7.5正态分布学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019） 选择性必修第三册

正态分布 课标要求　1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 3.明确正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态曲线形状的影响. 【引入】 一所学校同年级的同学的身高，特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；某种电子产品的使用寿命也都接近某一个数，使用期过长或过短的产品相对较少.生活中这样的现象很多，是否可以用数学模型来刻画呢？ 一、正态曲线及其特征 探究1 下列随机变量哪个是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2 教材P74例2的高尔顿板试验中，随着重复次数的增加，频率分布直方图的形状会越来越像一条钟形曲线，那么这条曲线是否存在函数解析式呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3 函数f(x)＝e－，x∈R的图象如图所示，试思考并回答以下问题： (1)函数的图象关于什么对称？ (2)你能否确定函数f(x)的解析式？ (3)当μ＝0，σ＝1时，你能画出f(x)的图象吗？此时函数图象的对称轴是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【知识梳理】 1.我们称f(x)＝________________，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为________________，称它的图象为正态密度曲线，简称________. 2.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为________.特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从________________. 3.若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 4.正态曲线的特点. (1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的________. (2)定值性：曲线与x轴之间的面积为________. (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线________对称. (4)最大值：曲线在________处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近________轴. 温馨提示　(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 例1 (链接教材P87练习T2)(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝________，方差σ2＝________. (2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　) A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　1.利用正态曲线的特点求参数μ，σ. (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 2.“σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，数据集中程度越弱，正态曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越集中. 训练1 (1)某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是(　　) A.甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性 B.甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性 C.甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D.甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值 (2)若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 二、利用正态分布的性质求概率 【知识梳理】 1.正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积. 2.服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________. 温馨提示　(1)尽管随机变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. (2)在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 例2 (1)若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ>11)＝________. (2)(链接教材P87习题T2)若随机变量ξ～N(1，22)，则P(－1≤ξ≤3)＝________；P(3<ξ≤5)＝________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等.如： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)； ②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a). (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解. 训练2 (1)已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1－a)＋P(X<1＋2a)＝1，则实数a＝(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 (2)在正态分布N中，数据落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)内的概率是________. 三、正态分布的实际应用 例3 (链接教材P86例)某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 思维升华　解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格.判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格. 训练3 在某市组织的一次数学考试中，全体参加考试学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知数学成绩在90分以上的学生有13人.则此次参加数学考试的学生共有多少人？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【课堂达标】 1.设有一正态总体，它的正态曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，则这个正态总体的均值与标准差分别是(　　) A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 2.已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X＞1)＝0.5，则实数a的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知X～N(0，1)，则X在区间(－∞，－2)内取值的概率约为________. 4.如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝________. 正态分布 探究1　提示　(1)是，(2)不是. 探究2　提示　存在. 探究3　(1)提示　关于直线x＝72对称. (2)提示　由题意得μ＝72. 当x＝72时，f(x)max＝， ∴e0＝，则σ＝10. 因此f(x)＝e－. (3)提示　 上述图象的对称轴是直线x＝0. 知识梳理 1.e－　正态密度函数　正态曲线 2.X～N(μ，σ2)　标准正态分布 4.(1)上方　(2)1　(3)x＝μ　(4)x＝μ　(5)x 例1　(1)20　2　(2)BCD　[(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是. 所以μ＝20，＝，解得σ＝， 因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2. (2)由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”. 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.] 训练1　(1)A　[由题图知甲、乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.] (2)解　由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0， 又该函数的最大值是， 所以＝，解得σ＝4. 故所求正态密度函数的解析式为 f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞). 知识梳理 2.0.682 7　0.954 5　0.997 3 例2　(1)0.3　(2)0.682 7　0.135 9　[(1)由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线关于μ＝10对称， 则P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4. ∴P(10≤ξ≤11)＝0.2. 又∵P(ξ≥10)＝0.5， ∴P(ξ>11)＝0.5－0.2＝0.3. (2)∵ξ～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2， 则P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2) ＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7. ∵P(3<ξ≤5)＝P(－3≤ξ<－1)， ∴P(3<ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)] ＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)] ≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.] 训练2　(1)C　[因为P(X≤1－a)＋P(X<1＋2a)＝1， 所以P(X<1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X>1－a)， 又因为X～N(2，σ2)， 所以(1＋2a)＋(1－a)＝4，故a＝2.] (2)0.002 7　[设X～N， 则μ＝0，σ＝. 因为P(－2≤X≤2)＝P(0－3×≤X≤0＋3×)≈0.997 3， 所以P(X<－2或X>2)＝1－P(－2≤X≤2)≈1－0.997 3＝0.002 7.] 例3　解　由于外直径X～N(4，0.52)， 则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]，即[2.5，5.5]之内取值的概率为0.997 3，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.002 7. 又5.7∉[2.5，5.5]， 这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的. 训练3　解　设学生的数学成绩为X，共有n人参加数学考试， ∵X～N(60，100)，∴μ＝60，σ＝10， ∴P(X>90)＝[1－P(30≤X≤90)] ≈×(1－0.997 3)＝0.001 35. 又P(X>90)＝， ∴＝0.001 35，解得n≈9 630， 故此次参加数学考试的学生约有9 630人. 课堂达标 1.B　[由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.] 2.A　[随机变量X服从正态分布N(a，4)， 所以曲线关于x＝a对称，且P(X＞a)＝0.5， 由P(X＞1)＝0.5，可知μ＝a＝1.] 3.0.023　[由于X～N(0，1)，且P(－2≤X≤2)≈0.954 5， 又P(X>2)＝P(X<－2)， ∴P(X<－2)≈(1－0.954 5)≈0.023.] 4.2　[因为ξ～N(μ，σ2)， 故正态密度函数关于直线x＝μ对称， 又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)， 从而μ＝＝2，即μ的值为2.] 学科网（北京）股份有限公司 $$