专项练习一 分式运算中的八种技巧-2024-2025学年八年级数学上册核心要点同步题型精练（北京专用，京改版）

好题精选·同步精练 专项练习一 分式运算中的八种技巧 技巧1 先约分，再通分 1．化简： 2．计算．               技巧2 整体通分 3．计算：． 4．化简：． 技巧3 利用运算律计算 5．计算： 6．计算： 7．计算： 技巧4 逐项通分 8．计算：． 9．计算：． 技巧5 裂项相消 10．观察下面的变化规律，解答下列问题： ． (1)若为正整数，猜想_______，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)再探索上述规律并计算：． 11．对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进行“裂项”转化， 例如：； 参考上面的方法，解决下列问题： (1)；； (2)若将裂项变形，则___________； (3)应用上述变形，化简：． 技巧6 利用因式分解或者乘法公式计算 12．已知，求分式的值． 技巧7 1换成字母 13．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值； （3）若，写出的值． 技巧8 规律型分式求和 14．阅读理解 如果记，并且表示当时的值，即． 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； （拓展）试计算的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 好题精选·同步精练 专项练习一 分式运算中的八种技巧 技巧1 先约分，再通分 1．化简： 【答案】 【详解】原式 2．计算．               【答案】2x-1； 【详解】解：（1） = = =x-1+x =2x-1； 技巧2 整体通分 3．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 4．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 技巧3 利用运算律计算 5．计算： 【答案】 【详解】解：原式 =3x+6-x+2 =2x+8 6．计算： 【答案】 【详解】解：原式 7．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ； 技巧4 逐项通分 8．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 9．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 技巧5 裂项相消 10．观察下面的变化规律，解答下列问题： ． (1)若为正整数，猜想_______，并且验证你的猜想； (2)解分式方程：； (3)再探索上述规律并计算：． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，解分式方程； （1）猜想，再根据异分母分式相加减计算，即可求解； （2）根据（1）中的规律把原方程变形为，可化为，解出即可； （3）根据（1）中的规律把原式变形，可得到，即可求解． 【详解】（1）解： 验证：右边 左边， ∴猜想成立； （2）解： ， ∴， 去分母得：， 解得：． 经检验：是原方程的根， ∴原方程的根为； （3）解： ． 11．对于“分子为1，分母可以写作两个正因数乘积的分数”，可以进行“裂项”转化， 例如：； 参考上面的方法，解决下列问题： (1)；； (2)若将裂项变形，则___________； (3)应用上述变形，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由即可确定所填数； （2）根据即可完成“裂项”转化； （3）把每一个分式进行“裂项”，再相加即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了分式的运算及有理数的运算，理解题中“裂项”变形是解题的关键． 技巧6 利用因式分解或者乘法公式计算 12．已知，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式在分式求值中的应用，根据即可求解． 【详解】解： ， ． 技巧7 1换成字母 13．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值； （3）若，写出的值． 【答案】 （1）1，（2）1，（3）5． 【详解】（1）解： （2）解：①∵， ∴ ． （3）∵， ∴ ． 【点睛】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 技巧8 规律型分式求和 14．阅读理解 如果记，并且表示当时的值，即． 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； （拓展）试计算的值． 【答案】 【分析】分别把代入求值即可；根据其变化规律得到，然后求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， 又 ． 【点睛】本题考查了与实数有关的规律探究，读懂题意观察出变化规律是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$