5.1.1任意角课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 5.1.1 任意角 单摆运动 圆周运动 课程导入 现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、 周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。 什么数学模型可以刻画周期变化规律呢？ 三角函数 函数是用来刻画现实世界变化规律的数学模型。 课程导入 生活中还有哪些周期性现象？ 课程导入 如果想研究摩天轮座舱的位置变化，该怎么研究呢？ 抽象 课程导入 圆周运动是一种常见的周期性变化现象. 如图，上的点以为起点做逆时针方向的旋转. 如何刻画点的位置呢？ 射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线，分别是角的始边和终边. 当角确定时，终边的位置就确定了. 这时，射线与的交点也就确定了. 可以借助角的大小变化刻画点的位置变化. 课程导入 射线绕点逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到范围内的角. 如果继续旋转， 所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围. 旋转角度就超出这个范围了. Part 01 角的概念推广 问题探究 现实生活中有超出范围的角吗？ 体操：“后空翻转体720度”. 自由滑雪：“空翻转体1440度” 角的概念的推广 问题一：如果时钟现在快了5分钟，你要把它调准，该怎么调？ 答：调慢5分钟，即将分针逆时针拨30°。 答：调慢5分钟，即将分针拨30°。 角的概念的推广 如果时钟现在快了1.25小时，你要把它调准，该怎么调？ 答：将分针逆时针拨一圈又90°。 问题探究 如何准确描述这些超出范围的角呢？ 旋转方向 旋转量 需要对角的概念进行推广——角是旋转出来的 角的概念的推广 一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角. 角的概念 始边：射线的起始位置（OA）. 终边：射线的终止位置（OB）. 顶点：射线的端点（O）. （始边） （终边） （顶点） 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成 “α”. 角的表示 角的三要素 角的概念的推广 角的分类 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 正角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 负角 如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.（ ） 零角 问题二：如何区别角的旋转方向？ 我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. 角的概念的推广 为正角，等于 为负角，等于 为负角，等于 时常用带箭头的弧表示旋转方向. 练习：请同学们在纸张上画出这三个角： 角的概念的推广 相等角 两个角是否像实数一样可以进行加减运算呢？ 在形成角的过程中，如果射线的旋转方向相同，且旋转量相等，则称这两个角相等。 在形成角的过程中，如果射线的旋转方向相反，且旋转量相等，则这两个角互为相反角。 若α与β相等，记为α=β。 α的相反角记为“-α”。 相反角 Part 02 角的加减运算 角的加减运算 设，是任意两个角. 我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是. 角的加法 角的减法 类比实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”， 。 这样，角的减法可以转化为角的加法. 因此，从代数的角度来看， 两个角的加减运算与实数的加减运算相同 Part 03 象限角与终边相同的角 象限角与终边相同的角 问题三：在始边确定的情况下，给定角，我们就可以确定终边。终边是平面上的一条射线。我们可以如何更好地研究平面上射线的位置呢？ 为了方便，我们常把角放到平面直角坐标系中去研究。 使角的端点与平面直角坐标系的原点重合，把角的始边放在轴正半轴。 象限角与终边相同的角 思考：把角放进直角坐标系中有什么优势？ 根据终边位置，我们可以对角进行简单的分类： 终边落在哪一个象限，我们就称作为第几象限角 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 角的分类 象限角 轴线角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 这样一来，角和终边的位置就形成了 稳定的对应关系，方便进一步研究性质。 问题探究 问题四： 分别是第几象限角？你还发现了什么？ ,,第四象限角，且三者的终边相同 思考：还有以OB为终边的角吗？ 追问：你能用集合形式表示出这些角吗？ 问题探究 问题：如果任意给定一条终边呢？你能用集合的形式写出来吗？ 从几何角度看， “终边旋转整数周回到原来的位置就形成了“终边相同的角”. 用数量关系表示， 就是“终边相同的角相差的整数倍”. 一般地，我们有： 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和. 例题解析 例1 在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角： 例题解析 例2 写出终边在轴上的角的集合. 解： 所有与角终边相同的角构成集合 在范围内，终边在轴上的角有两个，即，角. 因此， 所有与角终边相同的角构成集合 即终边落在轴非负半轴上的所有角的集合 即终边落在轴非正半轴上的所有角的集合 思路一：从集合角度出发 例题解析 于是，终边在轴上的角的集合 例题解析 例2 写出终边在轴上的角的集合. 解： 在范围内，终边在轴非负半轴上的角为， 终边旋转半周的整数倍仍始终落在轴上， 因此： 所有终边在轴上的角的集合： 思路二：从角的旋转运动角度出发 巩固探究 （1）终边落在轴上的角的集合； （2）终边落在坐标轴上的角的集合； 例题解析 例3 写出终边在直线上的角的集合，中满足不等式的元素有哪些？ 解： 如图，在直角坐标系中画出直线， 可以发现它与轴的夹角是，终边旋转半周的整数倍仍始终落在上， 因此，终边在直线上的角的集合 Part 04 小结 课堂小结 任意角 0°-360° 正角 负角 零角 象限角 推 广 旋转 量 旋转 方向 旋转方向 旋转量 坐标系 轴线角 化 归 终边相同角 0°-360° 课堂小结 我们用角度这样的单位制量化了任意角。 请同学们思考，角度是实数吗？如果不是，我们能不能用实数来度量角呢？以上问题留给同学们课后探究。 数学源于生活，生活是数学的舞台。愿同学们在平时的生活学习过程中用敏锐的数学眼光观察世界，用智慧的数学思维思考世界，用严谨的数学语言表达世界。 感谢聆听 $$