10.4分式的加减法同步练习 2024-2025学年北京版数学八年级上册

10.4分式的加减法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．-2 B．0 C．2 D．0或2 2．完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是(    )． A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 3．办公中常用到的纸张一般是A4纸，其厚度约为0.0075m，用科学记数法表示为（　　） A．7.5×10﹣3m B．7.5×10﹣2m C．7.5×103m D．75×10﹣3m 4．计算：（    ） A．1 B．2 C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，将0.000000022用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 7．若有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．且 C．且且 D．且 8．下列计算正确的是（　　） A．﹣2+|﹣2|=0 B．20÷3=0 C．42=8 D．2÷3×=2 9．若有意义，那么的取值范围是（  ） A．x＞2 B．x＜3 C．x≠3且x≠4 D．x≠3或x≠2 10．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．对于任意实数，，，定义运算“※”，满足※=，且※※=（※）※．在下列各结论中：①2※1=5；②※3=6；③这一运算满足交换律，即※=※；④2014※2013※2012※……※4※3※2=19．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．的值等于（    ） A．0 B．1 C．2021 D．－2021 二、填空题 13．计算： ： ． 14．已知，且，则 ． 15．在一列数，，，，…中，已知（且）．，，…，，则 ． 16．计算： . 17．如果，那么的取值范围是 ． 三、解答题 18．已知：． (1)化简P； (2)当a满足不等式组且a为整数时，求P的值． 19．【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．    【解决问题】 (1)如图1，把边长为的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个长方形，试比较这两个小正方形面积之和M与两个长方形面积之和N的大小． (2)如图2，图3，中，于D，，长方形中，长，宽，与长方形的面积分别为M、N，试比较M、N的大小，其中，且． (3)甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．谁的购货方式更合算？ 20．小王去市场采购同一种商品．第一次采购用了2400元，第二饮采购用了3000元，第一次采购时该商品的价格是元/件，第二次采购时该商品的价格是元/件． (1)求小王两次共采购了多少件该商品； (2)小王第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的几倍？ 21．人们常说“捡了芝麻丢了西瓜”，这是形容有的人办事只抓一些无关紧要的小事，却忽视具有重要意义的大事，据测算，万粒芝麻才克，那一粒芝麻有多少千克？（用科学记数法表示）． 22．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式.将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同.如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的______． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案______的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留斤污水，现用斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为x斤），证明上面实验中得到的结论． 23．设，其中全不为0，求证：． 24．观察等式：①＝；②＝；③＝；④＝，…… (1)试用含字母的等式表示出你发现的规律，并证明该等式成立； (2)＝ ．（直接写出结果） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A A D B C A C D 题号 11 12 答案 B B 1．D 【分析】将已知等式化简得到关于的整式方程，进而根据完全平方公式的化简，求得的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 即， ， ， ， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为或． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，完全平方公式的应用，有理数的乘方，求得的值是解题的关键． 2．C 【详解】试题解析：首先求出甲、乙合作的工作效率，然后根据工作时间=工作总量÷工作效率求出答案，在没有给定工作总量的情况下，我们一般设工作总量为1.根据题意可得：甲、乙合作的工作效率为：，则工作时间=. 3．A 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0075m，用科学记数法表示为7.5×10﹣3m． 故选A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，解题关键是熟记科学记数法的性质． 4．A 【分析】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂是解题的关键；根据“”可进行求解． 【详解】解：； 故选A． 5．D 【分析】根据分式的乘除以及负整数指数幂的计算法则进行求解即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除计算，负整数指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 6．B 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 7．C 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂，分式有意义的条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，，， 且且， 故选：C． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，分式有意义的条件，掌握，，分式的分母不等于0是解题的关键． 8．A 【详解】试题分析:A.；B. ；C.D．． 故选A． 考点：有理数计算． 9．C 【分析】根据零指数幂以及负整数指数幂的意义列式即可求出x的范围. 【详解】根据题意知：， ∴且 故选：C. 【点睛】本题考查零指数幂以及负整数指数幂的意义，解题的关键是正确理解两者的意义. 10．D 【分析】本题考查了分式的性质及运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据分式的性质，分式的分子、分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数（或式子），分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、当时，，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项正确，符合题意； 故选：D ． 11．B 【分析】①②③利用题中的新定义计算得出结果即可作出判断，④利用②的计算结论可化简进行求解即可． 【详解】解：①2※1=； ②将※3=6变形得：； ③由※=，※=，两者不相等，所以这一运算不满足交换律； ④令2014※2013※2012※……※4的计算结果为x，则由②中的结论可得： 2014※2013※2012※……※4※3=6， ∴2014※2013※2012※……※4※3※2=6※2=； ∴正确的有②④两个； 故选B． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，注意规定新运算的方法，利用运算规定转化计算即可． 12．B 【分析】根据零指数幂的性质求解即可． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题考查了零指数幂，掌握是解决本题的关键． 13． 1 4 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂分别计算． 【详解】解：1， 4， 故答案为：1，4． 【点睛】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握运算法则． 14．3 【分析】进行通分得到，然后将看成一个整体代入求解即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴. 故答案为：3 【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，将和看成一个整体是解决本题的关键. 15．x+1. 【分析】首先分别求出n=2、3、4…时的情况，观察它是否具有周期性，再把2014代入求解即可． 【详解】解：a1=x+1， a2=1÷(1-a1)=， a3=1÷(1-a2)= ， a4=1÷(1-a3)=x+1， …… 周期为3； 2014÷3=671…1 所以a2014=a1=x+1． 故答案为：x+1． 【点睛】本题考查了找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．而具有周期性的题目，找出周期是解题的关键． 16．8 【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】解：. 【点睛】本题考查负整数指数幂的运算，要熟记运算法则：. 17． 【解析】因为， 所以， 所以． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据分式的混合运算进行计算即可求解． （2）先解不等式组，求得不等式组的整数解，代入（1）中结果，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴整数解， ∴． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，求不等式组的解集，熟练掌握分式的化简求值，解一元一次不等式组是解题的关键． 19．(1) (2) (3)乙的购货方式更合算 【分析】（1）根据题意得，，利用作差法比较与大小即可； （2）根据题意得，，利用作差法比较与大小即可； （3）根据平均单价总钱数两次购买的数量，求出甲、乙所购饲料的平均单价即可；根据作差法比较两单价的大小即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）在中，于，， ∴ ， 在长方形中，长，宽， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； （3）设两次购买的饲料单价分别为元/千克和元/千克（，是正数，且）， ∴甲两次购买饲料的平均单价为（元/千克）， 乙两次购买饲料的平均单价为（元/千克）； 甲、乙两种饲料的平均单价的差是： ， 由于，是正数，因为时，也是正数， 即， 因此乙的购货方式更合算． 【点睛】本题考查的是整式的混合运算，分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 20．(1)两次共采购的件数为件 (2)第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍 【分析】本题考查分式运算的实际应用： （1）根据数量等于总价除以单价，求出每次采购的数量，再相加即可； （2）用第一次的数量除以第二次的数量进行求解即可． 【详解】（1）解：第一次采购该商品的件数为， 第二次采购该商品的件数为， 所以，两次共采购的件数为（件）． （2）， 第一次采购该商品的件数是第二次采购的件数的1.2倍． 21．千克． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，科学记数法，设一粒芝麻有千克，根据题意列出方程即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设一粒芝麻有千克， 由题意得，， 解得， 答：一粒芝麻有千克． 22．数据计算：，，；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用： 数据计算：把一件存留1斤污水的衣服用x斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，由此可解； 实验结论：根据前一问结论，比较大小即可； 推广证明：用含x，a，m的式子表示出进行漂洗后衣服中存有污物与原有污物的比，利用分式的性质将分子化为相同，比较分母的大小即可． 【详解】解：数据计算： 方案一，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案二，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 方案三，漂洗后衣服中存有的污物是原来的， 故答案为：，，； 实验结论： ， 方案三的漂洗效果最好， 故答案为：三； 推广证明： 依题意可得， 选择方案一进行一次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，可化为； 选择方案二进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 选择方案三进行两次漂洗后，衣服中存有的污物是原来的，整理得； 因为三个分式的分子，分母都是正数，且分子相同， 所以要判断三个分式值的大小，只需比较分母的大小， 因为，且，， 所以， 所以， 所以， 即方案二比方案一的漂洗效果好， 因为，且， 所以， 所以， 所以， 即方案三比方案二的漂洗效果好， 综上，在这三种方案中，方案三的漂洗效果最好． 23．见解析 【分析】利用先求出，再利用作商法证明即可． 【详解】∵ ， ， 同理：，， ，， 所以： ． 所以． 【点睛】本题考查分式的混合运算，用表示出，并用作商法证明结论是解题的关键． 24．(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题目给出的式子，归纳类推出第个式子，然后根据分式的减法法则进行证明即可得； （2）利用（1）中的规律，将各式子拆分成两项的差，再求和即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， 归纳类推得：第个等式为，其中为正整数， 即发现的规律为，证明如下： ， ． （2）解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索、分式的减法，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$