专题07 压轴创新题（2大基本题型+2大提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题07 压轴创新题 1、 基础题型 1、 数列新定义 2、 集合新定义 2、 重难点题型 1、 新定义中参数和范围问题 2、 新定义中证明和恒成立问题 数列新定义 1．（23-24高二上·北京·期末）设为给定的正奇数，定义无穷数列，其中.若是数列中的项，则记作. (1)若，写出的前5项； (2)求证：集合是空集； (3)记集合，，求集合. 2．（22-23高二上·北京朝阳·期末）在无穷数列中，． (1)求与的值； (2)证明：数列中有无穷多项不为0； (3)证明：数列中的所有项都不为0． 3．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列满足：． （注：） (1)若，求及数列的通项公式； (2)若，求的值． 4．（22-23高二上·北京大兴·期末）已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得，其中．令为满足的所有i中的最大值，为满足的所有j中的最小值． (1)若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值； (2)若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，，求q的值； (3)若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，求证：和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式． 集合新定义 1．（23-24高二上·北京海淀·期中）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明． 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有. (1)判断集合和是否为集合，说明理由； (2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数. 新定义参数和范围问题 1．（23-24高二上·北京东城·期末）已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P. (1)判断下列数列是否具有性质P； ①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32. (2)已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值； (3)若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或 (1)已知，数列，写出的所有“相邻数列”； (2)已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； (3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值． 3．（23-24高二上·北京顺义·期末）设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”. (1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由； (2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列” ①求d的值和数列的通项公式： ②设，直接写出数列中最小的项. 4．（22-23高三上·北京海淀·期末）对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为. (1)写出所有满足的数列； (2)对所有满足的数列，求的最小值； (3)对所有满足的数列，求的最大值. 新定义证明和恒成立问题 1．（22-23高二上·北京海淀·期中）数列：，，…，满足：，，或1（，2，…，），对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等． (1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号： ①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2 (2)记，若，证明：； (3)若，求n的最小值． 2．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知数表，，，其中，，分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表． (1)若数表，，且是，的生成数表，求； (2)对，， 数表，，与满足第i行第j列的数对应相同（）.是，的生成数表，且． （ⅰ）求，； （ⅱ）若恒成立，求的最小值． 3．（22-23高二上·北京东城·期末）已知无穷数列满足公式，设. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)给定整数，是否存在这样的实数，使数列满足： ①数列的前项都不为零； ②数列中从第项起，每一项都是零. 若存在，请将所有这样的实数从小到大排列形成数列，并写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 4．（22-23高二上·北京顺义·期末）对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集． (1)判断集合是否为平衡集，并说明理由； (2)若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数； (3)若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数． 5．（22-23高二上·北京通州·期末）已知等差数列的第2项为4，前6项的和为42，数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)设，求证：． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 压轴创新题 1、 基础题型 1、 数列新定义 2、 集合新定义 2、 重难点题型 1、 新定义中参数和范围问题 2、 新定义中证明和恒成立问题 数列新定义 1．（23-24高二上·北京·期末）设为给定的正奇数，定义无穷数列，其中.若是数列中的项，则记作. (1)若，写出的前5项； (2)求证：集合是空集； (3)记集合，，求集合. 【详解】（1）当时，由可得， 所以的前5项为， （2）假设集合，非空， 当时，，又是正奇数，，而，不合题意， 当时，，若，则需，又是正奇数，不合题意， 设中元素的最小值为（显然， 因为，所以，因此为奇数，且． 若，则为偶数， 但此时应有，与矛盾， 若，则，即，与的最小性矛盾， 因此假设不成立，集合为空集． （3）猜想,． 因为,，以下只需证对任意大于1的奇数，1，， 若，，则，故只需证必存在，． 由（2）知无穷数列中所有的项都属于集合，2，，， 因此必存在，使得，取其中的值最小的一组， 若，则； 若，则必有，与的最小性矛盾； 若，则必有，也与的最小性矛盾． 因此只能，因此，，，即1，． 综上，,． 2．（22-23高二上·北京朝阳·期末）在无穷数列中，． (1)求与的值； (2)证明：数列中有无穷多项不为0； (3)证明：数列中的所有项都不为0． 【详解】（1）由可得， ，，， ，， 所以，. （2）假设数列中有限个项不为0， 则会存在一个数，当时，， 则， 由可得； 由可得 由可得，与题意矛盾，故假设不成立， 所以数列中有无穷多项不为0 （3）由（2）可得在无穷处能找到一个， 因为，所以， 所以由可得， 同理可得， 当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0， 当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0， 当即时，因为，且，所以数列所有项都不为0， 综上可得数列中的所有项都不为0． 3．（23-24高二上·北京通州·期末）已知数列满足：． （注：） (1)若，求及数列的通项公式； (2)若，求的值． 【详解】（1）因为，， 所以. 因为，， 所以， 即① ② ②①得， 化简得：，即， 所以数列成等比数列，公比为， 故. （2）由（1）可知，， 数列为等比数列，所以， 因为，， 所以， 即③ ④ ④③化简得， 变形得， 即， 由，当时，，即， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以 所以， 因为，所以， 又，所以， 又因为，所以， 即，即， 所以. 4．（22-23高二上·北京大兴·期末）已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得，其中．令为满足的所有i中的最大值，为满足的所有j中的最小值． (1)若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值； (2)若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，，求q的值； (3)若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，求证：和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式． 【详解】（1）∵，，，， 又∵，， ∴且，且， ∴， （2）由题意知， ，∴，且， ∵， ∴， ∴ ∴，且， 同理：，且，，且， 又∵， ∴， 即：，且， ∵， ∴， ∴， ∴当时，，当时，， 同理：当时，，当时，， 又∵，，且， ∴，，， 解得：或 （3）证明：由题意知，，m为常数，且且， ∴为单调递增数列， 又∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，且且， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 又∵m为常数，且， ∴为等差数列， 为等差数列， 又∵，， ∴ ， 集合新定义 1．（23-24高二上·北京海淀·期中）给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． (1)判断集合是否具有性质？说明理由； (2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明． 【详解】（1）对于集合， 根据定义可知，且符合定义， 所以具有性质； （2）假设存在具有性质，根据定义易知中有4个元素且， ①若，则，没有4个元素，不符题意舍去； ②若，则， 而，不符题意舍去； ③若，则， 而， 故中至多包含3个元素，不符题意舍去； ④若，则， 而，不符题意舍去； ⑤若，则，没有4个元素，不符题意舍去； 综上可知：不存在具有性质的集合. 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有. (1)判断集合和是否为集合，说明理由； (2)若集合为集合，求中大于1的元素的可能个数； (3)若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数. 【详解】（1）集合是集合， 当时，； 当时，； 当时，； 集合不是集合， 取，则，不满足题中性质. （2）当时，， 当时，， 当时，， 所以. 不妨设， ①若，因为，从而，与矛盾； ②若，因为，故， 所以. 经验证，此时是集合，元素大于1的个数为； ③若，因为，所以与矛盾； ④若，因为，故， 所以. 经验证，此时是集合，元素大于1的个数为； 综上：中大于1的元素的可能个数为. （3）假设集合中全为正实数. 若中至少两个正实数大于，设，则， 取，则， 而，从而，矛盾； 因此中至多有1个正实数大于. 当时，设， 若， 当时，， 当时，， 当时，， 由于， ， 所以， 所以. 因为， 所以 ，矛盾. 因此当时，. 当时，集合中至少有4个不同的正实数不大于， 设， 因为是有限集，设，其中. 又因为集合中至少有4个不同的正实数不大于， 所以，且存在，且使互不相同， 则， 当时，， 当时，， 于是， 与矛盾. 因此，中元素不能全为正实数. 新定义参数和范围问题 1．（23-24高二上·北京东城·期末）已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P. (1)判断下列数列是否具有性质P； ①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32. (2)已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值； (3)若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）①：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质P. ②：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而，所以不具有性质P. （2）对于数列：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数. （i）当为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则：2，4，8，16，32，中所有的值共有15个，所以. （ii）当为偶数时，都是偶数，所以. 所以. 时，在前项中任两项和的结果中未出现， 所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾. 时，，，这三个结果在前项中任意两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾. 时，：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共个，成立. 综上，或. （3）存在最小值，且最小值为. 将的项从小到大排列构成新数列：， 所以. 所以的值至少有个. 即的值至少有个，即. 数列：1，3，5，…，4043，4047，4045符合条件. ：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差数列：1，3，5，…，4045，4047， 考虑，根据等差数列的性质， 当时，；当时，， 因此每个等于中的一个， 或者等于中的一个. 所以：1，3，5，…，4045，4047中共有4045个不同值. 即：1，3，5，…，4043，4047，4045中共有4045个不同值. 综上，的最小值是4045，一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045. 2．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或 (1)已知，数列，写出的所有“相邻数列”； (2)已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； (3)已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值． 【详解】（1）根据“相邻数列”的概念可知，， 或，或， 所以的所有“相邻数列”有；；；. （2）任取的一个“相邻数列”， 因为或， 或， 所以有且， 对于的取值分以下4种情形： （a）， （b）， （c）， （d） 由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形， 递增，，即， 由是递增的整数数列得，从而是公差为1的等差数列， 于是，则，即满足数列的有11个. （3）令，所以对任意， 设，则且， 先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合， 若，令，则，由得， 所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合． 若，令，则，由得， 所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合， 因此，的分布只可能是如下三种情况： （i），此时，对任意的，由得， 所以对任意的，注意到，所以， 等号当且仅当时取到； （ii）存在整数，使得 对任意的，对任意的，所以 （iii）．此时，对任意的，与情形1类似， 对任意的，注意到， 所以， 综上，的最小值为． 3．（23-24高二上·北京顺义·期末）设数列的前n项和为.若对任意.总存在.使得.则称是“M数列”. (1)判断数列（）是不是“M数列”，并说明理由； (2)设是等差数列，其首项.公差.且是“M数列” ①求d的值和数列的通项公式： ②设，直接写出数列中最小的项. 【详解】（1）数列不是“M数列”，理由如下： ∵，当时，，此时找不到，使得. 所以数列不是“M数列”. （2）①是等差数列，且首项，公差， 则， 故对任意，总存在，使得成立， 则，其中为非负整数， 要使，需要恒为整数，即d为所有非负整数的公约数， 又，所以，所以. ②∵，所以. 由的单调性知在为减函数，在为增函数， 当时，；当时，. 所以，当时，有最小值.即数列中最小的项为. 4．（22-23高三上·北京海淀·期末）对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为. (1)写出所有满足的数列； (2)对所有满足的数列，求的最小值； (3)对所有满足的数列，求的最大值. 【详解】（1）解：当时，存在一组，满足， 又因为的各项均为正整数，且， 所以，即，且， 当时，满足条件的数列只能是：3,1； 当时，满足条件的数列不存在； 当时，满足条件的数列不存在； 当时，满足条件的数列只有1，2，1； 当时，满足条件的数列不存在； 所以数列： 1，2，1或3,1； （2）解：由题意可知，所以， ①当时，应有数列中各项均不相同，此时有； ②当时，由于数列中各项必有不同的数，进而有. 若，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时，不符合， 所以； ③当时，同②可得； 综上所述，有，同时当为2，2，1，1，1时，， 所以的最小值为7； （3）解：①存在大于1的项，否则此时有； ②,否则将拆分成个1后变大； ③当时，有，否则交换顺序后变为，进一步有， 否则有，此时将改为，并在数列末尾添加一项1，此时变大； ④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列中有存在相邻的两项，设此时中有项为2，则将改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为； ⑤由上可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，则有， 从而有， 由二次函数的性质可得，当且仅当时，最大，为511566. 新定义证明和恒成立问题 1．（22-23高二上·北京海淀·期中）数列：，，…，满足：，，或1（，2，…，），对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等． (1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号： ①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2 (2)记，若，证明：； (3)若，求n的最小值． 【详解】（1）对于①，由于，故或，不合题意； 对于②，当时，存在s，t两两不相等，使得； 当时，存在s，t两两不相等，使得； 当时，存在s，t两两不相等，使得；符合题意； 同理③也符合题意， 故所有符合题目条件的数列的序号为②③； （2）证明：当时， 设数列中1，2，3出现的频数依次为， 由题意知， 假设，则有，（对任意），与已知矛盾， 故，同理可证； 假设，则存在唯一的使得， 那么对于，都有，（k，s，t两两不相等）， 与已知矛盾，故； 综上可得， 所以， 即. （3）设出现的频数依次为， 同（2）的证明，，，则； 取，， 得到的数列为：， 下面证明该数列满足题目要求： 对于，不妨令， 如果，或，由于，故符合条件； ②如果，或，由于，， 故也符合条件； ③如果，则可选取，， 同样的，如果，，则可选取， 使得，且两两不相等； ④如果，则可选取， 注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也符合条件， 综上，对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等， 即数列符合题目要求， 故n的最小值为2030. 2．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知数表，，，其中，，分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表． (1)若数表，，且是，的生成数表，求； (2)对，， 数表，，与满足第i行第j列的数对应相同（）.是，的生成数表，且． （ⅰ）求，； （ⅱ）若恒成立，求的最小值． 【详解】（1）由题意得，， ，， 所以． （2）由题意得， 当，时，有①， 即， （ⅰ）当时，，解得， 当时，由①得②， 得， 所以， 又，，，均符合上式， 所以，时，． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 所以对于，，有 ， 由及知， 所以时，对于，，恒成立， 显然时，恒不成立． 下面证明：对于任意，不能恒成立． 记， 此时， 所以， 即当时，有成立，这与恒成立矛盾， 所以对于任意，不能恒成立， 综上，的最小值为． 3．（22-23高二上·北京东城·期末）已知无穷数列满足公式，设. (1)若，求的值； (2)若，求的值； (3)给定整数，是否存在这样的实数，使数列满足： ①数列的前项都不为零； ②数列中从第项起，每一项都是零. 若存在，请将所有这样的实数从小到大排列形成数列，并写出数列的通项公式；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为， （i）当时，，所以， 此时，若，则； 若，则. （ii）当时，，所以， 此时，若，则； 若，则. 综上所述，； （3）存在这样的， 因为，由（2）可知， （i）当时，，所以， （ii）当时，，所以， 以此类推，， 所以数列的通项公式为. 4．（22-23高二上·北京顺义·期末）对于正整数集合（，），如果去掉其中任意一个元素（，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集． (1)判断集合是否为平衡集，并说明理由； (2)若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数； (3)若集合A是平衡集，并且为奇数，求证：集合A中元素个数． 【详解】（1）不是，理由如下， 对于集合，去掉3后，中的元素分成两个集合后，不满足两个集合的所有元素之和相等， 故集合B不是平衡集. （2）证明：设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故（，2，…，n）的奇偶性相同 已知为奇数，则为奇数，易得为奇数， 所以，集合A中元素个数n为奇数. （3）证明：由（2）知若集合A是平衡集，并且为奇数，集合A中元素个数为奇数， 显然时，集合A不是平衡集， 当时，不妨设，若集合A为平衡集， 去掉后，得，去掉后，得， 两式矛盾，故时，集合A不是平衡集， 当，设集合， 去掉1后，， 去掉3后，， 去掉5后，， 去掉7后，， 去掉9后，， 去掉11后，， 去掉13后，， 故集合是平衡集， 所以，集合A中元素个数. 5．（22-23高二上·北京通州·期末）已知等差数列的第2项为4，前6项的和为42，数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (3)设，求证：． 【详解】（1）设的首项和公差分别为，由题意可知，解得，故 （2）由得：当时，，故得，因此 故，因此是等比数列，且公比为， 在取，则，所以的首项为，因此，进而， （3）由得， 当时，， 所以当时，显然成立， 当时，， 故得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$