专题6.5 相似三角形的性质（4大知识点8类题型）（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题6.5 相似三角形的性质（3大知识点8类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 【知识点2】相似三角形的性质定理 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比; 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比; 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 【知识点3】知识架构图 相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长、面积等。 周长之比等于相似比 相似三角形的性质 对应角相等、对应边成比例 面积之比等于相似比的平方 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用相似三角形的性质解决对应线段及周长和面积问题...................2 【题型2】利用相似三角形的性质求函数关系式...................................6 【题型3】利用相似三角形的性质与判定证明或求比值............................12 【题型4】利用相似三角形的性质与判定求值与证明..............................14 【题型5】利用相似三角形的性质与判定证明等积性或比例式......................19 【题型6】相似三角形的综合问题..............................................24 【题型7】直通中考..........................................................33 【题型8】拓展延伸...........................................................38 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用相似三角形的性质解决对应线段及周长和面积问题 【例1】（22-23九年级上·广西贵港·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，交于点F． (1)求与周长之比； (2)如果的面积为20，的面积为8，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，得到，，则，由相似三角形的性质即可求得答案； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出，进一步即可求得四边形的面积． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 则与周长之比为． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形BEFC的面积． 【点拨】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式1】（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，点在延长线上，且，点为延长线上一点，连结，过点作的平行线交于点，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】首先根据得到，然后证明出，进而得到点F是的中点，最后证明出是等边三角形求解即可． 解：∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点F是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴的周长为． 故答案为：． 【点拨】此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判断，等边三角形的性质和判断等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【变式2】（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，点为边上的中点，以为顶点作一个的角交、边于、两点，连结，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（    ） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关性质与判定是银题的关键，此题综合性较强，有一定难度，属中考压轴题． 取中点，连结，在上截取，连结，先证明，得，根据，得出，从而证得，即，得到，从而可证，得出，进而可证明，得到，即可得出 ，即可得出结论． 解：取中点，连结，在上截取，连结，如图， 由， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ∴， ， ， 由相似可知：，， ， ， ， 即为周长的一半． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在中，E为上一点，连接，交于点F，，则为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形性质和相似三角形判定与性质，根据平行四边形得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【题型2】利用相似三角形的性质求函数关系式 【例2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，．一次函数（k为常数，）的图像与线段交于点C． (1)若点C与点B重合，求k的值． (2)若，在图中只用直尺作出点C． (3)若（m为常数，），直接写出k与m之间的关系式． 【答案】(1) (2)见详解 (3)．（或者．） 【分析】（1）若C与B重合，则，把代入中，求出k的值即可； （2）构造相似三角形，则，则C点即为所求． （3）过B点作轴，过A点作轴．、相交于D点，过C点作于E点，则可得，则可得．设，则可求出，．再将代入中即可求出k与m的关系式． 本题主要考查了用待定系数法求一次函数表达式以及相似三角形的判定和性质．正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 解：（1）若C与B重合，则， 把代入得， ， 解得． （2）如图所示，C点即为所求． （3）如图，过B点作轴，过A点作轴．、相交于D点，过C点作于E点， 则， 又， ， ， 设， 则， 解得，， ， 把 代入中， 得， 解得，或． ∴k与m之间的关系式为（或）． 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点在边上，线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处．如果，．那么与满足的关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，如图，先利用旋转的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，接着利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用等线段代换得到，从而得到． 解：过点作于点，如图， 线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处， ， ， ，， ， ， ， 即， ，， ， 即． 故选：D． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了旋转的性质和等腰三角形的性质． 【变式2】（2024·浙江·模拟预测）如图，的弦垂直平分半径，点是弦上一点，且，连接并延长交于点，连结，，设． （1）当点是中点时，的度数为 °； （2）连接，当时，则与之间的关系式为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）连接，设和相交于点，因为垂直平分，则，，，推出，因为，是中点，则，，所以，则，推出，则，即 的度数为； （2）连接，由题可得，，则，设则由垂直平分，可得，，再证明，可得，从而得出，可得答案． 解：（1）连接，设和相交于点， 垂直平分， ，，， ， ，是中点， ，， ， ， ， ， 即 的度数为， 故答案为：30； （2）连接，由题可得，， ， 设则 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， （负值舍去） 故答案为：． 【变式3】（21-22九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是线段上动点，连接，过点作交于点．令，，写出与的关系式 ． 【答案】 【分析】由题意易得，，，则有，然后可证，进而问题可求解． 解：四边形为矩形， ∴，，， ， 而， ， ， ，即， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查反比例函数、相似三角形的性质与判定及矩形的性质，熟练掌握反比例函数、相似三角形的性质与判定及矩形的性质是解题的关键． 【题型3】利用相似三角形的性质与判定证明或求比值 【例3】（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． （1）求证：． （2）当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得：，由等边对等角得出，从而得出，再由角平分线的定义得出，即可证明； （2）由题意得出，由相似三角形的性质得出，从而即可得解． 解：（1）证明：由题意得：， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，求出，然后通过，进一步求出即可． 解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 【题型4】利用相似三角形的性质与判定求值与证明 【例4】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，过点A作垂直交其延长线于点E，平分． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，进而得出，证得，从而证得，即可证得结论； （2）过点O作，垂足为点F，从而证得四边形是矩形，得出，证明，求出，在中，求出，再证明，推出，即可求得的长． 解：（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）过点O作于F． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的直径， ∴， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点拨】本题考查了切线的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，点E为正方形的对角线上的一点，连接，过点E作交于点F，交对角线于点G，且点G为的中点，若正方形的边长为，则的长为（   ）． A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 如图，过点F作于点H，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，，求出，得到，证明，得到，求出（负值舍去），则 ，，即可求解． 解：如图，过点F作于点H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴ ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴ ， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，，，以边中点为圆心，作半圆与相切，点，分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的差是 ． 【答案】 解：如图，设⊙与相切于点，连接，作垂足为交⊙于， 此时垂线段最短，最小值为， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，， 易知四边形为矩形， ， 即， 最小值为， 如图，当在边上时，与重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长， 最大值为， 长的最大值与最小值的差是． 故答案为：． 【题型5】利用相似三角形的性质与判定证明等积性或比例式 【例5】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，． (1) 求证：； (2) 若，求证：． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线性质求出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出，等量代换得出，结合平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质即可得解． 解：（1）证明：∵是的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）如图，连接， ∵是的中点， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ∵是的中点， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，．   (1)求证：； (2)联结，求证：． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，．根据得出，故可得出结论； （2）先根据，得出，故．再由得出，进而可得出结论． 解：（1）证明：， ． 又， ． ． ， ． ． （2）证明：，， ． ． 又， ． ． ． 【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点，分别在边，上． （1）求证：； （2）当点移动到的中点时，求证：平分． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义得到，于是得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 解：（1）证明：， ， ， ， ， ， ； ∴； （2）证明：， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 平分． 【变式3】（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接、，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)6. 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）证明，即可得证； （2）由（1）的结论，求出的长，证明，列出比例式进行求解即可． 解：（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型6】相似三角形的综合问题 【例6】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)如图2，若点C为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与x轴交于点D，连接．且，求的面积． 【答案】(1)，； (2)的面积为1或． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题． （1）先求出点A的坐标，然后再利用待定系数法即可求出k的值． （2）分两种情况，当点C在点A的上方时，和当点C在点A的下方时， 分别过点C、A作x轴的垂线，垂足分别为点N、M，连接交于点H，利用相似三角形的性质和三角形面积公式求解即可． 解：（1）将点代入一次函数， 得∶， 则 即点， 将点代入反比例， 得∶． （2）当点C在点A的上方时， 由(1)知，反比例函数的表达式为：， 分别过点C、A作x轴的垂线，垂足分别为点N、M，连接交于点H， ∵， 故， ∴， ∵， 则， 又， ∴， 则， 则点C的纵坐标为4， ∵点C在反比例函数上， 即点， 当时，， 即点， 则， 则 当点C在点A的下方时， 同理可得出， ∵又， ∴， 则， 则点C的纵坐标为2， ∵点C在反比例函数上， 即点， 当时，， ∴ ∴轴， 则， 综上：的面积为1或． 【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点，连接、， (1)填空：______，______； (2)如图，若点是此二次函数图像的第一象限上一点，设点横坐标为，当四边形的面积最大时，求的值； (3)如图，若点在第四象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】把点、的坐标代入二次函数，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值； 连接，四边形被分为和，点横坐标为，则点纵坐标为，把的底边看作，则相应的高就为点的横坐标，把的底边看作，则相应的高就为点的纵坐标，把四边形的面积用含的代数式表示出来，利用平方的非负性质可得当时四边形的面积最大，最大值为； 在轴上取点，连接，则，所以可得是等腰直角三角形，利用两边对应成比例且夹角相等可证，根据相似三角形对应角相等可证，可得，所以可得，根据平行线的性质可以得到点的坐标，利用待定系数法求出的解析式，解方程组可以求出点的坐标． 解：（1）把点、的坐标代入二次函数， 可得：， 解得：， 故答案为：，； （2）由可得二次函数的解析式为， 点横坐标为， 点纵坐标为， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 如下图所示，连接， ， ， ， ， 当时四边形的面积最大，最大值为； （3）如下图所示，在轴上取点，连接，则， 点的坐标为， ， ， ， ，，， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，把点，代入解析式， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：，(舍去)， 点的坐标为． 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质．解决本题的关键是根据相似三角形的性质找到相等的角，再利用角之间的关系找到边之间的关系． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）在四边形中，，，经过点A，B，C． (1)如图①，求证：是的切线． (2)如图②，连接，与，分别交于点E，F，连接． ①求证：； ②若，，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②6 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，利用圆周角定理和等腰三角形的性质定理得到，利用全等三角形的判定与性质得到，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）①连接，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到，得到，利用线段垂直平分线的判定定理得到为的垂直平分线，结论可得； ②连接并延长，交于点，利用垂径定理的推论得到，，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式求得，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质求得的长． 解：（1）证明：连接并延长，交于点，连接，如图， 则为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）①证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴为的垂直平分线， ∴； ②解：连接并延长，交于点，如图， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点拨】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2023·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． (1)求证：； (2)探究与的关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定解答即可； （2）利用证明，可得出，，结合三角形内角和与对顶角的性质可得出； （3）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质可求出，，的长度，证明，利用相似三角形的性质求出的长度，证明，得出，即可求解． 解：（1）证明∶∵四边形是矩形， ∴，，，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵F是的中点， ∴，，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，明确题意，正确的识别图形是解题的关键． 【例2】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，最小值，最大值 【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 解：（1）∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点 ∴， ∴，， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则设． ∵四边形和四边形都是矩形， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ， ∴在中，， 即，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，将沿着方向平移得到． (1)如图1，当四边形为菱形时，求此时菱形的面积； (2)如图2，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接．在平移过程中，求的最小值； (3)如图3，将绕着点逆时针旋转得到线段，且将沿边翻折得到，当为等腰三角形时，求平移的距离． 【答案】(1) (2) (3)或40 【分析】（1）可求得，进而求得结果； （2）作于，可证得，从而得出，点在与平行且距离为4的直线上，作点关于的对称点，连接，交于点，当点在处时则最小，最小值是的长，再利用勾股定理计算即可； （3）作于，作于，设于交于点，可证得，进而在中，根据勾股定理得出，从而得出，，进而得出，，根据得出，从而得出，，，从而得出；进而分类：当时和时的情形，进一步得出结果． 解：（1），，， ， 四边形为菱形， ， 菱形的面积为：； （2）如图1， 作于， ， 绕着点逆时针旋转得到线段， ，， 沿着方向平移得到， ∴， ， ， ， ∴， ， 点在与平行且距离为8的直线上， 作点关于的对称点，连接，交于点， 当点在处时则最小，最小值是的长， 在中，， 由勾股定理得，， 的最小值为：； （3）如图2， 作于，作于，设于交于点， 由（2）知，， 沿边翻折得到， ，，，， ， ， ∵， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 当时， ， ， 如图3， 当时，即， ， 设，则，， ， ， ， ， 综上所述：当为等腰三角形时，平移的距离为：或40． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，平移的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 【例2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连结． (1)如图，判断三角形的形状，并说明理由． (2)在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间． (3)在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为直角三角形，理由见解析 (2) (3)存在，P点坐标为，，， 【分析】（1）先解方程，得出，，再由，即，又，得到，则，证明，判断出为直角三角形； （2）由于为定值，所以最小时，周长最短．由（1）知，那么延长至点，使，连接，交于点，此时周长最短．求出的解析式，与直线的解析式联立组成方程组，解方程组求出点坐标，进而得到点运动的时间； （3）由于，所以分两种情况进行讨论：①当时，；②当时，，分别求出的长，再分点在线段与线段的延长线上确定点的坐标． 解：（1）为直角三角形，理由如下： ， ， ，， ，． ， ， ， 又， ， ， ， ， 为直角三角形； （2）设直线的解析式为， ，， ，解得， ． 如图，延长至点，使，连接，交于点，此时周长最短． 与关于对称， 是的中点， ，， ． 设直线的解析式为， ， 故的解析式为， 由，解得：， ， ， ； （3）在点的运动过程中，存在点，能够使以点，，为顶点的三角形与相似． 分两种情况： ①当时，， 则，解得． ， 如果点在线段上，那么，此时点与点重合，即； 如果点在线段的延长线上，此时点P与点C关于点B对称， 即； ②当时，， 则，解得． ． 如果点在线段上，过点作轴，则， 可得， ， ， ， ， ， ， 如果点在线段的延长线上，此时点与点关于点B对称， 即． 综上所述，所求点坐标为，，，． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，运用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称的性质，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.5 相似三角形的性质（3大知识点8类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 【知识点2】相似三角形的性质定理 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比; 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比; 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 【知识点3】知识架构图 相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长、面积等。 周长之比等于相似比 相似三角形的性质 对应角相等、对应边成比例 面积之比等于相似比的平方 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用相似三角形的性质解决对应线段及周长和面积问题..................2 【题型2】利用相似三角形的性质求函数关系式..................................3 【题型3】利用相似三角形的性质与判定证明或求比值............................4 【题型4】利用相似三角形的性质与判定求值与证明..............................4 【题型5】利用相似三角形的性质与判定证明等积性或比例式......................5 【题型6】相似三角形的综合问题..............................................6 【题型7】直通中考..........................................................8 【题型8】拓展延伸..........................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用相似三角形的性质解决对应线段及周长和面积问题 【例1】（22-23九年级上·广西贵港·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，交于点F． (1)求与周长之比； (2)如果的面积为20，的面积为8，求四边形的面积． 【变式1】（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，点在延长线上，且，点为延长线上一点，连结，过点作的平行线交于点，若，则的周长为 ． 【变式2】（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，点为边上的中点，以为顶点作一个的角交、边于、两点，连结，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（    ） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 【变式3】（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，在中，E为上一点，连接，交于点F，，则为（　） A． B． C． D． 【题型2】利用相似三角形的性质求函数关系式 【例2】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，．一次函数（k为常数，）的图像与线段交于点C． (1)若点C与点B重合，求k的值． (2)若，在图中只用直尺作出点C． (3)若（m为常数，），直接写出k与m之间的关系式． 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点在边上，线段绕点顺时针旋转，点恰巧落在边上的点处．如果，．那么与满足的关系式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·浙江·模拟预测）如图，的弦垂直平分半径，点是弦上一点，且，连接并延长交于点，连结，，设． （1）当点是中点时，的度数为 °； （2）连接，当时，则与之间的关系式为 ． 【变式3】（21-22九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是线段上动点，连接，过点作交于点．令，，写出与的关系式 ． 【题型3】利用相似三角形的性质与判定证明或求比值 【例3】（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． （1）求证：． （2）当时，求的值． 【变式】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【题型4】利用相似三角形的性质与判定求值与证明 【例4】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，过点A作垂直交其延长线于点E，平分． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，点E为正方形的对角线上的一点，连接，过点E作交于点F，交对角线于点G，且点G为的中点，若正方形的边长为，则的长为（   ）． A．2 B．3 C． D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在中，，，，以边中点为圆心，作半圆与相切，点，分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的差是 ． 【题型5】利用相似三角形的性质与判定证明等积性或比例式 【例5】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，． (1) 求证：； (2) 若，求证：． 【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，．   (1)求证：； (2)联结，求证：． 【变式2】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点，分别在边，上． （1）求证：； （2）当点移动到的中点时，求证：平分． 【变式3】（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接、，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【题型6】相似三角形的综合问题 【例6】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求a，k的值； (2)如图2，若点C为反比例函数图象上的一个动点，连接，直线与x轴交于点D，连接．且，求的面积． 【变式1】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图像与轴交于点、，与轴交于点，连接、， (1)填空：______，______； (2)如图，若点是此二次函数图像的第一象限上一点，设点横坐标为，当四边形的面积最大时，求的值； (3)如图，若点在第四象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标． 【变式2】（24-25九年级上·江苏南京·期中）在四边形中，，，经过点A，B，C． (1)如图①，求证：是的切线． (2)如图②，连接，与，分别交于点E，F，连接． ①求证：； ②若，，则的长为______． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】直通中考 【例1】（2023·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． (1)求证：； (2)探究与的关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 【例2】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【题型8】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，将沿着方向平移得到． (1)如图1，当四边形为菱形时，求此时菱形的面积； (2)如图2，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接．在平移过程中，求的最小值； (3)如图3，将绕着点逆时针旋转得到线段，且将沿边翻折得到，当为等腰三角形时，求平移的距离． 【例2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连结． (1)如图，判断三角形的形状，并说明理由． (2)在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间． (3)在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$