4.4数学归纳法（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4 数学归纳法 第四章 数列 人教A版2019选择性必修第二册 00 教学目标 1.了解数学归纳法原理及适用范围 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 数学归纳法的基本原理、数学归纳法的步骤及运用 数学归纳法的原理以及用数学归纳法证明命题 学习目标 学习重点 学习难点 3.理解数列问题解决的重要方法:“归纳＋猜想＋证明” 00 课题引入 日常生活中，当你的朋友欺骗了你一次时，你就会感觉他一直都在欺骗你；当你做作业第一个题就不会时，你就会认为所有的题目都不会了；当你在家里做错了一点事情，你的父母就会感觉你做什么都是错的； 大家是否还有类似的经历呢？ 上述这些通过考察部分对象，得到一般性结论的方法，叫不完全归纳法， 通过考察全体对象，得到一般性结论的方法，叫完全归纳法，结论成立。 结论不一定成立 00 课题引入 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的， 那么能否判定袋子里面的小球都是绿色的？ 不一定：如果袋子里总过就5个球，能判定袋子里的小球都是绿色的； 如果袋子里不止5个球，那么不能判定袋子里的小球都是绿色的。 这是一个无穷步骤的问题，我们能否通过有限的步骤来解决呢？ 1 数学归纳法的原理 目录 2 用数学归纳法证明等式 00 读教材 阅读课本P44-P46，思考并完成下列问题？ 准备好了吗？一起去探索吧！ 01 新知探究 探究1 在多米诺骨牌游戏中，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨 牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下. 这样，只要推倒第 1 块骨牌，就可导致 第 2块骨牌倒下；而第 2 块骨牌倒下，就可导致第 3 块骨牌倒下；······. 总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. ① 第一块骨牌倒下；② 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下； (2)条件 ② 的作用是什么？如何用数学语言描述它？ 递推关系：第 k 块骨牌倒下 ⇒ 第 k + 1 块骨牌倒下. 结论：无论有多少块骨牌，只要保证①②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下. (1)在游戏中，能使所有骨牌全部倒下的条件是什么？ 01 新知探究 探究2 类比多米诺骨牌游戏，证明前面的数列问题： 假设n=k时， 证明：由题可知：n=1时 ，==1，成立. 当n=k＋1时， 01 新知探究 骨牌原理 猜想的证明步骤 (1)第一块骨牌倒下； (1)n=1时，猜想正确 (2)证明“如果前一块倒下，则后一块 也跟着倒下”.这句话是真实的 (2)证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时 猜想也成立”是真命题 根据(1)(2)，所有的骨牌都能倒下. 根据(1)(2)，这个猜想对一切正整数n都成立 通过上面的类比，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立”的方法，这个方法就叫做数学归纳法. “骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析 01 新知1——数学归纳法的原理 数学归纳法的原理 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 (k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件， 推出“当 时命题也成立”. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都成立， n＝k n＝k＋1 n0 n＝n0(n0∈N*) 这种证明方法称为数学归纳法. 注意：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择. 01 新知1——数学归纳法的原理 在数学归纳法的两步中， 第一步验证（或证明）了当 时结论成立，即命题为真； 思考：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 记P(n)是一个关于正整数n的命题. 我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件： 为真；(2)若 P(k)为真，则 P(k+1)也为真. 结论： P(n)为真. 第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若 P(k)为真，则 P(k+1)也为真. 完成这两步，就有 P(n0) 真，P(n0+1) 真 ······ P(k) 真， P(k+1) 真······. 初始值n0选择不一定是1 练一练 (1)验证n=1，命题成立； (2)假设n=k时，命题成立； (3)证明n=k+1时，命题也成立， 所以原命题成立。 例1 用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么 ①对任何 都成立. 证明：当n=1时，左边=，右边= , ①式成立. 假设n=k 时，①式成立，即 ， 根据等差数列的定义，有 ,： 所以 对任何都成立. 例2 用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时，初始值n0应等于_____. 6 解：由题意得： 当n＝1时，21<(1＋1)2； 当n＝2时，22<(2＋1)2； 当n＝3时，23<(3＋1)2； 当n＝4时，24<(4＋1)2； 当n＝5时，25<(5＋1)2； 当n＝6时，26>(6＋1)2， 所以用数学归纳法证明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)时， 初始值n0应等于6. (归纳奠基)：证明当n＝n0(n0∈N*)时 命题成立； 例3 用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N*)， 验证n＝1时，左边应取的项是（ ） A.1 B.1＋2 C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4 解:　当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4. D 例4 用数学归纳法证明 1 + 2 + 3 + ⋯ + 4n = 8n2 + 2n (n∈N*)，则当 n = k + 1时，等式左端应在 n = k 的基础上加上（ ） A. 4k + 1 B. 8(k + 1)2 + 2(k + 1) C. 4(k + 1) D. (4k + 1) + (4k + 2) + (4k + 3) + (4k + 4) 解：当 n = k (k∈N*) 时，左侧 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 4k； 当 n = k + 1 时，左侧 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 4k + ⋯ + 4(k + 1)； 故左端应在 n = k 的基础上加上的项为 (4k+1) + (4k+2) + (4k+3) + (4k+4). D 注意：n每增加1，等式左边增加4项。 例5 用数学归纳法证明等式1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)的过程中， 第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到（ ） A.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝k2 B.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2 C.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋2)2 D.1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋3)2 B 解：由数学归纳法知第二步假设n＝k时等式成立， 则当n＝k＋1时应得到1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝(k＋1)2. 例5 试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论. 解：当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1， 当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立.下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以原不等式成立. (2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2， (3)当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2； 又∵2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0， 即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立； 综上所述：原不等式对于任意n∈N*都成立. (1)验证n=1，命题成立； (2)假设n=k时，命题成立； (3)证明n=k+1时，命题也成立， 所以原命题成立。 总结 用数学归纳法证明等式的易错点 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)n＝n0时，等式的结构. (2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构： n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项. 此时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项； ②代数式相邻两项之间的变化规律； ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系. 1 数学归纳法的原理 目录 2 用数学归纳法证明等式 题型－ 用数学归纳法证明等式 02 例1 求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*). 证明　(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立； (2)假设当n＝k时，等式成立， 即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)； (3)当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以当n＝k＋1时，等式也成立. 综上所述，等式对任何n∈N*都成立. (1)验证n=1，命题成立； (2)假设n=k时，命题成立； (3)证明n=k+1时，命题也成立， 所以原命题成立。 题型－ 用数学归纳法证明等式 02 (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立 (3)那么当n＝k＋1时， 所以当n＝k＋1时，等式也成立.综上所述，等式对任意n∈N*都成立. (1)验证n=1，命题成立； (2)假设n=k时，命题成立； (3)证明n=k+1时，命题也成立， 所以原命题成立。 题型－ 用数学归纳法证明等式 02 例3 已知数列的前n项和为， 且满足. (1)计算，根据计算结果，猜想的表达式; 解：(1)在 中， 令n=1，，解得， 令n=2，，即 ，解得 ， 令n=3，，即 ， 解得 ， 令n=4，，即，解得 ， 故猜想 题型－ 用数学归纳法证明等式 02 例3 已知数列的前n项和为， 且满足. (2)用数学归纳法证明你对的猜想. 证明：(1)当n=1时， (2)假设n=k时，等式成立，即 (3)当 n=k+1时， 又∵ ， ∴ ， 即 n=k+1时猜想成立，综上所述，成立。 (1)验证n=1，命题成立； (2)假设n=k时，命题成立； (3)证明n=k+1时，命题也成立， 所以原命题成立。 总结 数列问题解决的重要方法:“归纳＋猜想＋证明” “归纳 ＋ 猜想 ＋ 证明”的一般步骤： 计算 归纳 猜想 证明 根据条件，准确计算前若干项（归纳、猜想的基础） 通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般结论 对一般结论用数学归纳法进行证明（两步骤缺一不可） 题型－ 用数学归纳法证明等式 02 题型－ 用数学归纳法证明等式 02 (1)验证n=1，命题成立； (2)假设n=k时，命题成立； (3)证明n=k+1时，命题也成立， 所以原命题成立。 课堂小结 对所有正整数 n (n ≥ n0，n∈N*)，命题都成立 证明一个与正整数 n (n ≥ n0，n∈N*) 有关的的命题 （1）证明当n = n0 (n0∈N*)时命题成立 （2）假设当n = k (k ≥ n0，k∈N*) 时命题成立，证明当n = k + 1 时命题也成立 归纳奠基 归纳递推 两个步骤 缺一不可 数学归纳法的原理 记忆：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. 本课结束 课后要记得巩固哦! 对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝eq \f(an,1＋an)(n∈N*)，它的通项公式是an＝eq \f(1,n)吗? 令n＝1，2，3…，由a1＝1(a2＝eq \f(1,2)(a3＝eq \f(1,3) (a4＝eq \f(1,4) …，于是猜想an＝eq \f(1,n)成立． 对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝eq \f(an,1＋an)(n∈N*)，它的通项公式是an＝eq \f(1,n)吗? 提示：(1)验证n＝1时，猜想成立； (2)假设n＝k时，猜想成立， (3)证明n＝k＋1时，猜想也成立，从而证明原猜想正确． 猜出其通项公式为an＝eq \f(1,n)，根据多米诺骨牌游戏的原理：证明猜想是正确的， 其证明步骤是什么？ 对于数列{an}，已知a1＝1，an＋1＝eq \f(an,1＋an)(n∈N*)，它的通项公式是an＝eq \f(1,n)吗? (1)验证n＝1时，猜想成立； (2)假设n＝k时，猜想成立； (3)证明n＝k＋1时，猜想也成立，从而证明原猜想正确． 例如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3. (3)证明 的结论时，要设法将待证是与归纳假设建立联系. 右边＝1－＝，等式成立； 即＋＋＋…＋＋＝1－， 左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－. 例2 证明：＋＋＋…＋＋＝1－(n∈N*). 证明　(1)当n＝1时，左边＝， 例4 已知数列 满足 ， ，试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 解：由 ，可得 . 由 ，可得 . 同理可得 ， ， . 猜想 ，下面用数学归纳法证明这个猜想： 综上所述： 成立。 例4 已知数列 满足 ， ，试猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. (1)当 时，③式左边 ，右边 ，猜想成立. (2)假设当 时，③式成立，即 ， (3)当 时, ， 猜想也成立. $$