10.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用同步练习 2024—2025学年北京版数学八年级上册

10.5可化为一元一次方程的分式方程及其应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．八年级学生去距学校的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．某次列车平均提速.用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶，提速前列车的平均速度是（  ） A． B． C． D． 4．如果关于x的分式方程＝3的解为整数，且关于x的不等式组有且仅有1个正整数解；则符合条件的所有整数a的和是（    ） A．15 B．12 C．7 D．6 5．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 6．某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是(　　) A． B． C． D． 7．若关于x的分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．以上都不是 8．分式方程的解是（    ） A．1 B．0 C． D．无解 9．甲队修路120米与乙队修路100米所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10米，设甲队每天修路x米，依题意得，下列所列方程正确的是： A． B． C． D． 10．关于的分式方程有解，则字母的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．且 11．不是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 12．已知是分式方程的解，则的值为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 13．方程的解为 ． 14．要使与的值相等，则x= . 15．分式方程的解为 ． 16．若分式的值等于2，则x的值为 ． 17．分式方程的解为 ． 三、解答题 18．解分式方程： (1)； (2)． 19．解分式方程∶ 20．“书香润泽生命，阅读陪伴成长”，某学校为了开展学生阅读活动，计划网购甲、乙两种图书．已知甲种图书的单价是乙种图书单价的倍，且用1600元购买甲种图书比用900元购买乙种图书可多买20本． (1)（列分式方程解应用题）乙种图书的单价是多少？ (2)根据学校实际情况，需一次性网购甲、乙两种图书共300本，购买时得知：一次性购买甲乙两种图书超过100本时，甲种图书可按九折优惠（九折优惠指实际出售单价是原来单价的倍），乙种图书可按八折优惠．若该校此次用于购买甲、乙两种图书的总费用不超过4800元，则学校最多购进甲种图书多少本？ 21．某班计划从商店购买语文资料和数学资料，已知购买一本语文资料比购买一本数学资料多用5元，若用300元购买语文资料，用100元购买数学资料，则购买数学资料的本数刚好是购买语文资料本数的一半． (1)购买一本语文资料和一本数学资料各需要多少元？ (2)如果该班需要购买语文资料数量是数学资料数量的2倍少4本，且该班购买语文和数学资料的总费用不超过620元，那么该班最多可购买多少本数学资料？ 22．甲、乙两名同学到离校的“人民广场”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的3.5倍，甲出发后乙同学出发，结果，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度是多少？ 23．已知：，． （1）当时，求证：； （2）设． ①当时，求x的值； ②若x是整数，求y的正整数值． 24．完成下列各题： (1)解方程： ① ② (2)观察下列等式，并探索它们的规律： ．．．，试用正整数n表示这个规律，并加以证明． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D C C D C D A D 题号 11 12 答案 C D 1．A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，先把逆流速度和顺流速度表达出来，再根据共用去9小时，列出方程解答即可． 【详解】根据题意，得， 故选A． 2．C 【分析】根据题目中的等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：由题意可得， -=， 故选：C． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 3．D 【分析】设列车提速前的平均速度是xkm/h，则提速后的速度为（x+v）km/h，根据用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，列方程解答即可． 【详解】解：设提速前这次列车的平均速度xkm/h． 由题意得:， 方程两边乘x（x+v），得s（x+v）=x（s+50） 解得：x=， 经检验：由v，s都是正数，得x=是原方程的解． ∴提速前这次列车的平均速度km/h， 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 4．C 【分析】分别用a表示出分式方程的解和不等式的解集，根据分式有意义的条件及方程的解为整数得出满足方程的a的值，根据不等式只有一个正整数解可确定a的取值范围，进而得出满足题意的a的值，最后求和即可得答案． 【详解】＝3 去分母得：ax-5-10=3（x-3）， 整理得：， ∵＝3的解为整数，且x-3≠0， ∴a-3=±1，a-3=-2，a-3=±3，a-3=±6， ∴满足方程的a的值有：-3、0、1、2、4、6、9， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于x的不等式组有且仅有1个正整数解， ∴-2<，且正整数解为1， ∴1≤<2， 解得：1≤a<6， ∴满足题意的a的值有：1、2、4， ∴符合条件的所有整数a的和是1+2+4=7， 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解及一元一次不等式的整数解，熟练掌握分式方程及一元一次不等式组的解法并注意分式有意义的条件是解题关键． 5．C 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可． 【详解】解：去分母得：m-1=x+1， 解得：x=m-2， 由题意得：m-2≥0且m-2≠-1， 解得：m≥2， 故选：C． 【点睛】此题考查了解分式方程及分式方程的解，掌握分式方程的解法及解的意义是解题的关键． 6．D 【分析】首先根据工程期限为x天，结合题意得出甲每天完成总工程的，而乙每天完成总工程的，据此根据题意最终如期完成了工程进一步列出方程即可. 【详解】∵工程期限为x天， ∴甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的， ∵由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成， ∴可列方程为：， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据题意正确找出等量关系是解题关键. 7．C 【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，先解分式方程得到，再分当，即时和当时两种情况，讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，此时有，故原方程无解， 当时，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：C． 8．D 【分析】首先去掉分母，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：， ∵时，， ∴x=1是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 9．A 【详解】试题分析：设甲队每天修路x米，则乙队每天修路（x-10）米，根据甲队修路120米与乙队修路100米所用天数相同，即可列出方程．故选A． 考点：分式方程的应用． 10．D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程有解”，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：5（x-2）=ax， 去括号得：5x-10=ax， 移项，合并同类项得： （5-a）x=10， ∵关于x的分式方程有解， ∴5-a≠0，x≠0且x≠2， 即a≠5， 系数化为1得：， ∴且， 即a≠5，a≠0， 综上所述：关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0， 故选：D． 【点睛】此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5-a≠0，这应引起同学们的足够重视． 11．C 【分析】将x=2分别代入，当左边=右边时，即x=2是该方程的解. 【详解】当x=2时， ，故x=2是选项A中方程的解，故不选A; 当x=2时，左边=0=右边，故不选B； 当x=2时，分母x-2=0无意义，即x=2不是该方程的解，故选C; 当x=2时,左边=0=右边，故不选D. 故选择C. 【点睛】此题考查分式方程的解，将x=2代入依次计算即可得到答案，需注意C选项中的分母，当x=2代入后分母为0，可知x=2不是该方程的解. 12．D 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将代入求解即可． 【详解】解：原式化简为， 将代入 得 解得. 当a=-3时a-x=-3-1=-4≠0 ∴a=-3 故选则：D． 【点睛】本题考查分式方程的解．会将分式方程化为整式方程，解题关键将方程的解代入转化为的方程． 13． 【分析】直接去分母化为整式方程求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得， 检验：经检验是原分式方程的解， ∴原方程的解为， 故答案为： 【点睛】本题考查了解分式方程，要熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意：解分式方程一定要验根． 14．6 【分析】根据题意得出分式方程，解分式方程即可． 【详解】根据题意得：=， 去分母得：5x−10＝4x−4， 解得：x＝6， 经检验：x＝6是原方程的解； 故答案为 6． 【点睛】本题考查了分式方程的解法；熟练掌握去分母法解分式方程是解决问题的关键． 15．-1 【详解】【分析】先去分母，化为整式方程，然后再进行检验即可得. 【详解】两边同乘（x+2）(x-2)，得：x-2﹣3x=0， 解得：x=-1， 检验：当x=-1时，（x+2）(x-2)≠0， 所以x=-1是分式方程的解， 故答案为-1. 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 16．−2 【分析】根据题意得出分式方程，然后解分式方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 方程两边都乘x＋1，得x＝2（x＋1）， 解得：x＝−2， 检验：当x＝−2时，x＋1≠0， 所以x＝−2是原方程的解， 故答案为：−2． 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，解分式方程注意要验根． 17． 【分析】本题考查了分式方程的求解问题．左右两端同时乘以最简公分母，得到整式方程，求得整式方程的解，再检验即可得解． 【详解】解：， 等式两端同时乘以最简公分母，得： ， 解得， 检验：将代回最简公分母，， 因此原方程的解为； 故答案为：． 18．(1) (2)无解 【分析】本题考查的是分式方程的解法： （1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘以，得， 化简得， 解得：， 检验：当时，， ∴该分式方程的解为． （2）解： ， 方程两边同乘以，得， 化简得， 解得：， 检验：当时，， ∴是增根，原分式方程无解． 19． 【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．先去分母得到整式方程求解，再验根即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 分式方程的解为． 20．(1)乙种图书的价格是15元； (2)学校最多购进甲种图书200本． 【分析】本题主要考查分式方程的应用以及一元一次不等的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种图书的价格是x元，则甲种图书的价格是x元，根据题意列出方程即可得到答案； （2）设学校购进甲种图书m本，则购进乙种图书本，根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种图书的价格是x元，则甲种图书的价格是x元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：乙种图书的价格是15元； （2）解：由（1）可知，（元）， 设学校购进甲种图书m本，则购进乙种图书本， 由题意得：， 解得：， 答：学校最多购进甲种图书200本． 21．(1)一本数学资料10元，一本语文资料15元 (2)该班最多可购买17本数学资料 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设一本数学资料元，则一本语文资料元，根据题意列出分式方程并求解，即可获得答案； （2）设该班购买本数学资料，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设一本数学资料元，则一本语文资料元， 根据题意，可得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴元． 答：一本数学资料10元，一本语文资料15元； （2）设该班购买本数学资料，则该班购买本语文资料， 根据题意，可得 ， 解得， ∵为整数， ∴最多为17． 答：该班最多可购买17本数学资料． 22． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解决问题时需注意时间单位的统一，同时解分式方程需检验．根据甲、乙同学步行和骑自行车的速度之间的数量关系设未知数，再根据所走时间之间的数量关系列方程即可． 【详解】解：设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为， 由题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：乙同学骑自行车的速度为． 23．（1）见详解；（2）①x=3；②y=7或5或1或4或2． 【分析】（1）把M，N 作差，再通分，结合x的范围，判断M-N的值为正数，即可； （2）①通过分式的加法运算，得到y与x的等量关系，再把y=5代入，解分式方程，即可求解；②把化为3+，根据整除性，可知x-1的值，进而求解． 【详解】（1）∵，， ∴M-N=-=， ∵， ∴1-3x＜0，x-1＜0，x+1＞0， ∴＞0， ∴； （2）①由题意得：=+=， 当时，=5，解得：x=3， 经检验，x=3是方程的解， ∴当时，x=3； ②根据题意得： y===3+， ∵x，y是整数， ∴是整数， ∴x-1可以取±1，±2，±4， ∴y=7，-1，5，1，4，2， ∵y为正整数， ∴y=7或5或1或4或2． 【点睛】本题主要考查分式的运算，解分式方程，熟练掌握分式的加减法法则，是解题的关键，注意分式方程的解需要检验． 24．(1)①无解；②无解 (2)，证明见解析 【分析】（1）①两边都乘以，化为整式方程求解，然后检验；②两边都乘以，化为整式方程求解，然后检验； （2）根据所给等式得出规律，再根据也分母分式的运算法则证明即可． 【详解】（1）解：（1）①， 两边都乘以，得 ， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，原方程无解； ②， 两边都乘以，得 ， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，原方程无解； （2）解：∵， …， ∴， 证明：∵， ∴成立． 【点睛】本题考查了解分式方程，数字类规律探究，以及异分母分式的加减运算，熟练掌握分式方程的解法和分式的运算法则是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$