江苏省盐城中学2024-2025学年高一上学期第二次月考（12月）数学试卷

2024—2025 江苏省盐城中学高一第二次月考 数学试卷（2024.12） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. cos 5𝜋6 = （ ） A. − √ 3 2 B. √ 3 2 C. 1 2 D. − 1 2 2. 若幂函数 𝑦 = (𝑚2 − 3𝑚+ 3) 𝑥𝑚2−𝑚−2 的图象不过原点，则 （ ） A. 𝑚 = −1 B. 𝑚 = 2 C. 𝑚 = 1 或 𝑚 = 2 D. 𝑚 = −1 或 𝑚 = 2 3. 设 𝑎 = log1 3 1 2，𝑏 = ln 2，𝑐 = 0.2 −0.3，则 𝑎、𝑏、𝑐 的大小关系为 （ ） A. 𝑏 < 𝑎 < 𝑐 B. 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 C. 𝑏 < 𝑐 < 𝑎 D. 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 4. 某海外实验室在研究某种人类细菌的过程中发现，细菌数量 𝑁 (单位) 与该人类细菌被植入培 养的时间 𝑡 (单位: 小时) 近似满足函数关系 𝑌 (𝑡) = 𝑁0𝑒 − 𝑡 24，其中 𝑁0 为初始细菌含量. 当时 间 𝑡 = 12 (单位: 小时)，该细菌数量为 24 √𝑒 𝑒 (单位)，则 𝑌 (72) = （ ） A. 12𝑒−3 B. 24𝑒−3 C. 36𝑒−3 D. 38𝑒−3 5. 已知 𝑥 > 0，𝑦 > 0，lg 4𝑥 + lg 2𝑦 = lg 8，则 12𝑥 + 1 + 4 𝑦 的最小值是 （ ） A. 3 B. 94 C. 46 15 D. 9 6. 函数 𝑓 (𝑥) = e 𝑥 + e−𝑥 ln ( √ 𝑥2 + 1 − 𝑥) 的图象大致为 （ ） A. x y O B. x y O C. x y O D. x y O 数学试题第 1 页（共 4 页） 7. 已知函数 𝑓 (𝑥) = 3𝑥3 − 2e𝑥 + 1 +2，且 𝑓 (𝑎 2)+ 𝑓 (3𝑎 − 4) > 2，则实数 𝑎 的取值范围是（ ） A. (−4, 1) B. (−∞,−1) (4,+∞) C. (−∞,−4) (1,+∞) D. (−1, 4) 8. 设 𝑚 > 1，log𝑚𝑎 = 𝑚𝑏 = 𝑐，若 𝑎，𝑏，𝑐 互不相等，则下列选项中不正确的是 （ ） A. 𝑎 > 1 B. 𝑐 ≠ e C. 𝑏 < 𝑐 < 𝑎 D. (𝑐 − 𝑏) (𝑐 − 𝑎) < 0 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 有以下判断，其中判断正确的是 （ ） A. 函数 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥−4 + 1 (𝑎 > 0且𝑎 ≠ 1) 恒过定点 (4, 2) B. 函数 𝑓 (𝑥) = log2 (−𝑥2 − 2𝑥 + 3) 的单调递减区间是 (−1,+∞) C. 函数 𝑓 (𝑥) = 1𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥 + 1 的定义域为 R，则 𝑎 ∈ [0, 4) D. 函数 𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 2 √ 4 − 𝑥 的值域是 (−∞, 5] 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 若实数 𝑎，𝑏 满足 𝑎 > 𝑏，则 3𝑎 + 3−𝑏 > 2 B. 函数 𝑓 (𝑥) = sin2𝑥 + 2 sin2𝑥 的最小值为 2 √ 2 C. 已知 cos(𝛼 − 7𝜋12) = − 5 13，其中 𝛼 为第三象限角，则 sin( 5𝜋 12 + 𝛼) = 12 13 D. 若函数 𝑓 (𝑥) = 𝑥 1 2，则对任意 𝑥1, 𝑥2 ∈ [0,+∞)，有 𝑓 (𝑥1) + 𝑓 (𝑥2) 2 ⩽ 𝑓 ( 𝑥1 + 𝑥2 2 ) 11. 已知函数 𝑓 (𝑥) = ⎧{ ⎨{⎩ ∣(12) 𝑥 − 1∣ , 𝑥 ⩽ 1 ∣log4 (𝑥 − 1)∣ , 𝑥 > 1 ，若函数 𝑦 = 𝑓 (𝑥) − 𝑘 有四个零点，从小到大依次 为 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4，则下列说法正确的是 （ ） A. 𝑥1 + 𝑥2 > 0 B. 𝑥3 + 𝑥4 的最小值为 4 C. 2 < 𝑥2 + 𝑥4 ⩽ 4 D. 方程 𝑓 [𝑓 (𝑥)] − 𝑡 = 0 最多有 10 个不同的实根 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 已知扇形的周长为 10，面积为 6，则这个扇形的圆心角 (正角) 的弧度数为 . 13. 已知函数 𝑓 (𝑥) = { e 𝑥 − 𝑎, 𝑥 > 0 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2 − 1, 𝑥 ⩽ 0 恰有 2 个零点，则实数 𝑎 的取值范围是 . 14. 对任意 𝑥 ∈ R，不等式 (𝑥 + 𝑎) |𝑥 − 2 + 𝑎| ⩾ 𝑥 |𝑥 − 2|− 𝑎 恒成立，则 𝑎 的取值范围是 . 数学试题第 2 页（共 4 页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13 分）函数 𝑓 (𝑥) = √ 2 − 3𝑥 的定义域为 𝐴, 函数 𝑔 (𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 − 3 的定义域为 [0, 3], 值 域为 𝐵. （1） 求 𝐴 𝐵; （2） 若 𝑃 = {𝑥 ∣ 𝑚 < 𝑥 < 2𝑚+ 3} 且 𝑃 𝐵 = , 求实数 𝑚 的取值范围. 16.（15 分） （1） 已知角 𝜃 的终边经过点 𝑃 (4,−3)，求 sin 𝜃 + 1cos 𝜃 + sin 𝜃 值. （2） 已知 sin (𝜋 − 𝛼) − cos (𝜋 + 𝛼)sin𝛼 − cos𝛼 = 3，计算 sin 2 (2𝜋 + 𝛼) + 2 sin𝛼 cos (𝜋 − 𝛼) 的值. 17.（15 分）已知函数 𝑓 (𝑥) = ∣log2𝑥∣. （1） 求 𝑓 (𝑥) 在 [12, 𝑎] 上的最大值； （2） 设函数 𝑓 (𝑥) 的定义域为 𝐼，若存在区间 𝐴 𝐼，满足: 对任意 𝑥1 ∈ 𝐴, 都存在 𝑥2 ∈ ∁𝐼𝐴 使得 𝑓 (𝑥1) = 𝑓 (𝑥2)，则称区间 𝐴 为 𝑓 (𝑥) 的“𝛤 区间”. 已知函数 𝑓 (𝑥) 的定义域为 𝐼 = [12, 2]，若区间 𝐴 = [ 1 2, 𝑎) 为函数 𝑓 (𝑥) 的“𝛤 区间”，求 𝑎 的最大值. 数学试题第 3 页（共 4 页） 18.（17 分）已知函数 𝑓 (𝑥) 的定义域为 R，对任意的 𝑥，𝑦 ∈ R 都有 𝑓 (𝑥𝑦) = 𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑦)，且 𝑥 < 0 时，𝑓 (𝑥) < 0，𝑥 > 1 时，𝑓 (𝑥) > 1. （1） 求 𝑓 (1) 的值并判断函数 𝑓 (𝑥) 的奇偶性; （2） 讨论 𝑓 (𝑥) 的单调性并证明; （3） 若 𝑓 (4) = 16，𝑓 (𝑥) 𝑓 (𝑥 + 1) − 4𝑓 (𝑎𝑥 + 6) ⩾ 0 对任意的 𝑎 ∈ [0, 1] 成立，求实数 𝑥 的取 值范围. 19.（17 分）若函数 𝑦 = 𝑓 (𝑥) 对任意的 𝑥 ∈ R 均有 𝑓 (𝑥 − 1) + 𝑓 (𝑥 + 1) > 2𝑓 (𝑥)，则称函数具有 性质 𝑃 . （1） 判断下面函数① 𝑦 = 3𝑥；② 𝑦 = 𝑥3 是否具有性质 𝑃 , 并说明理由； （2） 全集为 R，函数 𝑔 (𝑥) = {𝑥 (𝑥 − 1) , 𝑥为有理数 𝑥2, 𝑥为无理数 ，试判断并证明函数 𝑦 = 𝑔 (𝑥) 是否具有 性质 𝑃； （3） 若函数 𝑦 = 𝑓 (𝑥) 具有性质 𝑃，且 𝑓 (0) = 𝑓 (𝑛) = 0 (𝑛 > 2, 𝑛 ∈ N)，求证：对任意 1 ⩽ 𝑘 ⩽ 𝑛 − 1, 𝑘 ∈ N，均有 𝑓 (𝑘) ⩽ 0. 数学试题第 4 页（共 4 页）