期末专项复习 课件 2024-2025学年 2024-2025学年人教版数学七年级下册

专题复习10 不等式（组）与方 程（组）的综合应用 1 见答案册第55页 类型1 运用整体思想解决问题 1.已知关于，的二元一次方程组 的解满 足，则 的取值范围是____________. 2 【点拨】 ,得 ， . ， ， 的取值范围是 . 3 2.已知关于，的方程组（ 为常数） （1）若，求 的值； 【解】 ，得， . ，，解得 . 4 （2）若，求 的取值范围. 【解】，得 . ， ， 解得 . 5 类型2 运用转化思想解决问题 3.已知关于，的方程组 的解满足 ,，则 的取值范围是____________. 6 【点拨】 ,得， . ,得 . ，， . 4.已知方程组 中为非正数， 为负数. （1）求 的取值范围； 【解】解方程组 得 方程组 中为非正数， 为负数， 解得 . 8 （2）化简： ； ， . . 9 （3）在（1）的前提下，当 为何整数时，不等式 的解集为 . ， . 要使不等式的解集为 ， ，解得 . ，为整数， 当为 时，不等式 的解集为 . 10 类型3 运用消元思想解决问题 5.【提出问题】已知关于，的方程组 （1）若，求的值；（2）若 ，求 的值. 【问题解决】（1）王磊的解题思路：观察方程组中， 的 系数发现，将可得 .又 ， 的值为_________； 5 11 （2）王磊的解题思路：观察方程组中， 的系数发现，将 方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过 思考，王磊将， ，得 再将 得 .又 ， ，请根据王磊的思路，求出,及 的值； 12 【解】将，，得 ,得 . ， 13 ，得，解得 ， 把代入⑤，得，解得 ， 把，代入⑦，得 ， 解得 . 14 【问题拓展】（3）已知关于, 的不等式组 若，求 的取值范围. 15 【解】 将，，得 ，得 . ， ， . 类型4 运用建模思想解决问题 6.开学前夕，某书店计划购进, 两种笔记本共350本，已知 种笔记本的进价为12元/本， 种笔记本的进价为15元/本， 共计4 800元. 17 （1）请问购进了, 两种笔记本各多少本？ 【解】设购进了种笔记本本，种笔记本 本， 由题意,得 解得 答：购进了种笔记本150本， 种笔记本200本. 18 （2）在销售过程中，， 两种笔记本的标价分别为20元/本、 25元/本.两种笔记本按标价各卖出 本以后，该店进行促销活 动，剩余的种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的 种笔 记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2 348元， 请求出 的最小值. 19 【解】由题意，得 ， 解得 ， 所以 的最小值为128. 20 $$专题复习4 平移与作图 1 类型1 利用三角尺和直尺作图 1.如图. 2 （1）画出三角形沿射线的方向平移 后的图形； 【解】如图所示,三角形 即为所求. 3 （2）在线段上任取一点，画出点 经过上述平移后的对 应点位置. 【解】如图所示, 即为所求. 4 类型2 利用网格作图 2.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1个单位长度，三角形 的三个顶点的位置 如图，现将三角形平移，使点 移动到点 ，点，的对应点分别是点， . 5 （1）画出平移后的三角形 ； 【解】如图,三角形 即为 所求. 6 （2）若连接， ，则这两条线段的关系是____________. 平行且相等 7 类型3 利用平移的性质作图 3.如图，,分别是三角形的边， 上的点， ,平分交于点,延长至点 ,使 ,点在边上， . 8 （1）用无刻度的直尺画出点 的位置； 【解】如图,点 即为所求. 9 （2）若 , ,求 的度数； 10 , . 又 , . 平分 , . , . , . 11 （3）在（2）的条件下，连接，若 ,试用含 的式子表示 的度数. 12 【解】如图，作 , 则 . ,, . . . 13 $$专题复习1 相交线与平行线中 的数学思想 1 类型1 转化思想 1.如图，，，，试说明： . 2 【解】如图，过点作 . ， . . 3 又 ， . 同理可得 . ， . . 类型2 数形结合思想 2.如图，直线，被直线 所截， ， .试说明： ， . 5 【解】由对顶角相等，得 . 又 ， . . .又 ， ， 即 . 6 类型3 整体思想 3.如图， ，， 平分 ，平分， 的反向延长线为射线 .求 的度数. 7 【解】， . 设， . 平分，平分 ， ， . ， . . . . 8 类型4 方程思想 4.如图，直线，交于点，，平分 ， 若，求 的度数. 9 【解】 设 ，则 . 平分 ， . ， . 又 ， ，解得 . . . 10 类型5 分类讨论思想 5.如图， ,为内一条射线，存在点， ， 使，.求 的度数. 11 【解】 设， . ①当，分别在，的内部时（图中， 的位置）， ， . ； 12 ②当在内部，在的外部时（图中， 的位置）， ； ③当，分别在，的外部时（图中 ， 的位置）， ； ④当在外部，在的内部时（图中， 的位置）， . 综上所述，的度数为 或 . 类型6 从特殊到一般的思想 6.如图，是直线上一点， ,, 分别平分 和 . 14 （1）求 的大小. 【解】平分 ， . , 平分 ， . . 15 （2）当绕点转动，,仍为 和 的平分线时， 的大小是否改变？ 为什么？ 的大小不改变.理由：平分,平分 , ， . ,即 的大小不改变. 16 $$专题复习7 巧用直角坐标系中 点的坐标解题的常见类型 1 类型1 坐标与特征 .象限内的点 1. 如果点在第三象限内，那么 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D. 2 2.在平面直角坐标系中，点 在第四象限，点 到轴和轴的距离分别为3,1,试求 的值. 【解】 点在第四象限，点到轴和 轴的 距离分别为3,1,, , 解得, . 3 .坐标轴上的点 3.在平面直角坐标系中，已知点 . （1）若点在轴上，求的值和点 的坐标； 【解】 点在轴上，，解得 . . 点的坐标为 . （2）若点在轴上，求的值和点 的坐标. 点在轴上，，解得 . 点的坐标为 . 4 .象限角平分线上的点 4.已知平面直角坐标系内的不同两点, . （1）若点在第一、三象限的角平分线上，求 的值； 【解】点 在第一、三象限的角平分线上， . （2）若点在第二、四象限的角平分线上，求 的值. 点 在第二、四象限的角平分线上， . 5 .与坐标轴平行的直线上的点 5.已知平面直角坐标系内的三点： ， ， . （1）当直线轴时，求， 两点间的距离； 【解】轴，， 点的纵坐标相同. ，解得 . ， . ，两点间的距离为 . 6 （2）当直线轴，点 在第二、四象限的角平分线上时， 求点和点 的坐标. 点 在第二、四象限的角平分线上， ，解得 . 点的坐标为 . 直线轴， 点的坐标为 . 7 类型2 坐标与平移 .点的平移 6. 如图，在平面直角坐标系中，将点 作如下的连续平移： , 按此规律平移下去，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. 8 【点拨】由题意可知，将点 向上平移1个 单位长度得到 ,再向右平移3个单位长度 得到 ,再向下平移5个单位长度得到 ,再向左平移7个单位长度得到 ,再向上平 移9个单位长度得到,以此类推，, , , 当 为自然数时， , 点 的坐标 是 .故选C. 9 7. 定义新运算： ①在平面直角坐标系中，,表示动点从原点出发，沿着 轴正方向或负方向平移 个单位长度，再沿 着轴正方向或负方向平移 个单位长度.例 如，动点从原点出发，沿着 轴负方向平移2个单位长度，再 沿着轴正方向平移1个单位长度，记作, . 10 ②加法运算法则：,,,，其中 ， ，， 为实数. 若,, ，则下列结论正确的是( ) B A. ， B. ， C. ， D. ， 【点拨】,,,， , , ， ,，解得， . 11 .图形的平移 8.如图，已知三角形,, , ,是三角形 内任意一点，经 过平移后对应点为 .将三角形 作同样的平移，得到三角形 . 12 （1）直接写出,, 的坐标； 【解】,, . 13 （2）若点是点 通过同样的平移变换得到的，求 的平方根. 【解】由题意得 , , ,的平方根为 . 14 .平移规律的应用 9.如图，点与原点重合，点 向上平移1个 单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点 ；点 向上平移1个单位长度，再向右平 移2个单位长度，得到点；点 向上平移2个单位长度，再 向右平移4个单位长度，得到点；点 向上平移4个单位长 度，再向右平移8个单位长度，得到点 ；…；按这个规律 平移得到点，则点 的横坐标为_______. 15 【点拨】点的横坐标为，点 的横坐标为 ，点的横坐标为，点 的横坐标为 ， ,按这个规律平移得到点 的横坐标为 . 16 类型3 坐标与面积 .三角形面积问题 10.如图，已知点，, ,求三 角形 的面积. 17 【解】如图，作长方形 , 易得，， ， ，， ， ，， . 18 . .多边形面积问题 11.如图，四边形各个顶点的坐标分别是 ， ，，，过点且与轴平行的直线 与过 点且与轴平行的直线交于点，交轴于点， 交 轴于点. 20 （1）求四边形 的面积. 【解】易知四边形是长方形，， ， ，，，，， . 21 （2）在线段上是否存在点，使四边形 的面积为7？ 若存在，求出点 的坐标;若不存在，请说明理由. 【解】不存在.理由:设点的坐标为 ， 则， . 22 ， 即四边形的面积为定值6， 不存在点 ，使四边形 的面积为7. 23 .用面积法求坐标 12.已知，， . （1）若点在第二象限，且,，求点 的坐标和 三角形 的面积； 【解】 点在第二象限，且, , ， 点的坐标为 . 易知，三角形的边 上的高为3， . 24 （2）若点在第四象限，且三角形的面积为8， , 求点 的坐标. 【解】，三角形的边上的高为 ， . . 又 点在第四象限,,, . 点的坐标为 . 25 $$专题复习5 实数中的应用 1 类型1 实数中非负性的应用 1.已知，求 的值 . 【解】由题意得, ， 解得,.所以 . 2 2.已知,满足 ，求式子 的值. 【解】由，，得,所以 , . 又因为，所以 . 所以 3 3.已知,为有理数，且 ,求 的值. 【解】因为 ,所以 . 因为,,所以, , 解得, . 所以 . 4 类型2 实数与数轴的应用 4.小明用一枚直径是1的奥运纪念币在数轴上做滚动游戏，如 图，是纪念币圆周上的一点，纪念币从数轴上的原点 （点与点重合）开始沿数轴正方向滚动一周，点 恰好与 数轴上的点 重合. 5 （1）你知道点 对应的实数吗? 【解】点对应的实数是 . （2）你能从小明的操作发现什么结论? 结论：数轴上的点与实数成一一对应关系. 6 5.阅读下面的文字，解答问题. 如图①,把两个边长为 的小正方形分别沿对角线剪开，将 所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为 的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： ① ② 7 （1）所得到的面积为 的大正方形的边长就是原先边长 为 的小正方形的对角线长，求小正方形的对角线长; ① ② 【解】 面积为 的大正方形的边长就是原先边长为 的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大 正方形的面积的算术平方根，即 . 8 （2）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数 所对应的点，求图②中, 两点表示的数; ① ② 【解】由（1）可知，小正方形的对角线长为 , , . ,两点表示的数分别为和 . 9 （3）通过动手操作，小张同学把长为5,宽为1的长方形 （如图③）进行裁剪并拼成一个正方形，则图中阴影部分正 方形的边长为___;请用（2）中相同的方法在图④的数轴上找 到表示 的点（保留作图痕迹）. 1 ③ ④ 10 题图③中大正方形的面积为5, 题图③中小长方 形的对角线长为,如图所示，点表示的数为 . 11 类型3 实数整数部分与小数部分的应用 6.对于一个实数,规定其整数部分为,小数部分为 . 如：当时，,;当时，, . （1）当 时，______;当时， ___; （2）当时， _______; （3）若,则 __________. 3 12 7.已知是的整数部分，是 的小数部分，求 的值. 【解】根据估算可知,所以, . 所以 . 13 8.已知的小数部分是,的小数部分是 ,求 的平方根. 【解】由题意知 , , , 的平方根为2或 . 14 $$专题复习8 解复杂二元一次方 程组的技巧 1 见答案册第53页 技巧1 用叠加、叠减法解二元一次方程组 1.解下列方程组： （1） 【解】 ，得 , 化简，得 .③ 2 由③，得 .④ 把④代入①，得 , 解这个方程，得 . 把代入④，得 . 原方程组的解为 3 （2） 【解】 ，得 . 化简，得 .③ 4 ，得 .④ ，得，解得 . ，得，解得 . 原方程组的解是 5 技巧2 用整体代入法解二元一次方程组 2.阅读以下材料： 解方程组 由①,得 ③，把 ③代入②，得，解得，将 代入 ③,得， 原方程组的解是 这种解法称为“整 体代入法”. 6 请你用这种方法解方程组： 【解】原方程组可化为 把①代入②，得 ， 7 解得 ， 把代入①，得 ， 解得 ， 原方程组的解是 8 技巧3 用换元法解二元一次方程组 3.综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样 一个问题：解方程组： 9 【观察发现】（1）如果用代入消元法或加减消元法求解， 运算量比较大，容易出错.如果把方程组中的 看成 一个整体，把 看成一个整体，通过换元，可以解决 问题.设， ，则原方程组可化为 _ __________________，解关于， 的方程组，得 解方程组,得_ _______； 【解】 10 【探索猜想】（2）运用上述方法解下列方程组： 11 【解】设， ， 则原方程组可化为 解关于，的方程组，得 解方程组，得 【拓展延伸】（3）已知关于， 的二元一次方程组 的解为 求关于， 的方程组 的解. 13 【解】方程组可化为 关于，的二元一次方程组 的解为 解得 14 技巧4 用类比法解二元一次方程组 4.若方程组 的解是 则方程组 的解为_ ________. 15 5. 阅读材料：已知关于， 的方程组 的解是求关于， 的方程组 的解. 16 解：方程组 可化为 关于，的方程组 的解是 解得 关于， 的方 程组 的解是 17 通过对上面材料的认真阅读，解决问题： 已知关于，的方程组 的解是 求 关于，的方程组 的解. 18 【解】方程组 可化为 关于,的方程组的解是 19 解得 关于,的方程组的解是 $$专题复习9 利用二元一次方程 （组）解决生活中实际问题 1 类型1 行程问题 1. 黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的 速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用 了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千 米/时的速度经过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从 出发点到香山的路程是多少千米？ 2 【解】设平路为千米，坡路为 千米，根据题意,得 解得 （千米）. 答：从出发点到香山的路程是9千米. 3 类型2 工程问题 2.小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 需6周完成，需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的 由乙公司来做，还需9周才能完成，需工钱4.8万元，若只选 一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家是选甲 公司还是乙公司,请说明理由. 4 【解】设甲公司单独完成需周，需工钱 万元，乙公司单独 完成需周，需工钱 万元. 依题意，得 解得即 5 经检验： 是原方程组的解，且符合题意. 又解得 即甲公司单独完成需工钱6万元，乙公司单独完成需工钱4万元. 答：从节约开支的角度考虑，应选乙公司单独完成. 6 类型3 销售与利润问题 3.某电器商场销售每台进价分别为120元，190元的， 两种 型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量/台 销售收入/元 种型号 种型号 第一周 5 6 2 310 第二周 8 9 3 540 7 （1）求， 两种型号的电风扇的销售单价； 【解】设种型号的电风扇的销售单价为元， 种型号的电 风扇的销售单价为 元，根据题意,得 解得 答：种型号的电风扇的销售单价为150元， 种型号的电风 扇的销售单价为260元. 8 （2）若商场再次购进这两种型号的电风扇共120台，并且全 部销售完.该商场能否实现这批电风扇的总利润为8 240元的 目标？若能，请给出相应的采购方案，若不能，请说明理由. 【解】能.设再次购进种型号的电风扇台，种型号的电 风扇 台，根据题意,得 9 解得 所以该商场能实现这批电风扇的总利润为8 240元的目标， 采购方案为购进种型号的电风扇4台，购进 种型号的电风 扇116台. 10 类型4 分段计费问题 4. 为鼓励居民节约用电，某市对家庭用电收 费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级 收费，如下表.小明家今年2月份用电330千瓦时，电费为213 元，3月份用电240千瓦时，电费为150元.已知小红家今年4,5 月份的家庭用电量分别为200千瓦时和 490千瓦时，请你依 据题目条件，计算小红家4，5月份的电费分别为多少元？ 11 每户每月用电量 电价/（元/千瓦时） 180千瓦时及以内 超过180千瓦时但不超过450千瓦时的 部分 超过450千瓦时的部分 12 【解】由题意，得 解得 （元/千瓦时）, 13 小红家4月份的电费为 （元）， 5月份的电费为 （元）. 答：小红家4月份的电费为122元，5月份的电费为327元. 14 类型5 数字问题 5. 小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人 取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个 两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9.”他们又把这两张 卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰 好也比原来的两位数大9.” 结合题意，回答下列问题： 15 （1）他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ 【解】设他们取出的两张卡片上的数字分别为， ， 第一次拼成的两位数为 ，第二次拼成的两位数为 . 根据题意，得解得 所以他们取出的两张卡片上的数字分别是4，5. 16 （2）第一次他们拼成的两位数是多少？ 【解】第一次他们拼成的两位数是45. （3）第二次他们拼成的两位数又是多少呢？ 第二次他们拼成的两位数是54. 17 类型6 配套问题 6.某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 的某种布料 可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用 这种布料生产 这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使 做的衣身和衣袖恰好配套？ 【解】设用的布料做衣身，用 的布料做衣袖， 由题意,得 解得 答：用的布料做衣身，用 的布料做衣袖恰好配套. 18 7.某工厂两个车间共200人，由于工作需要现将一车间里20人 抽调到二车间，这时一车间人数比二车间人数的2倍还多5人， 求原来一车间和二车间各有多少人. 【解】设原来一车间有人，二车间有 人， 由题意,得 解得 答：原来一车间有155人，二车间有45人. 19 类型7 比赛积分问题 8.某足球特色学校在七年级各班男队之间开展足球单循环比 赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总 积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次.记分办法是胜 一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 20 （1）比赛中，若七（1）班男队胜场数的两倍比平场数多1 场，总积分为14分，求七（1）班男队胜了多少场？ 【解】设七（1）班男队胜了场，平了 场. 依题意,得 解得 答：七（1）班男队胜了3场. 21 （2）已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七（1）班男 队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七 （1）班男队最少负了多少场？ 该校七年级共有16个班， 七（1）班男队共比赛了15场. 设七（1）班男队负了场，则平了场（ 是整数）. 依题意，得 ， 化简，得 . 22 为整数， 只能是奇数. 只可能为1，3，5，15. 当时， ，不合题意，舍去； 当时，, ； 当时，, ； 当时，, . 经比较可知，七（1）班男队最少负了2场. 23 类型8 几何问题 9.某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质 量，该企业进行试生产.他们购得规格是 的标 准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁 下型与型两种板材,如图所示.（单位： ） ① ② 24 （1）列出方程（组），求出图①中与 的值. 【解】由题意得 解得 ① 25 （2）在试生产阶段，若将张标准板材用裁法一裁剪， 张 标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与 型板材做成侧面 和底面，做成如图②所示的横式无盖礼品盒. ①两种裁法共产生型板材__________张， 型板材________ ____张（用含， 的代数式表示）. ② 26 【点拨】由题图①知，裁法一产生型板材 张，裁法二产 生型板材 张， 所以两种裁法共产生型板材 张， 由题图①知，裁法一产生型板材张，裁法二产生 型板材 张， 所以两种裁法共产生型板材 张. ① 27 ②当时，所裁得的型板材和 型板材恰好用完， 做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ ① ② 28 【解】由题图②可知，做一个横式无盖礼品盒需型板材 3张， 型板材2张. 所裁得的板材恰好用完， ，整理,得 . ， 都是整数， 为4的整数倍. ② 29 又 ， 可取32，36，40， 此时， 分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24， 27，30. 答：做成的横式无盖礼品盒可能是24个或27个或30个. 30 $$专题复习6 比较实数大小的方法 1 方法1 平方法 1.比较 与4的大小. 【解】, . 因为,所以 . 2 方法2 绝对值法 2.比较与 的大小. 【解】 , , , . 根据两个负数比较大小,绝对值大的反而小,可知 . 3 方法3 作差法 3.比较与 的大小. 【解】 . ,,即 . . 4 方法4 取近似值法 4.比较与 的大小. 【解】 , . , . 5 方法5 定义法 5.比较与 的大小. 【解】因为,所以.所以 . 所以 . 又因为,所以 . 6 $$专题复习3 平行线中的阅读理 解与探究题 1 类型1 阅读理解填理由题 1.如图，直线， ， ，求 的度数. 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学 式）. 解： （已知）， ____（________________________）. 两直线平行，内错角相等 2 ， （已知）， （等式的性质）. （__________）. ____//____（_________________________ __）. ____（________________________）. . 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 类型2 阅读理解和运用 2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某同学为 了探究这两个角之间的关系，画出了以下两个不同的图形， 请你根据图形完成以下问题: ① ② 4 （1）如图①,如果,,那么与 的关系是 _______________. 如图②,如果,,那么与 的关系是________ _________. ① ② 5 （2）根据（1）的探究过程，我们可得出结论：如果一个角的 两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角____________. 相等或互补 ① ② 6 （3）利用结论解决问题：如果有两个角的两边分别平行， 且一个角比另一个角的3倍少 ,则这两个角分别是多少度？ ① ② 7 【解】设一个角的度数为,则另一个角的度数为 . 分两种情况： ① ,解得 ,则 ; ② ,解得 ,则 . 答:这两个角分别是 , 或 , . ① ② 8 类型3 探究有关角度的定值问题 3. 如图， ， ，，，， 四点在同一直线上. （1）试说明： ； 【解】 延长，交于点，， ， ， . 9 （2）是下方一点，连接， ，且 ，，若 ，探 究 的度数是否变化，若不变，请求出其值； 若变化，请说明理由. 10 【解】不变.设， ， 则， , . 在点上方作 ， ， . ， ， 11 . . ，得 ， . 4.如图，已知， ，点是射线 上一 动点（与点不重合），和 的平分线分别交射线 于点，，的平分线与的平分线交于点 ， 在点运动的过程中，与 的比值是否变化？若不 变，请求出这个比值；若变化，请说明理由. 13 【解】与 的比值不变.设 ，如图，过点作 ， ，， . 平分， . . 平分 ， 14 . . 易得 , , , . . . $$专题复习11 含参数的不等式 （组） 1 类型1 解含参数的一元一次不等式 1. 规定一种运算： ，其中， 为常数，若 ，求不等式 的解集. 2 【解】 ， ， 解得 ， ， 解得 . 3 类型2 已知不等式的解集求相关不等式的解集 2.若关于的不等式的解集是 ， 试求关于的不等式 的解集. 【解】不等式 可化为 . ， 且. ， 4 将代入，得 ， 即， . 将代入不等式 , 整理，得 . ， . 5 类型3 已知不等式（组）的解集，求参数的值或取值范围 3. 如图，数轴上表示的是关于 的一元一次 不等式组的解集，求 的取值范围. 6 【解】 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 由数轴可知该不等式组的解集为 ， . 7 4. 已知一元一次不等式 . （1）若它的解集是，求 的取值范围； 【解】 ， . 一元一次不等式的解集是 ， ，的取值范围是 . 8 （2）若它的解集是，试问：这样的 是否存在？如果 存在，求出它的值；如果不存在，请说明理由. 【解】不存在.理由如下： ， . 9 一元一次不等式的解集是 ， 易知，且 ， 且， 此时 不存在， 若它的解集是，这样的 不存在. 10 类型4 已知不等式组有解或无解，求参数的值或取值范围 5.[2024北京大兴区期末] 已知关于的不等式组 有解，求 的取值范围. 11 【解】 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 . 关于的不等式组有解， . 12 6.[2024西安莲湖区期末] 若关于 的一元一次不等式组 无解，求 的取值范围. 13 【解】 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 . 关于的一元一次不等式组 无解， . 类型5 已知不等式组的整数解的个数，求参数的值或取 值范围 7. 对于任意实数, ，定义一种运算： ，例如： .请根据上述定义解决问题： 若，且解集中有三个整数解，求整数 的取值. 15 【解】由题意得， , ，即 , 解得 . 解集中有三个整数解， 易知，解得 . 整数的取值可以是，， . 16 $$专题复习12 应用不等式（组） 解决方案问题 1 类型1 利用不等式（组）解决费用问题 1.[2024北京朝阳区期末] “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们 自己手中”.为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入 一笔资金购进甲、乙两种农机具.已知购进2件甲种农机具和1 件乙种农机具共需3.5万元；购进1件甲种农机具和3件乙种农 机具共需3万元. 2 （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ 【解】设购进1件甲种农机具需万元，1件乙种农机具需 万元. 根据题意,得 解得 答：购进1件甲种农机具需1.5万元，1件乙种农机具需0.5万元. 3 （2）若该基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入 资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具 件， 该基地有几种购买方案？ 【解】根据题意,得 解得 . 为整数， 可以取5，6，7， 即该基地有3种购买方案. 4 （3）由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具 降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，在（2）的条件 下，当 取最小值时，该基地计划将节省的资金全部用于再 次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出 再次购买农机具的方案有几种. 【解】再次购买农机具的方案有2种. 5 【点拨】设节省的资金用于再次购买甲种农机具 件，乙种 农机具 件， 由（2）知 的最小值为5， 由题意得 ，整 理，得 , 易知其整数解为 或 再次购买农机具的方案有2种. 6 2.[2024十堰期末] 为有效开展课后延时服务特色课程，某校 计划购买葫芦丝和口风琴给同学们活动使用，若购买1个葫 芦丝和2个口风琴需用280元；若购买2个葫芦丝和3个口风琴 需用470元. （1）求购买1个葫芦丝和1个口风琴各需多少元. 【解】设购买1个葫芦丝需元，1个口风琴需 元， 由题意得 解得 答：购买1个葫芦丝需100元，1个口风琴需90元. 7 （2）如果购买葫芦丝和口风琴共46个，且购买葫芦丝的数 量不低于口风琴数量的1.5倍，求最多可购买多少个口风琴？ 【解】设购买个口风琴，则购买 个葫芦丝， 由题意得， ， 解得 . 为整数， 的最大值为18. 答：最多可购买18个口风琴. 8 （3）学校根据实际情况，在（2）的前提下，要求购买的总费 用不超过4 430元，请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【解】由题意得 解得 . 为整数， 的值可以为17，18. 9 当时， ，此时购买的总费用为 （元）; 当时， ，此时购买的总费用为 （元）. ， 共有两种购买方案：①购买葫芦丝29个，口风琴17个；② 购买葫芦丝28个，口风琴18个.其中方案②最省钱. 10 类型2 利用不等式（组）解决销售问题 3.[2024达州] 为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助 农户将， 两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每 件品种柑橘礼盒比 品种柑橘礼盒的售价少20元.且出售25 件品种柑橘礼盒和15件 品种柑橘礼盒的总价共3 500元. 11 （1）求， 两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元. 【解】设,两种柑橘礼盒每件的售价分别为元， 元，根 据题意，得解得 ， 两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元. 12 （2）已知加工， 两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元， 60元.该乡镇计划在某农产品展销活动中售出， 两种柑橘 礼盒共1 000件，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过 品种 柑橘礼盒数量的1.5倍.总成本不超过54 050元.要使农户收益 最大，该乡镇应怎样安排， 两种柑橘礼盒的销售方案?求 出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元. 13 【解】设售出品种柑橘礼盒 件，则 解得 . 设收益为 元，根据题意，得 . ， 14 随 的增大而减小. 当时， 取得最大值，最大值为 . 售出品种柑橘礼盒 （件）. 要使农户收益最大，销售方案为售出 品种柑橘礼盒595件， 售出 品种柑橘礼盒405件，最大收益为34 050元. 15 类型3 利用不等式（组）解决租车方案问题 4.某公司要将一批物资运往甲市，计划租用， 两种型号的 货车，在每辆货车都满载的情况下，若租用4辆 型货车和6 辆型货车可装载190箱物资；若租用5辆型货车和10辆 型 货车可装载275箱物资. 16 （1）， 两种型号的货车每辆分别可装载多少箱物资？ 【解】设型货车每辆可装载箱物资， 型货车每辆可装载 箱物资， 由题意得 解得 答：型货车每辆可装载25箱物资， 型货车每辆可装载15箱 物资. 17 （2）初步估算，运输的这批物资不超过725箱，若该公司计 划租用，两种型号的货车共40辆，且 型货车的数量不超 过 型货车数量的3倍，则该公司一次性将这批物资运往甲市 共有几种租车方案？请具体说明. 18 【解】设租用型货车辆，则租用型货车 辆. 由题意，得 解得 . 因为是整数，所以或或 . 所以租车方案共有3种，具体如下：型货车10辆， 型货 车30辆；型货车11辆，型货车29辆； 型货车12辆， 型货车28辆. 19 $$专题复习2 几何变换中的角度 计算问题 1 类型1 翻折变换 1.[2024广州越秀区期末] 将一张长方形纸条折成如图的形状， 若 ，求 的度数. 2 【解】如图，标出字母. ， . 由题意易得 . . ， . 3 2.[2024扬州期末] 如图，在三角形中， ， ，为边上一点，将三角形沿直线 翻折 后，点落到点处.若，求 的度数. 4 【解】 ， ， . 由折叠的性质得 ， . ， . . . . . 5 类型2 平移变换 3.如图， ， ，直线 平移后得到直线 ，直线经过点，再将直线平移得到直线 . 6 （1）求 的度数； 【解】由平移的性质可知, ， . ， . 7 （2）求 的度数. 8 【解】如图， ， ， 9 . ， . 4. 如图，已知直线， ，点， 在直线上，且满足，平分 . 11 （1）求 的度数. 【解】 ， . ，平分 ， . 12 （2）若左右平移，在平移 的过程中，是否存在某种情 况，使？若存在，求出 的度数；若不存 在，请说明理由. 13 【解】存在.设 . ，， , . . 若，则 . 解得 . . 14 类型3 旋转变换 5.[2024珠海期中] 如图①，某水域的两岸是互相平行的直线， 在两岸的, 处分别设置了一盏可以不断匀速旋转的探照灯. 设两岸，点处探照灯射出的光线自 开始顺时针 旋转，点处探照灯射出的光线自 开始顺时针旋转，当两 灯射出的光线旋转至各自岸边时立即反向旋转，旋转中常常 出现交叉照射， 15 若点处射出的光线每秒旋转 ，点 处射出的光线每秒旋 转 . ① ② 16 （1）设点处探照灯先旋转 后，记两盏灯一起旋转的时 间为，当点处探照灯射出的光线首次旋转至 位置 之前时，能否出现两盏探照灯射出的光线互相平行?若能，求 出所有 的值;若不能，请说明理由； ① ② 17 【解】当点处探照灯射出的光线首次旋转至 位置之 前时，能出现两盏探照灯射出的光线互相平行. 处探照灯先 旋转后，处探照灯射出的光线 旋转了 .当点处探照灯射出的光线 首次旋转至 位置时， ，解得；当 时， 处探照灯射出的光线旋转了 ，即 从 开始旋转到后又逆时针旋转了 . 18 ① ①当未旋转到 时，两盏探照灯射出 的光线互相平行，如图①, ， . ， . . ，解得 ； 19 ② ②当旋转到 又逆时针旋转时，两盏 探照灯射出的光线平行，如图②. , , ,解得 . 综上，的值为20或 . 20 （2）如图②，已知 垂直于河岸，设两灯同时开始旋转， 若两盏探照灯射出的光线在河面上点 处互相垂直，求 的度数. ① ② 21 【解】当时，如图③，过点作 ， ③ ， . , . 22 ， . 又 , ， 即 ， 解得 ，此时，不符合题意； 当时,如图④,过点作 ， ④ 同法可得 ，解得 . 此时 ; 24 当 时，如图④，同法可得 ,解得 ,此时 ; 当 时，如图③，同法可得 ,解得 ,舍去. 综上， . $$