第十五章分式 专题：由分式方程根的情况确定字母的取值范围　2024—2025学年人教版数学八年级上册

专题：由分式方程根的情况确定字母的取值范围 1.增根：使最简公分母的值为零的解叫做分式方程的增根 例1．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 解：∵， 去分母，得：1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2）； ∵分式方程有增根， ∴x＝2， 把x＝2代入1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2）， 则1﹣2＝﹣m﹣2（2﹣2）， 解得：m＝1； 练习．若关于x的分式方程有增根，求a的值． 解：方程两边都乘以x﹣1，得：2x﹣x+1＝a， ∵分式方程有增根， ∴x﹣1＝0，即x＝1， 将x＝1代入2x﹣x+1＝a，得：a＝2， 2.根据分式方程解的正负性求参数字母的值 例1．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围。 解：， x﹣2（x﹣3）＝﹣m， x﹣2x+6＝﹣m， ﹣x＝﹣m﹣6， x＝m+6， ∵方程的解是正数，x﹣3≠0， ∴， 解得m＞﹣6且m≠﹣3， 例2．若关于x的分式方程的解为非负数，求a的取值范围。 解：， 去分母，得x＝a﹣2（x﹣1）． 去括号，得x＝a﹣2x+2． 移项，得x+2x＝a+2． 合并同类项，得3x＝a+2． x的系数化为1，得x． ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴0且1． ∴a≥﹣2且a≠1． 练习．若关于x的方程的解为负数，求m的取值范围。 解：， 方程两边同时乘以x（x+1）得， mx﹣2（x+1）＝0， 去括号得，mx﹣2x﹣2＝0， 解得x， ∵解为负数， ∴0， ∴m＜2， ∵x≠0，x≠﹣1， ∴m≠0， ∴m的取值范围为m＜2且m≠0， 3.由无解确定参数字母的取值 例1．若关于x的方程2无解，求m的值。 解： 去分母，得x＝2（x﹣3）+m． 去括号，得x＝2x﹣6+m． 移项，得x﹣2x＝﹣6+m． 合并同类项，得﹣x＝﹣6+m． x的系数化为1，得x＝6﹣m． ∵关于x的方程2无解， ∴x﹣3＝0，即6﹣m﹣3＝0． ∴m＝3． 例2．已知关于x的分式方程1无解，求m的值。 解：去分母得：3﹣2x﹣9+mx＝﹣x+3， 整理得：（m﹣1）x＝9， 当m﹣1＝0，即m＝1时，该整式方程无解； 当m﹣1≠0，即m≠1时，由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入整式方程得：3m﹣3＝9， 解得：m＝4， 综上，m的值为1或4， 练习： 1．已知关于x的分式方程3的解是x＝3，则m的值为 。 解：把x＝3代入分式方程3，得， 整理得6+m＝3， 解得m＝﹣3． 2．已知关于x的方程有增根，则a的值为 。 解：∵方程有增根， ∴x﹣5＝0， ∴x＝5， ， x＝3（x﹣5）﹣a， x＝3x﹣15﹣a， 把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5， 3．若关于x的方程1的解为正数，则m的范围为 。 解：原方程两边同时乘以（x﹣1）得： m﹣3＝x﹣1 ∴x＝m﹣2 ∵解为正数，且m﹣2≠1 ∴m＞2，且m≠3 4．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 　 　． 解：3 去分母得：2x﹣1＝3（x+1）﹣m， 去括号得：2x﹣1＝3x+3﹣m， 合并同类项得：﹣x＝4﹣m， 解得：x＝m﹣4， ∵m﹣4＜0， ∴m＜4， ∵x+1≠0，即x≠﹣1， ∴m﹣4≠﹣1， ∴m≠3， ∴m的取值范围：m＜4且m≠3． 5．已知关于x的分式方程1的解为非负数，则m的取值范围是 。 解：根据题意解分式方程，得x， ∵2x﹣1≠0， ∴x，即，解得m≠﹣3， ∵x≥0， ∴0，解得m≥﹣4， 综上，m的取值范围是m≥﹣4且m≠﹣3， 6．关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是 　 　． 解：， 去分母，得x＝2（x+3）﹣m， 解，得x＝﹣6+m． 因为原分式方程的解为非正数，且x＝﹣3， ∴﹣6+m≤0且﹣6+m≠﹣3． ∴m≤6且m≠3． 7．已知关于x的方程的解大于1，则m的取值范围是 　 　． 解：将关于x的分式方程去分母，得 x+m＝﹣x+2， 解得x， 由于分式方程的解大于1，即1， 解得m＜0， 又因为分式方程有增根x＝2， 所以2， 解得x≠﹣2， 综上所述，m的取值范围为m＜0且m≠﹣2． 8．若关于x的方程2无解，则m的值是　 　． 解：去分母得x＝2（x﹣3）+m， 整理得x+m＝6， ∵关于x的方程2无解． ∴x﹣3＝0，即x＝3， ∴3+m＝6， ∴m＝3． 9．已知关于x的方程无解，则a的值为 　 　． 解：， ax＝3（x﹣5）﹣（a+1），即（a﹣3）x＝﹣16﹣a， ∵关于x的方程无解， ∴x﹣5＝0， 把x＝5代入ax＝3（x﹣5）﹣（a+1），中可得： a， 由方程无解，得到a﹣3＝0，即a＝3． 10．若关于x的分式方程无解，则k的值为 。 解：， ， kx＝3（x﹣2）﹣2（x+2）， kx＝3x﹣6﹣2x﹣4， kx﹣3x+2x＝﹣10， （k﹣1）x＝﹣10， ∵分式方程无解， ∴k﹣1＝0，x﹣2＝0，x+2＝0， ∴k＝1，x＝2或﹣2， 把x＝2代入kx＝3（x﹣2）﹣2（x+2），得k＝﹣4， 把x＝﹣2代入kx＝3（x﹣2）﹣2（x+2），得k＝6， 综上所述：k的值为1或﹣4或6． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题：由分式方程根的情况确定字母的取值范围 1.增根：使最简公分母的值为零的解叫做分式方程的增根 例1．若关于x的分式方程有增根，求m的值． 练习．若关于x的分式方程有增根，求a的值． 2.根据分式方程解的正负性求参数字母的值 例1．已知关于x的方程的解是正数，求m的取值范围。 例2．若关于x的分式方程的解为非负数，求a的取值范围。 练习．若关于x的方程的解为负数，求m的取值范围。 3.由无解确定参数字母的取值 例1．若关于x的方程2无解，求m的值。 例2．已知关于x的分式方程1无解，求m的值。 练习： 1．已知关于x的分式方程3的解是x＝3，则m的值为 。 2．已知关于x的方程有增根，则a的值为 。 3．若关于x的方程1的解为正数，则m的范围为 。 4．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 　 　． 5．已知关于x的分式方程1的解为非负数，则m的取值范围是 。 6．关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是 　 　． 7．已知关于x的方程的解大于1，则m的取值范围是 　 　． 8．若关于x的方程2无解，则m的值是　 　． 9．已知关于x的方程无解，则a的值为 　 　． 10．若关于x的分式方程无解，则k的值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $$