专题02 不等式与不等式组（考点串讲，4考点+5技巧+3易错）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版五四制）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 专题02 不等式与不等式组 （4考点+5技巧+3易错） 人教版 五四制 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 五大技巧点拨 三大易错易混经典例题+针对训练 精选4道期末真题对应考点练 知识梳理 知识点一：不等式的有关概念 1. 不等式: 用符号“<”或“>”表示不等关系的式子. 2. 不等式的解: 使不等式成立的未知数的值. 3. 不等式的解集: 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 2+3＞5 x+y＞z x-1≤2 x ≠0 x=1是不等式 x-1≤2的解 不等式 x-1≤2的解集是x≤3 包含 不等式的性质1： 对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2： 如果a>b，b>c，那么a>c. 如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 知识点二：不等式的性质 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 如果a＞b，那么a+m＞b+m,a-m＞b-m 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 如果a＞b，那么am＞bm,＞ 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 如果a＞b，m＜0，那么am＜bm,＜ 解一元一次不等式和解一元一次方程类似,有 等步骤. 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为一 知识点三：解一元一次不等式 1.分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2.利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分. 知识点四：解一元一次不等式组 a b a b a b a b 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无处找 x>b x<a a<x<b 无解 用数轴表示一元一次不等式（组）的解集(a<b） 1.根据题意，适当设出未知数 2.找出题中能概括数量间关系的不等关系 3.用未知数表示不等关系中的数量 4.列出不等式(组)并求出其解集 5.检验并根据实际问题的要求写出符合题意的解或解集，并写出答案 知识点五：利用一元一次不等式（组）解决实际问题 三个概念 ⁠一元一次不等式 1.给出下列各式：①－3x＜0；②a＋b；③x＝5；④x2－xy＋y2；⑤x＋2＞－7；⑥a≠3；⑦ax＋b＞0（a，b是常数）.其中是关于x的一元一次不等式的个数是（　C　） A.5 B.2 C.3 D.4 C 针对训练 ⁠一元一次不等式组 2.【2023·石家庄第四十二中质检】检验游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8.前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（　C　） C A.7.2＜＜7.8 B.7.2＜≤7.8 C.7.2≤≤7.8 D.7.2≤＜7.8 ⁠一元一次不等式（组）的解或解集 3.小明，小林和小华三人在一起讨论一个一元一次不等式组： 小明：它的所有解都为非负数； 小林：其中一个不等式的解集为x≤4； 小华：其中有一个不等式在求解过程中需要改变不等号的方向. 请你写出一个同时符合上述3个条件的一元一次不等式组：___________________________________⁠. （答案不唯一） 一个性质——不等式的基本性质 4.a是任意实数，下列各式正确的是（　D　） A.3a＞4a B.＜ C.a＞－a D.1－a＞－a D ⁠ 四个解法 ⁠一元一次不等式的解法 7.解不等式5－2x＜，并在数轴上表示解集. 解：5－2x＜， 去分母，得10－4x＜1－x. 移项，合并同类项，得－3x＜－9. 系数化1，得x＞3. 不等式的解集在数轴上的表示如图所示. ⁠一元一次不等式组的解法 8.下列不等式组中无解的是（　D　） A. B. C. D. D 点拨：A.的解集为－2＜x＜－1，不合题意；B.的解集为x＞－1，不合题意； C.的解集为x＜－2，不合题意； D.无解，符合题意. 9.解不等式组并把解集在数轴上表示出来. 解：解不等式①得x≤5，解不等式②得x＞2.所以不等式组的解集为2＜x≤5. 不等式组的解集在数轴上的表示如图所示. ⁠一元一次不等式组的特殊解 10.不等式组的整数解共有（　C　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 C 11.使x－5＞4x－3成立的最大整数是_________ ⁠. －1 ⁠与方程（组）结合求字母的取值范围 12.已知x，y是整数，3x＋2＝5y＋3，且3x＋2＞30，5y＋3＜41，k＝2x－3y.则k的值为_______. 3 点拨：∵3x＋2＞30，5y＋3＜41，即 ∴9＜x＜13. ∵x是整数，∴x取10，11，12. 由3x＋2＝5y＋3得y＝，当x＝12时y为整数，故x＝12，y＝7. ∴k＝24－21＝3. 一个应用—— 一元一次不等式的应用 13.我市某乡村振兴果蔬加工公司购买龙眼共21吨，并计划将这批龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，已知1吨龙眼可加工桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？ 解：设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把（21－y）吨龙眼加工成龙眼干. 由题意得10×0.2y＋3×0.5（21－y）≥39， 解得y≥15. 答：至少需要把15吨龙眼加工成桂圆肉. 14.某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区.已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同；3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售额多1 500元. （1）求甲种电子产品与乙种电子产品销售单价各为多少元？ 解：（1）设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电子产品的销售单价为y元. 根据题意得 解得 答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的销售单价为600元. 14.某集团有限公司生产甲乙两种电子产品共8万件，准备销往东南亚国家和地区.已知2件甲种电子产品与3件乙种电子产品的销售额相同；3件甲种电子产品比2件乙种电子产品的销售额多1 500元. （2）若使甲乙两种电子产品的销售总收入不低于5 400万元，则至少销售甲种电子产品多少件？ 解：（2）设销售甲种电子产品a万件，则销售乙种电子产品（8－a）万件. 根据题意得900a＋600（8－a）≥5 400. 解得a≥2. 答：至少销售甲种电子产品2万件. 题型1 运用整体思想解决问题 整体思想 方程组中的整体思想是指将一组方程中的某些部分视为一个整体进行处理，以简 化问题的复杂度. 整体代入法：通过观察方程组中的共同部分，将其视为一个整体进行代入. 整体加减法：在某些情况下，可以将两个或多个方程进行整体加减运算，以消去 某些变量. 技巧点拨 21 1. 若在关于，的方程组中， ，则 的取值范围 是( ) B A. B. C. D. 2.已知关于,的方程组 的解满足不等式，求 的取值范围. 【解】由，得 , 因为，所以.所以 . 22 题型2 运用转化思想解决问题 转化思想 转化思想是把一个未知（待解决）的问题转化为已解决的或 易于解决的问题来解决. 3.若关于,的方程组的解满足 ，则 的取值范围为_ _______. 【点拨】由 ，得 . 把代入②中，解得 . 因为，所以，解得 . 23 4.已知关于,的方程组 的解都为非负数，若,， 求 的最小值. 【解】 得，，解得 ， 把代入②,得，解得 ， 所以方程组的解为 因为关于,的方程组 的解都为非负数， 所以所以 .因为，所以 . 所以 .所以.所以的最小值为 . 24 题型3 运用消元思想解决问题 消元思想 消元思想是一种在解决方程问题时常用的策略，特别是在处理多个未知数的情况 下.其基本思想是通过一系列的数学运算，消除方程中的某些变量，从而将多变量 问题转化为单变量问题.这种方法在解决二元一次方程组时尤为常见，常为通过加 减消元法或代入消元法将二元一次方程组转换为一元一次方程进行求解. 5.若,其中,，且,试确定 的最小值和最大值. 【解】因为,所以 .因为，所以.所以 . 因为，所以 .将代入 , 得 .当时，有最大值，最大值为 ； 当时，有最小值，最小值为 . 25 6.若，，,, 皆为非负数，求 的 取值范围. 【解】由得 所以 ， 由得 ， 所以，所以 . 26 题型4 运用方程组的参数解来解决问题 7.若关于,的二元一次方程组的解满足 ，，其中是满足 条件的最小整数，则 的值为___. 1 【点拨】解方程组得 因为，，所以解得 . 所以满足条件的最小整数，所以 . 27 8.已知关于，的方程组 的解满足，，若为整数， 且关于 的不等式的解集为，则 的值为____. 28 题型5 方程组与不等式组的综合应用 9.已知关于,的方程组 的解满足不等式组 求满足条件的 的整数值. 【解】，得 ， ，得 . 因为不等式组所以 解不等式组得 ， 则满足条件的的整数值为， . 29 10.若存在一个整数，使得关于, 的方程组的解满足 ，且让不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整 数 的和. 【解】 ，得，所以 . 因为 ，所以，解得 . 解不等式，得 ，解不等式，得 ， 30 故不等式组的解集是 . 因为不等式组只有3个整数解，所以，解得 . 所以 . 所以符合条件的所有整数 的值的和为 . 10.若存在一个整数，使得关于, 的方程组的解满足 ，且让不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整 数 的和. 易混易错 易错点1.误用不等式的性质3而出错 【例1】根据不等式的性质，把不等式-2x<4x+4化为“x>a”或“x<a”的形式. 错解：不等式两边同减4x，得-6x<4. 不等式两边同除以-6，得x<-. 错解分析：在运用不等式的性质3时，没有将“<”改变成“>”，导致出现错误.要时刻牢记：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 正解：不等式两边同减4x，得-6x<4. 不等式两边同除以-6，得x>-. 【针对训练】利用不等式的性质，把不等式x+10>4x-2化为“x>a”或“x<a”的形式. 解：不等式两边同减10，x>4x-12. 不等式两边同减4x，-3x>-12. 不等式两边同除以-3，x<4. 易错点2.去分母时，忽视分数线的括号作用而出错 【例2】解不等式-≥2. 错解：去分母，得2x+2-5x-2≥20. 移项，得2x-5x≥20-2+2. 合并同类项，得-3x≥20. 系数化为1，得x≤-. 错解分析：在解一元一次不等式时，忽视了分数线的括号作用，出现了漏乘的错误.注意：在去分母时，若分子是多项式，则必须先添上括号，再进行计算. 正解：去分母，得2（x+2）-5（x-2）≥20. 去括号，得2x+4-5x+10≥20. 移项，得2x-5x≥20-4-10. 合并同类项，得-3x≥6. 系数化为1，得x≤-2. 【针对训练】解不等式-≤1，并在数轴上表示出该不等式的解集. 解：去分母，得2（2x-1）-3（5x+1）≤6. 去括号，得4x-2-15x-3≤6. 移项，得4x-15x≤6+2+3. 合并同类项，得-11x≤11. 系数化为1，得x≥-1. 在数轴上表示解集如答图 答图 易错点3.取特殊值时出错 【例3】某次“人与自然”的知识竞赛中，共有20道题，比赛规则是：答对一题得5分，答错或不答一题扣2分.在这次比赛中，小莹被评为优秀（80分或80分以上），小莹至少答对了几道题？ 错解：设小莹答对了y道题. 由题意，得5y-2（20-y）≥80.解得y≥17. ∵y是正整数， ∴y的最小值为17. 答：小莹至少答对了17道题. 错解分析：在求答对题目的数量时，误用四舍五入法，取了正整数17，但17小于17，不符合题意，从而导致出错.对于此类题，只能入而不能舍，在解完不等式后，我们要检验一下不等式的解集，既要满足不等式，也要符合题意. 正解：设小莹答对了y道题. 由题意，得5y-2（20-y）≥80. 解得y≥17. ∵y是正整数， ∴y的最小值为18. 答：小莹至少答对了18道题. 【针对训练】某文具店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元就可享受打折优惠.期中考试后，小颖同学在该店为班级买奖品，准备买6支钢笔和若干本笔记本.已知每支钢笔15元，每本笔记本8元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？ 解：设小颖买x本笔记本才能享受打折优惠. 由题意，得15×6+8x≥200.解得x≥13. ∵x是正整数， ∴x的最小值为14. 答：小颖至少买14本笔记本才能享受打折优惠. 1.（2024春•浦东新区校级期中）已知x＞y,下列不等式一定成立的是( ____ ) A.x-6＜y-6 B.2x＜2y C.-2x＞-2y D.2x+1＞2y+1 解：A、∵x＞y,∴x-6＞y-6，原变形错误，不符合题意； B、∵x＞y,∴2x＞2y,原变形错误，不符合题意； C、∵x＞y,∴-x＜-y,∴-2x＜-2y,原变形错误，不符合题意 D、∵x＞y,∴2x＞2y,∴2x+1＞2y+1，正确，符合题意． 故选：D． D 押题预测 40 2.（2023春•松江区期中）不等式(m-2)x＜3的解集是 ，则m的取值范围是 _____ ． 解：∵不等式(m-2)x＜3的解集是 ， ∴m-2＜0， 解得m＜2， 即m的取值范围是m＜2． 故答案为：m＜2． m＜2 41 3.（2024春•长宁区期中） 解不等式： ，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：∵ ， ∴8y-(y-3)≥2(y+3)-4， 8y-y+3≥2y+6-4， 8y-y-2y≥6-4-3， 5y≥-1， ∴y≥- ， 将解集表示在数轴上如下： 42 4.（2023春•浦东新区校级期中） 解不等式组 ，并写出满足条件的正整数解． 解：解不等式1-x＜2(2x+3)，得：x＞-1， 解不等式 ≥x+ ， ∴不等式组的解集为-1＜x≤2， 则不等式组的正整数解为1，2． 43 $$