专题06 等腰三角形与直角三角形（考题猜想83题 16种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

专题06 等腰三角形与直角三角形（考题猜想83题 16种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 等腰三角形的周长问题 · 等腰三角形求角问题 · 等腰三角形的个数问题 · 等腰三角形腰上的高与另一个腰夹角的问题 · 等边对等角 · 三线合一 · 等边三角形的性质 · 在方格中画等腰三角形 · 等腰三角形的个数问题 · 平行线加角平分线问题 · 角平分线与垂线重合问题 · 等腰直角三角形中角平分线与周长的问题 · 等腰三角形的性质和判断 · 等边三角形的判定 · 含30度角的直角三角形的性质 · 直角三角形的判定 一、等腰三角形的周长问题（4个小题） 1．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 ． 2．等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 ． 3．已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为 ． 4．等腰三角形的一条边长为5，周长为20，则该三角形的腰长为 ． 二、等腰三角形求角问题（3个小题） 5．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（　　） A． B． C．或 D．或 6．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是 ． 7．等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（    ） A．50° B．80° C．50°或80° D．100°或80° 三、等腰三角形的个数问题（2个小题） 8．如图，在中，，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是(    ) A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 9．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 四、等腰三角形腰上的高与另一个腰夹角的问题（3个小题） 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角的度数是（  ） A．55° B．125° C．125°或55° D．35°或145° 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，那么这个三角形底角为（   ） A． B． C． D．或 12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ． 五、等边对等角（9个小题） 13．如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在中，D是上一点，，则 °． 15．已知：中，，，则 . 16．如图，在中，，，平分交于点D，点E为的中点，连接．则的度数是 ． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是 ． 18．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是 ． 19．如图，在中，，P是边的中点，，垂足分别为D ，E．求证：．    20．如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：．    21．数学课上，王老师布置如下任务： 如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A． 下面是小路设计的尺规作图过程． 作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求． 根据小路设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) （2）完成下面的证明： 证明：连接BD，BC， ∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴DA＝ ，( )（填推理的依据） ∴∠A＝∠ABD， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A． ∵BC＝BD， ∴∠ACB＝∠ ，( )（填推理的依据） ∴∠ACB＝2∠A． 六、三线合一（8个小题） 22．如图，在中，，D是的中点，在的延长线上取点E，连接，若，，则为（    ）． A． B． C． D． 23．如图，中，，为边的中线，，则（    ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为 ． 25．如图，是等边三角形，，平分交于点，则线段的长为 ． 26．如图，中，．在上截取，作的平分线与相交于点P，连接．若的面积为，则的面积为 ． 27．如图，，，三点在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求证：． 28．已知：如图，点在线段上，平分，，，．求证：． 29．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，那么BD与CE相等吗？为什么？ 七、等边三角形的性质（10个小题） 30．如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 31．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 32．如图，等边和等边中，A、B、C三点共线，和相交于点F，下列结论中正确的个数是（    ） ①；②平分；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 33．如图，是等边三角形，，与交于点F，则的度数是 ． 34．如图，在等边中，D是边上一点，E是延长线上一点，连接，若，求的度数．      35．如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE． 36．如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边，点、点在直线两侧，连接．求证：．    37．已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，延长BC至点E使CE=AD，连接DE交AC于点F． ⑴ 求证：FD=FE； ⑵ 若∠BDE=90°，CF与CE相等吗？并说明理由． 38．已知是等边三角形，点D是直线上一点，以为一边在的右侧作等边． (1)如图①，点D在线段上移动时，直接写出和的大小关系； (2)如图②③，点D在线段（或）的延长线上移动时，猜想的大小是否发生变化．若不变请求出其大小；若变化，请说明理由． 39．已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使，延长交射线于点，连接，作于点． (1)如图1，当点为中点时，_______，的值为_______； (2)如图2，当点在上运动时． ①直接写出的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 八、在方格中画等腰三角形（3个小题） 40．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 41．右图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为，点均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标 ；满足条件的点一共有 个． 42．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，请你在如下的网格中找到所有符合条件的点C（可以用，……表示），并画出所有三角形． 九、等腰三角形的个数问题（2个小题） 43．如图，，点P为直线上的一个动点，若使得是等腰三角形．则符合条件的点P有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 十、平行线加角平分线问题（4个小题） 45．如图，，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 46．如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ．    47．如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E，过点E作交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 48．如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 十一、角平分线与垂线重合问题（4个小题） 49．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为 ．    50．如图，的面积为4cm2，AP垂直的平分线BP于点P，则的面积为 cm2． 51．如图，在中，平分，点E是上一点，，且．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 52．如图，已知：，，的平分线交于点，过作于点， 求证： 十二、等腰直角三角形中角平分线与周长的问题（2个小题） 53．如图，在中，，，AD平分交BC于D，于E，若的周长是4cm，则AB的长为 cm． 54．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是6，则AB= ，AC= ． 十三、等腰三角形的性质和判断（11个小题） 55．如图，在中，，点分别是的边的中点，边分别与相交于点，且，连接，现在下列四个结论；①，②平分，③，④，⑤．则其中正确的结论有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 56．如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．    (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 57．如图，在中，点在边上，，平分交于点，点在上，平分．求证：． 58．如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 59．如图，中，，，过点C在外作射线，且，点A关于的对称点为点D，连接，其中分别交射线于点M，N． (1)依题意补全图形； (2)当时，直接写出的度数； (3)当时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 60．给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 61．已知，中，，在上取一点D，在延长线上取一点E，连接交于点F．若F是中点，求证：． 62．如图，在中，，，平分交于点． (1)求证：； (2)探究：若，那么等于哪两条线段长的和呢？说明理由． 63．如图，，是的中点，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若平分，求证：． 64．如图，在等边中，点D是线段上一点作射线，点B关于射线的对称点为E，连接延长，交射线于点F．    (1)补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 65．在中，是边的中线，E是边上一点，交于点F． (1)如图①，判断的形状并证明； (2)如图②，， ①补全图形； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 十四、等边三角形的判定（8个小题） 66．如图，是等边三角形，是边上的点，过点作交于点，求证：是等边三角形．    67．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC=10，求△ODE的周长． 68．如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 69．已知：如图，是等边三角形，D是上一点，，，求证：是等边三角形． 70．如图，已知等边，点D为边延长线上一点，连接，且，在的延长线上截取，使，连接．    (1)①依题意补全图形； ②直接写出的度数__________； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 71．如图，在． (1)求证：； (2)分别以点A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接．求的面积． 72．【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 73．在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，（，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”如图，点是线的“关联点”．    (1)如图已知点，，点与点重合． 当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是 ； 已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是 ． (2)如图，已知，． 当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，求证：： 当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 十五、含30度角的直角三角形的性质（5个小题） 74．如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点，若BC=6，则BD的长为(        ) A．3 B．4 C．6 D．8 75．如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 76．在中，，，，那么 ， ． 77．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于、，，则的长为 ． 78．如图，为等边三角形，，与相交于点，于，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 十六、直角三角形的判定（5个小题） 79．已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 80．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 81．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 82．在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 83．如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． $$专题06 等腰三角形与直角三角形（考题猜想83题 16种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 等腰三角形的周长问题 · 等腰三角形求角问题 · 等腰三角形的个数问题 · 等腰三角形腰上的高与另一个腰夹角的问题 · 等边对等角 · 三线合一 · 等边三角形的性质 · 在方格中画等腰三角形 · 等腰三角形的个数问题 · 平行线加角平分线问题 · 角平分线与垂线重合问题 · 等腰直角三角形中角平分线与周长的问题 · 等腰三角形的性质和判断 · 等边三角形的判定 · 含30度角的直角三角形的性质 · 直角三角形的判定 一、等腰三角形的周长问题（4个小题） 1．若等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是 ． 【答案】14 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的定义及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．分当腰长是时和当腰长是时两种情况求解． 【详解】解：当腰长是时，因为，不符合三角形的三边关系，应排除； 当腰长是时，因为，符合三角形三边关系，此时周长是； 答案：14． 2．等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 ． 【答案】15 【分析】根据等腰三角形的性质，结合三角形的三边关系即可得到答案． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别是和， 当腰长为，底长为，由三角形三边关系知，则该情况不成立； 当腰长为，底长为，该情况成立，则它的周长是， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形性质及三角形三边关系，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键． 3．已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为 ． 【答案】6或8/8或6 【分析】分两种情况进行讨论：①当腰长为6时；②当底边长为6时，分别进行求解即可． 【详解】解：设底边长为x，腰长为y， 则， ①当腰长时， ， ； 三边长分别为6，6，8能构成三角形，符合题意； 故； ②当底边长时， ， ； 三边长分别为7，7，6能构成三角形，符合题意； 故； 综上所述，或； 故答案为：6或8． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的构成与一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形三边的关系与分类讨论是解答此题的关键． 4．等腰三角形的一条边长为5，周长为20，则该三角形的腰长为 ． 【答案】7.5 【分析】根据腰长是否为5，分两类情况进行求解即可． 【详解】解：当腰长为5时，由周长可知：底边长为10，且 故不满足三边关系，不成立， 当腰长不为5时，则底边长为5，由周长可得：腰长为 满足三边关系，故腰长为7.5， 故答案为：7.5． 【点睛】本题主要是考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练根据腰长来进行分类讨论，这是解决本题的关键． 二、等腰三角形求角问题（3个小题） 5．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．题中未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解． 【详解】解：当是顶角时，底角： 当是底角时，它的另一个底角等于， 所以它的一个底角是或， 故选：D． 6．已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为，分度数为的角为顶角和底角两种情况进行求解即可． 【详解】解：当度数为的角是顶角时，则顶角的度数为； 当度数为的角为底角时，则顶角的度数为； 综上所述，顶角的度数为或， 故答案为：或． 7．等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（    ） A．50° B．80° C．50°或80° D．100°或80° 【答案】C 【分析】已知给出一个角的度数为80º，没有明确是顶角还是底角，要分类讨论，联合内角和求出底角即可． 【详解】解：等腰三角形的一个角是80°， 当80º为底角时，它的一个底角是80º， 当80º为顶角时，它的一个底角是， 则它的一个底角是50º或80º． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，内角和定理，掌握分类讨论的思想是解决问题的关键． 三、等腰三角形的个数问题（2个小题） 8．如图，在中，，以的一边为腰画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多是(    ) A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以三个顶点为等腰三角形的顶点可以画出4个等腰三角形，分别以三条边 等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可以作出7个不同的等腰三角形 【详解】①以为圆心，长为半径画弧，交于点，是等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形； ③以为圆心，长为半径画弧，交于点，就是等腰三角形，交于点,是等腰三角形；； ④作的垂直平分线交于点，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于，则和都是等腰三角形，此情形点与点重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形． 综上所述，最多有7个等腰三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 9．如图，，点是射线上的定点，点是直线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为腰时，当为底时，分别画出图形，即可得出答案，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 当为底时，为等腰三角形， 满足条件的点共有个， 故选：D． 四、等腰三角形腰上的高与另一个腰夹角的问题（3个小题） 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角的度数是（  ） A．55° B．125° C．125°或55° D．35°或145° 【答案】C 【分析】分别从是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图（1）， ∵AB=AC，BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=35°， ∴∠A=55°； 如图（2）， ∵AB=AC，BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∵∠ABD=35°， ∴∠BAD=55°， ∴∠BAC=125°； 综上所述，它的顶角度数为：55°或125°． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分类并画出图形是解题的关键． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，那么这个三角形底角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，分高在等腰三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当三角形的高线在三角形的内部时，如图：，，则： ∴； 当三角形的高线在三角形的外部时，如图：，，则：， ∵， ∴； 故选D． 12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的底角度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，在等腰中，为腰上的高，，分在内部时和外部时，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， ∵为高， ∴， ∴， ∵， ∴； 当在外部时，如图2， ∵为高， ∴， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 五、等边对等角（9个小题） 13．如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题和三角形外角的性质，据此得到角之间的关系，即可得到结果，解题的关键是根据三角形外角的性质得到角度之间的关系． 【详解】解：连接，如图所示： ∵沿折叠后，点的对应点为， ∴，，， 在中，， 在中，， ∴， 即， 故选：B． 14．如图，在中，D是上一点，，则 °． 【答案】25 【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可． 【详解】解：∵AC＝AD＝DB， ∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C， 设∠ADC＝α， ∴∠B＝∠BAD＝ ， ∵∠BAC＝105°， ∴∠DAC＝105°﹣， 在△ADC中， ∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°， ∴2α+105°﹣＝180°， 解得：α＝50°， ∴∠B＝∠BAD＝＝25°， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15．已知：中，，，则 . 【答案】 【详解】 ∵∠B－∠A=30°， ∴∠B=∠A+30°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=∠A+30°， ∴∠A+30°+∠A+30°+∠A=180°， ∴∠A=40°. 故答案为40°. 点睛：掌握等腰三角形的性质以及三角形的内角和. 16．如图，在中，，，平分交于点D，点E为的中点，连接．则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到，然后利用平分交于点D求得的度数，利用三角形的内角和求得的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质，难度不大． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是 ． 【答案】10° 【分析】设∠B＝∠C＝x，∠CDE＝y，分别表示出∠DAE，构建方程解方程即可求解． 【详解】解：设∠B＝∠C＝x，∠EDC＝y， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝x＋y， ∵∠DAE＝180 °−2（x＋y）＝180 °−20 °−2x， ∴2y＝20 °， ∴y＝10 °， ∴∠CDE＝10 °． 故答案为：10° 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质． 18．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键． 19．如图，在中，，P是边的中点，，垂足分别为D ，E．求证：．    【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵P是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，在中，，点D、E都在边BC上，且，求证：．    【答案】见详解 【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 21．数学课上，王老师布置如下任务： 如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A． 下面是小路设计的尺规作图过程． 作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D； ②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求． 根据小路设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) （2）完成下面的证明： 证明：连接BD，BC， ∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴DA＝ ，( )（填推理的依据） ∴∠A＝∠ABD， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A． ∵BC＝BD， ∴∠ACB＝∠ ，( )（填推理的依据） ∴∠ACB＝2∠A． 【答案】（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC； 等边对等角． 【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可． （2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可． 【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示； (2)解：证明：连接BD，BC， ∵直线l为线段AB的垂直平分线， ∴DA＝ DB ，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据） ∴∠A＝∠ABD， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A． ∵BC＝BD， ∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据） ∴∠ACB＝2∠A． 【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键． 六、三线合一（8个小题） 22．如图，在中，，D是的中点，在的延长线上取点E，连接，若，，则为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、角的和差等知识点，根据等腰三角形的性质求得是解题的关键． 先根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后再运用角的和差即可解答． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴, ∴． 故选A． 23．如图，中，，为边的中线，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出，从而可求的度数，然后根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵，为边的中线， ∴，即， 又， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、等边对等角性质是解题的关键． 24．如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．理解等边对等角和等腰三角形三线合一，并能依此求得相应角的度数是解题关键． 利用等边对等角依次可求得和的大小，根据等腰三角形三线合一可得的度数，从而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 25．如图，是等边三角形，，平分交于点，则线段的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查等边三角形性质“三线合一”，灵活运用性质即可解题． 【详解】解：是等边三角形，且， ， 平分交于点， ， 故答案为：1． 26．如图，中，．在上截取，作的平分线与相交于点P，连接．若的面积为，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出，即得出和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴和是等底同高的三角形，和是等底同高的三角形， ∴． ∵， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键． 27．如图，，，三点在同一直线上，，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据已知中的条件两角夹边可判定△ADC≌△ADB，由全等三角形的性质可得AB=AC； （2）由AB=AC和∠1=∠2可得AE⊥BC． 【详解】解：（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在中，，， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握这些性质和判定是解决问题的关键． 28．已知：如图，点在线段上，平分，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， 是等腰三角形． 平分， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 29．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，那么BD与CE相等吗？为什么？ 【答案】BD＝CE，理由见解析 【分析】利用AAS证明△ADB≌△AEC，即可得结论． 【详解】解：BD＝CE，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AEC， ∴∠ADB＝∠AEC， 在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（AAS）， ∴BD＝CE． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 七、等边三角形的性质（10个小题） 30．如图，在等边中，是边上的中线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等边三角形的三线合一性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的三线合一性质． 根据等边三角形的三线合一性质求解即可． 【详解】∵在等边中，是边上的中线， ∴是的平分线， ∴． 故选：D． 31．如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 32．如图，等边和等边中，A、B、C三点共线，和相交于点F，下列结论中正确的个数是（    ） ①；②平分；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等边和等边可得，，，可得，从而得到与即可判断①④，过B作，，易得，即可判断②，根据三角形三边关系即可判断③，即可得到答案． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①④正确， 在与中， 过B作，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故②正确， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∵，， ， 在线段上截取， ∵由②的证明可知， ∴是等边三角形， ∴, 又∵, ∴, 又∵, ∴, ∴ ∴, ∴③正确， 故选D， 【点睛】本题考查等边三角形性质及三角形全等判定与性质，解题的关键是作辅助线结合等边三角形性质得到三角形全等的相关条件． 33．如图，是等边三角形，，与交于点F，则的度数是 ． 【答案】60° 【分析】先证明△ABD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，然后由三角形外角的性质，∠DFC=∠ACE+∠DAC，等量代换即可求解． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=CA，∠B=∠CAB=60°， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE， ∴∠BAD=∠ACE， ∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°， ∴∠ACE+∠DAC=60°， ∵∠DFC=∠ACE+∠DAC， ∴∠DFC=60°． 【点睛】考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是找出∠ACE=∠BAD和利用全等三角形的性质找出相等的边角关系． 34．如图，在等边中，D是边上一点，E是延长线上一点，连接，若，求的度数．      【答案】 【分析】由等边三角形的性质得到. 则，根据等边对等角得到，再利用三角形外角性质得到答案. 此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形性质、三角形的外角的性质等知识，熟练掌握等边三角形和等腰三角形的性质是解题的关键. 【详解】∵是等边三角形 ∴. ∵ ∴ ∵， ∴. ∵， ∴. 35．如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质求得AC=BC，∠DAC=∠BCE，再根据SAS证明△ACD≌△CBE． 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°， ∴∠DAC=∠BCE=120°， 在△ACD和△CBE中 ， ∵AD=CE， ∴△ACD≌△CBE（SAS）． 【点睛】考查了全等三角形的判定定理、等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 36．如图，是等边三角形，点在边上，以为边作等边，点、点在直线两侧，连接．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定和等边三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．根据等边三角形的性质证明，再由全等三角形的性质证明，即可证明结论． 【详解】证明：是等边三角形，等边， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 37．已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，延长BC至点E使CE=AD，连接DE交AC于点F． ⑴ 求证：FD=FE； ⑵ 若∠BDE=90°，CF与CE相等吗？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）相等，理由见解析． 【分析】（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，根据全等三角形的判定证得△DGF≌△ECF （ASA）即可求证结论； （2）根据等边三角形的性质和三角形内角和求得∠ABC=60°，∠BED=30°，根据三角形外角的性质可得∠CFE=30°，继而根据等角对等边的性质求解． 【详解】证明：（1） 过点D作DG∥BC交AC于点G，如图： ∵DG∥BC， ∴∠ADG=∠ABC=60°，∠AGD=∠ACB=60°，∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF， ∴△ADG为等边三角形，AD=DG＝AG， 又∵CE=AD ， ∴CE=DG， 在△DGF和△ECF中： ∴△DGF≌△ECF （ASA）， ∴FD=FE， （2）CF=CE，理由如下： ∵ △ABC为等边三角形，且∠BDE=90°， ∴ ∠ABC=60°，∠BED=30°， 又∵∠ACB=60°，且为△CEF的一个外角， ∴∠CFE=30°， 即：∠CFE=∠CEF=30°， ∴CF=CE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，涉及到外角的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及正确作辅助线构造三角形． 38．已知是等边三角形，点D是直线上一点，以为一边在的右侧作等边． (1)如图①，点D在线段上移动时，直接写出和的大小关系； (2)如图②③，点D在线段（或）的延长线上移动时，猜想的大小是否发生变化．若不变请求出其大小；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)，不发生变化 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，容易得出结论； （2）图②中，由等边三角形的性质可得，，，可证，可得，即可求； 图③中，由和是等边三角形可以得出，，，得出，再证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：；理由： ∵和是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：，不发生变化；理由如下： 如图②：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 如图③：∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 39．已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使，延长交射线于点，连接，作于点． (1)如图1，当点为中点时，_______，的值为_______； (2)如图2，当点在上运动时． ①直接写出的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，； (2)①；②，证明见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）利用等边三角形的性质证明，，从而可得结论； （2）①利用三角形的内角和定理可得答案；②如图，在上截取，连接，证明，可得，再证明即可． 【详解】（1）解：如图，当点为中点时，等边， ∴，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60，； （2）①∵，， ∴由八字形可得：， ②，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 八、在方格中画等腰三角形（3个小题） 40．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是注意分腰长和底边两种情况分类讨论． 【详解】解：如下图， 分情况讨论，①为等腰底边时，符合条件的C点有6个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，所以点C的个数是10个， 故选：D． 41．右图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为，点均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点也在此的正方形网格的格点上，且是等腰三角形，请写出一个满足条件的点的坐标 ；满足条件的点一共有 个． 【答案】 （答案不唯一，符合题意即可） 8 【分析】分别以A，B为圆心，AB为半径作圆弧，寻找在圆弧上的格点即可． 【详解】①如图，以A为圆心，AB为半径作圆弧，符合题意的格点有5个； ②如图，以B为圆心，AB为半径作圆弧，符合题意的格点有3个； ③如图，在AB的垂直平分线上时，无符合题意的格点； 综上，符合题意的格点共有8个， 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；8． 【点睛】本题考查在网格中作等腰三角形，根据已知边可作为底边或者腰进行分类讨论，熟练掌握尺规作图方法是解题关键． 42．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，请你在如下的网格中找到所有符合条件的点C（可以用，……表示），并画出所有三角形． 【答案】见解析 【分析】当，和时，在网格中找出点C即可． 【详解】如图所示： 【点睛】本题考查作等腰三角形，掌握等腰三角形两边相等是解题的关键． 九、等腰三角形的个数问题（2个小题） 43．如图，，点P为直线上的一个动点，若使得是等腰三角形．则符合条件的点P有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：作垂直平分线与的交点，可得， 以A为圆心，为半径画圆，交有两个交点，， 以B为圆心，为半径画圆，交有一个交点，， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答． 44．如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 【详解】解：如图， ①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， ③作的垂直平分线，与与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 十、平行线加角平分线问题（4个小题） 45．如图，，平分，于点D，交于点C，若，则的长为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】如图，过点P作，垂足为E，由角平分线性质，得，，由平行性质，可推证，，得，中，，所以． 【详解】如图，过点P作，垂足为E， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ； ∴， ； ∴， 中，， ∴； 故选：D．    【点睛】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线性质定理，角直角三角形性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 46．如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为 ．    【答案】10 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握它们的性质将周长转换为是解本题的关键．利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将三角形周长转化为，求出即可． 【详解】解：为的平分线，为的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， ，， 周长为， 故答案为：10 47．如图，在中，，D是边上的中点，连接，平分交于点E，过点E作交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）先利用“三边对应相等的两个三角形全等”证明，得出，，再利用“三角形内角和等于”即可求得答案； （2）由“平分”可知，由可推得，所以，再根据等腰三角形的判定即可证得． 【详解】（1）解：D是边上的中点， ， ，， ， ，， , ； （2）证明：平分， ， ， ， ， ． 48．如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）利用三角形角平分线的定义和平行线的性质可得，即可求证； （）由角平分线的性质可得，利用勾股定理得，进而得，再利用勾股定理即可求解； 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵分交于点，， ∴， 在中， ， ∵， ∴ 在中，． 十一、角平分线与垂线重合问题（4个小题） 49．如图，中，平分，，若与互补，，则的长为 ．    【答案】6 【分析】延长，交的延长线于点E，由题意易证，则有，，然后可得，则，进而问题可求解． 【详解】解：如图所示，延长，交的延长线于点E，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵与互补，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键． 50．如图，的面积为4cm2，AP垂直的平分线BP于点P，则的面积为 cm2． 【答案】8 【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直么B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC△和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明的面积． 【详解】解： 延长AP交BC于E，如图所示， ∵AP垂直∠B的平分线BP于P， ∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°. 在△APB和△EPB中， ∠APB=∠EPB，BP=BP，∠ABP=∠EBP， ∴△APB≌△EPB(ASA)， ∴S△APB=S△EPB ，AP=PE， ∴△APC和△CPE等底同高， ∴S△APC=S△PCE， ∴S△PBC=S△PBE+S△PCE ∴S△ABC=2S△PBC=2×4=8cm2. 故答案为：8 【点睛】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC=S△PBE+S△PCE, S△ABC=2S△PBC． 51．如图，在中，平分，点E是上一点，，且．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1). (2)证明见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论. 【详解】（1）解：，平分， 是的一个外角， . （2）证明：如图，过点E作于点F，   平分，， ， 在和中， . ， ，， ， . 52．如图，已知：，，的平分线交于点，过作于点， 求证： 【答案】见解析 【分析】延长，根据已知条件可知，进而得到，最后根据已知条件可知，从而得到结论． 【详解】解：∵的平分线交于点， ∴， ∵过作于点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和，余角的性质等相关知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 十二、等腰直角三角形中角平分线与周长的问题（2个小题） 53．如图，在中，，，AD平分交BC于D，于E，若的周长是4cm，则AB的长为 cm． 【答案】4 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出AB=△BDE的周长． 【详解】解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB， ∴CD=DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE=AC， ∵AC=BC， ∴BC=AE， ∵△BDE的周长=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB， ∴AB=4cm． 故答案为：4． 【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，关键是利用线段和差把三角形的周长转化为AB的长． 54．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是6，则AB= ，AC= ． 【答案】6；3 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，设BE=x，然后根据△BDE的周长列方程求出x的值，再分别求解即可． 【详解】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB， ∴CD=DE， ∵AC=BC， ∴∠B=45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， 设BE=x，则CD=DE=x，BD=x， ∵△BDE的周长是6， ∴x+x+x=6， 解得x=6﹣3， ∴AC=BC=x+x=6﹣3（6﹣3）=3， AB=AC=×3=6． 故答案为6；3． 考点：角平分线的性质；等腰直角三角形． 十三、等腰三角形的性质和判断（11个小题） 55．如图，在中，，点分别是的边的中点，边分别与相交于点，且，连接，现在下列四个结论；①，②平分，③，④，⑤．则其中正确的结论有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】①根据四边形的内角和为，计算便可判断①的结论的正确与否；②连接、，根据垂直平分线的性质得，，，进而由等腰三角形的性质得结论，从而得出②的结论正确与否；③证明，，，即可判断③的结论是否正确；④由，，当时，，，此时，由此判断④的结论正确与否． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵， ∴，故①的结论正确； ②连接、，如图， ∵点E，F分别是的边、的中点，且，， ∴，，， ∴，，，，， ∴ ∴平分，②的结论正确； ③∵点，分别是的边、的中点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，③的结论正确； ④∵，， ∴，， 当时，则， ∴， ∴， ∵， ∴不是等边三角形， ∴，④的结论不正确； 正确的为：①②③， 故选C． 【点睛】本题是三角形的一个综合题，主要考查了三角形的内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，四边形的内角和定理，考查的知识点多，难度增大，正确地作辅助线是解决本题的关键． 56．如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．    (1)求证：是等腰三角形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论； （2）延长至，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出． 【详解】（1）解：证明：在中，，， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． （2）， 证明：延长至，使，连接，   ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 57．如图，在中，点在边上，，平分交于点，点在上，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题根据三角形内角和定理得到，根据角平分线性质和三角形外角性质，结合等量代换得到，推出，再根据等腰三角形性质，即可证明． 【详解】证明：，， ， ， 平分交于点， ， ，， ， ， 平分， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线性质、等腰三角形性质和判定、三角形外角性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 58．如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）根据题中要求补全图形即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据图形进行角度的运算即可； （3）在延长线上取点F，使，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：依题意，补全图形如图所示： （2）解：∵于D， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）解：． 证明：如图，在延长线上取点F，使，连接． ∵，， ∴，则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ，， ∴． 59．如图，中，，，过点C在外作射线，且，点A关于的对称点为点D，连接，其中分别交射线于点M，N． (1)依题意补全图形； (2)当时，直接写出的度数； (3)当时，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）依据题意即可求解； （2）由，即可求解； （3）证明为等腰直角三角形，得到，证明，即可求解． 【详解】（1）解：补图如下： （2）解：∵点A关于的对称点为点D， 则， 即， ， 则； （3）结论：， 证明：作交的延长线于点H， ∵点A与点D关于对称， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是图形的几何变换，涉及到三角形全等、几何作图、点的对称性、等腰三角形的性质，有一定的综合性，难度适中． 60．给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 【答案】(1)①④ (2)①，证明见详解 ②见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据“8字形”的定义逐一判断即可； （2）①利用“”证明，即可得到答案； ②方法一：在上截取，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法二：在上取一点，使得，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法三：在的延长线上取一点，使得，易证，即可证明结论． 【详解】（1）解：由“8字形”的定义可知，含有“8字形”的图形有①④， 故答案为：①④． （2）解：①，证明如下： ， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②方法一： 证明：如图，在上截取， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 方法二： 证明：如图，在上取一点，使得， 在和中 . ， ， ， ， ； 方法三： 证明：如图，在的延长线上取一点，使得， ， ，， 在和中， ， ， ． 61．已知，中，，在上取一点D，在延长线上取一点E，连接交于点F．若F是中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．过点作交于，就可以得出，就可以得出，由就可以得出结论． 【详解】证明∶过点作交于， ∵是中点， 在和中 62．如图，在中，，，平分交于点． (1)求证：； (2)探究：若，那么等于哪两条线段长的和呢？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． （1）延长到，使，连接，由等边对等角及三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，在上取，连接，证明，得到，证明，得到，即可得证； （2）在上取，连接，由等边对等角及三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，证明得到，证得，得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 在上取，连接， 在与中， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2）解：结论：， 如图2，在上取，连接， ， ，， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ． 63．如图，，是的中点，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若平分，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）根据平行线的性质和中点定义可得，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据角平分线的定义可得，继而得到，根据等角对等边可得，再根据等腰三角形三线合一性质即可得证； 掌握全等三角形的判定和等腰三角形三线合一性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又由（1）得， ∴． 64．如图，在等边中，点D是线段上一点作射线，点B关于射线的对称点为E，连接延长，交射线于点F．    (1)补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）根据轴对称的基本作图画图即可． （2） 连接，设，利用等边三角形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答即可． （3） 如图，在上截取使得，判定是等边三角形，证明，根据对称性得到，代换证明即可． 【详解】（1）如图，作于点G，延长到点E，使得，连接延长，交射线于点F．    则E，F为所求点． （2）连接，设，    ∵点B关于射线的对称点为E， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． （3）线段、、之间的数量关系为，理由如下： 如图，在上截取使得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又根据对称性得到， ∴，    ∴， ∴， 故． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 65．在中，是边的中线，E是边上一点，交于点F． (1)如图①，判断的形状并证明； (2)如图②，， ①补全图形； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2)①补全图形见解析，②，理由见解析． 【分析】(1)利用等腰三角形三线合一的性质和三角形外角的性质可推导出，即可得到是等腰三角形． (2) 过点E作于点H，利用已知条件和等腰三角形的性质可得到，，．继而可证得，即可推导出，所以． 【详解】（1）等腰三角形． 证明：∵，是边的中线， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． （2）①补全图形． ②之间的数量关系是． 证明：过点E作于点H． ∵，是边的中线，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，做出正确的辅助线是解题的关键． 十四、等边三角形的判定（8个小题） 66．如图，是等边三角形，是边上的点，过点作交于点，求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，利用平行线的性质，证明三角形的三个内角都是即可． 【详解】∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． 67．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC=10，求△ODE的周长． 【答案】（1）△ODE是等边三角形；理由见解析；（2）△ODE的周长为10． 【分析】(1)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形； (2)根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，问题得解. 【详解】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°； ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°， ∴△ODE为等边三角形． （2）∵BO平分∠ABC，OD∥AB， ∴∠ABO=∠DBO，∠ABO=∠DOB， ∴∠DOB=∠DBO， ∴BD=OD；同理可证CE=OE； ∴△ODE的周长=BC=10． 故答案为(1)△ODE是等边三角形；理由见解析；(2)10． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三条边相等，三个内角都是60°是解答此题的关键． 68．如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由为边的中点，可得，，，证明即可； （2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可． 【详解】（1）证明：， ， D为边的中点， ， ，， ， 在与中 ， ； （2）解：在中，，， ， 为等边三角形， 在中，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ． 69．已知：如图，是等边三角形，D是上一点，，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，先由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可得，据此证明得到，即可证明是等边三角形． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ， ． ． ， ． ． 是等边三角形． 70．如图，已知等边，点D为边延长线上一点，连接，且，在的延长线上截取，使，连接．    (1)①依题意补全图形； ②直接写出的度数__________； (2)用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【分析】（1）①依题意补全图形即可；②利用等边三角形的性质以及邻补角的性质即可求解； （2）连接，，延长至点，使，利用证明，推出，再利用证明即可得到． 【详解】（1）解：①补全图形如图；    ②∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下， 连接，，延长至点G，使，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵且， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 71．如图，在． (1)求证：； (2)分别以点A，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（点D在的左侧），连接．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）过点D作，交的延长线于点E，根据题意可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积进行计算即可解答. 【详解】（1）在中， ∵, ∴. ∵, ∴. ∴； （2）过点D作的延长线于点E， 由作图得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵,, ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 72．【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的面积为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的性质得，可推导出，进而证明，得出； （2）由，且，证明，而，，可证明，得，可推导出，则是等边三角形． （3）由等腰直角三角形的性质得，可推导出，进而证明，得，而，所以，可证明，得，推导出，因为，点N是的中点，所以，则，所以． 【详解】解：（1）与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ． （2）证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等边三角形． （3）与都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，且点也是的中点， ， ， ，， ， ， 的面积为． 73．在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，（，，逆时针排列），则称点是线段的“关联点”如图，点是线的“关联点”．    (1)如图已知点，，点与点重合． 当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是 ； 已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是 ． (2)如图，已知，． 当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“关联点”，求证：： 当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长． 【答案】(1)；； (2)见解析；． 【分析】（）画出图形，利用图象法解决问题； 画出图形发现点与点重合时满足条件； （）证明，推出，可得结论； 当点，分别在线段，上运动时，线段的“关联点”形成的区域是菱形，则可求出周长． 【详解】（1）如图中, 观察图形可知, 点是线段的“关联点”， 故答案为：； ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴当点与重合时,满足条件， 此时， 故答案为：； （2）证明: 如图中，    ∵，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴； 如图，当点与重合时，得到，   是边长为的等边三角形， 观察图形可知，当点，分别在线段，上运动时， 线段的“关联点”形成的区域是菱形，周长为． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 十五、含30度角的直角三角形的性质（5个小题） 74．如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，D为AC边的中点，若BC=6，则BD的长为(        ) A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质三线合一可得直角三角形，再利用直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵BA=BC，∠ABC=120°， ∴∠C=∠A=30°， ∵D为AC边的中点， ∴BD⊥AC， ∵BC=6， ∴BD=BC=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质是解题的关键． 75．如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（　　）      A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由在等边三角形中，，可求得，则可求得的长，又由平分交于点，由三线合一的知识，即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：C． 76．在中，，，，那么 ， ． 【答案】 8 【分析】本题考查的含30度角的直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先求解，再进一步解答可得答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 故答案为：；8． 77．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于、，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 根据等腰三角形两底角相等求出，连接，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再利用等边对等角求出，然后求出，由直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，， ， 连接， 的垂直平分线交于， ， ， ， ， ． 故答案为：． 78．如图，为等边三角形，，与相交于点，于，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据证明全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而解答即可； （3）根据含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 又， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ； （3）解：，， ， ， 又， ． 十六、直角三角形的判定（5个小题） 79．已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可． 【详解】解；①，， ， ， 是直角三角形； ②，， ， 是直角三角形； ③，， ， 不是直角三角形； ④，， ， ， 不是直角三角； ⑤， 设，则， ， ， 解得：， ， 不是直角三角形； 综上所述，不能判断是直角三角形的有3个， 故选：． 80．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 81．在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查的是直角三角形的判定，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①当时，不能判定是直角三角形，不符合题意； ②当时，，能确定为直角三角形，符合题意； ③设，则，， ， 解得， ，，，不能判定是直角三角形，不符合题意； ④设，则，， ， 解得， ，能确定为直角三角形，符合题意； ⑤设，则， ， 解得：， ，，不能判定是直角三角形，不符合题意； 综上所述，能确定为直角三角形的条件有2个， 故选：． 82．在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 83．如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）延长交于点，证明，得，由，，得，进而，即可得证； （2）根据，，得，从而，，进而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． $$