专题06 压轴创新题（3大基本题型+2大提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（人教B版2019，北京专用）

专题06压轴创新题 1、 基础题型 1、 函数新定义 2、 三角函数和数列 3、 集合新定义 2、 重难点题型 1、 集合新定义求参和范围问题 2、 集合新定义证明和最值问题 函数新定义 1．（22-23高一上·北京·期末）若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”． (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围． 2．（23-24高一上·北京房山·期末）若，对，都有成立，则称函数在上具有性质. (1)分别判断函数与在区间上是否具有性质，如果具有性质，写出的取值范围； (2)若函数在上具有性质，求实数的取值范围. 3．（22-23高一上·北京海淀·期末）设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质. (1)记：①充分而不必要条件； ②必要而不充分条件； ③充要条件； ④既不充分也不必要条件 则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； (2)若在满足性质，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值. 4．（20-21高一上·北京西城·期末）设函数的定义域为R．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质.记P为满足性质的所有函数的集合. （I）判断函数和是否属于集合P？（结论不要求证明） （II）若函数，证明：; （III）记二次函数的全体为集合，证明：. 5．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数的定义域均为，给出下面两个定义： ①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换； ②若对任意的，均有，则称与关于任意交换． (1)请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； (2)设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值； (3)在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值． 6．（23-24高一上·北京顺义·期末）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. (1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?（直接写出结论，不要求证明） (2)如果函数在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围. 三角函数和数列 1．（23-24高一上·北京大兴·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）. （参考公式与数据：；；.） 2．（22-23高一上·北京·期末）已知两个均含有项的有限数列，，其中对于，且．定义数列与之间的距离：．定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：；定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：． (1)已知数列，，求和； (2)当且时，求的所有可能取值； (3)当且时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值； (4)求证：对于，当且是4的倍数时，的最小值为0； (5)当，时，直接写出一对数列，，使得． 集合新定义 1．（22-23高一上·北京朝阳·期末）设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． (1)当时，判断是否为U的子集，说明理由； (2)当时，若A为U的子集，求证：； (3)当时，若A为U的子集，求集合A． 2．（22-23高一上·北京平谷·期末）设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 3．（23-24高一上·北京通州·期末）已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对. 条件①：； 条件②：. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 集合新定义求参数和范围 1．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 2．（22-23高一上·北京·期末）设是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点.已知. (1)若，求函数的准不动点； (2)若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·北京西城·期末）对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. (1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； (2)若（）是集合中的元素，求的最小值； (3)若，求证：是的充分不必要条件. 4．（23-24高一上·北京丰台·期末）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 集合新定义证明和最值问题 1．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 2．（2021高三·北京·专题练习）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 3．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 4．（23-24高一上·北京·期末）已知集合且中元素的个数为．若存在，得为2的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的均为2的正整数指数幂，则称为的强子集． (1)请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由； (2)是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由； (3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06压轴创新题 1、 基础题型 1、 函数新定义 2、 三角函数和数列 3、 集合新定义 2、 重难点题型 1、 集合新定义求参和范围问题 2、 集合新定义证明和最值问题 函数新定义 1．（22-23高一上·北京·期末）若在定义域内存在实数，使得成立，则称函数有“飘移点”． (1)函数是否有“飘移点”？请说明理由； (2)证明函数在上有“飘移点”； (3)若函数在上有“飘移点”，求实数a的取值范围． 【详解】（1）不存在，理由如下： 对于，则，整理得， ∵，则该方程无解， ∴函数不存在“飘移点”. （2）对于，则，整理得， ∵在内连续不断，且， ∴在内存在零点，则方程在内存在实根， 故函数在上有“飘移点”. （3）对于，则，即， ∵，则， 令，则， ∴， 又∵，当且仅当，即时等号成立， 则，， ∴，即， 故实数a的取值范围为. 2．（23-24高一上·北京房山·期末）若，对，都有成立，则称函数在上具有性质. (1)分别判断函数与在区间上是否具有性质，如果具有性质，写出的取值范围； (2)若函数在上具有性质，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为在上是单调递增的函数，在上是单调递减的函数， 则在上是单调递增的函数，可得， 任意，当时，， 所以函数在区间上不具有性质. 因为在区间上单调递减， 由可得，则，所以， 所以，对，， 即函数在区间上具有性质，且的取值范围是. （2）因为函数在上具有性质， 即对，都有， 且， 令， 可得对，都有， 方法1：，都有， 设，，可得，， 因为在区间上单调递增，在区间上单调递增. 则，.可得， 所以的取值范围为. 方法2：对，都有， 可得，解得， 若，函数的对称轴为， 则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为. 方法3：函数的对称轴为， 以对称轴与区间的关系分，，三种情况. （i）当时，，解得； （ⅱ）当时，，不合题意，舍去； （ⅲ）当时，，不合题意，舍去； 综上所述：的取值范围为. 3．（22-23高一上·北京海淀·期末）设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质. (1)记：①充分而不必要条件； ②必要而不充分条件； ③充要条件； ④既不充分也不必要条件 则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； (2)若在满足性质，求实数的取值范围； (3)若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值. 【详解】（1）由于，所以. 对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性； 当在上单调递增时，， 所以在上具有性质是在上单调递增的必要而不充分条件. 对于性质，当时，，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，的符号无法判断， 所以在上具有性质是在上单调递增的充分而不必要条件. 对于性质，若，则，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，， 所以在上具有性质是在上单调递增的充要条件. （2）对于任意的，且， 有， 由于在满足性质，即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 由于任意的，且，所以， 所以， 所以实数的取值范围是. （3）实数的最小值为1. 理由如下： 因为在上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个， 所以对任意且，若满足性质A，， 若满足性质，则，若满足性质C、D，则， 性质B、C、D同时满足，所以仅满足性质A，此时， 有恒成立. 因为的定义域为，所以. 当时，， 所以，从而，不合题意； 当时，， 所以，从而， 要使恒成立，只需使，即恒成立， 若，则，使，这与矛盾， 当时，，恒成立， 所以的最小值为1. 4．（20-21高一上·北京西城·期末）设函数的定义域为R．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质.记P为满足性质的所有函数的集合. （I）判断函数和是否属于集合P？（结论不要求证明） （II）若函数，证明：; （III）记二次函数的全体为集合，证明：. 【详解】（I）不属于集合，属于集合； （理由如下：设，若，则有，解得，不符题意，所以不具有性质，所以不属于集合； 设，若，则有，所以，所以具有性质，所以属于集合） （II）证明如下： 因为，不妨令，所以， 所以，显然关于的方程有解：，所以具有性质， 所以； （III）根据题意可知：二次函数不具备性质， 假设存在二次函数具备性质，所以存在常数对于任意都有成立， 所以存在常数使成立， 所以存在常数使成立， 所以，解得，这与假设中矛盾， 所以假设不成立，所以二次函数都不具备性质，所以. 5．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数的定义域均为，给出下面两个定义： ①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换； ②若对任意的，均有，则称与关于任意交换． (1)请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； (2)设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值； (3)在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值． 【详解】（1）与关于是唯一交换，理由如下： 因为，， 令，所以，解得， 所以有唯一解， 所以与关于是唯一交换. （2）由题意可知，对任意的，成立， 即对任意的，； 因为为函数，且，故， 故， 即， 所以， 综上所述，. （3）当时，， 因为与关于唯一交换， 所以存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得； 令，且定义域均为， 又，， 所以都是偶函数，所以为偶函数， 因此，若存在唯一实数使得，只能是， 所以， 综上所述，的取值为. 6．（23-24高一上·北京顺义·期末）对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. (1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?（直接写出结论，不要求证明） (2)如果函数在R上存在“优美区间”，求实数a的取值范围. 【详解】（1），在上单调递增， 由得或1，所以存在优美区间， 是增函数，若存在优美区间，则，无解， 即函数不存在优美区间； （2）函数在上存在“优美区间”，设是一个优美区间， 在上递减，在上递增， 若，则，即有两个不等的非负根， 即，可得，当，即时， 设方程两根分别为， 则，则，所以； 若，则，即， 两式相减得，即， 所以，所以方程有两个不等的非正根， 方程整理为， 由，解得， 又满足题意，由，解得， 所以； 综上，的取值范围是或． 三角函数和数列 1．（23-24高一上·北京大兴·期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）. （参考公式与数据：；；.） 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系. 设时，游客甲位于点， 以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得，    （2）当时， . 所以，游客甲在开始转动后距离地面的高度约为. （3）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则， 经过后甲距离地面的高度为， 点相对于点始终落后， 此时乙距离地面的高度为 则甲、乙距离地面的高度差 利用， 可得，. 当（或），即（或22.8）时，的最大值为. 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 2．（22-23高一上·北京·期末）已知两个均含有项的有限数列，，其中对于，且．定义数列与之间的距离：．定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：；定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：． (1)已知数列，，求和； (2)当且时，求的所有可能取值； (3)当且时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值； (4)求证：对于，当且是4的倍数时，的最小值为0； (5)当，时，直接写出一对数列，，使得． 【详解】（1）因为数列， 所以 ． （2）因为，故或1，， ， 当且时，中1的个数为1，其余3个为0 当时，，则 当时，则 当时，则 当时，则 故的所有可能取值为：4，3，2，1． （3）当且时，中1的个数为2，其余8个为0 则当或时，取到最大值19，例如：， 在中，取相邻2项，令第1项的值为1，第2项的值为－1；或令第1项的值为－1，第2项的值为1，此时取到最小值1，例如：，． （4）当且是4的倍数时 设，中1的个数为，其余的为0 在中，取相邻4项作为一组，共取组（取的项不重复） 令每组的第1项与第4项的值为1，第2项与第3项的值为－1；或令每组的第1项与第4项的值为－1，第2项与第3项的值为1，此时取到最小值0． （5）当，时，中1的个数为7，其余3个为0 例如：数列，，使得． 集合新定义 1．（22-23高一上·北京朝阳·期末）设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． (1)当时，判断是否为U的子集，说明理由； (2)当时，若A为U的子集，求证：； (3)当时，若A为U的子集，求集合A． 【详解】（1）当时，，，， 取，则，但，不满足性质②， 所以不是U的子集. （2）当时，A为U的子集， 则； 假设，设，即 取，则，但，不满足性质②， 所以，； 假设， 取，，且，则， 再取，，则， 再取，，且， 但与性质①矛盾， 所以. （3）由（2）得，当时，若A为U的子集，，，， 所以当时，， 若A为U的子集，，，； 若，取，，则，， 再取，，则，与矛盾， 则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 综上所述，集合. 2．（22-23高一上·北京平谷·期末）设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 【详解】（1）因为，所以， 所以； （2）设，不妨设， 因为， 所以中元素个数大于等于4个， 又，则，此时中元素个数等于4个， 所以生成集B中元素个数的最小值为4； （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集由组成， 又， 所以， 若，又，则，故， 若，又，则，故， 所以，又，则，而， 所以不成立， 所以假设不成立， 故不存在4个正整数构成的集合A，使其生成集. 3．（23-24高一上·北京通州·期末）已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对. 条件①：； 条件②：. (1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由； (2)试证明不存在8元完备数对. 【详解】（1）当时，由，得，不符合题意， 所以不存在3元完备数对； 当时，当，，，时， 满足且，符合题意， 所以为4元完备数对. （2）假设存在8元完备数对， 当时，令，则，且， 则有以下三种可能：①；②；③ 当时，于是，即， 由，得或， 而，则有， 因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1， 由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对； 当或时，同理不存在8元完备数对， 所以不存在8元完备数对. 集合新定义求参数和范围 1．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知集合，若中元素的个数为，且存在，使得，则称是的子集． (1)若，写出的所有子集； (2)若为的子集，且对任意的，存在，使得，求的值． 【详解】（1）当时，，所以的所有子集为：. （2）当时，取，因为，所以是的子集，此时符合题意； 若，设且， 根据题意，，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，与矛盾， 综上所述，只有满足题意. 2．（22-23高一上·北京·期末）设是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点.已知. (1)若，求函数的准不动点； (2)若函数在区间上存在准不动点，求实数的取值范围. 【详解】（1）若时，则， 因为在内均单调递增，则在内单调递增， 且，则的解集为， 即的定义域为， 令， 即，解得， 故当，函数的准不动点为． （2）因为在内恒成立，则在内恒成立， 因为在内均单调递增，可知在内单调递增， 且，则，解得； 令，则， 整理得，可知与在内有交点， 且，结合的单调性可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为． 3．（23-24高一上·北京西城·期末）对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. (1)分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； (2)若（）是集合中的元素，求的最小值； (3)若，求证：是的充分不必要条件. 【详解】（1）①不是. 当时，， ， 所以不是集合中的元素； ②是. ，， 所以是集合中的元素. （2）当时，，， ， 因为，在上单调递减， 故成立，即； 若，令，， ， 因为，在上单调递减， 所以，因此， 综上所述，的最小值为1. （3）充分性：因为，所以，，，进而， 同理，相加得，即，所以充分性满足； 必要性：设，，， 所以，此时，当时，， 所以在上单调递减，因此，所以必要性不满足； 综上所述，是的充分不必要条件. 4．（23-24高一上·北京丰台·期末）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于. 【详解】（1）解：不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）解：①假设存在，使得, 记的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合， 综上所述，中的所有奇数都属于集合. 集合新定义证明和最值问题 1．（23-24高一上·北京朝阳·期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【详解】（1）所有可能的集合为：，，，. （2）不妨设：，由于，且， 所以. 由题意，是12的倍数时，或. 当时，因为， 所以当且仅当时，成立，故符合题意. 当时， 若，则，故或符合题意； 若，则，故符合题意； 若，则，无解. 综上，所有可能的集合为，，，. 故满足条件的集合的个数为. （3）（1）当时，设，则 ， 这个数取个值，故其中有两个数相等. 又因为，于是， 从而互不相等，互不相等， 所以存在，使得. 又因，故. 则，则，结论成立. （2）当时，不妨设， 则（），在这个数中任取3个数，. 若与都是的倍数，， 这与矛盾. 则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数. 考虑这个数：，，，，，. ①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. ②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. 综上，存在非空集合，使得是的倍数. 2．（2021高三·北京·专题练习）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”. (1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由； (2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数； (3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值. 【详解】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况： , 经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”； （2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知 均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同. 若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数； 若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）, 显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”， 此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数， 综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数. （3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”， 当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”， 当，设，去掉1后，， 去掉3后，，去掉5后，， 去掉7后，，去掉9后，， 去掉11后，，去掉13后，， 故是“和谐集”，元素个数的最小值为7. 3．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知集合A为非空数集.定义： (1)若集合，直接写出集合S，T； (2)若集合且．求证：； (3)若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 【详解】（1）由已知，则，； （2）由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； （3）设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 4．（23-24高一上·北京·期末）已知集合且中元素的个数为．若存在，得为2的正整数指数幂，则称为的弱子集；若对任意的均为2的正整数指数幂，则称为的强子集． (1)请判断集合和是否为的弱子集，并说明理由； (2)是否存在的强子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由； (3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，求的最小值． 【详解】（1）是的弱子集，不是的弱子集． 理由如下： 中存在两个元素的和是2的正整数指数幂，所以是的弱子集． 中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂， 所以不是的弱子集． （2）不存在的强子集． 理由如下： 假设存在的强子集，不妨设为正整数， ，则为正整数，， 则，代入中， 所以， 所以，与为正整数矛盾，所以不存在的强子集． （3）设， 若不是的弱子集， 则最多能包含中的一个元素以及中的元素，一共7个元素， 令中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂， 所以不是的弱 子集，当时，的任意一个元素个数为的子集都不是的弱子集， 当时，中至少有一个集合是的子集， 此时中一定存在两数之和为2的正整数幂， 即的任意一个元素个数为的子集都是的弱子集，所以的最小值为8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$