法求解. 9．D 【分析】先根据一次函数的图象经过二、四象限可知m＜0，再根据函数图象与y轴交于正半轴可知n＞0，进而可得出结论． 【详解】∵一次函数y=mx+n的图象过二、四象限，∴m＜0． ∵函数图象与y轴交于正半轴，∴n＞0． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，即直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 10．B 【分析】设销量为x，收入为y，即求x=0时y的值．由图知求直线与y轴交点坐标，由两点式求直线解析式后再求交点． 【详解】解：设y=kx+b，由图知，直线过（1，2000）（2，2500），代入得： 解得： ∴y=500x+1500， 当x=0时，y=1500．即营销人员没有销售时的收入是1500元． 故选B． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，利用函数的解析式由自变量求函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 11．①④/④① 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：因为正比例函数经过一、三象限， 所以，故①正确； 一次函数经过一、二、四象限， 所以，故②错误； 由图像可得，当时， 故③错误； 正比例函数与一次函数的图象交于点 则 则 故④正确； 故答案为：①④ 12．5 【分析】根据直线平行性质可得，再求得A、B两点坐标，利用勾股定理可求解AB的长． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴直线AB的函数表达式为， 当x=0时，y=-3；当y=0时，由得， ∴B（0，-3），A（4，0）， ∴OA=4，OB=3，又∠AOB=90°， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、直线平移性质、坐标与图形、勾股定理，正确求出k值和点A、B坐标是解答的关键． 13．24 【分析】分别求出直线与坐标轴的两个交点，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，设直线与x轴、y轴分别交于点B，点A， 当x=0时，y=12，当y=0时，x=4， ∴点A的坐标为（0，12），点B的坐标为（4，0）， ∴OA=12，OB=4， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴围成的图形面积，正确求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 14．三 【分析】根据一次函数y＝ax＋b中a、b的符号确定其图像所在象限，再根据k的符号确定函数y＝kx所在象限，两函数图像都经过的象限就是点P所在象限． 【详解】解：∵函数中，， ∴图像经过第二、三、四象限， ∵y＝kx中， ∴图像经过第一、三象限， ∴两函数图像交于点P时，点P位于第三象限． 故答案为：三． 【点睛】本题主要考查了根据函数解析式判断其经过的象限，解题关键是正确判断两个函数所经过的象限． 15． (，0) (0，4) 1 【分析】根据一次函数与坐标轴相交的坐标特点可直接进行求解，然后再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得： 当x=0时，则有y=4；当y=0时，则有0=−8x+4，解得x=， ∴与x轴的交点坐标为(，0)，与y轴的交点坐标为(0，4)， 图像与坐标轴围成的三角形面积为：S=××4=1； 故答案为：(，0)，(0，4)，1． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． 16．64 【分析】根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式，进而把代入计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升， 则关系式为：， 当时，． 故分钟时的温度是． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是分析表格得出温度与时间的关系式． 17． 【分析】由题意知，方程的解为其交点的横坐标，进而可得结果． 【详解】解：由题意知的解为两直线交点的横坐标 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象的交点与一次方程解的关系．解题的关键在于理解一次函数图象的交点与一次方程解的关系． 18．． 【分析】根据f(x)=，将代入计算即可. 【详解】解：∵f(x)=， 当x＝5时， f（5）＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查函数值的求法，解答本题的关键是明确题意，利用题目中函数解答. 19．或 【分析】分类讨论：分k为正和k为负两种情况．当k为正时，y随x的增大而增大，此时函数在x=4处取得最大值，从而可求得k的值；当k为负时，y随x的增大而减小，此时函数在x=-2处取得最大值，从而可求得k的值． 【详解】（1）当k为正时，y随x的增大而增大，此时函数在x=4处取得最大值，即4k+1=6 解得：k=； （2）当k为负时，y随x的增大而减小，此时函数在x=-2处取得最大值，即−2k+1=6 解得：k= 故答案为：或 【点睛】本题考查了一次函数的增减性质，关键要对k的取值进行分类讨论． 20．(1)，； (2)； (3)点P的坐标为时，的最大值为 【分析】（1）作轴于点，可证得：，故可得：，，由，可得出，，，，即可得出：D，即可得出直线的解析式； （2）由三角形的面积公式即可得出结论； （3）延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度，由可得出：点P ．由勾股定理可得，，即可得出答案． 【详解】（1）作轴于点， 由题意，，， ∵， ∴， ∴，， 由，令，得， ∴，， 令，得，得， ∴，， ∴，， ， ∴点D的坐标为， 设直线的解析表达式为， 代入和， 得， 解得， ∴直线的解析表达式为； ∴点D的坐标为，直线的解析表达式为； （2）由题意得，，， ∴； （3）存在，理由如下： 延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度． 令，代入， 解得， ∴点P的坐标为． 在中，由勾股定理得， ． 综上，点P的坐标为时，的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，待定系数法求函数解析式，两点之间线段最短，构造三角形全等求线段长度，三角形面积，掌握以上知识是解题的关键． 21．. 【分析】用待定系数法求出一次函数解析式. 【详解】解：设每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为. 由点，在该直线上，得，.解得，. 所以，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为. 【点睛】考核知识点：求一次函数解析式的应用.理解题意，把问题转化为一次函数问题. 22．（1）y＝50＋2x；（2）70千克；（3）660元． 【分析】（1）根据图表中的信息可看出，每下调1元，销售量就多2千克，因此y与x的函数式应该是y＝50＋2x； （2）把x=10代入即可求解； （3）销售利润＝每千克凤梨的利润×销售的重量，每千克凤梨的利润可以用售价−进价求出，销售的重量可以用（1）中的函数关系式求出，这样销售利润就能求出来了． 【详解】（1）根据图表中的信息可看出，每下调1元，销售量就多2千克， 单价为38元/千克时，销售量为50千克 ∴y＝50＋2x； （2）当售价为28元/千克时，从38元/千克下调了10元， ∴当x=10时，销售量y＝50+2×10=70千克； （3）销售价定为30元/千克时， x＝38−30＝8， y＝50＋2×8＝66， 66×（30−20）＝660． 答：这天销售利润是660元． 【点睛】本题通过考查函数的应用来考查从图表中获取信息的能力，得出下调价格和销售量的函数关系是解题的关键． 23．（1）38立方米.（2）（3）43立方米. 【分析】（1）根据统计表可得出月均用水量不超过38吨的居民户数占2000户的70%，由此即可得出结论； （2）分0≤x≤38及x＞38两种情况，找出y与x的函数关系式； （3）求出当x=38时的y值，与80.9比较后可得出该家庭当月用水量超出38立方米，令y=2.5x﹣26.6=80.9求出x值即可． 【详解】解：（1）（户），（户），所以基本用水量最低应确定为， （2）当时，；当时，. 综上所述，y与x的函数关系式为. （3）因为（元），，所以该家庭当月用水量超出38立方米. 当时，.答：该家庭当月用水量是43立方米， 【点睛】考点：一次函数的应用，一次函数图象上点的坐标特征，统计表.理解题意是关键. 24．（1）；（2）点C的坐标为． 【分析】（1）设直线AB的函数表达式为，把，代入中得到方程组，解方程组即可； （2）由求出BC的长，即可求得点C的坐标. 【详解】（1）设直线AB的函数表达式为， 因为直线AB经过，， 所以，所以， 所以直线AB的函数表达式为． （2）由点C在x轴的负半轴上，可设点C的坐标为， 则， 因为，，所以，， 因为，所以， 所以， 所以，即，所以， 所以点C的坐标为． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式及求有关的几何图形面积.根据两点确定一条直线，找到两个点的坐标就可以了.求面积关键在于通过点的坐标表示出相应的线段长度，继而根据面积公式求出面积. 25．(1)s2=-96t+2400（2）小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m 【分析】（1）首先由小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，求得小明的爸爸用的时间，即可得点D的坐标，然后由E（0，2400），F（25，0），利用待定系数法即可求得答案； （2）首先求得直线BC的解析式，然后求直线BC与EF的交点，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家， ∴小明的爸爸用的时间为：=25（min）， 即OF=25， 如图：设s2与t之间的函数关系式为：s2=kt+b， ∵E（0，2400），F（25，0）， ∴， 解得：， ∴s2与t之间的函数关系式为：s2=-96t+2400； （2）如图：小明用了10分钟到邮局， ∴D点的坐标为（22，0）， 设直线BD即s1与t之间的函数关系式为：s1=at+c（12≤t≤22）， ∴ 解得：， ∴s1与t之间的函数关系式为：s1=-240t+5280（12≤t≤22）， 当s1=s2时，小明在返回途中追上爸爸， 即-96t+2400=-240t+5280， 解得：t=20， ∴s1=s2=480， ∴小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用．解题的关键是数形结合与方程思想的应用．注意小明的是折线，小明爸爸的是直线，抓住每部分的含义是关键． 26．（1）30cm，25cm ；2h，2.5h（2）y甲=-15x+30；y乙=-10x+25.（3）当蜡烛燃烧1h，甲、乙两根蜡烛的高度相同 【分析】(1)根据横纵坐标表示的意义，可得.(2)利用待定系数法求解析式.(3)令y相等，求x值. 【详解】（1）30 cm，25 cm   2 h，2.5 h （2）设甲蜡烛燃烧时，y甲与x之间的函数关系式为y甲=k1x+b1.由图可知，函数的图象过点（0，30），（2，0），则b1=30，2k1+b1=0，将b1=30代入2k1+b1=0，解得k1=-15.所以y甲=-15x+30； 设乙蜡烛燃烧时，y乙与x之间的函数关系式为y乙=k2x+b2．由图可知，函数的图象过点（0，25），（2.5，0），则b2=25，2.5k2+b2=0，将b2=25代入2.5k2+b2=0，解得k2=-10.所以y乙=-10x+25. （3）由题意，得-15x+30=-10x+25，解得x=1，即当蜡烛燃烧1 h，甲、乙两根蜡烛的高度相同． 【点睛】待定系数法求一次函数解析式：需要列两个方程，联立求解，可以得到k,值,从而得到函数解析式. 27．（1）；（2）；（3）t=1或t=3 【分析】（1）首先做辅助线BF⊥OC于F，AG⊥x轴于G，在Rt△BCF中，求出BF，BF=AG，OG=CF，又因为A在第二象限，即可得出点A的坐标. （2）需分两种情况： ①当时，即P从A运动到B，求出三角形的面积， ②当时，即P从B运动到C，求出三角形的面积， 将两种情况综合起来即可得出最后结果. （3）在（2）的条件下，当t=1或t=3时，根据三角形的性质，可以判定△POC为直角三角形． 【详解】（1）如图，做辅助线BF⊥OC于F，AG⊥x轴于G 在Rt△BCF中，∠BCF=60°，BC=4，CF=2，BF=， BF=AG=，OG=CF=2，A在第二象限， 故点A的坐标为（-2，） （2）当时，即P从A运动到B，S==， 设P（m，n），∠BCO＝60°， 当时，即P从B运动到C，BP=2t， 则cos30°==, , 则S== 综上所述， （3）在（2）的条件下，当t=1或t=3时，△POC为直角三角形． 【点睛】此题主要考查在平面直角坐标系中，利用菱形的性质，进行求解点坐标，以及动点问题，再利用直角三角形的三角函数，即可得解. 28．（1）b=2，k=-2；（2） 【分析】（1）△AOB被分成的两部分面积相等，那么被分成的两部分都应该是三角形AOB的面积的一半，那么直线y＝kx＋b（k≠0）必过B点，因此根据B，C两点的函数关系式可得出，直线的函数式． （2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，那么被分成的两部分中小三角形的面积就应该是大三角形面积的，已知了直线过C点，则小三角形的底边是大三角形的OA边的一半，故小三角形的高应该是OB的，即直线经过的这点的纵坐标应该是．那么这点应该在y轴和AB上，可分这两种情况进行计算，运用待定系数法求函数的解析式． 【详解】解：（1）由题意知：直线y＝kx＋b（k≠0）必过C点， ∵C是OA的中点， ∴直线y＝kx＋b一定经过点B，C，如图（1）所示， 把B，C的坐标代入可得： ∴， 解得； （2）∵S△AOB＝×2×2＝2， ∵△AOB被分成的两部分面积比为1：5，那么直线y＝kx＋b（k≠0）与y轴或AB交点的纵坐标就应该是：2×2×＝， ①当y＝kx＋b（k≠0）与直线y＝−x＋2相交时，交点为D，如图（2）所示， 当y＝时，直线y＝−x＋2与y＝kx＋b（k≠0）的交点D的横坐标就应该是−x＋2＝， ∴x＝， 即交点D的坐标为（，）， 又根据C点的坐标为（1，0），可得： ∴， ②当y＝kx＋b（k≠0）与y轴相交时，交点为E，如图（3）所示， ∴交点E的坐标就应该是（0，），又有C点的坐标（1，0），可得： ， ∴ 因此：k＝2，b＝−2或k＝−，b＝． 【点睛】本题考查了一次函数的性质和三角形面积的综合运用，解题的关键是弄清楚三角形AOB被分成两部分的面积比不同时，所求直线与y轴和已知直线的交点的纵坐标是多少． 29．(1)当时，；当时， (2)①；② (3)①，；②或 【分析】仿照题干中“友好函数”的定义写出函数关于点的“友好函数”的解析式； 写出函数关于点的“友好函数”的解析式，根据此时函数值的取值范围是分两种情况求解，第一种情况是当时，可得；第二种情况是当时，可得． 当矩形与函数的图像只有一个公共点是，则“友好函数”只能经过点，设左侧的函数解析式为，把点的坐标代入解析式求出即可； 当为直角三角形且为一条直角边时，分两种情况求解，一种情况是为斜边，另一种情况是为斜边， 当与矩形围成的三角形的面积为时，分两种情况求解，一种情况是与、边围成的三角形的面积为，另一种情况是与、边围成的三角形的面积为． 【详解】（1）解：如下图所示， 函数关于点的“友好函数”的解析式为； （2）解：如下图所示， 当时，函数关于点的“友好函数”是， 当时，可得， 解得：， 当时，可得， 解得：， 综上所述，当时，的取值范围是； 矩形与函数的图像只有一个公共点是，则“友好函数”只能经过点， 设左侧的函数解析式为， 把点的坐标代入可得：， 解得：， 此时在点左侧的函数解析式为， 点也在函数上， ， 解得：； （3）解：如下图所示， 由可知， 设点的坐标为， 点、， ， ，， 当为斜边时，， ， 解得：，此时。 点的坐标为， 当为斜边时，， ， 解得：，此时。 点的坐标为， 综上所述点的坐标为或； 如下图所示， 当的面积为时，设点的坐标为，则， 设函数左侧的函数解析式为， 则有， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， ， ， 解得：或， 当时，点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 解方程组， 得， 点的坐标为； 当的面积为时，设点的坐标为，则， 设函数左侧的函数解析式为， 则有， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， ， ， ， 解得：或， 当时，点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 函数左侧的函数解析式为， 解方程组， 得， 点的坐标为， 综上所述点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用；理解并运用新定义“友好函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$