专题05 全等三角形（易错必刷69题 24种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北京版）

专题05 全等三角形（易错必刷69题 24种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 全等形及其性质 · 全等三角形的性质及应用 · SSS直接判定 · SSS间接判定 · 性质与SSS判定的综合 · SAS直接判定 · SAS间接判定 · 性质与SAS的判定综合 · 用AAS或ASA判定 · 性质与ASA或AAS判定的综合 · 用HL判定 · 性质与HL判定的综合 · 添条件使三角形全等 · 倍长中线模型 · 旋转模型 · 一线三垂直模型 · 证明线段之间的关系 · 全等三角形的综合判定 · 角平分线的性质定理 · 角平分线的判定定理 · 角平分线性质的实际应用 · 线段垂直平分线的性质 · 线段垂直平分线的判定 · 作已知线段的垂直平分线 一、全等形及其性质（2个小题） 1．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 2．如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ．    【答案】/60度 【分析】本题考查了全等多边形的性质和四边形的内角和，先根据全等图形的性质求得和，再由四边形的内角和求得即可； 【详解】解：∵全等多边形的对应边和对应角相等， ∴，， 又∵四边形的内角和为， ∴， 故答案为：； 二、全等三角形的性质及应用（5个小题） 3．如图，，若，，则的度数是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到，，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：设与交于点，      ， ，， ，即， ，， ， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 4．如图，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理，求出的度数，全等三角形的对应角相等，得到的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 5．如图，如果，那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质．解决本题的关键是根据全等三角形对应边相等、对应角相等判断结论是否成立． 【详解】解：A选项：，，，，故A选项正确； B选项：，，，故B选项正确； C选项：，，故C选项错误； D选项：，，，故D选项正确； 故选：C． 6．如图，，，，点在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等，本题得出中是解题关键，再利用三角形内角和公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴ 故选：C ． 7．如图，，，，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可计算． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：10度． 三、SSS直接判定（2个小题） 8．如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据现有条件无法直接利用判定，，， 故选：C． 9．如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是 ； 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 由点分别是的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明． 【详解】解：∵点分别是的三等分点， ， ， ， 在与中， ， ， 故答案为：． 四、SSS间接判定（2个小题） 10．如图，点B、E、C、F在同一直线上，， 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．由题意可知，，，即可证明全等． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 11．已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．利用“”证明即可． 【详解】证明：， ， . 在和中， ， ． 五、性质与SSS判定的综合（2个小题） 12．如图，和中，，点A，C，D，F在一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．根据，可得，可证明，从而得到，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 13．已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，先根据线段的和得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明： 即 在和中 六、SAS直接判定（2个小题） 14．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测量的长度即可知道的长度，理由是根据 可证明． 【答案】 【分析】利用三角形全等的定理证明，根据全等三角形的性质可得． 【详解】解∶在和中， ， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定理是解题的关键． 15．如图，在和中，，请添加一个条件______，使得；并写出证明的过程． 【答案】或或，证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知条件：及公共边，要使，可添加或或，根据全等三角形的判定即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：若添加条件为：，证明如下： 在和中， ∵， ∴； 若添加条件为：，证明如下： 在和中， ∵， ∴ 若添加条件为：，证明如下： ∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ∵， ∴． 七、SAS间接判定（2个小题） 16．如图，在中，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接． (1)求证：； (2)若平分交于．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理．掌握三角形全等的判定和性质是解题关键，解（2）时正确作出辅助线构造全等三角形是关键． （1）根据题意可证，结合，，即可证； （2）连接，由全等三角形的性质可得出，，即可求出，再根据勾股定理可求出．又易证，即得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 17．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定定理，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的判定方法． 八、性质与SAS的判定综合（2个小题） 18．【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的面积为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）由等边三角形的性质得，可推导出，进而证明，得出； （2）由，且，证明，而，，可证明，得，可推导出，则是等边三角形． （3）由等腰直角三角形的性质得，可推导出，进而证明，得，而，所以，可证明，得，推导出，因为，点N是的中点，所以，则，所以． 【详解】解：（1）与都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ． （2）证明：点，分别是，的中点， ，， ， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 是等边三角形． （3）与都是等腰直角三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， 点，分别是，的中点， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ，且点也是的中点， ， ， ，， ， ， 的面积为． 19．【问题背景】 如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____． 【探索延伸】 如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】【问题背景】；【探索延伸】仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 问题背景：先利用“”判断得到，，再证明，接着根据“”判断，所以，从而得到； 探索延伸：结论仍然成立，证明方法与（1）相同． 【详解】问题背景：，证明如下： 如下图，延长到点，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 探索延伸：结论仍然成立，理由如下： 如下图，延长到点，使得，连接，    ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 九、用AAS或ASA判定（3个小题） 20．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，进而利用AAS可证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵a、b、c都是正方形， ∴AC=CD，∠ACD=∠ABC=∠DEC=90°， ∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE， 在△ABC和△CED中，， ∴△ACB≌△CDE（AAS）， ∴AB=CE，BC=DE； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2， 即Sb=Sa+Sc=1+9=10， ∴b的面积为10， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 21．已知：如图，点是线段上一点，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由平行线的性质可得，由可证，可得． 【详解】证明： ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键． 22．如图，是的中线，分别过点C、B作及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．    (1)求证：； (2)若的面积为8，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】(1)根据证明即可； (2)由中线得，再由全等三角形的性质即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，利用三角形的中线求三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 十、性质与ASA或AAS判定的综合（4个小题） 23．如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由为边的中点，可得，，，证明即可； （2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可． 【详解】（1）证明：， ， D为边的中点， ， ，， ， 在与中 ， ； （2）解：在中，，， ， 为等边三角形， 在中，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ． 24．如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，过点A作于H，利用“”可证明，得到，再利用“”可证明，得到，利用线段的和差关系即可求出的长，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于H， ， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 25．如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线． 【答案】见解析 【分析】延长、交于点F，利用即可证出，从而得出，结合可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，利用三线合一即可证出结论． 此题主要考查了全等三角形，线段垂直平分线，等腰三角形，熟练掌握全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，三线合一，是解题关键． 【详解】如图，延长、交于点F． ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 26．在中，，，点 D在直线上 (点 D 与点A、点C不重合)，连接，过点 D 作 的垂线交直线于点 E，过点A作的垂线交直线于点 F. (1)如图1, 当点 D在线段上时, ①求证: ； ②用等式表示线段，，之间的数量关系并证明. (2)如图2，当点D在射线上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段，，之间的数量关系. 【答案】(1)①见解析；②； (2)； 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形内外角关系及内角和定理，等腰三角形的性质，①先根据，得到，根据，得到，，即可得到证明；②在上截取，证明，结合勾股定理即可得到答案； （2）本题考查三角形全等的判定与性质，过D作，先证明，得到，即可得到答案； 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：在上截取， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， 在与中， ，， ∵， ∴； （2）解：图形如图所示，，理由如下， 过D作， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 十一、用HL判定（2个小题） 27．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是根据证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答． （1）根据证明与全等，进而解答即可； （2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：设交于点G，如图， 由（1）得， ∴，． 由（1）得， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴平分． 十二、性质与HL判定的综合（2个小题） 29．如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、，，，则 ． 【答案】/2.5 【分析】连接，，证明，，根据，即可求得 【详解】解：连接，， 是的平分线，，， ，，， 在和中， ， ， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键． 30．如图，E是的平分线上一点，于C，于D，连接交于点F，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含直角三角形的性质； （1）求出，证明，可得，再根据等边三角形的判定得出结论； （2）根据含直角三角形的性质求出，，进而可得的长． 【详解】（1）证明：∵点E是的平分线上一点，，，垂足分别是C，D， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵是等边三角形，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 十三、添条件使三角形全等（3个小题） 31．如图，点E，C，F，B在一条直线上，，添加下列条件判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定条件进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，此时无法证明，故A符合要求； 当时，，故B不符合要求； 当时，则，，故C不符合要求； 当时，，故D不符合要求； 故选：A． 32．如图，点P在的内部，点C，D分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（   ） A． B．平分 C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A、，可根据判定，故A不符合题意； B、平分，可根据判定，故B不符合题意 C、平分，不能判定，故C不符合题意； D、，可根据判定，故D不符合题意． 故选：C． 33．如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形判定定理，根据已知一角一边相等，可添加相等角的另一边相等，求解即可． 【详解】添加条件为：； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 故答案为：． 十四、倍长中线模型（2个小题） 34．在中，，，点D为线段上一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接． (1)①请补全图形： ②直接写出之间的数量关系____________； (2)取中点F，连接、，猜想与的位置关系与数量关系，并证明． 【答案】(1)图见解析， (2)，，证明见解析 【分析】（1）如图，连接，证明，得到，，，推出，即可得出之间的数量关系； （2）如图，设交于，延长至，使，连接，证明和，即可得证． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②连接， ∵将线段绕点B顺旋转，得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图，设交于，延长至，使，连接， ∵是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质，三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解题的关键． 35．（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE． ①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为　　； ②求证：△AEF是等腰三角形； （2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P，AF上找一点Q，FD上找一点M，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值　　．（只需直接写出结果） 【答案】（1）①k+1；②见解析；（2）y＝x+45°，理由见解析；（3） 【分析】（1）①先根据AE与CE之比求出△ADE的面积，进而求出ADC的面积，而D中BC中点，所以△ABD面积与△ADC面积相等；②延长BF至R，使FR＝BF，连接RC，注意到D是BC中点，过B过B点作BG∥AC交EF于G．得，再利用等腰三角形性质和判定即可解答； （2）设∠2＝α．则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，根据平行线性质及三角形外角性质可得∠4=α，再结合三角形内角和等于180°联立方程即可解答； （3）分别作P点关于FA、FD的对称点P'、P''，则PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP“≥P'P''＝FP，当FP垂直AD时取得最小值，即最小值就是AD边上的高，而AD已知，故只需求出△ADF的面积即可，根据AE＝kEC，AE＝AF，CE＝BF，可以将△ADF的面积用k表示出来，从而问题得解． 【详解】解：（1） ①∵AE＝kCE， ∴S△DAE＝kS△DEC， ∵S△DEC＝1， ∴S△DAE＝k， ∴S△ADC＝S△DAE+S△DEC＝k+1， ∵D为BC中点， ∴S△ABD＝S△ADC＝k+1． ②如图1，过B点作BG∥AC交EF于G． ∴， 在△BGD和△CED中， ， ∴（ASA）， ∴BG＝CE， 又∵BF＝CE， ∴BF＝BG， ∴， ∴ ∴AF＝AE，即△AEF是等腰三角形． （2）如图2，设AH与BC交于点N，∠2＝α． 则∠3＝∠1＝2∠2＝2α， ∵AH∥BG， ∴∠CNH＝∠ANB＝∠3＝2α， ∵∠CNH＝∠2+∠4， ∴2α＝α+∠4， ∴∠4＝α， ∵∠4＝∠BCG﹣∠2， ∴∠BCG＝∠2+∠4＝2α， 在△BGC中，，即：， 在△ABC中，，即：， 联立消去得：y＝x+45°． （3）如图3，作P点关于FA、FD的对称点P'、P''， 连接P'Q、P'F、PF、P''M、P''F、P'P''， 则FP'＝FP＝FP''，PQ＝P'Q，PM＝P''M，∠P'FQ＝∠PFQ，∠P''FM＝∠PFM， ∴∠P'FP''＝2∠AFD， ∵∠G＝100°， ∴∠BAC＝∠G+45°＝120°， ∵AE＝AF， ∴∠AFD＝30°， ∴∠P'FP''＝2∠AFD＝60°， ∴△FP'P''是等边三角形， ∴P'P''＝FP'＝FP， ∴PQ+QM+PM＝P'Q+QM+MP''≥P'P''＝FP， 当且仅当P'、Q、M、P''四点共线，且FP⊥AD时，△PQM的周长取得最小值． ，，， ， ， 当时，， 的周长最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，涉及了三角形面积之比与底之比的关系、全等三角形等腰三角形性质和判定、轴对称变换与最短路径问题、等边三角形的判定与性质等众多知识点，难度较大．值得强调的是，本题的第三问实际上是三角形周长最短问题通过轴对称变换转化为两点之间线段最短和点到直线的距离垂线段最短． 十五、旋转模型（3个小题） 36．如图，，点D在边上，，则 °． 【答案】 【分析】先由，得到，继而解得，由等边对等角解得，最后根据三角形内角和180°解题即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 37．如图，，点C、D分别在射线OA、OB上，且满足．将线段DC绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE．过点E作OC的平行线，交OB反向延长线于点F． （1）根据题意完成作图； （2）猜想DF的长并证明； （3）若点M在射线OC上，且满足，直接写出线段ME的最小值． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）在OB上截取，连接CP、CE、OE，得出、是等边三角形，根据SAS证明，由全等三角形的性质和平行线的性质得是等边三角形，可得即可； （3）过点M作，连接，作等边，即当点E到点时，ME得最小值，由得，故可求出、，即可得出ME的最小值． 【详解】（1）根据题意作图如下所示： （2），证明如下： 如图，在OB上截取，连接CP、CE、OE． ∵,， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， （3） 如图，过点M作，连接，作等边，即当点E到点时，ME得最小值， ∵， ∴， ∴，， 故ME的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 38．如图，，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键；求出，根据推出两三角形全等即可； 【详解】证明：，， ， ， 即， 在和中， ． 十六、一线三垂直模型（3个小题） 39．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   )    A．50 B．44 C．38 D．32 【答案】D 【分析】由已知和图形根据“K”字形全等，用AAS可证△FEA≌△MAB，△DHC≌△CMB，推出AM=EF=6，AF=BM=3， CM=DH=2，BM=CH=3，从而得出FH=14，根据阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC和面积公式代入求出即可． 【详解】∵AE⊥AB，EF⊥AF，BM⊥AM，    ∴∠F=∠AMB=∠EAB=90°， ∴∠FEA+∠EAF=90°，∠EAF+∠BAM=90°， ∴∠FEA=∠BAM， 在△FEA和△MAB中 ， ∴△FEA≌△MAB（AAS）， ∴AM=EF=6，AF=BM=3， 同理CM=DH=2，BM=CH=3， ∴FH=3+6+2+3=14， ∴梯形EFHD的面积===56， ∴阴影部分的面积=S梯形EFHD-S△EFA-S△ABC-S△DHC = =32． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，梯形的面积，全等三角形的性质和判定等知识点，关键是把不规则图形的面积转化成规则图形的面积． 40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3），求点D的坐标． 【答案】（0，） 【分析】过A和B分别作AF⊥x轴于F，BE⊥x轴于E，可证得△AFC≌△CEB，从而得到FC＝BE，AF＝CE，再由点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3），可得OC＝2，AF＝CE＝3，OF＝6，从而得到B点的坐标是（1，4），再求出直线BC的解析式，即可求解． 【详解】解：过A和B分别作AF⊥x轴于F，BE⊥x轴于E， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF＋∠BCE＝90°， ∵AF⊥x轴，BE⊥x轴， ∴ ， ∴∠ACF＋∠CAF＝90°， ∴∠CAF＝∠BCE， 在△AFC和△CEB中， ， ∴△AFC≌△CEB（AAS）， ∴FC＝BE，AF＝CE， ∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3）， ∴OC＝2，AF＝CE＝3，OF＝6， ∴CF＝OF-OC＝4，OE＝CE-OC＝2-1＝1， ∴BE＝4， ∴则B点的坐标是（1，4）， 设直线BC的解析式为：y＝kx＋b， ，解得：  ， ∴直线BC的解析式为：y＝x＋ ， 令 ，则 ， ∴ D（0，）． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，根据题意得到△AFC≌△CEB是解题的关键． 41．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D， BE⊥MN于E．    (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE，理由见解析 【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案； （2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：如图1， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）结论：DE=AD-BE． 理由：如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=EC-CD=AD-BE． 【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD≌△CBE是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． 十七、证明线段之间的关系（3个小题） 42．如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： 关系：， 作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 43．如图，为等腰直角三角形，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且 过点A 作BE的垂线交 于 ，过点作的垂线交直线于点 ，交直线于点 ． (1)请补全图形，并直接写出与的数量关系 ． (2)用等式表示 （1） 问中线段、、之间的数量关系，并证明． (3)当点 、分别在、的延长线上时，且 直接写出线段、、之间的数量关系 【答案】(1)图见解析；， (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）按要求补全图形，由已知易得，从而可，再利用同角（或等角）的余角相等，对顶角相等证明，即可得出； （2）过点作交延长线于点，先利用等腰三角形的性质和判定证明，再利用同角或等角的余角相等倒角证明证明得到，即可证明； （3）过点作交延长线于点，类似（2）的过程即可证明. 【详解】（1）如图，结论： 证明：∵为等腰直角三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）结论：， 证明：过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴ ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由（1）得， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）结论： 证明：过点作交延长线于点， 同理（1）可得：，， 同理（2）可得，，， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴，即， ∴ ∴， 44．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图：    解题思路为先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：； （2）成立，证明如下： 延长到点，使，则，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使，    ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴．’ 故答案为：． 十八、全等三角形的综合判定（7个小题） 45．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，等腰三角形的判定和性质；证明三角形全等是解题的关键． 根据题意可得，根据可证明，根据全等三角形的性质得出，即可判断①正确；根据全等三角形的性质得出，根据三角形的外角性质推得，即可判断②正确；作于，于，则，根据证明，得出，根据角平分线的判定定理得出平分，即可判断④正确；由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，①正确； ∵， ∴，， 由三角形的外角性质得：， ∴，②正确； 作于，于，如图 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，④正确； ∵， ∴当时，平分， 假设， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故答案为：①②④． 46．已知：如图，，点C，D分别在的两条边上，是的平分线，点P在射线上，且． (1)直接写出与的数量关系； (2)判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）利用四边形内角和求出结果； （2）过点P作于点E，作于点F，根据角平分线的性质得到，根据，，得到，得到≌，即可求出结果； 【详解】（1）解： （2） 证明：过点P作于点E，作于点F． ∵，， ∴． ∵OM是的平分线， ∴． ∵四边形PFOE中，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴≌， ∴． 47．如图，P为的平分线上的一点，于F，点D和点E分别在和上，且，，试探究与的数量关系，并给予证明．    【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线性质的运用和三角形全等的性质及判定，转化的思想的应用．正确作出辅助线是解决问题的关键．根据角平分线性质，过P作于点G，则，已知，可证，再利用对应角相等及平角的性质证明． 【详解】解：．    理由：过P作于点G， 由角平分线性质，得， 在和中， ∴， ∴， 又， ∴． 48．若和均为等腰三角形，且，当°即互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． (1)如图1，与互为“底余等腰三角形”． ①和的关系是__________；若连接，判断与是否互为“底余等腰三角形”：_________（填“是”或“否”）． ②当时，的“余高”，判断与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，在四边形中，，，且． ①画出与，使它们互为“底余等腰三角形”；（保留作图痕迹） ②若的“余高”长为，则点到的距离为_________（用含的式子表示）． 【答案】(1)①，是；②，证明见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）①由与互为“底余等腰三角形”和三角形内角和定理得到，根据四边形内角和可得，即可得到答案； ②作于点，通过证明求解即可； （2）①作垂直平分线交于点； ②连接，延长交于点，先证明为等边三角形，然后通过含角的直角三角形的关系求解． 【详解】（1）解：①和互余， ， ， ， ， ， ， 与是“底余等腰三角形”， 故答案为：，是； ②， 作于点， ， 点为中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：①连接，作垂直平分线交于点， 连接，与即为所求； ②连接，延长交于点， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 点到的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 49．在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，且（点，，逆时针排列），则称点是线段的“完美点”．如图1，点是线段的“完美点”． (1)已知点，． ①在，，，中，其中是线段的“完美点”的是______； ②如图2，若点，点与点重合，则线段的“完美点”的坐标是______． (2)如图3，已知，，当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“完美点”，连接．求证：． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析 【分析】（1）①作轴于点，作轴于点，，，可判断点；作轴于，作轴于点，作，可证得与不全等，从而，进一步得出结果； ②作轴于点，作于点，证明，得，，进一步得出结果； （2）在轴上截取，连接，证明，得，，，进而证得是等边三角形，即可得证． 【详解】（1）解：①如图1， 作轴于点，作轴于点， ∴，， ∴， ∴点是线段的“完美点”； 同理是线段的“完美点”； 作轴于，作轴于点，作，点在轴上，点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴与不全等， ∴， ∴点不是的“完美点”； 同理点不是的“完美点”； 故答案为：，； ②如图2，作轴于点，作于点， ∴， ∴， ∵点是线段的“完美点”， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明；如图3，在轴上截取，连接，， ∵，，点是线段的“完美点”， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，线段“完美点”的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形、理解线段“完美点”的定义． 50．在中，，点在的内部，，． (1)如图1，延长线段的交于点，且． ①求的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果； (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，若为的中点．求证：． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案； ②由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点N，过点作于点，证明，得，证明，得，证明，得，证明，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； ②． 理由：∵， ∴，， ∴； （2）证明：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点N，过点作于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直的定义，中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 51．在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 【答案】(1)6 (2)①图见详解；②，证明见详解 (3) 【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，计算，再由含角的直角三角形的性质可得，从而可得的长； （2）①依题意补全图形即可； ②先证，再证即可得到； （3）看见，考虑构造逆等线全等模型，过点A作，使，先证得到，从而将转化为，当N、D、C三点一线时，取得最小值，再利用角得和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴是等边三角形， ∵D为中点， ∴， ， ， ∴， ； （2）解：①补全图形如图所示． ②解：，证明如下： 连接， ，， ∴是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ， ， ∴是等边三角形， ，． ，，， ， 在和中， ， ∴， ， ； （3）解：过点A作，使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ， ∴当N、D、C三点一线时，取得最小值，如图所示， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 十九、角平分线的性质定理（4个小题） 52．已知：如图，是的角平分线，于，于，下列结论不正确的是（）    A． B． C．、互相垂直平分 D．平分 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定，角平分线性质的应用，能求出是解此题的关键．根据角平分线性质求出，证，推出，再逐个判断即可． 【详解】解：是的角平分线，于，于， 在和中， 平分； 故选项B，D结论正确，不符合题意， 平分， ， 垂直平分，， 故选项A结论正确，不符合题意，选项C结论错误，符合题意， 故选：C． 53．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质以及三角形的面积，过点作于，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式计算即可．作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 【详解】解：过点作于， ∵是边上的高， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 54．如图，在中，，平分，交于点，且，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 55．如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）利用三角形角平分线的定义和平行线的性质可得，即可求证； （）由角平分线的性质可得，利用勾股定理得，进而得，再利用勾股定理即可求解； 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵分交于点，， ∴， 在中， ， ∵， ∴ 在中，． 二十、角平分线的判定定理（3个小题） 56．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，D是边CB上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝BE．求证：AD平分∠BAC． 【答案】见解析 【分析】先证明为等腰直角三角形，得出，再证明，得出，即可证明． 【详解】解：， 为等腰直角三角形， ， 又， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、三角形全等的判定及性质、角平分线，解题的关键是掌握三角形的全等的证明． 57．阅读下面材料： 直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一．下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法． 方法一  利用直尺和圆规作角的平分线． 已知：． 求作：的平分线． 作法：如图①， （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． （3）画射线．射线即为所求． 方法二  利用三角板画角的平分线． 画已知的平分线． 画法： （1）将两个完全一样的直角三角板（三角板的每条边上都有刻度）按照图②所示的位置摆放，使较短的直角边分别落在的两边上，记三角板的直角顶点分别为点M，N；较长的两条直角边在的内部相交于点C，且． （2）画射线．射线即为所求． (1)请证明方法一中的是的平分线； (2)直接写出方法二中的是的平分线的依据． 【答案】(1)见解析 (2)答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【分析】（1）先根据证明，得到，即可证明是的平分线； （2）在角平分线的性质中任选一条符合题意的依据作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． ∴是的平分线． （2）解：答案不唯一，例如：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 58．数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法． 小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下： ①第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线对齐； ②第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线对齐； 如图3，两把直尺的另一条边相交于点，作射线．射线是的平分线． 小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线． 小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线． …… 请你也参与探讨，解决以下问题： (1)小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由； (2)请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出下图中的平分线，并简述画图的过程． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)图见解析，过程见解析 【分析】（1）小惠的做法正确，依据是角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）在上取，把两块含的完全相同的直角三角板按照如图所示的位置放置，两条长直角边交于点，则射线即为的角平分线． 【详解】（1）解：小惠的做法正确，理由如下： 由作图可知，点到的距离均为尺子的宽度， ∵两把完全相同的尺子， ∴尺子的宽度相同， 即点到角两边的距离相等， 根据到角两边距离相等的点在角平分线上，即可得到：为的角平分线． （2）解：在上取，把两块含的完全相同的直角三角板按照如图所示的位置放置，两条长直角边交于点，则射线即为的角平分线． ∵， 又∵， ∴， ∴， 即：即为的角平分线． 【点睛】本题考查角平分线的判定，以及全等三角形的判定和性质．熟练掌握到角两边距离相等的点在角平分线上，是解题的关键． 二一、角平分线性质的实际应用（4个小题） 59．如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据直角三角形30°所对的边等于斜边的一半可得． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E， ∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上， ∴∠AOP=∠POB=15°， ∵OD=DP=2， ∴∠OPD=∠POB=15°， ∴∠PDE=30°， ∴PE=PD=1， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PC=PE=1， 故选：C． 【点睛】此题考查的是角平分线的性质和直角三角形30°所对的边等于斜边的一半的应用、等腰三角形的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和直角三角形30°所对的边是斜边的一半是解题关键． 60．如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵，平分 ∴点到直线的距离 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的问题，掌握角平分线的性质是解题的关键． 61．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AD＝5，AC＝4，则△ABD的面积为 ． 【答案】15 【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，根据角平分线定理可得DE=CD=3,然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图：过D作DE⊥AB垂足为E， ∵∠C=90°， ∴在Rt△ACD中，, ∵∠C=90°，DE⊥AB，AD平分∠BAC， ∴DE=CD=3， ∴△ABD 的面积为． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 62．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD． （1）求证：∠B与∠AHD互补； （2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）AG＝AH+HD，证明见解析 【分析】（1）在上取一点，使得，连接，则利用可得出，从而得出，即有，通过这样的转化可证明与互补． （2）由（1）的结论中得出的，结合三角形的外角可得，可将转化为，从而在线段上可解决问题． 【详解】证明：（1）在上取一点，使得，连接 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 即与互补． （2）由（1） ∵ ∴ 又∵ ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，应用角平分线构造全等是常用的构造全等的方法，遇到角平分线常有“翻折构造全等”“作角边的垂线段”两种辅助线方法． 二二、线段垂直平分线的性质（3个小题） 63．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的判定：到线段两个端点距离线段的点在线段的垂直平分线上．根据线段的垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵到线段两个端点距离线段的点在线段的垂直平分线上， ∴到三个顶点的距离相等的点应该在各边的垂直平分线上， ∴凉亭应选的位置是三条边的垂直平分线的交点． 故选：C 64．如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键．根据D是的中点，，可以得到，进而求出，再由三角形中位线定理，即可求出． 【详解】解： D是的中点，，， 是的垂直平分线， , ，， ， D，E分别是，的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 65．如图，在中，，DE垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则BC的长为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用． 根据线段垂直平分线的性质可知，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可． 【详解】解：的周长为，即， DE垂直平分AB， ， ， ， ， 故答案为：8． 二三、线段垂直平分线的判定（2个小题） 66．如图，，则有（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 67．如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：直线是线段的垂直平分线； (2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)当为钝角时，；当为锐角时， 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）连接，，，可得为等边三角形，再利用证明，得，从而证明结论； （2）分为钝角和为锐角两种情形，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，，， 点与点关于射线对称，， ，， ， ， 为等边三角形，， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分； （2）解：解：如图，当为钝角时，由（1）知， ， 如图，当为锐角时， ，， ． 二四、作已知线段的垂直平分线（2个小题） 68．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 69．在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”． 小丽的作法如下： ①分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，与交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，与交于、两点； ④分别连接线段．所以四边形就是所求作的正方形． 根据小丽的作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（ ）（填推理的依据） ∵，即， ∴四边形为矩形．（ ）（填推理的依据） ∵ ， ∴四边形为正方形．（ ）（填推理的依据） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了基本作图和证明四边形是正方形，熟练掌握正方形的判定方法是解决此题的关键． （1）根据作图步骤画出图形即可； （2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形进行判定即可 【详解】（1）解：补全图形，如图所示； （2）证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ∵，即， ∴四边形为矩形．（对角线相等且互相平分的四边形是矩形） ∵， ∴四边形为正方形．（对角线互相垂直的矩形是正方形）． $$专题05 全等三角形（易错必刷69题 24种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 全等形及其性质 · 全等三角形的性质及应用 · SSS直接判定 · SSS间接判定 · 性质与SSS判定的综合 · SAS直接判定 · SAS间接判定 · 性质与SAS的判定综合 · 用AAS或ASA判定 · 性质与ASA或AAS判定的综合 · 用HL判定 · 性质与HL判定的综合 · 添条件使三角形全等 · 倍长中线模型 · 旋转模型 · 一线三垂直模型 · 证明线段之间的关系 · 全等三角形的综合判定 · 角平分线的性质定理 · 角平分线的判定定理 · 角平分线性质的实际应用 · 线段垂直平分线的性质 · 线段垂直平分线的判定 · 作已知线段的垂直平分线 一、全等形及其性质（2个小题） 1．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ．    二、全等三角形的性质及应用（5个小题） 3．如图，，若，，则的度数是(   )    A． B． C． D． 4．如图，，那么（    ） A． B． C． D． 5．如图，如果，那么下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，，，点在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，，则 ． 三、SSS直接判定（2个小题） 8．如图，中，，，直接使用“”可判定（   ） A． B． C． D． 9．如图1是某款雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是 ； 四、SSS间接判定（2个小题） 10．如图，点B、E、C、F在同一直线上，， 求证：． 11．已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：． 五、性质与SSS判定的综合（2个小题） 12．如图，和中，，点A，C，D，F在一条直线上，．求证：． 13．已知：如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 六、SAS直接判定（2个小题） 14．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测量的长度即可知道的长度，理由是根据 可证明． 15．如图，在和中，，请添加一个条件______，使得；并写出证明的过程． 七、SAS间接判定（2个小题） 16．如图，在中，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接． (1)求证：； (2)若平分交于．求的值． 17．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，． 求证：． 八、性质与SAS的判定综合（2个小题） 18．【问题情境】如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，．    【猜想证明】请证明： （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【类比探究】如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，请探究： （3）若点恰好也是的中点，且，求的面积． 19．【问题背景】 如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____． 【探索延伸】 如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 九、用AAS或ASA判定（3个小题） 20．如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 21．已知：如图，点是线段上一点，，，．求证：． 22．如图，是的中线，分别过点C、B作及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．    (1)求证：； (2)若的面积为8，的面积为6，求的面积． 十、性质与ASA或AAS判定的综合（4个小题） 23．如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 24．如图，在中，，D为边上一点，平分，且，若，求的长． 25．如图，在中，，，D是上一点，交延长线于点E，且，求证：是的角平分线． 26．在中，，，点 D在直线上 (点 D 与点A、点C不重合)，连接，过点 D 作 的垂线交直线于点 E，过点A作的垂线交直线于点 F. (1)如图1, 当点 D在线段上时, ①求证: ； ②用等式表示线段，，之间的数量关系并证明. (2)如图2，当点D在射线上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段，，之间的数量关系. 十一、用HL判定（2个小题） 27．如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 28．在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求证：平分． 十二、性质与HL判定的综合（2个小题） 29．如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为、，，，则 ． 30．如图，E是的平分线上一点，于C，于D，连接交于点F，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 十三、添条件使三角形全等（3个小题） 31．如图，点E，C，F，B在一条直线上，，添加下列条件判定的是（    ） A． B． C． D． 32．如图，点P在的内部，点C，D分别在，上，且，只添加一个条件即可证明和全等，这个条件不可以是（   ） A． B．平分 C．平分 D． 33．如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 十四、倍长中线模型（2个小题） 34．在中，，，点D为线段上一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接． (1)①请补全图形： ②直接写出之间的数量关系____________； (2)取中点F，连接、，猜想与的位置关系与数量关系，并证明． 35．（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB的延长线相交于F，使BF＝CE． ①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为　　； ②求证：△AEF是等腰三角形； （2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD是锐角三角形，当∠G＝100°，AD＝a时，在AD上找一点P，AF上找一点Q，FD上找一点M，使△PQM的周长最小，试用含a、k的代数式表示△PQM周长的最小值　　．（只需直接写出结果） 十五、旋转模型（3个小题） 36．如图，，点D在边上，，则 °． 37．如图，，点C、D分别在射线OA、OB上，且满足．将线段DC绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE．过点E作OC的平行线，交OB反向延长线于点F． （1）根据题意完成作图； （2）猜想DF的长并证明； （3）若点M在射线OC上，且满足，直接写出线段ME的最小值． 38．如图，，，，，求证：． 十六、一线三垂直模型（3个小题） 39．如图中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是(   )    A．50 B．44 C．38 D．32 40．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3），求点D的坐标． 41．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D， BE⊥MN于E．    (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB； (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由． 十七、证明线段之间的关系（3个小题） 42．如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 43．如图，为等腰直角三角形，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且 过点A 作BE的垂线交 于 ，过点作的垂线交直线于点 ，交直线于点 ． (1)请补全图形，并直接写出与的数量关系 ． (2)用等式表示 （1） 问中线段、、之间的数量关系，并证明． (3)当点 、分别在、的延长线上时，且 直接写出线段、、之间的数量关系 44．已知，在四边形中，分别是边上的点，且．    (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明______；再证明了______，即可得出之间的数量关系为． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若分别是边延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段之间的数量关系为______．（不用证明） 十八、全等三角形的综合判定（7个小题） 45．如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是 ． 46．已知：如图，，点C，D分别在的两条边上，是的平分线，点P在射线上，且． (1)直接写出与的数量关系； (2)判断线段与的数量关系，并证明． 47．如图，P为的平分线上的一点，于F，点D和点E分别在和上，且，，试探究与的数量关系，并给予证明．    48．若和均为等腰三角形，且，当°即互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”． (1)如图1，与互为“底余等腰三角形”． ①和的关系是__________；若连接，判断与是否互为“底余等腰三角形”：_________（填“是”或“否”）． ②当时，的“余高”，判断与之间的数量关系，并证明； (2)如图2，在四边形中，，，且． ①画出与，使它们互为“底余等腰三角形”；（保留作图痕迹） ②若的“余高”长为，则点到的距离为_________（用含的式子表示）． 49．在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，且（点，，逆时针排列），则称点是线段的“完美点”．如图1，点是线段的“完美点”． (1)已知点，． ①在，，，中，其中是线段的“完美点”的是______； ②如图2，若点，点与点重合，则线段的“完美点”的坐标是______． (2)如图3，已知，，当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“完美点”，连接．求证：． 50．在中，，点在的内部，，． (1)如图1，延长线段的交于点，且． ①求的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果； (2)如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，若为的中点．求证：． 51．在中，，，D点是边上一点，E为边上一点，连接，． (1)如图1，，点D为中点，，，直接写出的长； (2)如图2，，，，连接交于点F，延长至P，使得，连接， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，点E为定点，，连接，点M为线段上的一个动点，且满足，当取得最小值时，直接写出的值（用和表示）． 十九、角平分线的性质定理（4个小题） 52．已知：如图，是的角平分线，于，于，下列结论不正确的是（）    A． B． C．、互相垂直平分 D．平分 53．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积为 ． 54．如图，在中，，平分，交于点，且，若，则 ． 55．如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 二十、角平分线的判定定理（3个小题） 56．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，D是边CB上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝BE．求证：AD平分∠BAC． 57．阅读下面材料： 直尺、圆规、三角板等是常用的数学工具，利用这些工具作图或者画图，并理解其中的数学原理，是数学学习中探究及解决问题的主要角度之一．下面分别给出了得到已知角的平分线的两种方法． 方法一  利用直尺和圆规作角的平分线． 已知：． 求作：的平分线． 作法：如图①， （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． （3）画射线．射线即为所求． 方法二  利用三角板画角的平分线． 画已知的平分线． 画法： （1）将两个完全一样的直角三角板（三角板的每条边上都有刻度）按照图②所示的位置摆放，使较短的直角边分别落在的两边上，记三角板的直角顶点分别为点M，N；较长的两条直角边在的内部相交于点C，且． （2）画射线．射线即为所求． (1)请证明方法一中的是的平分线； (2)直接写出方法二中的是的平分线的依据． 58．数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法． 小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下： ①第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线对齐； ②第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线对齐； 如图3，两把直尺的另一条边相交于点，作射线．射线是的平分线． 小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线． 小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线． …… 请你也参与探讨，解决以下问题： (1)小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由； (2)请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出下图中的平分线，并简述画图的过程． 二一、角平分线性质的实际应用（4个小题） 59．如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 60．如图，在中，，平分，，，那么点到直线的距离是 ． 61．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AD＝5，AC＝4，则△ABD的面积为 ． 62．如图，AD是△ABC的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD． （1）求证：∠B与∠AHD互补； （2）若∠B+2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明． 二二、线段垂直平分线的性质（3个小题） 63．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 64．如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 65．如图，在中，，DE垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则BC的长为 ． 二三、线段垂直平分线的判定（2个小题） 66．如图，，则有（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 67．如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． (1)求证：直线是线段的垂直平分线； (2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系． 二四、作已知线段的垂直平分线（2个小题） 68．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 69．在数学课上，老师布置任务：利用尺规“作以线段为对角线的正方形”． 小丽的作法如下： ①分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于、两点； ②连接，与交于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，与交于、两点； ④分别连接线段．所以四边形就是所求作的正方形． 根据小丽的作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形．（ ）（填推理的依据） ∵，即， ∴四边形为矩形．（ ）（填推理的依据） ∵ ， ∴四边形为正方形．（ ）（填推理的依据） $$